27 a 31 de Maio de 2002 – Universidade de Brasília – UnB
Brasília, DF – Brasil
Jornadas Sul-Americanas de Engenharia Estrutural
ANÁLISE ESTÁTICA NÃO-LINEAR DE CABOS UTILIZANDO O MÉTODO DOS
ELEMENTOS FINITOS
Paulo Alexandre de Oliveira, Universidade Federal do Paraná, Brasil.
Roberto Dalledone Machado, D. Eng., Universidade Federal do Paraná, Brasil.
Mildred Ballin Hecke, D. Sc., Universidade Federal do Paraná, Brasil.
RESUMO
No presente estudo, é feita uma análise comparativa entre dois elementos de cabo presentes na
literatura. É apresentado um elemento finito isoparamétrico de cabo com dois nós, desenvolvido a
partir de uma formulação variacional empregada comumente no Método dos Elementos Finitos.
Também é apresentado o elemento de catenária desenvolvido a partir de expressões exatas oriundas
da equação da catenária elástica. Verifica-se o comportamento estático desses elementos quando
submetidos a algumas condições de carregamento. A análise é não linear e o processo iterativo é
determinado através do Método de Newton-Raphson. Finalmente, é feita uma comparação dos
resultados obtidos verificando algumas vantagens na utilização desses elementos em situações
práticas.
Palavras Chave: Método dos Elementos Finitos, Elementos de Cabos, Análise Não-Linear.
ABSTRACT
In the present study, a comparative analysis between two cable elements in the literature is made.
An isoparametric cable finite element with two nodes, developed from a variacional formulation in
the Finite Elements Method, is presented. The catenary element developed from exact expressions
originating from the equation of the elastic catenary is also presented. The static behavior of those
elements is verified when submitted to some load conditions. The analysis is non linear and the
convergence of results is obtained through the Newton-Raphson Method. Finally, a comparison of
the obtained results is made, verifying some advantages in the use of those elements in practical
situations.
Key words: Finite Elements Method, Cable Elements, Non Linear Analysis.
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INTRODUÇÃO
Supõe-se que Galileo tenha sido o primeiro a investigar a forma curva de um cabo suspenso
sob seu próprio peso em meados do século XVII. Sua contribuição, no entanto, se restringiu a
apontar a similaridade entre esta curva e uma parábola. Mais tarde, em 1691, a solução desta curva,
que hoje é admitida como sendo a catenária, foi primeiramente publicada pelo eminente grupo de
geógrafos e matemáticos composto pelos irmãos James e John Bernoulli, Leibnitz e Huigens. O
cabo parabólico recebeu considerável atenção, não somente por causa de sua formulação
matemática mais simplificada, mas também porque, em muitas situações, tal como em pontes
suspensas, uma parcela substancial do carregamento é uniformemente distribuída ao longo do vão,
de acordo com Irvine[5].
Até a metade do século XX, as pesquisas se restringiam ao desenvolvimento de expressões
analíticas através das quais se tentava avaliar a flexibilidade e a deformabilidade de cabos sujeitos a
carregamentos distribuídos e concentrados. Tais expressões esbarravam na impossibilidade da
superposição de soluções tendo em vista o seu comportamento não linear. Com o aparecimento dos
computadores, soluções obtidas através de métodos iterativos começaram a ser apresentadas. O
procedimento adotado inicialmente era dividir o cabo em vários segmentos finitos. A partir de
valores iniciais arbitrados para a tensão em um extremo do cabo, calculava-se o resíduo para a outra
extremidade usando as condições de equilíbrio em um método iterativo em cada segmento
discretizado. Os valores iniciais eram ajustados até que o resíduo fosse reduzido abaixo de limites
aceitáveis.
Michalos e Birnstiel [13], em 1960, propuseram um método numérico de tentativa e erro
baseado no que eles chamaram “string polygon aproach”. Neste método, a geometria curva do cabo
é aproximada por vários segmentos retos e o carregamento distribuído é substituído por cargas
concentradas equivalentes aplicadas nas intersecções destes segmentos.
O’Brien e Francis [14], em 1964, apontaram algumas deficiências no tratamento teórico do
método de Michalos e Birnstiel [13] e apresentaram uma formulação numérica baseada nas
expressões analíticas da catenária elástica. As equações de equilíbrio estático para segmentos de
cabo são resolvidas através de um processo de sucessivas aproximações, nas quais a flecha do cabo
tem um tratamento exato. Jennings [8], em 1965, propôs a reformulação de algumas expressões
usadas por O’Brien e Francis [14] que acelerariam a convergência dos resultados.
Nas soluções aproximadas pelo Método dos Elementos Finitos, Leonard [11], em 1973,
propôs a utilização de elementos curvilíneos em substituição ao uso de elementos retos no Método
dos Elementos Finitos. Ele destacou a necessidade de se modelar a geometria curva do cabo com
elementos curvilíneos tornando dispensável o uso de um grande número de pequenos elementos
retilíneos.
Em 1975, em continuidade aos estudos de soluções numéricas para cabos, Henghold e
Russell [4] desenvolveram uma formulação variacional em que se podia prever a configuração de
equilíbrio para cabos suspensos considerando não linearidades geométricas. Desta formulação
resultou um elemento finito isoparamétrico de cabo com três nós.
Ozdemir [16], em 1978, apresentou algumas deficiências na formulação apresentada por
Henghold que induzem deformações no comprimento do elemento de cabo. Ele propôs uma
interpolação independente para avaliar o comprimento do elemento deformado e deste modo não
permitir distorções na deformação do elemento. Ozdemir [16], ao propor a formulação de um
elemento de cabo com dois nós, possibilitou de maneira simples a avaliação das respostas obtidas
de seu elemento através das formulações Lagrangiana Total e Atualizada.
No mesmo ano, Peyrot e Goulouis [17] propuseram um método bastante similar ao descrito
por Campbell, em 1970, baseado no trabalho desenvolvido por O’Brien e Francis [14] e [15], em
1964 e 1968 respectivamente, para o cálculo da resposta estática de sistemas flexíveis. Segundo
Peyrot e Goulouis [17], através desta técnica, poderia se prever o efeito do peso próprio, de ventos
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longitudinais ou diagonais, cargas de gelo e mudanças de temperatura em cabos suspensos usados
em linhas de transmissão de energia.
Também em 1978, Judd e Wheen [9], publicaram um processo alternativo de tentativa e erro
no qual o valor inicial da tração horizontal Tx do cabo é calculado e então para valores incrementais
de Tx, a correspondente intensidade de cargas aplicadas é deduzida para uma configuração
