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As experiências dos alunos com resolução de problemas são muito
variadas. Algumas são alegres, outras nem tanto. E os professores
têm um papel importante nessa história. Em uma conversa sobre esse
assunto, o professor Luiz Barco se lembrou de uma época em que se
valorizava a “beleza de uma solução”:
Ainda menino, na minha distante cidade de Itararé [SP], fui aluno de
um professor simplesmente brilhante, Pedro Nabuco Gamballe. Diante
do verdadeiro mar de indagações que nos apresentava em suas aulas
de Matemática, esse professor, como poucos que vim a conhecer depois, nunca nos deu um peixe sequer. Ele nos ensinou a pescar. Ensinou-nos a ser um pescador comum, aquele do barranco, da varinha
com anzol e isca, e não um predador; a ser um pescador que se vangloria não da quantidade pescada, mas de quanto foi desafiado pela esperteza do peixe; que não sente prazer por tê-lo apenas apanhado, mas por
quanto o peixe lutou para tentar escapar. “Eta briga boa!”, ele diria.
Fazendo um paralelo com essa “metáfora piscatória”, eu diria que
resolver um problema, ou mesmo compreender um texto científico,
tem mais a ver com a beleza da solução ou da compreensão do que
com a sua aplicação.
Segundo pesquisas, um dos aspectos que influenciam diretamente
a resolução de problemas é a compreensão leitora (ver resultado da
pesquisa no quadro abaixo). Além disso, a resolução de problemas
poderá ser alcançada com maior facilidade se o aluno tiver um repertório de estratégias que favoreça a análise dos problemas de uma
forma ampla — em vez de apegar-se a um problema específico. Esse
modo de lidar com a resolução de problemas ajuda o aluno a estudar
uma grande parte da Matemática.
Há muitas referências sobre esse assunto que você poderá explorar.
O substantivo feminino piscatória é definido no Dicionário Houaiss da língua portuguesa como um tipo de composição poética em que os
homens do mar aparecem
como personagens; já o adjetivo piscatório(a) é relacionado a pesca e pescador.
Médias de desempenho SAEB* — Brasil (anos 2001 e 2003)
pontos
4a série do ensino fundamental
8a série do ensino fundamental
300
250
200
235,2 232
165,1
243,4
3a série do ensino médio
276,7 278,7
262,3 266,7
245
176,3 177,1
169,4
150
100
2001
2003
50
0
Língua
portuguesa(1)
Matemática(2)
Língua
portuguesa(3)
Matemática(4)
Língua
portuguesa(5)
Matemática(6)
Fonte: MEC/Inep/Daeb
* Sistema Nacional de Avaliação de Educação Básica
(1)
A escala em Língua Portuguesa é descrita de 0 a 375 pontos. 200 pontos, para a 4a série, são considerados adequados.
(2)
A escala em Matemática é mensurada de 0 a 425 pontos. Uma média satisfatória para esse nível deve estar em pelo menos 200 pontos.
(3)
Um padrão mínimo satisfatório para a 8a série é de 300 pontos.
(4)
O patamar mínimo adequado para a 8a série é de pelo menos 300 pontos.
(5)
A média razoável para um estudante concluinte do ensino médio é de 350 pontos.
(6)
A média razoável para um estudante concluinte do ensino médio é de 375 pontos.
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Como resolver problemas?
Como resolver problemas
Letramento em matemática
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Letramento em matemática é definido no PISA como
a capacidade de identificar, compreender e operar com
matemática, e de fazer julgamentos bem fundamentados sobre o papel da matemática na vida privada atual
e futura do indivíduo, na vida ocupacional, na vida social com pares e parentes e na vida como cidadão construtivo, preocupado e capaz de reflexão. Tal como no
caso da leitura, a definição gira em torno de usos mais
amplos da matemática na vida das pessoas, em vez
de limitar-se a operações mecânicas. “Letramento em
matemática” é utilizado aqui para indicar a capacidade
de fazer uso funcional do conhecimento e das habilidades matemáticas, mais do que apenas dominá-los
no currículo escolar. “Operar com” matemática inclui
não apenas ações simplesmente físicas ou sociais (como
decidir quanto troco dar a alguém numa loja) mas também usos mais amplos, inclusive adotar pontos de vista
e apreciar coisas expressas matematicamente (tal como
ter opinião sobre os planos de gasto do governo).
