Design Pedagógico do módulo
Escolha do tópico
Relação entre dos valores dos senos para ângulos maiores que 360° e negativos.
Objetivo
Compreender a relação entre dos valores dos senos de 0° a 360° com os senos dos
ângulos maiores que 360° e negativos.
O que um aluno entre 14 e 18 anos acharia de interessante neste tópico ? Que
aplicações / exemplos do mundo real podem ser utilizados para engajar os alunos
dentro desse tópico? O que pode ser interativo neste tópico ?
Os alunos nessa faixa etária poderão achar interessante a matemática que está
presente no funcionamento da máquina a vapor, onde utiliza o vapor para transformar
a energia calorífica liberada pela queima de combustível em movimento de rotação e
movimento alternado de vaivém do pistão, com isso o aluno perceberá que esses
movimentos descreve uma função trigonométrica.
Uma aplicação que irá engajar o aluno nesse tópico será resultado dos
movimentos da máquina a vapor, pois a pressão adquirida pelo vapor é utilizada para
deslocar os pistões que permitem o movimento das rodas de potentes locomotivas.
A interação do aluno com o tópico será feita através da manipulação do objeto
que se encontram na tela, em várias situações diferentes.
Liste algumas aplicações do mundo real que requerem o conhecimento deste
conteúdo. Aplicações que podem ser ilustradas através de gráficos interativos, vídeo
clips e animações são as indicadas para o uso do computador.
Inicialmente considerada como uma extensão da geometria, a trigonometria já
era estudada pelos babilônios, que a utilizavam para resolver problemas práticos de
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Astronomia, de Navegação e de Agrimensura. Atualmente a trigonometria não se limita
apenas a estudar triângulos. Sua aplicação se estende a outros campos da matemática,
como a Análise, e a outros campos da atividade humana como a Acústica, a Música, a
Topologia, e a quase todos os ramos da Engenharia (Elétrica, Mecânica, civil) em
especial no estudo de fenômenos periódicos como a vibração do som e o fluxo de
corrente alternada.
Uma aplicação prática atual das funções trigonométricas pode ser percebida no
funcionamento dos motores que tem como fonte de energia térmica o petróleo.
O que tem sido feito nessa área? Você tem conhecimento de abordagens
interessantes para o tema proposto no seu módulo? Em sua pesquisa na web, você
encontrou algum material interessante para o uso do computador?
Há vários programas e softwares educacionais que podem ser utilizados para
ajudar no entendimento dos gráficos das funções trigonométricas, pois possibilitam que
se construa gráficos em duas e três dimensões e ainda que se trabalhem com operações
de funções , são eles: o winplot, o Modellus, o graphmatica, o mathGV, mathlab, o ratos
e o octave.
Sites:
descartes.cnice.mecd.es/
www.pessoal.sercomtel.com.br/mat
www.fichárioonline.com.br
www.mat.br
http://www.octave.org/
http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/software/softw.htm
Escopo do módulo
Defina o escopo do módulo. O que será coberto no módulo? O que não será
coberto?
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Este módulo irá abordar os conceitos relacionados funções trigonométricas,
analisando um movimento periódico para ver como os conceitos trigonométricos podem
ser ampliados, em especial ampliaremos as noções de senos, cossenos e tangentes para
os conceitos de ângulos maiores que 360° e ângulos negativos.
O módulo não irá abordar outros tópicos de trigonometria que não estejam
relacionados ao tema principal do objeto de aprendizagem, tais como:
•
Funções circulares trigonométricas em especial construção de gráficos
•
Relações trigonométricas
•
Transformações trigonométricas
•
Equações trigonométricas
•
Inequações trigonométricas
•
Resolução de triângulos quaisquer (Lei dos senos, Lei dos cossenos e área
de um triângulo).
O que você quer que os alunos aprendam deste módulo? O que os alunos
deverão ser capazes de fazer após completarem esse módulo? Tente ser o mais
específico possível com termos do tipo: “calcular”, “resolver”, “comparar”,
“prever”, ao invés de usar termos ambíguos como “entender”, “perceber”,
“estudar”.
•
Visualização e entendimento dos senos dos ângulos maiores que 360° e
dos senos dos ângulos negativos;
•
Construir e ampliar o conceito das noções de seno para ângulos maiores
que 360° como para os senos dos ângulos negativos;
•
Reconhecer e compreender a relação entre os senos dos ângulos de 0° a
360º com os senos dos ângulos maiores que 360° e dos senos dos ângulos negativos;
•
Interpretar e fazer uso de modelos para a resolução de problemas
trigonométricos;
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•
Associar situações e problemas geométricos a suas correspondentes
formas algébricas.