conhecida. Neste trabalho, serão apresentados alguns exemplos onde foi aplicado o método.
H. B. Jayaraman e W. C. Knudson [7], em 1981, reapresentaram o elemento de catenária já
proposto por O’Brien e Francis [14] e demonstraram a sua aplicabilidade em problemas estáticos e
dinâmicos.
Em 1982, B. A. Schrefler e S. Odorizzi [19] apresentaram a formulação unificada de um
elemento bidimensional de viga ou de cabo, para análise não linear, empregando a aproximação
Lagrangiana total. A formulação permite qualquer intensidade de deformação em elementos retos
ou curvos.
A. M. Abdel-Ghaffar e H. M. Ali [1], em 1995, desenvolveram um elemento finito não
linear para a análise de pontes estaiadas sob carregamentos estáticos e dinâmicos usando a
formulação Lagrangiana total. Foi introduzido e proposto um elemento finito de cabo
isoparamétrico com 4 nós para a idealização dos cabos na ponte.
L. Y. Lu, S. L. Chan e Z. H. Lu [12], em 1997, propuseram uma aproximação analítica no
cálculo da resposta não linear de cabos elásticos sob carregamentos externos complexos. O efeito da
temperatura no cabo também foi considerado. Através de métodos analíticos, são apresentadas
soluções exatas para a resposta estática de um cabo suspenso sujeito a carregamentos complexos.
R. Karoumi [10], em 1999, apresentou a formulação do elemento de catenária com dois nós
apresentado inicialmente por O’Brien e Francis [14]. Ele sugeriu o emprego do elemento na análise
estática e dinâmica de pontes suspensas ou estaiadas.
2
HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS
Admite-se, no presente trabalho, que o cabo considerado tem seção transversal uniforme.
Considera-se que o módulo de elasticidade utilizado é a média ponderada do valor dos módulos de
elasticidade dos materiais que compõem o cabo e participam ativamente na resistência mecânica. O
módulo de elasticidade assim obtido é constante, relacionando tensões e deformações dentro de um
limite de proporcionalidade, de acordo com a Lei de Hooke. Expansões e contrações da seção
transversal, associadas a mudanças no comprimento do cabo e os efeitos do coeficiente de Poisson
são considerados desprezíveis. A rigidez à flexão do cabo é ignorada. Admite-se que o cabo é
perfeitamente flexível e resiste a carregamentos aplicados desenvolvendo somente tensões
longitudinais. Segue-se, conseqüentemente, que a resultante em qualquer seção transversal é
tangente à configuração curva do cabo e passa pelo centróide da seção. Considera-se que os
carregamentos externos não são aplicados repentinamente, focalizando, deste modo, apenas o
equilíbrio estático dos elementos de cabo.
3
FORMULAÇÃO VARIACIONAL PARA UM ELEMENTO DE CABO
Com relação aos índices utilizados adotou-se a seguinte convenção:
1. Índice superior esquerdo - denota o tempo da configuração na qual ocorre a variável.
2. Índice inferior esquerdo - denota o tempo da configuração de referência na qual
ocorre a variável.
3. Índice superior direito - denota a posição dos nós.
4. Índice superior direito entre parêntesis - indica que a variável está associada com
uma configuração intermediária no processo iterativo.
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5. Índice inferior direito - denota as componentes do vetor ou do tensor de segunda
ordem.
6. Índice inferior direito seguido de vírgula - denota diferenciação.
Na mecânica do contínuo, o equilíbrio entre forças externas aplicadas e forças internas
provenientes da resistência mecânica do material sempre é feito na configuração deformada da
estrutura. No entanto, para cabos suspensos, a configuração deformada é desconhecida devido a
grandes deslocamentos e grandes rotações que ocorrem à medida que se processa a deformação.
Considerando um corpo tridimensional que sofre grandes deslocamentos quando submetido
a um sistema de forças externas, a avaliação da posição final de equilíbrio é feita mediante a análise
de sucessivas deformações que o corpo sofreu ao longo do tempo até atingir a configuração onde é
estabelecido o equilíbrio entre os trabalhos das forças internas e externas. As sucessivas
deformações são calculadas em determinados instantes ao longo do tempo t. Cada instante de tempo
pode ser discretizado em intervalos sucessivos: 0, ∆t, 2∆t, 3∆t, ..., t. Empregando a mesma rotina de
cálculo onde se obteve as diversas configurações de equilíbrio ao longo do tempo t pode-se prever a
solução que atenda o equilíbrio para o tempo t+∆t. A Figura 1 ilustra o desenvolvimento de grandes
deformações ao longo do tempo em um corpo tridimensional sujeito a um sistema de forças
externas.
Configuração do tempo t+ ∆t
Superfície t +∆tS
y
Volume
t +∆t
V
P (t + ∆ t x , t + ∆ t y , t + ∆ t z )
Configuraç ão do tempo t
Superfície tS
Volume tV
P (0 x , 0 y , 0 z )
Configuração do tempo 0
Superfície 0S
Volume 0V
x
z
Figura 1 – Movimento de um corpo tridimensional
Adotou-se a formulação Lagrangiana ou Material para o problema considerando o
movimento de todas as partículas que fazem parte do corpo desde sua configuração inicial até a
configuração final. Esta formulação contrasta com a Euleuriana que é geralmente usada na análise
de problemas na Mecânica dos Fluidos. Na formulação Euleuriana a atenção é focada para o
movimento de partículas que se encontram no interior de um determinado volume de controle. Na
análise de sólidos, a formulação Lagrangiana é mais adequada na representação de partículas que
compõe estruturas submetidas a grandes deformações.
Considerando o equilíbrio de um corpo tridimensional, visto na Figura 1, será
particularizado o princípio dos trabalhos virtuais para as condições de carregamento existentes em
um elemento de cabo.
3
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O equilíbrio de um corpo tridimensional pode ser expresso em coordenadas cartesianas pela
equação do movimento de Cauchy da seguinte maneira:
∂
(
σ ij ) t + ∆t t + ∆t
+ ρ ( B j −t + ∆t &x&i ) = 0
∂ xi
t + ∆t
i, j = 1,2,3
t + ∆t
(1)
onde σij representa as tensões desenvolvidas nas seis faces de um pequeno cubo elementar no
interior do corpo situado em xi, Bj representa a força de corpo (peso próprio) por unidade de massa,
ρ representa a massa específica do material em xi, e &x&i a aceleração de uma partícula na posição xi.
É importante salientar que o equilíbrio acontece sempre na configuração final t+∆t.
A equação de equilíbrio é verificada em todos os pontos do volume do corpo tridimensional.
A correspondente formulação variacional é obtida a partir da multiplicação da equação (1) por uma
variação arbitrária δuj, com a integração desse produto em todo o volume do corpo. Tal variação δuj
deve ser consistente com a condições de contorno inicialmente estabelecidas:
 ∂ t +∆t σ ij t +∆t
∫  t +∆t xi + ρ
t + ∆t  ∂
V
(
t + ∆t

