UFAM
Universidade Federal do Amazonas
Instituto de ciêcias exatas - ICE
Departamento de Fı́sica
Fı́sica Geral e Experimental A
Lista de Exercı́cios - Oscilações
1. (Cancelada) Um bloco de massa M , em repouso numa mesa horizontal sem atrito, é ligado a um suporte
rı́gido por uma mola de constante k . Uma bala de massa m e velocidade v atinge o bloco como mostrado na
figura à seguir. A bala penetra no bloco.
2. A roda de balanço de um relógio oscila com uma amplitude angular de πrad e um perı́odo de 0, 5s .
(a) Ache a velocidade angular máxima da roda
(b) Ache a velocidade angular da roda quando o seu deslocamento for de π/2rad . Vamos considerar que
o deslocamento tem o valor estipulado quando t = t1 .
para calcular a velocidade basta derivar a expressão
θ
dθ
dt
=
θM cos(wt + φ)
=
−wθM sen(wt + φ)
para amplitude máxima temos que −sen(wt + φ) = 1), logo chegamos a seguinte expressão:
dθ
dt
=
wθM
=
2π
π
T
4π2
=
3. Ache a velocidade angular da roda quando o seu deslocamento for de π/2rad . Vamos considerar que o
deslocamento tem o valor estipulado quando t = t1 .
θ =
θM cos(wt + φ) =
cos(wt + φ) =
θM cos(wt + φ)
π
2
π
2
π
Este resultado é válido se wt + φ = 600 = ± π3 , logo:
dθ
dt
=
=
=
−wθM sen(wt + φ)
2π
π
πsen(± )
T
3
√
±2π2 3rad/s
−
1
4. Um pêndulo fı́sico consiste em um disco sólido uniforme (de massa M e raio R) , suportado num plano vertical
por um eixo localizado a uma distância d do centro do disco - ver figura à seguir. O disco é deslocado um
pequeno ângulo e liberado. Ache uma expressão para o movimento harmônico simples resultante.
Aplicando o cálculo do torque para rotações:
τ =
=
−Pdsenθ
Iα
Aplicando o teorema dos eixos paralelos ao problema, obtemos:
= Ic m + Md2
1
=
MR2
2
1
= M( R2 + d2 )
2
I
I
Da primeira equação temos que o torque resultante é igual a zero ,logo igualamos o torque a zero e dividimos
a equação por I e obtemos:
α+
Pd
=0
I
Para pequenas oscilações podemos aproximar senθ = θ e obtemos:
d2 θ Mgd
+
θ=0
I
dt2
seja:
w2
=
w
=
f racMgdI
r
2gd
2
R + 2d2
5. Duas molas idênticas estão ligadas a um bloco de massa m e aos dois suportes mostrados na figura ao lado.
2
Mostre que a frequência de oscilação na superfı́cie sem atrito é:
r
1
2k
f =
2π m
(1)
As forças exercidas por cada mola no problema é dada como segue:
F~1 = −k1 xî
F~2 = −k2 xî
Temos então que a força resultante será dada por:
~ = −kxî
F
onde K = k1 + k2 temos então que:
r
k
w=
m
r
k1 + k2
w=
m
como k1 = k2 então K = 2k
r
2k
m
w
f =
2π
r
1
2k
f =
2π m
w=
6. Um objeto sujeito a um movimento harmônico simples leva 0,25s para ir de um ponto de velocidade zero
até o próximo ponto onde isso ocorre. A distância entre esses pontos é de 36cm.
(a) Calcule o perı́odo.
(b) Calcule a fequência.
(c) Calcule a Amplitude.
a) A velocidade se anula quando x(t) = +A ou x(t) = −A. No enunciado diz então que leva 0, 25s para ir de
A a −A, isto é meio perı́odo T (ou T/2) já que o perı́odo é o tempo que leva para partir de A e voltar para A.
