AJUSTE DO MODELO GAMA A TOTAIS DECENDIAIS
DE CHUVA PARA JAGUARUANA-CE
Francisco Solon Dantas Neto (1); Tarcísio da Silveira Barra
(1) Engº Agrº, Pósgraduação em Agrometeorologia, DEA/UFV, CEP 36571-000, Viçosa-MG
e-mail: [email protected].
RESUMO
Analisou-se totais decendiais de chuva para Jaguruana, CE, para o período de 1912 a 1995, ajustado-os
ao modelo de distribuição de probabilidade gama. Os resultado permitem concluir que os existe um
período chuvosos concentrando-se do 3º decêndio de janeiro ao 3º decêndio de maio e os valores média
decêndias ocorrem ente 60% e 65% de probabilidade. Os totais decendiais de chuva de Jaguaruana, CE,
podem ser estimado pelo modelo gama, auxiliando na elaboração estratégica de manejo dos recursos
hídricos neste Município.
Palavras chave: Distribuição gama, chuva decendial.
1 - INTRODUÇÃO
O cultivo das culturas, em geral, depende mais da distribuição das chuvas do que propriamente
de sua quantidade, o que torna importante o conhecimento de sua distribuição temporal para que se
tenha subsídio para um melhor planejamento desses cultivos.
O modelo teóricos de chuva, com vista ao planejamento agrícola, apresentam algumas
vantagens sobre os modelos empíricos. Os modelos teóricos apresentam a vantagem de sumarizar, de
modo bastante conciso, os dados de uma série histórica.
Segundo MENDENHALL & SCHEAFFER, citados por FRIZZONE (1979), algumas variáveis
aleatórias são sempre positivas e por alguma razão produzem distribuição não simétrica. Muitos
pesquisadores utilizam a distribuição de probabilidade gama aplicada a dados diários de precipitação
pluvial, a qual tem se mostrado adequada para descrever a distribuição das quantidades de chuva.
PACE et al (1989), demonstraram que o modelo gama comportou-se de forma viável para descrever a
ocorrência provável de chuva para a região de Rio Largo. DANTAS (1998) usando a distribuição gama
em estudos de caracterização da estação chuvosa concluiu que a distribuição gama pode ser usada com
êxito. ASSIS (1991) utilizou a distribuição gama para modelar a quantidade de chuva para Pelotas e
Piracicaba, obtendo um ajustamento adequado no estudo. FRIZZONE (1979), ajustou vários modelos
probabilísticos a dados de precipitação diária, para o município de viçosa, MG, e concluiu que a
distribuição de probabilidade gama proporcionou estimativas satisfatóriis pata períodos de 5, 10, 15
dias e período mensal.
O objetivo deste trabalho foi ajustar os totais decendiais de chuva ao modelo de distribuição de
probabilidade gama para Jaguaruana, CE.
2 - MATERIAL E MÉTODOS
Os dados utilizados neste trabalho referem-se a totais decendiais de chuva, obtidos junto a
Fundação Cearense de Meteorologia (FUNCEME), do município de Jaguaruana, no estado do Ceará,
localizada à 4º47’de latitude Sul, 37º36’ de longitude Oeste e 12,59 m de altitude. Os dados
compreende um período de 84 anos (1912 a 1995). O ano foi subdividido em 36 períodos discretos,
com três decêndios por mês. Na análise foi considerado chuvoso o dia com mais de 1,0 mm de chuva.
Os períodos com dados faltosos foram ignorados na análise.
O seguinte modelo misto foi utilizado para modelar a quantidade de chuva decendial, conforme
THOM (1966):
P(Y y) Ps Pc G(Y y)
eq. 01
em que Ps é a probabilidade de ocorrência de valores nulos (zeros), e Pc seu complemento, ou seja,
probabilidade de ocorrência de chuva. G(Yy) é a distribuição de probabilidade gama, que descreve a
distribuição de frequência das quantidades de chuva, que pode ser expressa, de acordo com THOM
(1966), pela equação
G (Y y ) para
1
y
( ) 0
0 < Y < ;
Y
Y 1 e dY
eq. 02
, , () > 0
Para estimativa dos parâmetros de forma () e de posição () foi utilizado o método das
máximas verossimilhança, dados por
1 4A
1 1 4A
3 eq. 03
X
eq. 04
1 N
1 N
Xi
Xg
(média
aritmética
das
observações)
e
ln( Xi)
N i 1
N i 1
(média geométrica das observações).
A função gama pode ser obtida, segundo ABRAMOWITS & STEGUN (1972), citados por
ASSIS (1993), por aproximação através da equação
sendo A ln X Xg , sendo X 2 [ln f ( )]
e
( ) eq. 05
na qual
f ( ) 1 1
12
2
1
360
4
1
1260 6
eq. 06
As estimativas das quantidades de chuva Y a um dados nível de probabilidade Pr foram obtidas
pelo desenvolvimento em série da equação
G (t ) t
( ) e t
F ( , t )
eq. 07
onde
F ( , t ) 1
t
t2
t3
...
