ANÁLISE DOS PROCEDIMENTOS DE CONVERSÃO DE ALUNOS DE OITAVA
SÉRIE NA PERSPECTIVA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICOS
Raquel Taís Breunig1
Cátia Maria Nehring2
Marta Cristina Cesar Pozzobon3
Resumo: Neste texto, trazemos algumas conclusões parciais da pesquisa que discute a aquisição conceitual de
conceitos algébricos na Educação Básica. Como referencial teórico definimos a Teoria dos Registros de
Representação Semiótica de Duval (2003) e os Conceitos Algébricos, principalmente nas Ideias da Álgebra de
Coxford e Shulte (1995) e nos Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática (BRASIL, 1998). Analisamos uma
Coleção de Livros Didáticos – Tudo é Matemática (2002), justificado pela sua grande adoção em nossa região e
sendo o livro didático um grande definir das ações do professor. Temos como objetivo, neste artigo, analisar e refletir
os procedimentos de conversão e tratamento dos Registros de Representação Algébricos, realizados por alunos.
Duval (2003) salienta que, para que o aluno tenha uma apreensão conceitual significativa é necessário que este
mobilize ao menos dois Registros de Representação Semiótica de um mesmo objeto matemático. Para tanto,
elaboramos um protocolo com três situações de ensino, reorganizadas e que abrangem conceitos algébricos, do Livro
Didático. Distribuímos noventa e cinco protocolos, na qual retornaram oitenta e dois, a quatro turmas de oitava série
de três escolas distintas de Educação Básica. Analisamos estes protocolos considerando as possibilidades de
conversão e tratamento dos registros algébricos e os procedimentos dos alunos, na perspectiva dos Registros de
Representação Algébricos. Identificamos a não coordenação dos registros algébricos por parte dos alunos, sendo que
estes, em sua maioria, possuem dificuldades no que tange à compreensão conceitual da Álgebra, bem como, em
reconhecer e coordenar os diferentes registros de representação algébricos.
Palavras-chave: Registros de Representação Semiótica, Ensino de Álgebra, Ensino Fundamental.
Introdução
Este trabalho está vinculado ao Projeto de Pesquisa – Propostas Curriculares de
Matemática e Aquisição Conceitual na Perspectiva dos Registros de Representação. Tem como
objetivo, relatar, analisar e, apresentar reflexões a respeito do Ensino de Álgebra no Ensino
Fundamental, considerando a Teoria dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2003).
Analisamos situações de ensino, apresentadas em uma Coleção de Livros Didáticos do
Ensino Fundamental4, muito utilizado na região de nossa Instituição de Ensino, contemplando os
1
Acadêmica do Curso de Matemática – Licenciatura da UNIJUÍ e Bolsista PIBIC/CNPq.
E-mail: [email protected].
2
Orientadora Professora Doutora do Departamento de Física, Estatística e Matemática – DeFEM – e do Programa
Pós-Graduação em Educação nas Ciências da UNIJUÍ. E-mail: [email protected].
3
Co-Orientadora Professora Mestre do Departamento de Física, Estatística e Matemática – DeFEM da UNIJUÍ.
E-mail: [email protected].
91
Registros de Representação (RR) e os conceitos de Álgebra. O Livro Didático tem sido o
principal instrumento de referência para muitos professores de Matemática no momento de
pensar e elaborar seus planos de aula. Este fato, infelizmente, não tem contribuído
significativamente para a apreensão conceitual de Matemática. Várias pesquisas5 discutem o
ensino e a aprendizagem de conceitos algébricos, considerando que professores e alunos têm
identificado dificuldades em relação ao ensinar e aprender conceitos algébricos. Coxford e Shulte
(1994), identificam que a necessidade maior dos alunos é com a compreensão sólida dos
conceitos algébricos e a capacidade de usar o conhecimento em situações novas e às vezes
inesperadas.
Trazemos neste artigo uma discussão em relação ao ensino de Álgebra e a Teoria dos
Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2003), bem como, as Dimensões da Álgebra,
propostas pelos documentos oficiais e, as transformações entre os RR. Posteriormente, trazemos
uma análise das situações de ensino, que abrangem conceitos algébricos, e das proposições dos
alunos, considerando o aporte teórico dos Registros de Representação Semiótica.
Ensino de Álgebra e a Teoria dos Registros de Representação Semiótica
Considerando as dificuldades em relação ao ensinar e aprender conceitos algébricos, é
possível afirmar que, em muitas salas de aula, os alunos continuam sendo treinados para
armazenar informações e para desenvolver a competência no desempenho de manipulações
algorítmicas (COXFORD; SHULTE, 1994). Fato este que infelizmente ainda ocorre em muitas
salas de aula, prejudicando o desempenho e o aprendizado significativo dos alunos,
principalmente em relação ao Ensino de Álgebra.
A Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2003), tem sido relevante
instrumento de pesquisa em relação à aquisição e organização de situações de ensino e
aprendizagem de conceitos matemáticos, considerando-se a necessidade de apreensão conceitual
significativa dos conceitos matemáticos, especificamente no ensino da Álgebra.
Duval (2003), salienta em sua Teoria que, diferente de outras áreas do conhecimento, em
Matemática, nem tudo é perceptível ou observável através de objetos concretos, ou seja, os
conceitos e conteúdos são abstrações desencadeadas por processos de generalização, com a
4
Coleção de Livros Didáticos Tudo é Matemática de Luiz Roberto Dante (2002), vale ressaltar que, as situações de
ensino propostas no protocolo constam no Livro Didático de sétima série desta coleção.
5
LOPES JUNIOR, 2006; VIZOLLI, 2006; JACOMELLI, 2006; KEPPKE, 2007, entre outros.
92
necessidade das representações semióticas para que ocorra uma verdadeira apreensão e “evolução
do pensamento matemático”. Esta afirmação pode ser exemplificada por uma função, que pode
ser representada de diferentes maneiras, como, uma expressão algébrica, um gráfico ou tabela.
As representações semióticas utilizadas em Matemática são classificadas por Duval (2003),
em quatro tipos de registros distintos: Língua Natural, Figuras Geométricas, Sistemas de Escritas,
e Gráficos Cartesianos. Sendo que, a partir da Teoria dos Registros de Representação Semiótica
(DUVAL, 2003), e as Dimensões da Álgebra (BRASIL, 1998), organizamos os seguintes
registros algébricos: Registro Aritmético (RA) – a linguagem algébrica é usada para expressar ou
traduzir padrões numéricos e geométricos; Registro Funcional (RF) – são expressas relações e
variáveis; Registro de Equações (REq) – as letras são entendidas como incógnitas; Registro
Estrutural (RE) – a letra assume a dimensão de símbolo abstrato; Registro da Língua Materna
(RLM) – as situações são apresentadas na língua natural; Registro Figural (RFig) – envolve
figuras geométricas e gráficos (RG); Registro Numérico (RN) – envolve tabelas ou sequência de
números.
Essa diversidade de representações semióticas possibilita a transformação entre os registros,
podendo ser denominada em dois tipos distintos de transformações das representações
semióticas: o Tratamento e a Conversão, diferenciados entre si no quadro abaixo.
Transformação
De uma representação semiótica em uma outra representação semiótica
Permanecendo no mesmo sistema:
Tratamento
Quase sempre, é somente este tipo de transformação
que chama a atenção porque ele corresponde a
procedimentos de justificação. De um ponto de vista
“pedagógico”, tenta-se algumas vezes procurar o
melhor registro de representação a ser utilizado para
que os alunos possam compreender.
Mudando de sistema, mas conservando a referencia
aos mesmos objetos: Conversão
Este tipo de transformação enfrenta os fenômenos de
não-congruência. Isso se traduz pelo fato de os alunos
não reconhecerem o mesmo objeto através de duas
representações diferentes. A capacidade de converter
implica a coordenação de registros mobilizados. Os
fatores de não-congruência mudam conforme os tipos
de registro entre os quais a conversão é, ou deve ser,
efetuada.
(Duval, 2003, p. 15)
Nessa ótica, Duval (2003), propõe que a compreensão em Matemática supõe a coordenação
de ao menos dois RR Semiótica. Sendo possível afirmar ainda que,
... a apreensão conceitual dos objetos matemáticos somente será possível a partir da
coordenação, pelo sujeito que aprende, de vários registros de representação. Ou seja,
quanto maior for a mobilidade com registros de representação diferentes do mesmo
objeto matemático, maior será a possibilidade de apreensão deste objeto. (DAMM, 1999,
p. 143-144).
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Percebemos nesta afirmação a importância dos RR Semiótica e das transformações entre
eles, no ensino de Matemática, permitindo que ocorra uma melhor compreensão do objeto
matemático, estabelecendo um vínculo entre o aprender e entender Matemática, através da
conversão entre os registros, ou seja, compreender o objeto matemático, em suas diferentes
dimensões.
Como contribuição ao ensinar e aprender conceitos algébricos é importante que o professor,
com um “olhar” de gestor das ações de ensino, considere o aporte teórico dos Registros de
Representação Semiótica de Duval (2003), explorando as atividades de Conversão e Tratamento
dos registros na organização e reorganização de situações de ensino. Esta exploração pode
possibilitar o aprendizado do aluno, fazendo com que ele construa um significado concreto, no
que tange ao ensino de Álgebra (COXFORD; SHULTE, 1994). Ainda é fundamental considerar a
afirmação dos autores, em relação às dimensões da Álgebra, sendo estas estruturadoras na
compreensão dos conceitos algébricos.