•
Desenvolver a capacidade de resolver problemas por meio da
apropriação da linguagem simbólica e descrição de modelos.
•
Reconhecer a utilização dos ângulos maiores que 360° como para
ângulos negativos;
Interatividade
Sem pensar nas limitações de tempo e custo de produção, o que você gostaria
de produzir para ensinar aos alunos os conceitos que fazem parte do seu módulo? Se
você pudesse criar um laboratório virtual, o que ele proporcionaria aos alunos?
Deixe fluir as suas idéias.
Aproveitando o recurso computacional criaria uma atividade onde teríamos na
tela a simulação do funcionamento do motor a vapor, que na explosão do vapor
movimentaria o pistão que estará ligado na roda, nesse momento o movimento retilíneo e
transformado em movimento circular fazendo então girar a roda, de uma locomotiva,
que poderá girar 1 rotação por minuto. O aluno teria alguns pontos que poderiam
escolher ou até mesmo o ponto manual que parará o pistão em alguns pontos que serão
ângulos pré-determinados.
Para uma outra atividade teríamos o mesmo motor, porém a roda iria girar 5
rotações por minuto e conforme fosse movimentando desejaria que uma circunferência
fosse formada na parte superior da tela para que o aluno pudesse observar melhor o
ângulo formado pelo pistão. Teríamos nessa atividade um espaço onde o aluno possa
digitar qual o tempo que ele deseja que a roda gire.
Na terceira atividade teríamos duas circunferências uma movimentando no
sentido horário e outra no sentido anti-horário para as duas os alunos escolheria um
tempo podendo observar os ângulos formados.
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O que você quer que os alunos façam a fim de aprenderem o assunto do
módulo? Seja específico: os alunos devem desenhar gráficos usando diferentes
parâmetros? Discutir conceitos com outros colegas? Converter equações para
curvas? Aplicar conceitos em exemplos de vida real? Participar num experimento
virtual?
Os alunos deverão ser capazes, perceber o que está acontecendo com o ângulo
em cada volta ou pedaço de volta, podendo então ampliar conceito de ângulos maiores
que 360° e ângulos negativos.
Como este módulo vai aproveitar as vantagens do computador? Quando
planejar um módulo, aproveite o potencial da programação para interatividade de
nível superior. Proporcione visualização e manipulação. Planeje atividades que não
podem ser realizadas através de uma aula expositiva ou folha de papel. Lembre-se
que o módulo é simplesmente um conjunto de materiais para ser usado na sala de
aula: o professor pode e deve usar apostilas, livros, e outros materiais.
Este módulo irá aproveitar as vantagens que o computador oferece mostrando ao
aluno o movimento realizado pelos componentes do motor de forma que o aluno possa
reconhecer o que acontece para que a haja o movimento circular da roda, é com essa
aplicação possa construir e ampliar o seu conhecimento em relação aos ângulos maiores
que 360° e negativos.
1.
Defina os objetivos gerais do módulo (competências e habilidades). O
que você espera que os alunos aprendam (ver a seção de escopo do módulo).
Esse módulo tem o intuito de direcionar o aluno na construção e a ampliação do
conceito de ângulos maiores que 360° e negativos, no qual o aluno aprenderá através de
uma aplicação do cotidiano, podendo através deste também reconhecer e compreender a
relação entre os senos dos ângulos de 0° a 360º com os ângulos maiores que 360° e dos
senos dos ângulos negativos.
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2.
Quais estratégias e atividades atendem cada objetivo proposto?
Na primeira atividade o aluno irá entender o funcionamento da máquina a vapor,
observando e entendo o movimento do pistão e interpretará qual o ângulo formado pelo
pistão em alguns pontos que consideramos importante.
Na segunda atividade o aluno irá interpretar e construir os conceitos de ângulo
maiores que 360°. O aluno irá interpretar e perceber que de 360° em 360° a história do
seno se repete, ou seja, que somando 360° a um ângulo qualquer seu seno permanece
inalterado.
Na terceira atividade o aluno irá interpretar e construir os conceitos de ângulo
negativos.
3.
Que outros recursos seriam úteis nas páginas web do módulo
(glossário, calculadora)?
Será necessária uma calculadora, um bloco de notas e um glossário.
Atividades
1.
Considere as idéias que você gerou até aqui e proponha um conjunto
de atividades que gostaria que o aluno fizesse. Usando uma nova página para cada
atividade, comece a escrever alguns detalhes sobre o que você quer que os
estudantes façam para aprender esses conceitos. Faça sketches de suas idéias. Não se
preocupe com o script da atividade, layout ou se as idéias são realistas ou não para o
programador produzir. Aqui, o importante é identificar a maior funcionalidade
desejada assim como as ações que você quer que os alunos sejam capazes de
desempenhar nas atividades do computador.