1 ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 3)
eq. 08
A probabilidade de ocorrência de um valor de chuva menor ou igual a Y é dado por G(t), onde
t=Y/. Para estimativa de da chuva Y a um determinado valor de probabilidade Pr determina-se o valor
de t na eq. 07, que satisfaça G(t) - Pr = 0.
Utilizou-se para tanto o algoritmo de Newton-Raphson, na forma
t i
t i 1 ti ( ) et i
F ( , ti ) Pr
t i 1
eq. 09
( ) et i
O valor inicial de t (t0) para iniciar a interação depende de e Pr, que está explicitado em
ASSIS (1991).
3 - RESULTADOS E DISCUSSÃO
A Tabela 1 apresenta os valores médios decendiais de chuva observada, a proporção de
períodos secos, os parâmetros de forma () e de posição () da distribuição gama e os valores de chuva
(mm) tais que Pr(yY)=p.
1
Considerando Pd Pa , em que Pd é a precipitação média no decendial e Pa a precipitação
36
média anual, como caracterizando o período chuvoso, este concentrando-se entre o 3º decêndio de
janeiro e o 3º decêndio de maio. Verifica-se que os valores médios decendiais ocorrem entre os níveis
de probabilidade acumulada de 0,60 e 0,65, para maioria dos decêndios.
O parâmetro oscilou de 0,5580 a 5,1041 com média de 1,6348, e o de posição variando de
0,5657 a 63,3739 como média de 22,8875. Em função da ampla variação do parâmetro de forma, é
mais consistente considerar os valores de cada decêndio para este parâmetro.
Com as estimativas de Ps (probabilidade de não chover no decêndio) e os valores de Pr
(probabilidade de chover um valor menor ou igual a certa quantidade de chuva, supondo que chova no
decêndio considerado), pode ser utilizado o modelo misto asseguir:
P = Ps + Pc . Pr
Através da Tabela 1 é possível estimar a probabilidade de chover (Pc) em determinado
decêndio, usando os valores de Ps em cada decêndio. Assim a probabilidade de chover no 1º decêndio
de março, por exemplo, é Pc = 1 - Ps Pc = 1 - 0,1190 Pc = 0,8810, ou seja, a probabilidade de
chover no 1º decêndio de março é de 88,10%, isto quer dizer que, espera-se que chova em 88 anos de
um conjunto de 100 anos.
Pode-se ainda estimar a quantidade de chuva correspondente a determinado valor de
probabilidade Pr. Por exemplo, considerando o modelo Pr = (P - Ps)/(1 - Ps), a quantidade de chuva
correspondente à probabilidade de 25% no 1º decêndio de março é Pr = (0,25 - 0,1190)/(1 - 0,1190) Pr = 0,1487, que está entre os valores 0,10 e 0,15. Neste caso o valor de chuva correspondente a 25%
de probabilidade está compreendido entre os valores de chuva 6,0 a 9,4 mm. Este valor de 25%
corresponde a um nível de 75% de probabilidade para precipitação provável ou dependente,
comumente usada para fins de elaboração de projetos agrícolas.
Pela Tabela 1 ainda é possível estimar a probabilidade correspondente à determinada
quantidade de chuva. Por exemplo, a probabilidade de chover no 1º decêndio de março uma quantidade
de chuva menor ou igual a 60 mm seria: Na Tabela 1 não encontramos o valor 60 mm, então deve-se
considerar as probabilidade (Pr) correspondentes a 54,9 mm (Pr = 0,60) e 63,1 mm (Pr = 0,65), com Ps
= 0,1190 e Pc = 0,8810, a probabilidade de chover 60 mm ou menos estaria compreendida entre
(0,1190+0,8810x0,60) = 0,6476 e (0,1190+0,8810x0,65) = 0,6971, isto é, entre 64,76% e 69,17%.
4 - CONCLUSÕES
Os resultados permitem concluir que ocorrem um período chuvoso entre o 3º decêndio de
janeiro e o 3º de maio. Os valores médios decendiais de chuva ocorrem entre 60% e 65% de
probabilidade. A chuva decendial pode ser representada pelo distribuição de probabilidade gama,
auxiliando na elaboração estratégica de manejo dos recursos hídricos em Jaguaruana, CE.
5 - BIBLIOGRAFIA
ASSIS, F. N. de. Modelagem da ocorrência e da quantidade de chuva e de dias secos em
Piracicaba-SP e Pelotas-RS. Piracicaba, SP, ESALQ/USP, 1991. 134p. (Tese - D.S.).