Letramento em matemática implica também a capacidade de colocar e resolver problemas matemáticos em diversas situações, bem como a propensão a
fazê-lo, que freqüentemente depende de traços pessoais como autoconfiança e curiosidade.
Programa Internacional de Avaliação de Estudantes / OCDE. Conhecimentos e atitudes para a vida: resultados do PISA 2000.
São Paulo: Moderna, 2003. p. 23.
Algumas estratégias gerais para resolução de problemas
A - Antes de resolver, tente entender.
B - Procure estratégias.
1. Procure semelhanças com outros jogos e problemas.
2. Tente reduzir o problema a um problema mais
fácil (a resolução do problema fácil talvez indique o caminho para resolver o mais difícil).
3. Experimente e procure regularidades.
4. Faça um esquema e, se achar conveniente,
pinte-o com lápis de cor.
5. Modifique o problema. Altere qualquer dado
no enunciado para ver se assim consegue
encontrar um caminho para resolvê-lo.
6. Escolha uma boa notação. Isso facilitará a organização dos dados e a compreensão.
7. Se for possível, explore a simetria.
8. Suponha a negação de algum fato. Veja aonde isso o levará.
9. Suponha o problema resolvido.
10. Pense em técnicas gerais: no princípio de indução de Pascal, no princípio de descida de
Fermat, no processo diagonal de Cantor, princípio do pombal de Dirichlet...
C - Explore sua estratégia.
1. Explore as melhores idéias que lhe ocorreram na fase B. Explore uma a uma e não misture os princípios.
2. Não desista facilmente. Mas também não insista em uma única idéia. Se a resolução se
complicar demais, provavelmente haverá outro caminho.
3. Chegou a um resultado? Tem certeza? Analise sua solução com mais cuidado.
D - Extraia o sumo do problema e da sua experiência.
1. Examine a fundo o caminho que seguiu.
Como chegou à solução? Ou por que não
conseguiu chegar a ela?
2. Tente entender a resolução do problema e
por que essa resolução chegou à solução.
3. Agora, tente resolver de uma forma mais simples.
4. Analise até que ponto pode chegar com o
método que escolheu e verifique se poderá
utilizá-lo em outros problemas.
5. Reflita sobre seu raciocínio e tire conclusões
para o futuro.
GUZMÁN, Miguel. Aventuras matemáticas. Trad. João Filipe Queiró. 2. ed. Lisboa: Gradiva, 1991. p. 21.
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Depoimentos
Mas como encaminhar os problemas na sala de aula? Quais problemas são indicados? Como corrigi-los? Para essas e inúmeras outras
indagações, há várias práticas que os professores podem incorporar
no seu dia-a-dia, despertando em seus alunos o prazer da investigação da solução de um problema.
De: Elis Regina Pastorello de Almeida Pacheco.
Os momentos de resolução de problemas em sala
Mas cabe ao professor classificar esses prode aula são imperdíveis para descobrirmos maneiblemas, levando em conta os conteúdos materas originais de abordar uma questão. É então que
máticos necessários para resolvê-los: se são fáalunos não tão “competentes” na Matemática do
ceis demais ou difíceis demais para seus alucurrículo escolar mostram suas habilidades de lóginos, se são bons para propor em aula ou serão
ca, de leitura e interpretação de textos, sua bagamais bem aproveitados em uma prova como
gem cultural para enfrentar os desafios propostos.
questão extra. Se a quantidade for muito grande, poderá ser feito um “banco de problemas”
Esse trabalho pode começar no início do ano letipara os alunos resolverem depois de terminavo. Formar grupos ou resolver individualmente fica
rem uma atividade formal proposta.
a critério de cada um. Nessa hora, já começam a
aparecer as diferenças: para alguns, a elaboração
É bastante produtivo, também, organizar algo
do pensamento é muito individual; para outros, a
como um campeonato de resolução de problemas.
troca de idéias com seus pares é de fundamental
Em algumas escolas em que trabalhei, havia o Keiimportância. Os primeiros problema-Kuka, o Matemática de Boteco,
mas propostos não devem apresena Olimpíada de Matemática, sem“O professor não deve
tar um grau de dificuldade muito
pre com algum tipo de premiação
simplesmente avaliar
grande, nem exigir domínio de muipara os participantes ou ganhadotos conteúdos matemáticos.
as respostas como certas
res, desde um simples diploma até
prêmios maiores oferecidos por paFeita a proposta, nada como cir- ou erradas e merecedoras
trocinadores. Nesses campeonacular pela classe e “ouvir” os pende uma nota.”
tos, podem aparecer problemas que
samentos dos alunos, solicitando
envolvam conteúdo específico de
que quem encontrou uma solução
Matemática,
mas
sempre se deve buscar o proguarde-a para apresentar à classe na hora oportublema diferente, não usual, que não apareça nos
na. Ao socializar as soluções obtidas, eles percelivros didáticos.
berão que existem diferentes maneiras de pensar
um mesmo problema.
