Exercício BONUS +1 (P1)
quarta‐feira, 2 de março de 2011
23:37
Considere uma esfera condutora de raio R situada na origem do sistema de coordenadas.
Colocamos uma carga q na posição z=d (d>R).
A esfera condutora está aterrada (isto é, é mantida a um potencial constante que podemos considerar como nulo)
Sabemos que a carga elétrica produz campo elétrico em todo o espaço e na região interior à esfera o campo elétrico deve permanecer nulo, uma vez que a esfera é condutora. Para tanto haverá uma distribuição de cargas superficial na esfera de forma que o potencial da superfície da esfera seja constante (e igual a zero, uma vez que a esfera está aterrada).
Queremos determinar qual é a densidade superficial induzida na esfera. Ocorre que a restrição ao potencial é que ele se anule na superfície da esfera. Qualquer configuração que satisfizer essa condição será a solução procurada (devido a equação diferencial e o problema de valores de contorno associado à equação de Laplace).
Podemos então tentar encontrar uma solução com essas características a partir de cargas pontuais. Imaginamos uma carga "imagem" a carga q exterma situada dentro da esfera. Devido a simetria do problema podemos imaginar que essa imagem também está situada no eixo z e possui carga q', não necessariamente igual a q.
1. Escreva o potencial elétrico devido às duas cargas puntiformes em todos os pontos do espaço.
2. Considere agora a expressão para o potencial na superfície da esfera (com raio R) e imponha que essa expressão se anule. Essa condição determinará o valor de q' e a posição da carga imagem.
3. Uma vez obtido o potencial elétrico podemos obter o campo elétrico associado. A direção do campo elétrico é necessariamente normal a superfície da esfera.
4. Estamos interessados na densidade superficial, mas se estivermos muito perto do condutor ele parece um plano e aplicando a lei de Gauss é claro que existe uma relação muito fácil entre o Campo elétrico normal a superfície de um condutor e a densidade superficial. Qual é essa relação?
5. Usando o resultado do ítem 3 e 4 obtemos a densidade superficial de cargas.
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