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Teorema de Tales.
Professor: Isaac Pimentel
Assunto: Teorema de Tales.
1. Ângulos determinados por duas paralelas, cortadas por uma transversal.
Vamos destacar os ângulos de acordo com a posição em relação às paralelas r e s.
 Internos (os que estão entre as paralelas).
 Externos (caso contrário dos internos).
 Alternos (que estão em lados opostos da transversal).
 Colaterais (que estão do mesmo lado da transversal.
b
c
x
t
a
d
y
r
s
z
1º) Ângulos internos: c, d, x e y.
2º) Ângulo externos: a, b, t, e z.
3º) Ângulos alternos (dois a dois): b e a; b e d; c e a; c e d; x e y; x e z; t e y; t e z.
4º) Ângulos colaterais (dois a dois): a e d; a e y; a e z; b e c; b e x; b e t...
Associando ângulos da transversal com t e s, e suas características:
c  y
I. Ângulos alternos internos: 
.
d  x
a  t
II. Ângulos alternos externos: 
.
b  z
a  y
b  x

III. Ângulos correspondentes: 
.
c  t
d  z
c  x  180
IV. Ângulos colaterais internos: 
.
d  y  180
a  z  180
V. Ângulos colaterais externos: 
.
b  t  180
2. Feixe de paralelas, cortadas por duas transversais (Teorema de Tales).
 Uma demonstração simples, para justificar o teorema.
u
A
D
B
u`
E
F
C
Considerando as medidas dos segmentos AB , BC , DE e EF .
Vamos representar o valor dessa medida pela letra m:
 
 
 
 
m AB  4u ; m BC  6u ; m DE  4u` ; m EF  6u`
Vamos, também, chamar os segmentos de cada transversal que se encontram entre as mesmas paralelas, de correspondentes.
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Estabelecendo uma razão entre os segmentos correspondentes:
1)
AB
BC

4u 2

6u 3
4u` 2
 , então podemos concluir:
EF 6u` 3
Duas transversais determinam em um feixe de paralelas, segmentos correspondentes proporcionais, o m será omitido pela
simplicidade da conclusão:
2)
3)
DE

AB

DE

BC
BC
4)
AB
DE
, ou
EF
, é muito importante que a ordem dos segmentos na razão seja observada, para que a proporção seja
EF
mantida.
3. Para dois triângulos semelhantes.
A
Reta paralela a DE passando por A.
D
Reta suporte de DE
E
B
Reta suporte de BC
C
I. Podemos aplicar (4), resultado do feixe de paralelas, às retas suporte de AD , DB e a paralela que passa por A:
5)
AD
AB

AE
, que são lados homólogos de dois triângulos semelhantes.
AC
A
D
E
B
C
II. Podemos aplicar (4), resultado do feixe de paralelas, à reta suporte de AB e as paralelas passando por E e C:
AE DE
6)

AC BC
7) 
AE

DE

AD
, que é o Teorema de Tales, ou seja:
AC BC AB
Dois triângulos semelhantes têm lados homólogos proporcionais.
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