É surpreendente o poder que uma atividade
lúdica e interativa exerce sobre os alunos, desA etapa seguinte é solicitar aos alunos que tragam
pertando habilidades que eles mesmos descoproblemas diferentes para serem usados em sala
nheciam.
de aula. É surpreendente a quantidade que aparece!
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Os alunos sempre nos surpreendem com suas
características próprias, suas vivências diversas.
Podemos aprender com essa diversidade, mas para isso
precisamos apurar nossos ouvidos e nos colocar como
aprendizes, curiosos e abertos às novidades que eles nos
trazem. Ao ensinar, podemos aprender muito.
Como resolver problemas
De: Fausto Arnaud Sampaio.
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Precisamos estar preparados a ceder um pouco o
poder que o modelo de aula tradicional nos confere;
deixar um pouco de lado a segurança que sentimos por
saber o que acontecerá a seguir. Os alunos devem ter
espaço para solucionar problemas com insights,
técnicas e abordagens imprevisíveis.
Vem de muito longe o uso de problemas no ensino da Matemática. Infelizmente, também é antigo o
pensamento, por parte dos alunos, de que a Matemática é, ela mesma, um grande e insolúvel problema. E não é para menos: em sala de aula, aplicamse exercícios e espera-se que todos os resolvam da
mesma forma, a partir de técnicas e conceitos aprendidos de maneira geralmente monótona.
O trabalho com a resolução de problemas difere
do mero exercício de aplicação porque promove o
contato do aluno com algo novo, um problema cujo
processo de investigação é tão importante quanto
a obtenção da resposta. Assim, enquanto a metodologia dita tradicional enfatiza o produto final, a
resolução de problemas está atenta ao desenvolvimento de competências e habilidades que envolvem criar, perguntar, experimentar, deduzir, discutir e validar soluções.
A grande dúvida que assola a maior parte dos colegas professores que gostariam de iniciar um trabalho dessa forma é: “Como transformar essa proposta teórica em ações no dia-a-dia da sala de aula?”.
Não há fórmulas mágicas que assegurem um
bom resultado em sua utilização, mas posso dar
algumas dicas sobre os tipos de problemas e as
principais dificuldades dos alunos:
• Comece com problemas mais simples, pois o
sucesso inicial funciona como motivador para que
os alunos se interessem em participar da atividade. Esse detalhe óbvio é muitas vezes negligenciado pelos educadores.
• Os problemas escolhidos devem ter significado para o aluno: o enunciado fica mais fácil de
ser compreendido quando se refere a situações
familiares, de modo que a necessidade de abstração atinja apenas a busca da solução em si, e
não o entendimento do enunciado ou sua tradução em linguagem matemática.
• O uso de números muito grandes ou “quebrados” (fracionários e decimais) é mais difícil para
os alunos. Ensine seus alunos a alterar os números do problema para valores fáceis de manipular, de maneira que a tarefa de entender o
padrão do problema seja simplificada.
• Problemas cujos enunciados sejam divertidos ou
desafiadores (como quebra-cabeças, charadas,
enigmas...), ou ainda problemas históricos, despertam maior motivação nos alunos para que
se dediquem a resolvê-los. O passo psicológico
de se dispor a resolver a questão talvez seja uma
das etapas mais difíceis e importantes nesse
percurso; por isso, procure privilegiá-lo.
• Problemas cujo texto seja escrito em ordem
inversa ao raciocínio exigido para sua solução
são mais difíceis para os alunos. Isso não implica sua exclusão do rol de problemas apresentados, mas indica que merecem maior
atenção do professor.
• Selecione problemas que possibilitem uma ampla gama de soluções. Dessa forma, os alunos
entenderão que não há sempre uma única maneira de resolver um problema, o que servirá
como uma concessão à diversidade de pensamento e à discussão em grupo das diferentes
soluções apresentadas.
