Nível de
significância
α(%)
Intervalo de
confiança
(%)
Intervalos de Confiança e teste de
Hipótese utilizando a distribuição Gaussiana
significância α, o valor de zc:
Área
A = 0.5 −
α
2
Coeficientes de
confiança
z c.
99
1
0.495
2.575
95
5
0.475
1.96
90
10
0.45
1.645
80
20
0.40
1.28
50
50
0.25
0.67
µ ± zC
σ
N
Teste de Hipótese – Distribuição Gaussiana
1. As medidas dos diâmetros de uma amostra
aleatória de 200 rolamentos esféricos produzidos por
certa máquina, durante uma semana, apresentam a
média de 0,824 polegada e o desvio padrão de 0,042
polegada. Determinar os limites de confiança de:
(a) 95%
(b) 99%
2. Construir o intervalo de confiança para a
média dos dados referentes ao peso líquido de
comprimidos de um produto farmacêutico:
i
1
2
3
4
5
mi(g)
1,25
1,28
1,04
1,06
2,04
Use as seguintes significâncias e considere os
intervalos bilaterais:
(a) α = 1%
(b) α = 5%
3. Um farmacêutico suspeita que o volume
líquido de um remédio está abaixo das especificações
do rótulo (50 ml). Para isso, mediu uma amostra de 7
dados e encontrou:
i
Vi(ml)
1
45
2
38
3
40
4
55
5
58
6
30
7
39
Faça o teste de cauda esquerda:
H0: µ = 50 ml
Ha: µ < 50 ml
E decida a hipótese a tomar a:
(a) α = 5%
(b) α = 10%
4. Um pediatra mede um parâmetro de
recordação relativo a seus 38 pacientes. Ele espera
que seu resultado seja menor que a média sempre
adotada, de 6.5 dias. Os resultados amostrais obtidos
são:
8 7 2 6 9 4 5 3 7 8 10 7 7 6
4 10 3 6 8 2 5 4 4 5 3 8 7 4
6 3 7 12 4 3 6 6 9 4
Usando um nível de significância de 5%,
construa o intervalo de confiança e em seguida faça o
teste de hipótese explicitando a hipótese nula e a
alternativa. Indique na gaussiana a média amostral.
5.
A tensão de ruptura dos cabos
produzidos por um fabricante apresenta a média de
1800 kg e o desvio padrão de 100 kg. Mediante nova
técnica no processo de fabricação, proclamou-se que a
tensão de ruptura pode ter aumentado. Para testar essa
declaração, ensaiou-se uma amostra de 50 cabos,
tendo-se determinado a tensão média de ruptura de
1850 kg. Pode-se confirmar a declaração no nível de
significância de 0,01?
6. Referente ao exemplo anterior, testar a
hipótese de µ = 1600 h em face da alternativa µ ≠
1600 h para o nível de significância de :
(a) 0,05
(b) 0,01
Intervalos de Confiança e teste de
Hipótese utilizando a distribuição t de Student.
parâmetro t p (υ ) , onde
υ = N − 1 é o número
de graus de liberdade
Interva
lo
α (%)
Bilater
al
1
Bilater
al
5
Bilater
al
10
Bilater
al
20
Unilat.
1
p = 1−
α
2
(bilateral)
p = 1− α
(unilat.)
υ = N −1
N
11
0.995
8
0.975
t p (υ )
10
7
0.95
4
3
0.90
2
1
0.99
21
20
Unilat.
5
Unilat.
10
0.95
17
16
0.90
24
23
Unilat.
20
0.80
19
18
t0.995 (10)
3.17
t0.975 ( 7)
2.36
t0.95 ( 3) 2
.35
t0.90 (1) 3
.08
e cujo desvio padrão é 0,003 polegada. Testar a
hipótese de a máquina estar trabalhando
adequadamente, adotando os níveis de significância
de:
(a) 0,05
(b) 0,01
Intervalos de Confiança e teste de
Hipótese utilizando a distribuição Qui-Quadrado.
1.