B j −t +∆t &x&i δu j d t +∆tV = 0

)
(2)
Integrando por partes a equação (2), obtém-se o seguinte resultado, também verificado por
H. Ozdemir [16]:
∫
t + ∆t
t + ∆t
 t + ∆t t + ∆t
1  ∂
∂
(
)
(
)
δ
δ
u
u
V= R
+

j
i d
2  ∂ t + ∆t x i
∂ t + ∆t x j

σ ij
V
t + ∆t
R=
∫
t + ∆t
t + ∆t
A
σ ij δu j d t + ∆tA +
∫
t + ∆t
t + ∆t
ρ ( t + ∆t B j − t + ∆t &x&i )δu j d t + ∆tV
V
(3)
(4)
A fim de particularizar a equação (3) para cabos, é preciso definir o elemento como sendo
um componente estrutural que obedece as hipóteses simplificadoras descritas anteriormente,
destacando-se:
• O elemento é capaz de desenvolver tensões somente na direção normal à sua seção
transversal;
• Esta tensão normal é uniforme em toda área da seção transversal;
• A área da seção transversal permanece constante durante a deformação.
Deste modo, apenas uma única variável independente, definida ao longo do comprimento do
cabo, é necessária para fornecer a resposta estática ou dinâmica em qualquer configuração no
tempo.
Usando uma variável s medida ao longo do comprimento do cabo, associada a uma
configuração inicial indeformada, a equação (3) pode ser reescrita da seguinte forma:
∫
t
t + ∆t
t
σ s δ t + ∆ttε s Ad t s = t + ∆t R
(5)
S
onde A é a área da seção transversal do cabo indeformado, t+∆ttσs é a tensão definida pelo segundo
tensor de Piolla-Kirchoff, t+∆ttεs é a deformação de Green-Lagrange, na configuração t+∆t medidos
na configuração de referência t. As direções de t+∆ttσs e t+∆ttεs são ambas normais à seção
transversal do cabo.
4
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 d t + ∆t s 
σ s = σ nn  t 
 d s 
2

1  d t + ∆t s 
t + ∆t


1
ε
−
=


t s
2  d t s 


t + ∆t
t
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t + ∆t
(6)
A equação (5) representa o trabalho interno virtual para um elemento de cabo de uma forma
onde é possível se fazer a linearização visando a aplicação de métodos iterativos conforme se verá
mais adiante.
4
O ELEMENTO DE CABO PROPOSTO POR OZDEMIR.
Segundo Ozdemir [16], a partir da equação (5) que representa o trabalho virtual interno de
um elemento de cabo, pode-se obter a solução em uma configuração t+∆t. Mas em vista do fato de
que a equação (5) é não linear em seus deslocamentos, é necessário recorrer a esquemas iterativos.
O procedimento usado por Ozdemir foi linearizar a equação (5), resolver as equações resultantes e
obter soluções aproximadas do problema não linear. Este processo iterativo é repetido até se atingir
a convergência em uma norma pré-estabelecida.
Denotando por u(k) o deslocamento de um ponto no cabo desde o local ocupado no tempo t
até o local ocupado pelo ponto no tempo t+∆t, expresso da seguinte forma:
u (k ) = t + ∆t x (k ) − t + ∆t x (k −1)
(7)
para k sendo o número de iterações no processo e t+∆tx(0) sendo algum valor inicial da solução t+∆tx.
Assumindo que a relação constitutiva possa ser linearizada para se obter:
t + ∆t
t
(k )
σ s = t + ∆tt σ s
(k −1)
+ t + ∆tt E (k −1)
d t + ∆t t + ∆t (k −1)
{ t ε s ( x + α ⋅ u (k ) )}α =0
dα
(8)
a linearização da equação (5) em t+∆tx(k-1) é:
t + ∆t
R=
∫
t
⋅
E (k −1)
t + ∆t
t
d
dα
{
ε
∫
t + ∆t
t
σ s(k −1)
t
+
t
S
S
d
dα
{
ε
S
∫
+
σ s(k −1)
t + ∆t
t
(
d
dβ
t + ∆t
t + ∆t
t s
{
ε
(
x (k −1) + β ⋅ u (k )
t + ∆t
t + ∆t
t s
x (k −1) + α ⋅ δu
d
dβ
 d

 dα
(
t + ∆t
t + ∆t
t s
{
)}
α =0
Ad ts
)}
β =0
)}
Ad ts
(
x (k −1) + β ⋅ u (k ) + α ⋅ δu
α =0
t + ∆t
t + ∆t
t s
ε
x (k −1) + α ⋅ δu
(9)
)}
α =0

