Taxas: Proporcional e
Equivalente
Taxa Proporcional
Considere duas taxas de juros arbitrárias 𝑖1 e 𝑖2 , relacionadas
respectivamente aos períodos 𝑛1 e 𝑛2 , referidos à unidade
comum de tempo das taxas.
Estas taxas se dizem proporcionais se houver a igualdade de
quociente das taxas com o quociente dos respectivos
períodos, ou seja, se
𝑖1
𝑖2
=
𝑛1
𝑛2
Como em uma proporção o produto dos meios é igual ao
produto dos extremos, temos:
𝑖1 . 𝑛2 = 𝑖2 . 𝑛1
Exemplo: Verificar se as taxas de 5% a.t. e de 20% a.a.
são proporcionais.
Exemplo: Calcular a taxa de juros trimestral proporcional
às seguintes taxas:
a) 24% a.a.
b) 36% ao biênio
c) 6% ao semestre
Exemplo: Sendo dada a taxa de juros de 24% a.a.,
determinar a taxa proporcional mensal.
Taxa Equivalente
Duas taxas se dizem equivalentes se, aplicado um mesmo
capital às duas taxas e pelo mesmo intervalo de tempo,
ambas produzirem o mesmo juro.
Exemplo: Seja um capital de R$ 10.000,00, que pode ser
aplicado alternativamente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a.
Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as
taxas são equivalentes
Períodos não-inteiros
O juro e o principal se supõem devidos apenas no final do
prazo de aplicação. Entretanto podem ocorrer situações em
que o prazo de aplicação (n) não é um número inteiros de
períodos a que se refere a taxa dada, sendo necessário
considerarem-se frações de períodos para que não se cometa
erro no valor final
Exemplo: Qual o juro e qual o montante de um capital de
R$ 1.000,00 que é aplicado à taxa de juros simples de 12%
ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses?
Exemplo: Calcular o juro simples referente a um capital de
R$ 1.000,00 aplicado conforme hipóteses a seguir:
Taxa de juros
Prazo
26,8% a.a.
30 meses
30,8% a.a.
5 anos e meio
38% a.a.
4 anos e 8 meses
Respostas: a) R$ 670,00
b) R$ 1694,00
c) R$ 1773,33
Juro Exato e Juro Comercial
Nas aplicações correntes, muito embora as taxas sejam
expressas em termos anuais, os prazos são fixados em dias.
Como a curto prazo o regime geralmente adotado é o de juros
simples, torna-se necessário calcular a taxa proporcional
referente a um dia.
Dessa maneira, podemos ter dois enfoques, dependendo do
número de dias adotado para o ano:
i) Ano civil: 365 dias
ii) Ano Comercial: 360 dias
Exemplo: Dada a taxa de 36% ao ano, determine qual é a taxa
proporcional referente a um dia civil e um dia comercial?
Juro Exato e Juro Comercial
Juro Exato
é aquele que é obtido quando o período (n)
está expresso em dias e quando é adotado
o ano civil
𝐶. 𝑖. 𝑛
𝐽𝑒 =
365
Juro Comercial
ou ordinário é o juro que é calculado
tomando como base o ano comercial
𝐶. 𝑖. 𝑛
𝐽𝑐 =
360
Exemplos:
1) Calcule o juro exato e o comercial de um capital de
R$ 20000,00 aplicado por 30 dias a uma taxa de 26% a.a.?
2) A quantia de R$ 1500,00 foi aplicada à taxa de juros de
54% a.a. por uma prazo de 150 dias. Qual será o juro dessa
aplicação se considerarmos;
a) o juro exato?
b) o juro comercial?
3) Um capital de R$ 5000,00 rendeu R$ 625,00. Sabendo-se
que a taxa de juros contratada foi de 30% a.a. e que a
aplicação foi feita dia 18 de março de 20X6. Qual foi a data de
vencimento, se:
a) considerou-se o juro comercial.
b) considerou-se o juro exato.
4) Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado à taxa de 25% a.a.
em 12 de fevereiro de 20X5. Se o resgate for efetuado em 3 de
maio de 20X5, qual será o juro comercial recebido pelo
aplicador?
Valor nominal e valor atual
Diagramas de capital no tempo
Os problemas financeiros dependem basicamente do fluxo
(entrada e saída) de dinheiro no tempo. Este fluxo é mais
conhecido como fluxo de caixa.
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA é o conjunto de
entradas e saídas de caixa durante um período de tempo.
Graficamente o Diagrama (DFC) é representado por um
Eixo Horizontal (que representa o tempo, normalmente
dividido em períodos).

Convenção:
◦ Seta para baixo: saída de dinheiro; depósito, pagamento a
terceiro, aplicação, investimento.
VALOR NEGATIVO =
◦ Seta para cima: entrada de dinheiro; saque, recebimento,
resgate, retorno de investimento.
VALOR POSITIVO =
FLUXO DE CAIXA
15.000,00
10
1.872,45
O fluxo de caixa acima poderia representar por
exemplo um empréstimo de R$ 15.000,00 pago em
10 prestações de R$ 1.872,45.
Exemplo de DFC
Valor Presente
Diagrama de Fluxo de Caixa
Operação de Empréstimo
Período de capitalização
n
0
Valor Presente
Valor Futuro
+
Juros

A representação gráfica seria:
$ 15,00
Juros
$ 115,00
Valor Futuro
$ 100,00
Valor Presente
0
1
$ 5,00
$ 100,00
Valor Presente
2
$ 5,00
Incidência de Juros
3
$ 5,00
n
Valor nominal
É quanto vale o compromisso na data do
seu vencimento
Exemplo: Uma pessoa que aplicou uma quantia hoje e que vai
resgatá-la por R$ 25000,00 daqui a 12 meses.
25000,00
0
12 (meses)
O valor nominal da aplicação é R$ 25000,00 no mês 12
Valor atual
É o valor que um compromisso tem em
uma data que antecede ao seu vencimento
Exemplo: Uma pessoa que aplicou hoje uma certa quantia e
recebeu pela aplicação um título que irá valer R$ 35000,00
no mês 12.
35000,00
C
0
12 (meses)
1) Supondo que o valor aplicado seja R$22.000,00. Calcule a
taxa de juros simples utilizada na aplicação.
Exemplos
2) Admita agora que não sabemos o valor aplicado, mas que
a taxa de aplicação seja conhecida , que é de 7% a.m. Calcule
o valor atual (na data 0).
3) Supondo agora que a pessoa quer trocar o título 5 meses
antes da data do vencimento e que a taxa de juros vigente na
data (5 meses) seja de 6% a.m. Quanto a pessoa irá receber
pelo título?
4) Qual é o valor nominal de uma Nota promissária de R$
7.575,76, assinada hoje com vencimento daqui a 10 meses, se a
taxa de aplicação for de 38,4% a.a?
5) O valor nominal de uma Nota promissária é de R$
4.770,00. Qual o seu valor atual 3 meses antes do vencimento,
considerando-se a taxa de juros de 24% a.a?
6) Certa pessoa aplicou R$ 10.000,00 à taxa de 29% a.a. pelo
prazo de 9 meses. Dois meses antes da data de vencimento,
esta pessoa precisou resgatá-lo. Quanto deverá ser pago pelo
título, se a taxa de juros de mercado for de 32% a.a. na ocasião
do resgate.
7) Uma loja vende um gravador por R$ 1.500,00 a vista. A
prazo, vende por R$ 1.800,00, sendo R$ 200,00 de entrada e o
restante após 1 ano. Qual é a taxa de juros anual cobrada?
8) Quanto tempo deve permanecer aplicado em capital para
que o juro seja igual a 5 vezes o capital, se a taxa de juros for
de 25% a.a.?