Dep. Física
Electromagnetismo e Óptica
MEAmbi+MEMat MEBiol+MEQuim 2014/15
CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
Geometria
1. Perímetro de uma circunferênciade raio r :
2 r
2. Área de um circulo de raio r :
 r2
3. Área de uma superfície esférica de raio r :
4  r2
4. Volume de uma esfera de raio r :
4
 r3
3
5. Área lateral de um cilindro de raio da base r e de altura h :
2  rh
6. Volume de um cilindro de raio da base r e de altura h :
 r2 h
Representação em 2D e3D
7. Referencial e versores de direcção
7.1. Coordenadas cartesianas: X, Y, Z
7.2. Coordenada polares: r, 
7.3. Coordenadas cilindricas: r,  , Z
7.4. Coordenadas esféricas: r,  , 
Descrição Física

c  (a.b )

 
c  (a  b )
9. Produto externo ou vectorial de dois vectores:

10. Deslocamento elementar ao longo de uma linha: dl
8. Produto interno ou escalar de dois vectores:
11. Integral ao longo de uma linha  , no espaço a três dimensões:
12.
13.
14.
15.


 
( f .dl )
 
Integral ao longo de um percurso fechado:  ( f .dl )

Superfície elementar dS de uma superfície macroscópica S :
 

dS  n dS
(em que n é perpendicular à superfície S e dirigido para fora da concavidade)


Fluxo de um campo vectorial f através de uma superfície aberta:    ( f .n )dS
S


( f .n)dS
Fluxo de um campo vectorial f através de uma superfície fechada:   
S . fech.
Tratamento de dados experimentais
16. Algarismos significativos
17. Erros associados à medida da propriedade  :  
18. Equação de propagação de erros para a propriedade f  f ( ,  ,...) :
 2f  (
f 2 2
f
)    ( ) 2  2  ...


19. Erros Sistemáticos
19.1.
Exactidão (accuracy) de uma medida; erro absoluto: Eabs   medido   esperado
19.2.
Exactidão (accuracy) de uma medida; erro relativo: Erel 
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 medido   esperado
 100
 esperado
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20. Erros Indeterminados ou aleatórios

 100
20.1.
Precisão (precision) de uma medida; erro em % :
20.2.
1
1 ( xi   ) 2
exp( 
)
Distribuição de Gauss: y 
2 2
 2
20.3.
Nível de Confiança: probabilidade que o valor apresentado esteja correcto.
 medido
Distribuição de Gauss para um número elevado n de valores de x :
nivel de confiança de 50% para intervalo de confiança de x entre x  0,674 x e x  0,674 x
nivel de confiança de 68% para intervalo de confiança de x entre
x  x e x  x
nivel de confiança de 95% para intervalo de confiança de x entre
x  2 x e x  2 x
nivel de confiança de 99,7% para intervalo de confiança de x entre
x  3 x e x  3 x
Distribuição de Gauss para um número n  10 de valores de x :
nivel de confiança de 50% para intervalo de confiança de x entre
x  0,7 x e x  0,7 x
nivel de confiança de 90% para intervalo de confiança de x entre
x  1,83 x e x  1,83 x
nivel de confiança de 95% para intervalo de confiança de x entre
x  2,26 x e x  2,26 x
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
Produto Interno de dois vectores (dot product): c  (a.b )




a  axex  a y ey  az ez




b  bxex  by ey  bz ez

(a.b )  axbx  a yby  azbz

 
(a.b ) | a || b | cos 
Produto Externo de dois vectores (cross product):




a  axex  a y ey  az ez

ex
 
(a  b )  ax
bx
  
c  (a  b )




b  bxex  by ey  bz ez

ey
ay
by

ez
az
bz




c  (a ybz  azby )ex  (axbz  azbx )ey  (axby  a ybx )ez

 
 
| c |  | (a  b ) |  | a || b | sen

1: mão direita com as costas sobre o vector a

2: fechar a mão para “ir buscar” o vector b

3: o dedo polegar indica a direcção e o sentido do vector c
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Integral da função f(x,y,z) na área S:

S
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f ( x, y, z )dS Coordenadas Cartesianas
f ( x, y, z )  x 2
S
área elementar:
x2
y2
1 3
2
2
2
3
x
dS

x
dxdy

x
dx
S
S
x1
y1 dy  3 ( x2  x1 )( y2  y1 )
área elementar:
f ( x, y , z ) 
S
1
y
y2 1
z2
 y 
1
1
dS   dydz  
dy  dz   ln 2 ( z2  z1 )
S y
S y
y1 y
z1
 y1 

Integral da função f(x,y,z) na área S:

S
f (r , )dS Coordenadas Polares
área elementar:
S
dS  r dr d
f ( r , ) 
r2 1
1
1
dS

r
dr
d


S r 3
S r 3
r1 r 2 dr
2

d  (
1
Integral da função f(r,) ao longo de uma linha 1  2 :

12
1
r3
1 1
 )( 2  1 )
r2 r1
f (r , )dl Coordenadas Polares
percurso elementar:
f ( r , ) 
1
r12
1
1
1 2
1
dl

r
d


d  ( 2  1 )
1
12 r12 S r12


r1 1
r1
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http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/sphc.html
Coordenadas Cilindricas: r , , z
Superfície elementar lateral do cilindro: dS  (rd )  dz
Um cilindro de raio da base R e altura H terá uma área lateral:
2
 dS  R d
S lateral
0

H
0
Slat cil  2RH
dz  2RH
Volume elementar do cilindro: dV  (rd )  dr  dz
Um cilindro de raio da base R e altura H terá um Volume:
R
2
0
0
 dV   rdr  d
V

H
0
dz  2
R2
H
2
Vcilindro  R2 H
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http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/sphc.html
Coordenadas esféricas: r , ,
Superfície elementar lateral da esfera: dS  (rd )  (r sin  d )
Uma esfera de raio R terá uma área lateral:
 dS
S lateral

 R 2  sin  d

0
2
0
Sesfera  4R 2
d  4R 2
Volume elementar da esfera: dV  dr  dS  dr  (rd )  (r sin  d )
dV  r 2dr  (sin  d )  (d )
Uma esfera de raio R terá um Volume:
R

0
0
2
 dV   r dr  sin  d
V

2
0
d 
R3
 2  2
3
4
Vesfera  R3
3
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