Naturalmente, o trabalho com a resolução de problemas traz dificuldades. Alguns alunos podem alegar que os problemas agora são mais difíceis, pois
fogem à mera repetição passiva do que foi estudado; pais podem questionar que o conteúdo não está
sendo seguido na mesma seqüência de costume;
a direção e os colegas talvez achem que você está
com idéias muito modernas, que não funcionam na
prática. Mas, persistindo, alunos, pais e direção
perceberão a mudança no aprendizado, e as críticas darão lugar a apoio e colaboração.
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Comentários sobre uma resolução
A resolução de um problema pode ser muito mais que um processo
mecânico. Pode ser um momento muito rico em que se exploram
diversas habilidades e conceitos. É o que se verifica no problema comentado pelo professor Luiz Barco.
Vamos começar esta história com um probleminha que aparece
em quase todas as publicações que se dedicam às curiosidades matemáticas:
Quem não gosta de pensar ou não foi estimulado a descobrir uma
solução, a fazer testes, a tentar, tende a brincar com o enunciado,
fazendo conjecturas que não levam a nada:
— Quantos ovos a senhora tinha eu não sei, mas eles deviam estar
cozidos, porque senão não daria pra falar em meio ovo!
Ou então parte imediatamente para a elaboração de uma equação
que leve ao valor de xis...
Mas talvez uma criança ainda não “algebrizada pela escola”, isto é,
que ainda não cursou a 6a série e tem prazer em enfrentar, pensar e
até resolver quebra-cabeças, tente raciocinar de uma forma não-algebrizada.
A partir do enunciado desse problema, pode-se dizer que o autor
escolheu ovos para fornecer uma “dica” adicional. A idéia de “meio
queijo” ou “meia maçã”, por exemplo, não assustaria ninguém. Em
se tratando de ovos, é quase impossível não achar esquisito um “meio
ovo”. Um matemático, ou melhor, alguém que desenvolveu seu “espírito matemático”, diria:
— Para ter sentido falar que a senhora deu metade dos ovos e mais
—“meio ovo”, o número inicial deve ser ímpar, pois a metade de uma
1
quantidade par resulta em um inteiro que, acrescido de
(ou 0,5),
2
iria gerar uma impossibilidade. Tomando como exemplo o 20: sua
metade é 10 que, acrescida de 0,5 (meio), resulta em 10,501.
1
É claro que 2,5; 10,5; 13,731; etc. são números reais, perfeitamente imagináveis. Logo,
quando falamos de “impossibilidade”, estamos pensando nos “ovos frescos” do enunciado. Seria complicado cortar um ovo fresco ao meio para vendê-lo — embora seja razoável
comer “meio ovo” frito. Recentemente, um pretenso sabichão da TV criticava a expressão
7,3 homens. Dizia ele: “Como serão esses três décimos de um homem?” (sic). A leitura
atenta da notícia que o cidadão comentava deve-se, provavelmente, a um dado estatístico e
deveria expressar algo como “… à razão de 7,3 homens…”. Parece-nos salutar comentar
resultados desse tipo sob essa perspectiva.
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Uma senhora resolveu distribuir a seus filhos os ovos frescos
que tinha na cesta. Ao mais velho deu a metade dos ovos da cesta
e mais meio ovo; ao do meio, deu metade do que restou e mais
meio ovo; o filho mais novo ganhou a metade do que sobrou e
mais meio ovo. E a cesta ficou vazia. Quantos ovos a senhora tinha na cesta e quantos deu a cada um?
Como resolver problemas
17 é ímpar. Será que esse poderia ser o número inicial de ovos?
Vejamos: a metade de 17 é 8,5. Somando 0,5 a esse valor, teríamos 9.
Dando 9 ovos ao primeiro filho, sobrariam 8 na cesta. Ao segundo
filho a senhora daria, então, a metade de 8 ovos mais meio ovo: 4,5
ovos frescos. Impossível!
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Já se o ímpar considerado fosse 15... A metade de 15 é 7,5, que
somado a 0,5 dá 8. Se havia 15 e ela deu 8 ao primeiro filho, sobraram
7 na cesta, e portanto será possível dar a metade do total e mais meio
ovo para o filho do meio. A metade de 7 é 3,5, que somando a 0,5 dá
4, restando 3 ovos na cesta. O filho mais novo receberá a metade de
3, que é 1,5, mais 0,5 ovo; portanto ganhará 2 ovos. Mas restará
1 ovo! Ou seja, não havia 15 ovos na cesta!
Poderíamos continuar tentando com diversos números ímpares e
talvez, por sorte, encontrássemos o número de ovos. Será que não
existe outra forma para determinar esse número?