Assim:
T/2 = 0, 25s T = 0, 5s
b) Como T = 1/ f (aonde f é a frequência) temos: f = 1/0, 5 f = 2Hz c) Pelo enunciado o objeto vai de x0 = −A
até x1 = A em 0, 25s. Então: x = x1 − x0 x = A − (−A) x = 2A
E pelo enunciado a distância entre os pontos é 36cm. Assim x = 36cm. Portanto: 2A = 36cm logo A = 18cm
7. Um objeto tem o seu movimento periódico descrito pela seguinte equação:
x=
2R
sen(4πt + 4)
3
Determine:
3
(2)
(a) A Amplitude, frequência angular e perı́odo do objeto
(b) A velocidade
(c) A aceleração
Solução trivial, visto em sala de aula checar as notas.
8. Um corpo de massa 3kg está preso a uma mola de constante elástica 200N/m. Quando ele é deslocado da
sua posição de equilı́brio, passa a deslocar-se, executando o movimento harmônico simples e atingindo uma
elongação máxima na posição 0, 5m. Determine a frequência e a amplitude desse movimento.
Dados:
m = 3 kg
k = 200 N/m
Determinamos a frequência com a seguinte expressão:
1
f =
2π
r
k
m
(3)
200
3
(4)
substituindo os dados:
1
f =
2π
f =
r
1
8, 16
2π
(5)
logo f = 12, 8Hz
A amplitude corresponde à posição máxima de elongação da mola que, de acordo com o enunciado do
exercı́cio, é 0, 5m. Portanto, a amplitude é 0, 5m.
9. Um oscilador massa-mola, cuja massa é 1kg, oscila a partir de sua posição de equilı́brio. Sabendo que a
constante elástica da mola é 60N/m, calcule a velocidade angular e a frequência desse oscilador.
Dados:
m = 1kg
k = 60 N/m
Calculamos a velocidade angular a partir da seguinte equação:
r
ω=
k
m
(6)
60
1
(7)
substituindo os valores:
r
ω=
obtemos que ω = 7, 74rad/s
a frequência pode ser obtida pela expressão:
f =
ω
2π
(8)
7, 74
2π
(9)
substituindo os valores
f =
chegamos ao resultado que a frequencia é igual a f = 1, 23Hz.
4
10. (Cancelada)Um bloco é comprimido da sua posição 3m de equilı́brio para outra posição e posteriormente é
solto. Considere o sistema bloco-mola livre de forças dissipativas e que o bloco entra em m.h.s com perı́odo
igual a 4s. Determine a frequência do movimento, a pulsação e a fase inicial.
11. Um ponto material executa um Movimento Harmônico Simples (M. H. S.) e tem num determinado instante
velocidade de 8cm/s. Sabendo-se que nesse instante a diferença entre os quadrados de sua amplitude e de
sua elongação é de 36cm, determinar sua pulsação.
A elongação de um ponto em Movimento Harmônico Simples (M.H.S.) é dado pela expressão
x = Acos(ωt − φ)
(10)
v = −(ωt − φ)
(11)
x2 = A2 cos2 (ωt − φ)
(12)
e a sua velocidade por:
elevando a primeita equação ao quadrado
substituindo na condição dada no problema
A2 − A2 cos2 (ωt − φ) = 36
(13)
A2 (1 − cos2 (ωt − φ) = 36
(14)
colocando A2 em evidência, obtemos:
da trigonometria sabemos que:
cos2 x + sen2 x = 1 logo sen2 x = 1 − cos2 x, aplicando a equação obtemos:
A2 sen2 (ωt − φ) = 36
(15)
elevando a equação da velocidade ao quadrado obtemos:
onde:
v2 = −ω2 A2 sen2 (ωt − φ)
(16)
v2
= −A2 sen2 (ωt − φ)
ω2
(17)
v2
= 36
ω2
(18)
82
= 36
ω2
(19)
64
36
(20)
substituindo em (3)
substituindo pelo valor do problema temos:
onde:
ω2 =
logo ω =
8
6
ou ω = 43 rad/s
5