CASTRO, R. & LEOPOLDO, P. R. Ajuste da distribuição gama incompleta na estimativa da
precipitação pluviométrica provável para os períodos de 15 e 10 dias da cidade de São Manuel-SP.
Energia na Agricultura, 10(1): 20-29, 1995.
DANTAS, R. T. Caracterização da estação chuvosa em três municípios da estado da Paraíba e
aplicações da distribuição gama incompleta. Atmosfera & Água, nº 3, ano 2: 4-7, 1998.
FRIZZONE, J. A. Análise de cinco modelos para cálculo da distribuição e freqüência de
precipitação na região de Viçosa,MG. UFV. Impr. Univ., 1979. 100p. (Tese. MS).
PACE, E. L. di, SOUZA, J. L. de e CARMO, M. E. A. do. Ocorrência provável de precipitação mensal
para a microrregião de Rio Largo do estado de Alagoas. IN: CONGRESSO BRASILEIRO DE
AGROMETEOROLOGIA, 6, 1989, Maceió. Anais... Maceió: SBA, 1989. p.204-210.
THOM, H. C. S. Some methods of climatological analysis. Technical note 81. WMO, Geneve, 1966.
53p.
TABELA 1 - Valores decendiais médios de chuva observada, proporção de períodos secos, parâmetros de forma () e de posição () da
distribuição gama e valores decendiais de chuva (mm) tais que Pr(yY)=p.
DEC MÉDIA
1
20.2
2
22.8
3
35.0
4
37.7
5
57.3
6
56.7
7
60.3
8
71.4
9
85.2
10
74.2
11
59.8
12
56.8
13
52.1
14
43.7
15
29.2
16
21.7
17
25.5
18
21.3
19
24.9
20
17.3
21
10.1
22
14.1
23
6.2
24
6.1
25
6.1
26
11.5
27
4.6
28
10.4
29
4.0
30
6.1
31
3.1
32
2.6
33
18.6
34
8.2
35
11.2
36
22.6
Ps
0.6429
0.5833
0.3214
0.2262
0.3095
0.2500
0.1190
0.1190
0.0595
0.0833
0.0476
0.0714
0.1310
0.1786
0.1786
0.2857
0.3452
0.3690
0.4881
0.6667
0.6429
0.8571
0.8810
0.9048
0.9286
0.8810
0.9524
0.9167
0.9286
0.8929
0.9524
0.9048
0.8810
0.8452
0.7262
0.6429
1.0023
1.0663
0.9980
1.1543
1.3337
1.3387
0.9715
1.6073
1.6416
1.1705
1.3170
1.2403
1.2379
0.9979
1.2818
1.4755
1.2890
1.0456
1.3230
1.0758
1.3802
2.1944
2.5903
1.3606
5.1041
1.1879
1.6076
1.4141
2.0671
1.1624
5.0924
4.6402
0.5580
1.3261
1.5113
1.0864
20.1178
21.3818
35.1015
32.6924
42.9997
42.3342
62.0635
44.3957
51.9088
63.3779
45.3742
45.8314
42.1136
43.8233
22.7514
14.7065
19.8040
20.4026
18.8367
16.1212
7.3200
6.4216
2.4089
4.4834
1.1919
9.7145
2.8303
7.3849
1.9109
5.2479
0.6038
0.5657
33.4042
6.1836
7.3794
20.7600
0,10
2.1
2.7
3.7
5.1
9.6
9.5
6.0
15.1
18.5
10.2
9.8
8.6
7.8
4.6
4.6
4.1
4.1
2.4
4.1
2.1
1.8
4.1
2.1
1.0
3.0
1.6
1.0
1.9
1.1
0.8
1.5
1.2
0.4
1.4
2.2
2.8
0,15
3.3
4.1
5.7
7.5
13.5
13.4
9.4
20.3
24.7
14.9
13.9
12.3
11.3
7.1
6.6
5.7
5.8
3.7
5.8
3.1
2.5
5.2
2.5
1.5
3.4
2.4
1.3
2.6
1.4
1.2
1.7
1.4
0.9
1.9
3.0
4.1
0,20
4.5
5.5
7.8
9.9
17.4
17.2
13.0
25.3
30.6
19.8
17.9
16.1
14.7
9.7
8.5
7.2
7.5