Perceba que, para que ocorra a proposta do problema, até que a
cesta esvazie deve ocorrer:
• o total da cesta é ímpar, para se dar ao mais velho uma quantidade par;
• restará uma quantidade ímpar para se dar ao do meio outra quantidade par;
• restará, novamente, outra quantidade ímpar, mas ela será entregue
integralmente ao filho mais novo, uma vez que a cesta ficará vazia.
Listando as etapas, fica mais evidente que esse problema pode ser
resolvido mais facilmente se começarmos pelo final. Se foi dado ao último filho metade do que há na cesta e mais meio ovo, ficando a cesta
vazia, é porque a metade da quantidade é também meio ovo. Logo, quando chegou ao terceiro filho a senhora carregava na cesta apenas 1 ovo.
De fato: há um único ovo na cesta; se for dada a metade dessa
quantia (isto é, meio ovo) e mais meio ovo, o último filho receberá um
ovo (0,5 + 0,5 = 1), e a cesta ficará vazia (tal como pede o enunciado
do problema).
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Podemos conferir: ela tinha 3 ovos. A metade da quantidade (1,5) e
mais meio ovo resulta em 2 ovos (que foram dados ao filho do meio) e
mais 1 ovo, que como já vimos será dado ao último.
Conheça mais um pouco
DAVIS, Philip J.; HERSH, Reuben. A experiência matemática.
Trad. Fernando Miguel Louro e
Ruy Miguel Ribeiro. Lisboa: Gradiva, 1995.
GUZMÁN, Miguel. Aventuras
matemáticas. Trad. João Filipe
Queiró. 2. ed. Lisboa: Gradiva,
1991.
KRULIK, Stephen; REIS, Robert. A resolução de problemas
na matemática escolar. Trad.
Hygino H. Domínguez e Olga
Corbo. São Paulo: Atual, 1998.
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Trad. Heitor
Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
POZO, Juan Ignácio (org.). A
solução de problemas: aprender
a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artes Médicas, 1994.
TAHAN, Malba. O homem
que calculava. 42. ed. Rio de Janeiro: Record, 1996.
Assim, do seu encontro com o filho mais velho, a mãe levou de sobra
3 ovos. Se não tivesse dado “o mais meio ovo”, deveria ter três ovos e
meio na cesta. Essa quantidade representa a metade do total. Logo, ela
carregava no início da brincadeira 7 ovos, deu ao mais velho 4 ovos, isto
é, a metade do total, e mais meio ovo, e levou 3 ovos para seu encontro
com o filho do meio. Para este deu 2 ovos (metade do que havia na
cesta e mais meio ovo) e ficou com 1 ovo, que deu ao último filho2.
Luiz Barco
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Outra desatenção, bastante freqüente, quando ensinamos as frações está em nossa insistência de que “fração é a parte do todo”, sem discutir suficientemente qual é esse “todo” a que
nos referimos. Falar da metade de um queijo é diferente de falar da metade de uma certa
quantidade de queijos. A partir dessa observação, procure resolver este outro probleminha:
Um colecionador de belos peixinhos dourados resolveu vendê-los. Ao primeiro comprador
vendeu metade da sua coleção e mais meio peixinho. Ao segundo, vendeu a terça parte do
que restou da primeira venda e mais um terço de um peixe. Ao terceiro vendeu a quarta
parte dos restantes (da 2a venda) e mais um quarto de um peixinho. Ao quarto freguês
vendeu a quinta parte dos peixinhos restantes e mais um quinto de um peixinho, ficando
ainda com 11 peixes. Quantos peixinhos ele tinha em sua coleção e quantos vendeu a cada
um dos quatro compradores?
Resposta: Havia 59 peixinhos. Vendeu 30 para o primeiro comprador, 10 para o segundo comprador, 5 para o terceiro comprador e 3 para o quarto comprador, restando 11 peixinhos ao final.
Edição: Geraldo Oduvaldo Fernandes
Ilustrações: Vicente Mendonça
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho
São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 6090-1500
Fax (0_ _11) 6090-1501
www.moderna.com.br
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Agora, se do filho do meio sobrou 1 ovo e ele recebeu a metade da
quantidade e mais 0,5 ovo, então a metade do que havia na cesta
quando a mãe o alcançou era um ovo e meio: um que ela deu ao
terceiro e mais o meio ovo com que ela havia complementado a
doação ao segundo. Assim, quando chegou ao filho do meio, ela
trazia 3 ovos na cesta.