Capı́tulo 6
Condutores
6.1
Breve Introdução
Em um mau condutor, como vidro ou borracha, cada elétron está preso a um
particular átomo. Num condutor metálico, de forma diferente, um ou mais
elétrons por átomo não possuem restrições quanto a movimentação através
do material. Eles estão livres para estar na parte do condutor que desejarem.
( Em condutores lı́quidos, como a água com cloreto de sódio, água com sal
de cozinha, são os ı́ons que fazem esse movimento.
Um condutor perfeito poderia ser um material que possuı́sse a propriedade de ser uma fonte ilimitada de cargas livres. Na vida real, não existem
condutores perfeitos, mas muitas substâncias estão muito próximas de ser.
A partir dessa pequena definição, pode-se descobrir algumas propriedades
eletrostáticas de condutores ideais. Elas serão listadas logo abaixo.
6.2
Propriedades dos Condutores
Essas propriedades estão relacionadas com condutores em equilı́brio eletrostático, ou seja, quando não há movimento ordenado de cargas elétricas
no seu interior e na sua superfı́cie. Seus elétrons livres encontram-se em
85
86
CAPÍTULO 6. CONDUTORES
movimento aleatório.
Propriedade 1 (Propriedade Básica). Um condutor é um sólido que possui
muitos elétrons livres. Os elétrons podem se deslocar no interior da matéria,
mas não deixar a superfı́cie.
Propriedade 2. O Campo elétrico dentro do condutor em equilı́brio
eletrostático é nulo. ( E = 0 dentro do condutor )
Se tivesse campo dentro do condutor os elétrons iriam se mover e não estariam na situação eletrostática. Quando colocamos um condutor na presença
de um campo externo as cargas dentro do condutor tenderão a se distribuir
de forma que o campo no interior do condutor cancele o campo externo.
Figura 6.1
Propriedade 3. A densidade volumétrica de carga dentro do condutor é zero.( ρ = 0 dentro do condutor )
� ·E
� = ρ , se E
� = 0 → ρ = 0, no interior do condutor não há cargas.
∇
ε0
Propriedade 4. As cargas ficam localizadas na superfı́cie do condutor.
Propriedade 5. O condutor é uma equipotencial.
� = 0 dentro do condutor, então E
� = −∇V
�
Se E
� é perpendicular à superfı́cie.
Propriedade 6. E
Se tivesse uma componente paralela a carga se moveria. Como, E = 0,
�
� · d�l = 0 → Va = Vb .
E
87
6.3. CARGA INDUZIDA
Figura 6.2
Propriedade 7. Vimos que a descontinuidade de E era ?/?0. Como
Edentro = 0, então o campo imediatamente fora é proporcional
à densidade de carga local.
� = σ n̂
E
ε0
� ∂V �
Em termos de potencial: σ = ε0 − ∂n
Observação 6.1. Esta equação permite calcular a densidade de carga superficial de um condutor.
6.3
Carga Induzida
Um condutor é um sólido que possui muitos elétrons livres. Os elétrons
podem se deslocar livremente. Quando se aproxima uma carga elétrica de
um condutor carregado eletricamente, devido as fenômenos de atração e repulsão eletrostáticas, observa-se uma nova distribuição das cargas elétricas
no condutor. A figura abaixo exemplifica o processo:
6.3.1
O campo numa cavidade de um condutor
Consideremos um condutor com uma cavidade vazia de forma arbitrária.
Consideremos uma superfı́cie gaussiana S. Em todo ponto de S temos que E
= 0 (campo dentro do condutor = 0). Então o fluxo através de S = 0, logo
a carga total dentro de S é zero.
88
CAPÍTULO 6. CONDUTORES
Figura 6.3
Figura 6.4
Mas se a carga total é igual a zero, poderı́amos dizer que há igual quantidade de cargas positivas e negativas, havendo, assim, a presença de um
�
� · d�l �= 0, o que não pode
campo elétrico. Se tivéssemos esta situação, E
Γ
ser. Portanto, não pode haver campo dentro da cavidade, nem cargas na
superfı́cie interna.
Nenhuma distribuição estática de cargas externas pode produzir campo
no interior do condutor.
Agora vamos considerar uma cavidade com uma carga q dentro dela.
Teremos cargas induzidas na superfı́cie interna, afim de cancelar o campo
dentro do condutor ( Edentro = 0 ), Traçando uma gaussiana S que
contém a cavidade, percebe-se que o fluxo nessa gaussiana é zero, porém,
89
6.3. CARGA INDUZIDA
Figura 6.5
Figura 6.6
traçando-se outra gaussiana, contida na cavidade, percebe-se que o campo
na cavidade não é zero.
Fato Importante:
Campo dentro do condutor é zero!
A cavidade e seu conteúdo estão eletricamente isolados do mundo externo ao condutor. Nenhum campo externo penetra no condutor. Ele será
cancelado pela carga induzida na superfı́cie externa ( da mesma forma que a
cavidade vazia ). A cavidade está isolada do mundo externo ao condutor.
Exemplo 6.1. Uma esfera condutora neutra centrada na origem possui uma
cavidade de formato desconhecido. Dentro da cavidade há uma carga q. Qual
é o campo fora?
Haverá dependência com a forma da cavidade?
Resolução. A carga +q induzida, por sua vez, na superfı́cie externa irá se
90
CAPÍTULO 6. CONDUTORES
Figura 6.7
distribuir uniformemente na superfı́cie da esfera. (a influência assimétrica da
carga +q interna foi cancelada pela carga -q induzida na superfı́cie interna).
O campo externo será igual ao produzido pela superfı́cie esférica carregada
com carga +q.
� =
E
q
r̂
4πε0 r2
O condutor, dessa forma, cria uma barreira, não deixando passar nenhuma informação sobre como é a cavidade, revelando somente a carga total
que a mesma possui.
6.4
Método das Imagens
Suponha uma carga q a uma distância d de um plano condutor aterrado.
Pergunta:
Qual é o potencial na região acima do plano?
q
4πε0 r
Não é só
, pois haverá carga induzida no plano condutor e não
sabemos quanta carga é induzida e como ela está distribuı́da.
Outra situaç~
ao: : Carga e uma esfera condutora.
6.4. MÉTODO DAS IMAGENS
91
Figura 6.8
Figura 6.9
Antes de atacarmos este problema vamos recordar um problema muito
mais simples que já estudamos: duas cargas +q e -q; e A e B superfı́cies
equipotenciais.
Figura 6.10
Considere a superfı́cie equipotencial A. Suponha que pegamos uma folha
fina de metal da forma desta superfı́cie. Se a colocarmos exatamente no
lugar da superfı́cie equipotencial e ajustamos o seu potencial a um valor
92
CAPÍTULO 6. CONDUTORES
apropriado de forma que nada mudasse, nós não darı́amos conta de que a
superfı́cie metálica estaria ali.
Terı́amos a solução do novo problema:
Figura 6.11
O campo no exterior ao condutor é exatamente o mesmo campo de duas
cargas pontuais!
� =0eE
� é perpendicular à superfı́cie.
Dentro E
Então, para calcularmos os campos das situações discutidas, basta calcular o campo devido à uma carga q e uma carga -q imaginária localizada em
um ponto apropriado.
Caso mais simples:
6.4.1
Carga e o Plano Condutor Aterrado
Figura 6.12