5.0
7.5
4.2
3.2
6.1
3.0
1.9
3.8
3.1
1.6
3.3
1.7
1.6
1.9
1.6
1.6
2.5
3.8
5.5
0,25
5.8
7.0
10.1
12.4
21.3
21.1
16.8
30.2
36.5
24.8
22.0
19.9
18.2
12.6
10.5
8.7
9.2
6.4
9.2
5.4
3.8
7.1
3.4
2.3
4.1
3.9
1.9
4.0
1.9
2.0
2.1
1.7
2.4
3.0
4.5
7.0
0,30
7.2
8.6
12.5
15.1
25.3
25.1
21.0
35.2
42.5
30.0
26.2
23.9
21.9
15.6
12.6
10.2
11.0
7.9
11.0
6.6
4.6
8.0
3.8
2.7
4.4
4.7
2.2
4.8
2.2
2.5
2.2
1.9
3.4
3.6
5.3
8.6
Nível de Probabilidade (p)
0,35 0,40 0,45 0,50 0,55
8.7 10.3 12.1 14.0 16.1
10.3 12.1 14.1 16.2 18.6
15.1 17.9 20.9 24.3 28.0
17.9 20.9 24.1 27.6 31.4
29.6 34.0 38.7 43.8 49.3
29.3 33.7 38.3 43.4 48.8
25.4 30.3 35.5 41.3 47.7
40.3 45.7 51.3 57.2 63.6
48.6 54.9 61.6 68.7 76.3
35.5 41.3 47.6 54.5 61.9
30.6 35.2 40.2 45.5 51.3
28.1 32.6 37.4 42.5 48.1
25.8 29.9 34.2 39.0 44.1
18.8 22.3 26.1 30.3 34.9
14.7 17.0 19.4 22.0 24.9
11.8 13.4 15.2 17.0 19.1
12.9 14.9 17.0 19.3 21.8
9.5 11.2 13.0 15.0 17.3
12.8 14.7 16.8 19.0 21.4
7.9
9.2 10.7 12.4 14.2
5.3
6.1
6.9
7.8
8.8
9.0 10.0 11.0 12.0 13.1
4.2
4.6
5.0
5.5
5.9
3.6
4.2
4.7
5.3
3.2
4.8
5.1
5.4
5.7
6.0
5.6
6.5
7.5
8.5
9.7
2.9
3.3
3.6
4.1
2.6
5.6
6.4
7.2
8.1
9.1
2.5
2.7
3.0
3.3
3.7
2.9
3.4
3.9
4.5
5.1
2.6
2.7
2.9
3.0
2.4
2.0
2.2
2.3
2.4
2.6
4.6
6.0
7.6
9.5 11.7
4.2
4.9
5.5
6.3
7.0
6.1
7.0
7.9
8.8
9.8
10.3 12.1 14.0 16.1 18.5
0,60
18.5
21.2
32.1
35.6
55.4
54.8
54.9
70.7
84.6
70.2
57.6
54.3
49.8
40.1
28.0
21.3
24.5
19.7
24.1
16.1
9.8
14.3
6.4
5.9
6.4
10.9
4.5
10.2
4.0
5.8
3.2
2.7
14.3
7.9
11.0
21.0
0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90
21.2 24.3 28.0 32.5 38.3 46.5
24.2 27.6 31.6 36.5 42.8 51.7
36.8 42.2 48.6 56.4 66.5 80.8
40.4 45.8 52.2 60.0 70.0 83.9
62.2 69.9 79.0 89.9 103.7 123.0
61.5 69.1 78.0 88.8 102.4 121.5
63.1 72.5 83.7 97.3 115.0 140.0
78.4 87.2 97.4 109.6 125.0 146.3
93.8 104.1 116.1 130.5 148.7 173.8
79.5 90.1 102.6 117.8 137.2 164.4
64.8 72.9 82.3 93.8 108.3 128.6
61.3 69.2 78.5 89.7 104.1 124.1
56.2 63.4 72.0 82.3 95.5 113.9
45.9 52.7 60.7 70.4 83.1 100.9
31.5 35.5 40.2 45.9 53.1 63.2
23.7 26.5 29.7 33.6 38.6 45.4
27.6 31.1 35.2 40.1 46.4 55.2
22.5 25.8 29.6 34.2 40.2 48.6
27.0 30.4 34.3 39.1 45.1 53.6
18.4 21.0 24.0 27.8 32.5 39.2
11.0 12.3 13.9 15.8 18.2 21.5
15.7 17.2 18.9 20.9 23.4 26.8
7.0
7.6
8.2
9.1 10.1 11.5
6.6
7.4
8.4
9.5 11.0 13.0
6.7
7.2
7.6
8.2
8.9
9.9
12.4 14.0 16.0 18.3 21.3 25.5
5.0
5.6
6.2
7.0
8.0
9.3
11.4 12.7 14.3 16.3 18.7 22.1
4.4
4.8
5.3
5.9
6.6
7.6
6.5
7.4
8.4
9.7 11.3 13.5
3.4
3.6
3.9
4.1
4.5
5.0
2.9
3.1
3.3
3.6
3.9
4.3
17.4 21.1 25.7 31.6 39.6 51.6
8.9 10.0 11.3 12.9 14.8 17.6
12.2 13.6 15.3 17.2 19.7 23.2
24.0 27.3 31.2 36.1 42.2 50.9