Atividades 1
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Aparecerão na tela o motor, uma tabela e alguns pontos.
Quando o aluno/a clicar em um desses pontos e em seguida no play, o motor se
movimentará, ou seja, teremos a simulação do funcionamento do motor.
Será mostrado o momento de explosão e compreensão do pistão.
O motor irá parar quando o ângulo do pistão for o determinado pelo o ponto.
Do lado do motor terá uma tabela que será preenchida automaticamente e essa
ficará preenchida no momento em que o motor parar de funcionar.
Abaixo da tabela deverá ter os ângulos 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 150°, 180°, 220°,
270°, 330° e 360° e o botão manual.
No botão manual o aluno terá o direito de escolher quando o funcionamento do
motor deve parar.
O aluno deverá clicar em um desses ângulos e em seguida clicar em iniciar, o
motor irá parar quando o pistão formar o ângulo escolhido.
Do lado esquerdo da tabela ficará a circunferência que deverá ser aparecer quando
o movimento da roda parar. Conforme o ângulo formado pelo pistão deverá ter um
triângulo retângulo inscrito na circunferência.
Após a interatividade do aluno com o objeto este terá que em seguida responder
algumas questões tais como:
Manipule o motor. Você é capaz de justificar o movimento.
Elabore o roteiro com as seguintes dicas:
Dica1: Quando o pistão estará no inicio do cilindro?
Dica 2: Quando o pistão estará no meio cilindro?
Dica 3: Quando o pistão estará no fim cilindro?
http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/locom0/locom0.html
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Atividade 2
Na tela da atividade 2 terá o desenho do motor, este deverá realizar 5 voltas em
um minuto, no sentido anti-horário. As animações serão as mesmas da atividade 1.
Terá uma caixinha onde o/a aluno/a poderá digitar o tempo entre 0 à 60 segundos.
Quando a roda parar, aparecerá ao lado do motor um círculo trigonométrico,
mostrando o ângulo formado naquele instante pelo pistão.
Terá também uma tabela que ficará preenchida quando o movimento parar.
Após a interatividade do aluno com o objeto este terá que em seguida responder
algumas questões tais como:
1: Manipule o tempo. Você é capaz de justificar os valores dos ângulos maiores
que 360°.
Elabore o roteiro com as seguintes dicas:
Dica 1: Observe o movimento do pistão no tempo de 0 à 12 segundos, no sentido
anti-horário:
•
Quantas voltas o pistão percorre no tempo de 12 segundos?
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•
Qual o ângulo descrito pelo pistão no tempo de 12 segundos?
Dica 2: Observe o movimento do pistão no tempo de 12 à 60 segundos.
•
Quantas voltas o pistão percorre no tempo de 24, 36, 48 e 60 segundos?
•
Qual o ângulo descrito pelo pistão no tempo de 24, 36, 48 e 60 segundos?
Dica 3: Observe a posição do pistão quando escolhemos o tempo de 3, 15 e 27
segundos.
•
Os ângulos formados pelo o pistão são os mesmos?
•
Olhe a tabela do seno e encontre o valor do seno de 90°, seno de 450° e
seno de 810°. O que conclui?
Dica 4: Observe a posição do pistão quando escolhemos o tempo de 5, 41 e 53
segundos.
•
Os ângulos formados pelo o pistão são os mesmos?
•
Olhe a tabela do seno e encontre o valor do seno de 150°, seno de 1230° e
seno de 1590°. O que concluí?
Atividade 3
Na tela da atividade 3 terá dois círculos trigonométrico um girando no sentido
horário e outro no sentido anti-horário.
O pistão realizará 5 volta em um minuto, em cada um dos círculos.
Terá um relógio digital onde o/a aluno/a poderá digitar o tempo entre 0 à 60
segundos.
Quando a pistão parar, aparecerá o ângulo descrito pelo pistão.
Após a interatividade do aluno com o objeto este terá que em seguida responder
algumas questões tais como:
1) Manipule o tempo. Você é capaz de justificar a relação existente entre os
ângulos negativos e positivos.
Elabore o roteiro com as seguintes dicas:
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Dica 1:
•
Qual o ângulo formado no tempo de 11 segundos, no sentido horário?
•
Qual seria o ângulo formado pelo pistão no tempo de 1 segundos no
sentido anti-horário?
•
O que você conclui sobre o sen(-30°) e sen(330°)?
Dica 2:
•
Qual o ângulo formado no tempo de 15 segundos, no sentido horário?
•
Qual seria o ângulo formado pelo pistão no tempo de 9 e 21 segundos no
sentido anti-horário?