t
 Ad s
 β =0
Segundo L. Elgoltz [3], α e β são parâmetros que assumem valores quaisquer no diferencial
de uma função ou na variação de um funcional. Para um funcional da forma v[y(x)], ou mais
complexo, dependente de várias funções ou de funções de várias variáveis, pode-se definir sua
variação como a derivada do funcional v[y(x)+α.δy] em relação a α, para α=0.
A avaliação das integrais na equação (9) requer um conhecimento de duas configurações do
elemento: a configuração de referência tχ na qual as variáveis independentes são medidas, e a
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última configuração t+∆tχ(k-1) conhecida, na qual as equações de equilíbrio são linearizadas (ver
Figura 2). Teoricamente, qualquer configuração conhecida do elemento pode ser empregada como a
configuração de referência. De um ponto de vista computacional, entretanto, a escolha existe
essencialmente entre a configuração livre de tensões 0χ, e a última configuração conhecida t+∆tχ(k-1).
Usualmente, é mais eficiente tomar 0χ como a configuração de referência quando a lei constitutiva
toma uma forma mais simples em termos das tensões de Piola-Kirchhoff e deformações de GreenLagrange; esta formulação é chamada "Lagrangiana total". De outra maneira, se a lei constitutiva é
dada em termos das tensões de Cauchy ou das taxas de tensões de Jaumann e respectivas energias
conjugadas, a escolha de t+∆tχ(k-1) como configuração de referência é mais eficiente; neste caso, a
formulação é chamada "Lagrangiana atualizada".
y
Configuraç ão t + ∆t χ
[solução para o tempo t + ∆ t ]
A1
A2
A3
x1
x2
x3
Configuração de referência t + ∆t χ (k −1)
[no tempo t + ∆ t , iteração ( k − 1) ]
~
Configuraç ão de referência t χ
[no tempo ~t ]
x
z
Figura 2 – Movimento de um elemento de cabo.
As configurações nas quais as equações são linearizadas determinam o método de solução.
Se as equações são linearizadas sobre a última configuração conhecida t+∆tχ(k-1) como feita aqui,
uma iteração de Newton-Raphson é implementada. Desde que a formação e triangularização da
matriz de rigidez estrutural requer considerável tempo computacional, é usualmente mais eficiente
modificar a matriz de rigidez apenas quando a solução não converge ou converge vagarosamente.
Deste modo, o método de Newton-Raphson modificado, também conhecido como iteração de
rigidez constante, pode ser empregado para se obter a configuração de equilíbrio mais rapidamente.
Para se obter as equações discretizadas de equilíbrio, considere-se um elemento com
coordenadas nodais Xn na configuração de referência tχ, onde n=1,...,N, e N é o número de nós.
Estas coordenadas nodais determinam a configuração espacial do elemento através da seguinte
expressão:
~
t
N
x = ∑ H n (ξ )X n
(10)
n =1
onde o domínio da variável independente ξ é [-1,1] e Hn(ξ) são as funções de interpolação
Lagrangianas.
Denotando An como as coordenadas do elemento na configuração em que as equações são
linearizadas, a saber t+∆tχ(k-1), e denotando Un como o incremento de deslocamento nodal para a
késima iteração, tem-se,
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t + ∆t
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N
x (k −1) = ∑ H n (r )An
(11)
n =1
N
u (k ) = t + ∆t x (k ) − t + ∆t x (k −1) = ∑ H n (ξ )U n
(12)
n =1
As matrizes
t + ∆t
t
BM δ U =
t+∆t
tBM
e
t+∆t
tBG
ficam definidas da seguinte maneira, conforme Ozdemir [16]:
d t +∆t t + ∆t
{ t ε s ( x + α ⋅ δu )}α =0
dα
d
dβ
δU T (t + ∆tt BG )U =
(13)
 d t + ∆t t + ∆t
{ t ε s ( x + β ⋅ u + α ⋅ δu )}α =0 

 dα
 β =0
(14)
cujas dimensões (tamanho da matriz) são respectivamente (1 x 3N) e (3N x 3N), respectivamente.
Usando a notação:
H = (H 1I H 2 I ... H N I )
d
Hn
dξ
d
h=
H
dξ
hn =
t + ∆t
D=
{(
(15)
t + ∆t
x,ξ )
T
(
t + ∆t
}
x,ξ )
12
onde I é a matriz identidade (3 x 3), obtem-se:
ξ
 d t + ∆ts   dξ   N
1

BM =  ~t  ⋅  ~t  ⋅ ∑ hn ∫ t +∆t t + ∆t x,ξ hdξ 
α =0
 d s   d s   n=1 −1 D
T
t + ∆t
ξ
x,ξ t +∆t x,ξ
 d t + ∆ts   dξ   N
1 T 
t + ∆t
~
t BG = 
 d ~t s  ⋅  d ~t s  ⋅ ∑ hn ∫−1 t + ∆t D h  I − t + ∆t D t + ∆t D
  n=1

 

t + ∆t
~
t
n
n
~
 d t s t + ∆t 
+  t +∆t ~t BM 
d s

T


hdξ 

α =0

(16)
~
 d t s t + ∆t 
 t + ∆t ~t BM 
d s

Referindo-se à equação (9), as matrizes de rigidez são desta forma dadas por:
t + ∆t
∫
KM =
t
t + ∆t
KG =
t + ∆t
~
t
BM ⋅ (At +∆~t t E )⋅t +∆~t t BM d t s
(17)
S
∫(
t + ∆t
~
t
t
~
T
σ NN A)⋅t +∆~t t BG d t s
~
(18)
S
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O vetor de forças aplicadas nos nós t+∆tF é também calculado via matriz
t + ∆t
F=
∫(
t + ∆t
~
t
t
t + ∆t
~
t
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BM :
σ NN A)⋅t + ∆~t t BM d t s
~
(19)
S
4.1 MATRIZ DE RIGIDEZ PARA O ELEMENTO DE 2 NÓS.
Denotando tL como o comprimento do elemento em um tempo t, e definindo os cossenos
diretores da seguinte forma:
t + ∆t
t + ∆t
t + ∆t
a=
t + ∆t
A 2 − t + ∆t A1
t + ∆t
L
c = (t +∆t a )(t + ∆t a T )
 t + ∆t c
− (t +∆t c )
C =  t + ∆t

