Determinação assimptótica de modelos para vigas
piezoeléctricas anisotrópicas
Asymptotic derivation of models for anisotropic
piezoelectric beams and shallow arches
Carolina Paula Baptista Ribeiro
Orientador:
Prof. Doutor Jorge Figueiredo
Departamento de Matemática para a Ciência &Tecnologia da Universidade do
Minho
Doutoramento em Ciências
Matemática
Resumo
O estudo do fenómeno piezoeléctrico aumentou consideravelmente devido à crescente utilização dos
materiais piezoeléctricos anisotrópicos em aplicações de engenharia. A presente tese tem como
principais objectivos, a determinação e justificação assimptótica de modelos de vigas piezoeléctricas
anisotrópicas, para, desta forma, generalizar a teoria de vigas elásticas propostas por Álvarez-Dios &
Viaño [1993, 1996, 2003] e Trabucho & Viaño [1996].
Os modelos desenvolvidos são baseados na teoria da piezoelectricidade linearizada para vigas feitas
dum material piezoeléctrico anisotrópico, sujeitas a um potencial eléctrico que actua em dois tipos de
fronteira. No tipo I, o potencial eléctrico é aplicado nas extremidades da viga e, no tipo II, a voltagem é
induzida numa área lateral da viga. Tendo em vista a análise do comportamento da solução do
problema piezoeléctrico, numa viga em que o comprimento é muito maior do que as dimensões da sua
secção transversal e o diâmetro tende para zero, utiliza-se o método assimptótico, tomando-se o
diâmetro da viga como pequeno parâmetro.
Nesta documento, começa-se por apresentar, de forma resumida, as equações tridimensionais que
descrevem a piezoelectricidade linear num sólido: equações diferenciais parciais do acoplamento
electromecânico; formulação forte e fraca. De seguida, expandindo a solução numa série assimptótica
em função do pequeno parâmetro, obtemos uma série de problemas através dos quais se caracterizam
alguns termos do desenvolvimento. Como resultado desta análise, propõe-se, nesta tese, os seguintes
modelos para vigas piezoeléctricas anisotrópicas:
• Modelo unidimensional para o problema electromecânico, definido numa viga cujo material
piezoeléctrico pertence à classe 2, e em resposta a um potencial eléctrico induzido numa região do tipo
I. A caracterização do segundo termo dos deslocamentos é essencial para a determinação deste modelo
e para a demonstração da convergência forte. Estes cálculos encontram-se detalhados no Capítulo 3.
• No Capítulo 4, é justificado um modelo para uma viga piezoeléctrica anisotrópica de classe 2
submetida a um potencial eléctrico numa área do tipo II. Demonstra-se ainda que, se a viga é feita de
uma material piezoeléctrico pertencente à classe de simetria 6mm, então o vector dos deslocamentos e
o potencial eléctrico convergem fracamente para os primeiros termos dos respectivos desenvolvimentos.
• Um modelo de primeira ordem para vigas, “debilmente” curvas, constituídas por material
piezoeléctrico transversalmente isotrópico - classe 6mm - e com potencial eléctrico aplicado nos
extremos da viga, é apresentado no Capítulo 5. A formulação mista, juntamente com o desenvolvimento
do tipo deslocamento - potencial eléctrico - tensão – deslocamento eléctrico, mostrou ser uma solução
eficaz na obtenção do respectivo modelo e na demonstra ção do resultado de convergência forte.
Abstract
Due to the wide use of anisotropic solid structures, the study of anisotropic piezoelectricity becomes
increasingly important. The purpose of this thesis is to extend the research of ´Alvarez- Dios & Viaño
[1993, 1996, 2003] and Trabucho & Viaño [1996] to anisotropic elastic beams, and present asymptotic
models for anisotropic piezoelectric beams.
These models are derived in a rigorous way from a three-dimensional problem for an anisotropic
piezoelectric beam under an electric potential applied on one of two types of boundary: first type when
the electric potentials are applied in both extremities of the beam and second type when the voltage acts
on its lateral surface. In order to analyse the asymptotic behaviour of the solution of the threedimensional piezoelectricity problem for a beam which has diameter
of the cross section much smaller than the length, the asymptotic method was implemented by
considering the diameter as a small parameter.
We start by briefly introducing the three-dimensional equations that describe the linear piezoelectricity
theory: a coupled system of mechanical and electrical equilibrium boundary value partial differential
equations; weak and strong formulations. After, we expand the solution as an expansion with respect to
the small parameter and we obtain a sequence of problems which allow us characterize some terms of
the development. As a result of this analysis, we establish the following models for piezoelectric
anisotropic beams:
• The one-dimensional beam theory from the three-dimensional problem for an anisotropic piezoelectric
beam of class 2 under an applied electric potential on both ends is derived in Chapter 3. The
characterization of the second-order displacements is an essential step to achieve this model and to
demonstrate the strong convergence.
• An approach for anisotropic piezoelectric beam of class 2 in response to an applied electric potential
acting on its lateral surface is derived in Chapter 4. The weak convergence result is also discussed in
this chapter for anisotropic piezoelectric beam of the subclass 6mm, where it is concluded that the
displacement vector field and the electric potential weakly converge towards the leading terms of the
displacement - electric potential expansions.
• A zeroth-order model for a transversely isotropic - 6mm symmetry class - piezoelectric shallow arch
submitted to an electric potential at the both ends was determined in Chapter 5 by the asymptotic
expansion displacement - stress - electric potential - electric displacement.