•
O que você conclui sobre o sen(-450°), sen(270°) e sen(630°)?
Dica 3:
•
Qual o ângulo formado no tempo de 32 segundos, no sentido horário?
•
Qual seria o ângulo formado pelo pistão no tempo de 4, 16 e 28 segundos
no sentido anti-horário?
•
O que você conclui sobre o sen(-960°), sen(120°), sen(480°) e sen(840°)?
Dica 4:
•
Qual o ângulo formado no tempo de 46 segundos, no sentido horário?
•
Qual seria o ângulo formado pelo pistão no tempo de 2, 14, 26 e 38
segundos no sentido anti-horário?
•
O que você conclui sobre o sen(-1380°), sen(60°), sen(420°), sen(780°) e
sen(1140°)?
2.
Considere cada idéia para as atividades. Ela ensina apenas um
conceito? Ela pode ensinar 3 ou 4 conceitos se abordados em outras perspectivas (a
atividade pode ser reutilizada num contexto diferente?).
A atividade privilegia a mobilização dos conceitos listados, ou seja, o aluno irá
compreender a relação entre os senos dos ângulos de 0° a 360° com os senos dos
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ângulos maiores que 360° e os senos dos ângulos negativos. Aproveitando essas
atividades o professor poderá ampliar os cossenos e as tangentes dos ângulos maiores
que 360° dos ângulos negativos.
3.
As atividades permitem espaço para serem exploradas além das
fronteiras de suas idéias originais? Ou os alunos estão confinados a um caminho
pré-determinado?
As atividades devem seguir o caminho pré-determinado para que o aluno possa
compreender e construir a idéia de seno dos ângulos maiores que 360° e ângulos
negativos.
4.
Como as atividades devem ser conduzidas e organizadas ( que
contexto, individualmente ou em grupo) ?
O professor poderá priorizar as atividades em grupo e discussões enquanto
realizam a atividade. Em seguida o professor poderá pedir para que os alunos socializem
as suas respostas, pois dessa forma eles estarão expondo os seus pensamentos.
5.
Como os alunos serão motivados a fazer as atividades?
A relação da matemática com uma situação que aproxima o aluno da realidade
serve como fator motivador, tanto para quem aprende como também para aquele que
ensina.
6.
Como os resultados das atividades serão avaliados?
As atividades poderão ser avaliada pela compreensão do conteúdo, solicitando a
produção, de maneira não virtual e virtual. O professor poderá observar a discussão na
realização da tarefa e por meio das reflexões individuais e coletivas poderão observar
como os alunos estão compreendendo os diferentes “conteúdos” relacionados a ângulos.
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7.
Caso existam, quais as questões para reflexão, ou questões intrigantes
ou provocativas que se aplicam a cada atividade?
Iremos propor atividades que instiguem o aluno a buscar a solução para os
desafios que lhe serão propostos.
8.
Que benefícios as atividades no computador vão trazer para os alunos
em oposição às aulas tradicionais e livros texto?
Nestas atividades o professor poderá trabalhar com seus alunos uma situação
que esteve presente nos primeiros motores, mas que não seria possível ser trabalhada
sem auxílio dos recursos computacionais, pois é necessário que aluno possa perceber e
visualizar a movimentação dessa máquina.
9.
Quem mais pode se interessar por este módulo? (Considere os
professores de sua área de outras séries, professores de outras áreas, instrutores de
treinamento de empresas)
Os professores de engenharia mecânica, pois com esse modelo fica fácil a
compreensão da modelagem matemática referente a periodicidades dos movimentos
realizadas pelos motores.
Os professores da área de física, pois envolve o fenômeno que pode ser abordado
por eles.
Bibliografia
Livros Didáticos
IMENNES, Luís Márcio Pereira; TROTTA, Fernando: Matemática Aplicada São
Paulo:ED.Moderna, 1979.
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DANTE, Luís Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática.
MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática para o Segundo Grau. São Paulo: Atual
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. São Paulo: Atual.
CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI, J. Ruy. A Conquista da Matemática. São Paulo:
FTD, 1998.
FERNANDEZ, Vicente Paz; YOUSSEF, Antônio Nicolau. Matemática para o 2o
Grau. Curso completo. São Paulo: Scipione, 1991.
Sites:
http://www.adorofisica.com.br/trabalhos/fis/equipes/maquinasavapor/maqui
navapor.ht
http://www.feiradeciencias.com.br/sala08/08_08.asp
http://pt.wikipedia.org/wiki/Motor_a_vapor
http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/locom0/locom0.html
http://www.cespe.unb.br/pas/gabaritos/etapa_1_subprograma2006/PAS%201%20
ETAPA_PROVA.pdf
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