1 
q
q

V (x, y, z) =
−�
� 12
2
4πεo �x2 + (y − d)2 + z 2 � 12
2
2
x + (y + d) + z
93
6.4. MÉTODO DAS IMAGENS
Figura 6.13
, para y ≥ 0.
Condição de contorno
V (x, 0, z) = 0
V → 0parar̃ → ∞
6.4.2
Densidade De Carga Induzida Na Superfı́cie Do
Plano
�
∂V
∂V ��
σ = −εo
= −εo
∂n
∂y �y=0
�
�
�
εo q ∂ 
1
1
�

σ (x, y, z) = −
1 − �
1
�
�
�
�
2
2
4πεo ∂y
2
2
�
x2 + (y − d) + z 2
x2 + (y + d) + z 2
y=0

�
�
�
2 (y − d)
2 (y + d)
q 
�

σ (x, y, z) = −
−
�
� 32 �
2
4π �x2 + (y − d)2 + z 2 � 32
2
2
�
x + (y + d) + z
y=0

�
− 12
σ (x, y, z) = −
�
q
d
2π (x2 + d2 + z 2 ) 32
�
− 12
�
94
CAPÍTULO 6. CONDUTORES
⇒ σ é negativa como esperado.
A carga total induzida
Qinduzida =
�
σds = −ε0 k2qd
�
ds
3
(x2 + y 2 + z 2 ) 2
x2 + z 2 = d 2
ds = rdθdr
Qinduzida = −ε0 k2qd
�∞ �2π
0
Qinduzida = −ε0 kqd2π
�∞
d2
0
rdθdr
3
(r2 + d2 ) 2
−ε0 kqd
2π
3 =
4πε0
(u) 2
du
� �
2
= −q
d
r 2 + d2 = u
du = 2rdr
A carga q é atraı́da pelo plano, pois há carga negativa induzida.
2
Força de atração F� = − 4πε q(2d)2 ĵ
o
Nós assumimos tudo igual ao sistema de duas cargas, mas cuidado, nem
tudo é igual.
A energia:
1
U=
2
�
E 2 dv
Uduascargas = −
1 q2
4πεo 2d
95
6.5. PODER DAS PONTAS
2
1 q
Ucargaeplanocondutor = − 8πε
que é a metade. Por que?
o 2d
Somente a região de y¿0 possui E �= 0
�∞
�∞ 2
A integral U = 12 E 2 dv = 12 12
E dv
0
−∞
Tudo isso foi possı́vel, pois:
Dado uma configuração de condições de contorno, a solução da equação de
Laplace é única, de modo que, se alguém obtiver uma solução V (x, y, z) por
qualquer meio e se este V satisfizer todas as condições de contorno, ter-se-á
encontrado então uma solução completa do problema.
6.5
Poder das Pontas
Figura 6.14
Figura 6.15
VA α
Q�A
RA
VB α
Q�B
RB
96
CAPÍTULO 6. CONDUTORES
VA = VB ⇒
Q�A
Q�B
=
RA
RB
2 �
2 �
Q�A
4πRA
σA
4πRB
σB
=
=
RA
RA
RB
⇒
RA σA� = RB σB�
⇒
σA�
RB
=
�
σB
RA
⇒
σA� =
6.6
RB �
σ
RA B
Carga Na Superfı́cie e Força Em Um Condutor
� = σ n̂ (Campo externo ) e vimos que σ = −εo ∂V .
Já vimos que E
εo
∂n
Na presença de um campo elétrico, uma superfı́cie carregada irá sentir
uma força.
�
⇒ Força por unidade de área f� = σ E.
Mas temos um problema: o campo é descontı́nuo na superfı́cie. Qual devo
� acima , E
� abaixo
usar: E
Resposta: Você deve usar a média dos dois:
�
�
� media = 1 σ E
� acima + E
� abaixo
f� = σ E
2