RPM 09 – página 43
Corte e costura
Ernesto Rosa
Se a professora ou professor, por motivo particular, deseja mudar de ramo, sem se
afastar do visgo da Matemática, aqui vai uma colaboração. Como cortar uma manga (de
camisa)?
B
2c
R
P
B
P
O
T c N
a
α
A
A
m
A
y
y
m
R’
P’
O’
m
m+2c
m+c
m+c
m
b
A’
x
A’
x
P’
A’
Uma manga é um tronco de cilindro, dependendo da grife. A secção é uma elipse cujo
plano possui inclinação α em relação à base (AT//A’R’ e AT⊥OO’). Precisamos medir b, que
é o raio da base, e a ou α, que dão a inclinação. O comprimento da manga é m.
Para cada ponto P da elipse, vamos calcular a altura y = P’P = R’R em função do arco
A’P’ de medida x. Para isto, calculemos TR em função de x:
TR
NO
TR
NO
TR
NO
=
⇒
=
⇒
⇒
=
TA
NA
R ' A'
O' A '
O' A ' − O' R '
O' A '
TR
NO
⇒
=
⇒ TR = NO⋅(1 − cos x) = c⋅(1 − cos x), porque,
b − b ⋅ cos x
b
∆ATR ≅ ∆ANO ⇒
no ∆ANO: NO2 = OA2 − NA2 = a2 − b2 = c2 ⇒ NO = c (semidistância focal).
Assim, y = P’P = R’T + TR = m + TR = m + c⋅(1 − cos x) ⇒ y = m + c − c⋅cos x.
Portanto, uma elipse se "desenrola" numa cossenóide. Isto pode ser mostrado também
em cartolina, que é molde para corte do pano.
Um modelo em madeira, molhado com tinta,
deixa a marca característica no papel. Ou então um
rolo de papel higiênico cortado inclinado.
Notar que, a área de pano da manga é igual à
área lateral do tronco de cilindro, que é a metade
da área lateral de um cilindro.
Isso fornece um método para cálculo da área
sob a cossenóide.
Se o professor pretende mudar, deve tomar medidas!
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