t + ∆t
c 
− ( c )
Deste modo, obtem-se para as equações (16):
t + ∆t
~
t
 t +∆t L  1 
T
BM =  ~t  t + ∆t  − (t +∆t a )
 L  L 
t + ∆t
~
t
 1 
BG =  ~t 
 L
2
 I
− I

t + ∆t
aT
− I
I 
Consequentemente, a matriz de rigidez t+∆tK é
t + ∆t
t + ∆t
At +∆~t t E  t +∆t L 
K = t + ∆t  ~t 
L  L 
3
t + ∆t
K = t + ∆t K M + t + ∆t K G
− I
I 
 t + ∆~t t P   I
C +  ~t  
 L  − I
(20)
A matriz de rigidez acima é geral não sendo empregada em sua montagem nenhuma equação
constitutiva específica. Assumindo que a tensão de Piola-Kirchhoff, t + ∆0tσ s , e a deformação de
Green-Lagrange,
t + ∆t
0
t + ∆t
0
ε s , estão relacionadas linearmente de acordo com a seguinte expressão:
σ s = E t + ∆0tε s
(21)
Desta forma, a matriz de rigidez é dada por
8
X X X
t + ∆t
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AE  t + ∆t L 
K = t + ∆t  0 
L L 
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3
t + ∆t
 t + ∆t P   I
C +  00  
 L  − I
D E
E N G E N H A R I A
− I
I 
E S T R U T U R A L
(22)
A importância desta equação é que nenhuma das quantidades envolvidas estão referidas à
configuração tχ; em outras palavras, a matriz de rigidez é independente da escolha da configuração
de referência. Uma ilustração complementar desta ocorrência é que quando tχ coincide com t+∆tχ, e
implementando uma formulação Lagrangiana Atualizada, então a equação (22) pode ser escrita da
seguinte forma:
t + ∆t
5
 tt++∆∆tt P   I
Att++∆∆tt E t + ∆t
K = t + ∆t
C +  t + ∆t  
L
L  − I

− I
I 
O ELEMENTO DE CATENÁRIA
Para um elemento de cabo suspenso em um plano vertical, conforme mostra a Figura 3, as
relações exatas entre as distâncias vertical a e horizontal b e as componentes de forças aplicadas nos
nós, são as seguintes, conforme Karoumi [10]:
 0 L 1 T yj + T j 

+ ln i
a = −Txi 
i 
 EA w T − Ty 
b=
(
(23)
)
2
2
T j −T i
1
T j −T i +
w
2 EAw
(24)
onde 0L é o comprimento indeformado do elemento, E, o módulo de elasticidade, A, a área de seção
transversal, w, uma carga uniformemente distribuída no cabo, T i e T j, as forças de tração aplicadas
nos nós i e j, respectivamente.
Pode-se escrever as equações (23) e (24) em função apenas das componentes de T i nos eixos
cartesianos, Txi e Tyi:
a = a (Txi , T yi )
(25)
b = b(Txi , T yi )
(26)
pois Txi, Tyi, Txj, Tyj, T i e T j estão relacionadas da seguinte maneira:
Tyj = w0 L − Tyi
(27)
Tx j = −Txi
(28)
2
T i = Txi + Tyi
2
2
T j = T x j + T yj
(29)
2
(30)
9
X X X
J O R N A D A S
S U L - A M E R I C A N A S
D E
E N G E N H A R I A
E S T R U T U R A L
u 2j , T y j
u1j , T x j
y
nó j
u 2i , T yi
u 1i , T xi
w
nó i
x
Figura 3 – Elemento de catenária
Diferenciando as equações (25) e (26) e rescrevendo os resultados através de notação
matricial tem-se:
da =
∂a
∂a
dTxi + i dTyi
i
∂Tx
∂Ty
db =
∂b
∂b
dTxi + i dTyi
i
∂Tx
∂T y
 ∂a
i
da   ∂Tx
  =  ∂b
db  
 ∂Txi
(31)
∂a 
dTxi 
∂T yi  dTxi 

= F i 
∂b  dTyi 
dTy 


i

∂T y 
(32)
onde F é chamada matriz de flexibilidade incremental. A matriz de rigidez K’ é obtida pela inversão
de F:
k
K ′ = F −1 =  1
k 3
k2 
k 4 
(33)
A matriz de rigidez tangente K relaciona o incremento do vetor de forças nodais ∆p={∆Txi,
∆Tyi, ∆Txj, ∆Tyj }T ao incremento do vetor de deslocamentos nodais ∆u={∆u1i, ∆u2i, ∆u1j, ∆u2j}T.
K∆u = ∆p
(34)
Para o elemento de cabo com quatro graus de liberdade, obtém-se a seguinte matriz de
rigidez tangente e o correspondente vetor de forças internas p.
10
X X X
J O R N A D A S
S U L - A M E R I C A N A S
− k2
 − k1

− k4
K=


simétrico
T

T
p=
T
T
i
x
i
y
j
x
j
y
k1
k2
− k1
D E
E N G E N H A R I A
k2 
k4 

− k2 

− k4 
E S T R U T U R A L
(35)