Em 200 lances de uma moeda,
observaram 115 caras e 85 coroas. Testar a hipótese
da moeda ser honesta, adotadas os níveis de
significância:
a) 0.05
b) 0.01
2.
Nas
estatísticas
de
Mendel
realizadas com ervilhas, ele observou 315 redondas e
amarelas, 108 redondas e verdes, 101 enrugadas e
amarelas e 32 enrugadas e verdes. De acordo com a
teoria de hereditariedade, os números deveriam estar
na proporção 9:3:3:1. Há alguma evidência para se
duvidar de sua teoria, nos níveis de significância:
t0.99 ( 20)
2.53
t0.95 (16)
1.75
t0.90 ( 23)
1.32
t0.80 (18)
0.862
1. Um médico suspeita que fumantes entre
40-45 anos portadores de bronquite crônica haviam
fumado na média por mais de 20 anos. Umas amostras
de 10 pacientes deram os seguintes tempos, em anos,
pelos fumantes:
22 21 19 25 24 26 23 21 23 22
Usando 1% de significância, há suficiente evidência
para justificar a hipótese do médico?
2.
A associação americana do coração
recomenda um nível de colesterol abaixo de 200
miligramas por 100 mililitros. Mediu-se o nível de
colesterol de mulheres com idade inferior a 40 anos
escolhidas randomicamente:
233 197 192 179 174 217 186 221 188 209 196 167
238 179 196 191.
A um nível de significância de 10 % é razoável
supor que mulheres abaixo de 40 anos possuem nível
de colesterol abaixo da média 200 ?
3.
Antigamente,
certa
máquina
produzia arruelas que tinham a espessura de 0,05
polegadas. Para se verificar se a máquina está
trabalhando adequadamente, escolheu-se uma amostra
de 10 arruelas cuja espessura média é 0,053 polegada
a) 0.01 ?
b) 0.05?
3. O desvio padrão das alturas de 8
estudantes de um colégio, escolhidos aleatoriamente
em uma escola vale 3 cm. Determinar, usando a
estatística qui-quadrado, o intervalo de confiança para
o desvio padrão populacional, usando uma
significância de:
(a) α =5 %
(b) α = 1%
Os limites de confiança são dados por:
s
N
χ
2
1− α2
<σ < s
N
χ α2
2
4. O recenseamento de famílias com quatro
crianças revelou a distribuição apresentada na tabela.
(a) Complete a linha correspondente à
probabilidade de ter X filhos meninos numa família
de 4 filhos (N=4) usando a distribuição de Bernoulli
N!
(p=q=1/2): P( X ) =
p X q N −X
(N − X )!X!
(b)
χ2.
Determine a freqüência esperada e calcule
k
χ2 = ∑
j =1
(f
oj
− fe j
fe j
)
2
e discuta se esse resultado
é compatível com a hipótese dos nascimentos de
homens e mulheres igualmente prováveis a um nível
de significância de 1% ?
(c) Esse resultado é compatível com a
hipótese dos nascimentos de homens e mulheres
igualmente prováveis a um nível de significância de
5% ?
Tipo
Número
De
famílias
4 meninos
0 meninas
3 meninos
1 meninas
2 meninos
2 meninas
1 meninos
3 meninas
0 meninos
4 meninas
Total
23
pe(X)
fei
96
240
129
32
500
Método dos mínimos quadrados
1.
por uma reta:
Ajuste os pontos da tabela abaixo
x
2,55
3,54
4,02
5,54
6,08
(
(
(
F(x)
1,00
2,57
3,50
5,30
8,66
Dado:
) ( g g )… ( g g ) ⎤⎥⎡a ⎤ ⎡⎢( g f ) ⎤⎥
) ( g g )… ( g g ) ⎥⎢⎢ a ⎥⎥ = ⎢( g f ) ⎥
) ( g g )… ( g g )⎥⎥⎦⎢⎣a ⎥⎦ ⎢⎣( g f )⎥⎦
⎡ g0 g0
⎢
⎢ g1 g0
⎢
⎢⎣ gm g0
0
1
0
m
0
0
1
1
1
m
1
1
m
0
m
m
m
m
( g g ) = (g g )
i
j
j
i