PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral I
Exercícios - Vetores
→
→
→
→
1) Baseado na figura ao lado, expresse o vetor w em termos de u e v .
→
a)
→
→
→
→
→
→
→
u+ v 2 →
− w
2
5
→
b) os escalares
→
→
w
→
→
a e b tais que a u + b v = w .
→
3) Sabendo que u , v e w , representados na figura ao lado, são vetores unitários, pede-se:
→
a) u
.
→
→
v
b) u
.
u
→
→
u = 2 i + 7 j , v = i − 6 j e w = −5 i + 10 j , encontre:
2) Dados os vetores
→
→
→
v
→
v
u
w
→
→
4) Nos itens abaixo a e b são as normas ( amplitudes ) dos vetores u e v , respectivamente.
→
e
→
→
→
→
w
θ o ângulo formado por u e v .
→ →
a) se a=15 , b=2 e
θ = 60º , encontre u . v
→ →
c) se a=1 , b=2 e u . v =
e) se a= 10 , θ =
3 , encontre θ
→ →
π
e u . v = 30, encontre b
3
→
→
b) se a= 1 , b= 3 e θ =
→ →
π
, encontre u . v .
2
→ →
d) se a ≠ 0 , b
≠ 0 e u . v = 0 , encontre θ .
f) se a = 2 e
b = 3 , explique por que | u . v | ≤ 6
→ →
→
→
5) Dados os vetores w = 3 i + 2 j , encontre o ângulo α que o vetor w forma com o sentido positivo do eixo das
abscissas.
→
→
→
→
→
→
→
→
6) Seja u = t i − 3 j e v = 5 i + 7 j , onde t é um escalar. Ache t de modo que u e v sejam ortogonais.
→
→
7) Determine o valor de a para que seja de 45º o ângulo entre os vetores u = ( 2, 1) e v = (1 , a) .
8) Uma pessoa empurra o cabo de um aparador de grama com uma força de 35 newtons e desloca o mesmo
percorrendo uma distância de 100m. Encontre o trabalho realizado sabendo que o cabo faz um ângulo de 30º com
o chão.
9) Uma caixa é arrastada ao longo do chão por uma corda que aplica uma força de 50 N em um ângulo de 60º
com o chão. Quanto trabalho é realizado para movimentar a caixa 15 m?
Respostas:
→
→
7⎞
⎛7
,− ⎟
2⎠
⎝2
→
2) a) ⎜
1) w = u - v
4) a) 15
6) t = −
b) 0
21
5
c)
7) −
π
6
d)
1
ou 3
3
π
2
e) 6
b) a = −
f)
8) 1750
20
55
e b=−
19
19
cosθ ≤ 1
3 joules
5)
3) a)
⎛ 3 13 ⎞
⎟
⎟
⎝ 13 ⎠
α = arccos⎜⎜
9) 375 joules
1
1
b) −
2
2