Na montagem das matrizes K’ e K, e do vetor de forças p, pode-se utilizar as seguintes
expressões derivadas da equação (25) e (26):
j
i
1  0 L 1  T y Ty  

k1 = −
+
+ 

det F  EA w  T j T i 
k 2 = k3 = −
1 Txi  1 1 
 − 
det F  w  T j T i 
k4 = −
(36)
1  a 1  Ty T  
 +  + 
det F Txi w  T j T 
j
i
y
i
 0 L 1  Tyj Tyi   a 1  Tyj Tyi  Txi  1
1 
det F = −
−  j + i   i +  j + i  −   j − i 
T  Tx w  T
T   w  T
T 
 EA w  T
2
No cálculo da matriz de rigidez tangente K, as forças Txi e Tyi devem ser determinadas
primeiro. Utilizando um processo iterativo, dadas as posições dos nós, valores iniciais para as forças
Txi e Tyi são arbitradas. Com base nas equações da catenária, esses valores iniciais para Txi e Tyi
podem ser calculados através das seguintes expressões:
Txi = −
Tyi =
wa
2ϕ
(37)
w  b cosh ϕ 0 
+ L
−
2  senh ϕ

 0 L2 − b 2 
onde ϕ = 3
− 1
2
 a

(38)
Segundo Jayaraman e Knudson [7], quando o comprimento indeformado 0L é menor que o
comprimento da corda AB, um valor conservativo igual a 0,2 para ϕ pode ser utilizado.
A partir dos valores de Txi e Tyi, através das equações (27) a (30), determina-se Txj e Tyj, T i e
T j. Por meio das equações (23) e (24), obtém-se valores residuais para a posição dos nós do
elemento, expressos no vetor {∆a, ∆b }T. Calcula-se o correspondente resíduo para o vetor de
forças, através da seguinte expressão:
11
X X X
J O R N A D A S
S U L - A M E R I C A N A S
D E
E N G E N H A R I A
E S T R U T U R A L
∆Txi 
∆a 
 i  = K ′ 
∆b 
∆Ty 
Txi 
 i
Ty 
(k +1)
Txi 
=  i
Ty 
(k )
(39)
∆Txi 
+ i
∆Ty 
onde k é o número de iterações e K’ é dado pelas equações (33) e (36).
O processo iterativo, realizado para cada elemento de cabo, termina quando ∆a e ∆b forem
menores que uma norma pré-estabelecida. Este processo fornece a matriz de rigidez tangente e o
vetor elementar de cargas para cada elemento que, arranjados de uma maneira global, com a
participação de todos os graus de liberdade da estrutura, são incorporados em métodos de solução
não-lineares como o método de Newton-Raphson, utilizado neste trabalho.
6
VERIFICAÇÕES NUMÉRICAS.
6.1 EXEMPLO 1 – CABO PRÉ-TENSIONADO COM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO TRANSVERSAL.
Esta aplicação foi investigada por Ozdemir [16] em 1978, e por Jamayaran [7] em 1981
ambos com a intenção de demonstrar a viabilidade da utilização dos elementos aqui apresentados.
A estrutura consiste de um cabo pré-tensionado sujeito a um carregamento linearmente distribuído
de 3,5 N/m.
254 m
flecha
Figura 4 – Cabo pré-tensionado sujeito a carregamento transversal.
Os dados principais são os seguintes:
Área da seção transversal: 4,19x10-5 m²
Módulo de Elasticidade: 137,93 GPa.
Tensão Inicial: 137,93 MPa.
Comprimento Inicial do Cabo: 253,75 m
Peso próprio: 3,5 N/m
Massa Específica: 8506,77 kg/m³
12
X X X
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D E
E N G E N H A R I A
E S T R U T U R A L
O comprimento indeformado do cabo foi calculado supondo que ele esteja trabalhando
dentro da região elástica do gráfico tensão-deformação. Como o cabo está esticado em um vão de
254 m sob uma tensão de 137,93 MPa, através de seu módulo de elasticidade pode-se relacionar o
estado de tensões com a correspondente deformação e, a partir daí, obter seu comprimento
indeformado que neste caso seria 253,75 m.
Empregando as formulações Lagrangiana Total e Atualizada, o cabo foi discretizado
utilizando 24 elementos de 2 nós perfazendo um total de 25 nós com três graus de liberdade cada.
Como configuração inicial foi escolhida a reta horizontal que une os dois apoios. Para o
carregamento do peso próprio, o programa convergiu para a configuração de equilíbrio após sete
iterações utilizando a formulação Lagrangiana Atualizada. A flecha obtida foi igual a 3,3419 m.
Para a formulação Lagrangiana Total, a convergência foi obtida também após sete iterações e o
valor obtido para flecha foi de 3,3411 m.
Empregando no mesmo experimento, dois elementos de catenária com 2 nós cada, definindo
a mesma configuração inicial estabelecida para os elementos de formulação Lagrangiana Total e
Atualizada, o programa convergiu mais rapidamente e a flecha obtida foi de 3,3381 m.
Todos os resultados, aqui obtidos, coincidiram bem com os resultados publicados por
Ozdemir [16], que utilizou 12 elementos de três nós e obteve uma flecha de 3,3426 m, e Jayaraman
e Knudson [7], que empregando o elemento de catenária, obtiveram uma flecha de 3,3434 m.
Fazendo variar o carregamento distribuído externo, obteve-se vários deslocamentos nos dois
elementos aqui mencionados, com os quais se confeccionou o gráfico mostrado na Figura 5, onde é
empregado um parâmetro de carga igual à razão entre o carregamento distribuído aplicado e o
carregamento distribuído inicial de 3,5 N/m.
Parâmetro de Carga
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
Flecha [m]
Elemento de Catenária
Formulação Lagrangiana Atualizada
Formulação Lagrangiana Total
Referência [16]
Figura 5 – Variação da flecha com o aumento do carregamento.
13
X X X
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D E
E N G E N H A R I A
E S T R U T U R A L
6.2 EXEMPLO 2 – CABO SUSPENSO COM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO
TRANSVERSAL.
Esta aplicação foi publicada por Judd e Wheen [9] em 1978, com o intuito de demonstrar o
método por eles proposto e de comparar seus resultados com o de outros autores. Aqui será feito o
mesmo com os elementos da formulação Lagrangiana Total e Atualizada e do elemento de
catenária.
Nesta aplicação não há pré-tensionamento do cabo como ocorria no exemplo anterior. A
estrutura neste exemplo consiste de um cabo suspenso em dois apoios fixos mas com um
comprimento indeformado maior do que o vão onde ele se encontra.
488 m
flecha
Figura 6 – Cabo suspenso sujeito a carregamento transversal.
O cabo tem área da seção transversal de 6,86x10-2 m², peso por unidade de comprimento
igual a 5,28 kN/m. Está suspenso entre dois apoios fixos nivelados distanciados de 488 m, e é
constituído de um material com módulo de elasticidade igual a 206x10³ MN/m². O cabo será
analisado para cada uma das condições nas quais a configuração inicial tem uma flecha de 6,1 m,
12,2m, 24,4m e 48,8 m respectivamente.
Por causa do efeito de seu peso próprio, a configuração que o cabo assumiria precisamente
em um momento anterior à sua deformação é a forma da catenária, com uma flecha dependente de
seu comprimento inicial. No caso de não se conhecer o comprimento do cabo indeformado, uma
alternativa viável é se recorrer a um método iterativo, como o método de Newton, para a avaliação
do comprimento necessário de cabo correspondente a configuração de uma catenária com a flechas
pré-definidas no parágrafo anterior.
Foi aplicado ao cabo um carregamento distribuído de 17,52 kN/m, partindo-se de uma
configuração inicial com flecha igual a 24,4 m. Para este caso particular foi empregado o elemento
de Ozdemir e se obteve uma deformação de 2,44 m na flecha inicial, utilizando a formulação
Lagrangiana Total, e 2,48 m, utilizando a formulação Lagrangiana Atualizada. Empregando o
elemento de Catenária, a variação da flecha para este caso particular foi de 2,46 m. Todas estas
respostas tiveram concordância com os resultados publicados por Judd e Wheen, que obteve uma
variação na flecha de 2,38 m, utilizando o método proposto em seu artigo.
Empregando-se os elementos sob diferentes casos de carregamento a distintas condições
iniciais, foram obtidos os seguintes resultados visualizados na Figura 7:
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J O R N A D A S
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30000
Carga distribuída
[N/m]
25000
20000
15000
10000
5000
0
-0,5
0,5
1,5
2,5
3,5
Variação da flecha [m]
Elemento de Catenária
Formulação Lagrangiana Total
Formulação Lagrangiana Atualizada
Figura 7 – Comportamento de um cabo suspenso sob carregamento distribuído transversal.
A Figura 7 apresenta um aspecto notável no comportamento elástico dos cabos. Quando o
cabo apresenta uma curvatura mais acentuada, para grandes variações no carregamento ocorrem
correspondentemente pequenas variações na flecha. No caso inverso, quando o cabo apresenta uma
pequena curvatura, para pequenas variações no carregamento aplicado, as correspondentes
variações na flecha são maiores. Este comportamento foi verificado em todos os elementos aqui
implementados.
6.3 EXEMPLO 3 – CABO SUSPENSO COM CARREGAMENTO CONCENTRADO
TRANSVERSAL.
Esta aplicação também publicada por Judd e Wheen [9], trata do comportamento elástico de
cabos suspensos quando submetidos a cargas concentradas, não se desprezando o efeito simultâneo
de um carregamento distribuído.
15
X X X
J O R N A D A S
S U L - A M E R I C A N A S
D E
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E S T R U T U R A L
305 m
1 83 m
122 m
flecha inicial = 30,5 m
P
Ci
Figura 8 – Cabo suspenso sujeito a carregamento concentrado P.
Inicialmente o cabo foi discretizado utilizando 10 elementos em sua configuração
indeformada considerando uma flecha inicial de 30,5 m. Os dados principais da estrutura conforme
apresentado na Figura 8 são os seguintes:
Área da seção transversal: 5,48x10-4 m².
Peso por unidade de comprimento: 46 N/m.
Módulo de Elasticidade: 130x10³ MN/m².
Foi medido o deslocamento vertical do cabo no ponto de aplicação do carregamento
concentrado P. Empregando 10 elementos de Ozdemir, o deslocamento vertical do ponto Ci na
configuração deformada do cabo para uma carga de 35,6 kN foi de 6,49 m utilizando a formulação
Lagrangiana Total, e de 6,50 m, utilizando a formulação Lagrangiana Atualizada. Empregando-se
na mesma discretização os elementos de catenária, para o mesmo carregamento de 35,6 kN, obtevese um deslocamento vertical para o ponto Ci de 5,85 m.
Neste caso, o resultado obtido através do elemento de catenária se aproximou mais do
resultado publicado por Judd, que obteve um deslocamento vertical de 5,64 m no ponto Ci.
Fazendo varia o carregamento, nesta mesma configuração, encontrou-se os resultados
apresentados no gráfico Figura 9:
16
X X X
J O R N A D A S
S U L - A M E R I C A N A S
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E S T R U T U R A L
50000
45000
Carga
Concentrada [N]
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
Variação da flecha [m]
Formulação Lagrangiana Atualizada
Formulação Lagrangiana Total
Elemento de Catenária
Referência [9]
7,0
Figura 9 – Cabo suspenso sujeito a carregamento concentrado P.
Neste exemplo, pode-se verificar o efeito da rigidez gravitacional publicado por Pugsley
[18]. As variações na flecha para um carregamento concentrado inicialmente resultam de mudanças
na geometria do cabo até que as duas partes, de um e de outro lado do ponto Ci, fiquem esticadas. A
partir daí então os efeitos das deformações elásticas são a causa dominante na deflexão vertical do
ponto Ci.
7
CONCLUSÕES E SUGESTÕES DE CONTINUIDADE.
Considerando que a comunicação óptica é totalmente imune a interferências
eletromagnéticas, sua instalação também tem sido feita em torres de alta tensão através de cabos
especialmente projetados para a utilização em grandes vãos. O custo para se instalar cabos
suspensos em estruturas já existentes comparado ao custo de enterramento desses cabos é bastante
relevante. O cabo de comunicação ADSS (All Dieletric Self Suporting), instalado em torres de alta
tensão, tornou-se uma boa solução no atendimento à demanda de sistemas de comunicação com
fibra óptica no Brasil e no mundo. Na instalação de um cabo ADSS, é preciso respeitar distâncias
mínimas entre o cabo e o solo ou possíveis obstáculos, de tal modo que a tração no cabo não
comprometa suas limitações mecânicas e também não cause a atenuação do sinal. Tendo isto em
vista, coloca-se ao alcance da indústria uma poderosa ferramenta computacional, que pode prever o
comportamento mecânico desses cabos de uma forma bem mais razoável e precisa.
17
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Neste trabalho, são apresentadas duas formulações distintas na análise não linear de cabos
suspensos. A partir da formulação variacional clássica empregada no Método dos Elementos
Finitos, são desenvolvidos elementos de cabo com dois nós. Estes elementos podem ser
implementados de acordo com a formulação Lagrangiana Total, onde as tensões e as deformações
são medidas na configuração de referência, ou segundo a formulação Lagrangiana Atualizada, onde
as tensões e as deformações são medidas na última configuração deformada conhecida. Também é
apresentada a formulação do elemento de catenária oriundo de expressões exatas da catenária
elástica.
São observadas diferenças muito pequenas nos resultados obtidos entre os elementos das
formulações Lagrangiana Total e Atualizada, e o elemento de catenária. No entanto, devido à maior
simplicidade no tratamento matemático de sua formulação, o elemento de catenária requer menor
esforço computacional do que qualquer um dos elementos oriundos de formulações variacionais.
Os resultados obtidos nas aplicações com carregamento distribuído, para os elementos aqui
apresentados, foram bem semelhantes e consistentes com outros resultados publicados na literatura.
Para carregamentos concentrados o elemento de catenária apresentou uma resposta mais consistente
com os resultados de outros métodos publicados. Uma análise mais crítica poderia ser feita de posse
de resultados de ensaios práticos para confrontação com estes resultados numéricos.
É possível verificar que as variações na flecha, para pequenas alterações no carregamento
exteno, são maiores para cabos com menor curvatura, do que para cabos com configuração menos
curva.
Para ambos os elementos, pode-se modelar o efeito da rigidez gravitacional do cabo.
Enquanto que, para carregamentos distribuídos, variações na flecha são provenientes principalmente
de deformações elásticas do material, para carregamentos concentrados, variações na flecha são
antes resultado de mudanças na geometria do cabo, para depois serem provenientes de deformações
elásticas no material.
O presente trabalho, teve o apoio financeiro da Capes e da Furukawa Industrial S.A., para os
quais, os autores prestam aqui seus agradecimentos.
8
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
[1] Abdel-Ghaffar, A. M., Ali H. M. “Modeling the nonlinear seismic begavior of cable-stayed
bridges with passive control bearings”. Computers & Structures, vol. 54, n. 3, pp. 461-492, 1995.
[2] Bathe, K. “Finite Element Procedures”. Prentice-Hall, Inc., 1996.
[3] Elsgoltz, L. “Equaciones diferenciales y cálculo variacional”. Editora Mir, Moscou, 1977.
[4] Henghold, W. M.; Russell, J. J. “Equilibrium and natural frequencies of cable structures (a
nonlinear finite element approach)”. Computers and Structures, vol. 6, pp. 267-271, 1975.
[5] Irvine, M. “Statics of suspend cables”. Journal of the Engineering Mechanics Division, vol. 101,
n. EM3, pp. 187-205, 1975.
[6] Irvine, M. “Cable Structures”. Cambridge, Mass: MIT Press, 1981.
[7] Jayaraman, H. B., Knudson, W. C. “A curved element for analysis of cable structures”.
Computers & Structures, vol. 14, n. 3-4, pp. 325-333, 1981.
[8] Jennings, A. Discussion of “Cable movements under two-dimensional loads”. Journal of the
Structural Division, vol. 91, n. ST1, pp. 307-311, 1965.
18
X X X
J O R N A D A S
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D E
E N G E N H A R I A
E S T R U T U R A L
[9] Judd, B. J.; Wheen, R. J. Nonlinear cable behavior. Journal of the Structural Division, vol. 104,
n. ST3, 1978.
[10] Karoumi, R. Some Modeling aspects in the nonlinear finite element analysis of cable supported
bridges. Computer & Structures, vol. 71, n. 4, pp. 397-412, 1999.
[11] Leonard, J. W. “Nonlinear dynamics of curved cable elements”. Journal of the Engineering
Mechanics Division, vol. 99, n. EM3, pp. 616-629, 1973.
[12] Lu, L. Y.; Chan, S. L.; Lu, Z. H. “An analytical approach for nonlinear response of elastic
cable under complex loads”. Structural Engineering and Mechanics, vol. 5, n. 3, pp. 329-338, 1997.
[13] Michalos, J., Birnstiel, C. “Movements of a cable due to changes in loading”. Transactions,
ASCE, vol. 127, n. 3368, pp. 267-303, 1962.
[14] O’Brien, W. T., Francis, A. J. “Cable movements under two-dimensional loading”, Journal of
Structural Division, vol. 90, n. ST3, pp. 89-123, 1964.
[15] O’Brien, W. T. “Behavior of loaded cable systems”. Journal of the Structural Division, vol. 94,
n. ST10, 1968.
[16] Ozdemir, H. “A finite element approach for cable problems”. International Journal of Solids
Structures, vol. 15, pp. 427-437, 1978.
[17] Peyrot A. H., Goulois, A. M. “Analysis of flexible transmission lines”. Journal of the
Structural Division, vol. 104, pp. 763-779, 1978.
[18] Pugsley, A. G. “The gravity stiffness of a suspension bridge cable”. Quarterly Journal
Mechanics and Applied Mathematics, vol. 5, pp. 385-394, 1952.
[19] Schrefler, B. A., Odorizzi, S. “A Total Lagrangian geometrically non-linear analysis of
combined beam and cable structures”. Computers & Structures, vol. 17, n. 1, pp. 115-127, 1983.
19