A partir das dimensões, propostas nos Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática
(BRASIL, 1998) e por Coxford e Shulte (1994), também entendemos ser importante propor aos
alunos, situações de ensino que os estimulem a identificar e utilizar os diferentes registros, no
tratamento e conversão, a partir da compreensão dos conceitos. A identificação dos registros
algébricos e a compreensão do tratamento e conversão destes, nos possibilitou a análise da
Coleção de Livros Didáticos, enfatizando os conceitos algébricos, a qual é destacada por Nehring
e Pozzobon (2009). Esta análise contribuiu para elaboração de um protocolo que abrange a
proposição de situações de ensino, considerando as possibilidades de exploração e as proposições
dos alunos, enfatizando as transformações entre os registros.
Proposições das situações de ensino
A partir da análise dos Livros Didáticos, selecionamos três situações de ensino, propostas
no Livro Didático de sétima série de Dante (2002) – Tudo é Matemática, que manifestam com
maior ênfase os conceitos algébricos e necessitam da conversão dos RR Algébricos. Estas
atividades de ensino estruturaram um protocolo, aplicado a quatro turmas de oitava série do
Ensino Fundamental de três escolas distintas da Educação Básica da região noroeste do Estado do
Rio Grande do Sul. O objetivo deste procedimento era analisar os processos dos alunos, sob a
ótica dos RR Semiótica e das Dimensões da Álgebra, considerando o tratamento e conversão
realizados.
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O protocolo foi proposto a oitenta e dois alunos, mediante a conversa prévia com os
professores responsáveis pelas turmas. Quem aplicou o protocolo, foi o professor da turma,
acompanhado do bolsista da pesquisa, no primeiro semestre de 2009. Após este momento foi
realizada a análise dos procedimentos considerando o quadro teórico assumido pela pesquisa,
identificando quais os tratamentos adotados pelos alunos e que tipo de dificuldade estes
tratamentos desencadeavam a atividade de conversão. Passamos a apresentar as situações de
ensino e a análise das mesmas.
QUADRO 1 – Situação de ensino 1
Em geral, ao fazerem experimentos os cientistas elaboram um gráfico com os dados obtidos e depois procuram
descobrir uma fórmula que corresponda a esse gráfico: Faça o mesmo para cada gráfico abaixo, escreva uma
fórmula correspondente, dando o valor de y em função de x.
a)
b)
Fonte: Livro Didático, p. 123.
A situação de ensino um envolve três tipos de RR: RLM, RG e o RF. O RLM sugere
situações-problema através da língua portuguesa, como pode ser observado em seu enunciado. É
necessário que o aluno interprete e compreenda o enunciado, identificando o que é e o que define
uma função, entendendo x como variável independente e y como variável dependente. O RG
representa a planificação das coordenadas no plano cartesiano, sugere a escrita da fórmula
solicitada no enunciado, sendo necessária a identificação das coordenadas representadas nos
planos para a formação da função, reconhecendo e identificando as variáveis dependentes e
independentes. O RF, que define as letras como variáveis, é a solução do problema, sendo
necessária a coordenação dos registros para que este ocorra.
É significativo destacar que apenas vinte alunos realizaram a conversão do RG para o RF.
Dentre estes, dez obtiveram sucesso na atividade de conversão no RG do item A, nove realizaram
a conversão entre os registros nos gráficos dos itens A e B e, em um caso identificamos uma
dificuldade em relação à identificação das ordenadas e abscissas.
Na figura 1 o aluno A realiza a conversão do RG  RF nas duas situações apresentadas (A
e B), ou seja, do RG para o RF, porém, identificando no item A a variável x como dependente.
Identificamos em outro protocolo, que o aluno B também realiza corretamente a conversão do
RG  RF no item A, no entanto, percebemos que no item B o aluno não obteve êxito em sua
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resposta, pois não identificou o coeficiente linear, registrando a função como sendo x  3 y ,
prejudicando a conversão para o RF. Em um terceiro protocolo, percebemos que o aluno C
também realizou a conversão do RG  RF, porém possui dificuldades em reconhecer as
ordenadas e abscissas, bem como definir a variável dependente e independente. Num quarto
protocolo, identificamos que o aluno D realizou a conversão do RG  RLM, ou seja, o aluno
identificou a existência de uma regularidade ao escrever que x é o dobro de y, porém não
conseguiu afirmar algebricamente sua proposição, ou seja, possui dificuldades em reconhecer as
ordenadas e abscissas, porém, demonstra compreender as dimensões das letras como incógnita e
variável, utilizando-se do RLM.
Figura 1: Conversão do RG  RF nas atividades A e B
Figura 2: Tratamento numérico do RG
Observamos ainda que dos demais alunos, onze não resolveram a situação de ensino e
cinqüenta e um alunos realizaram apenas um tratamento numérico do RG, identificando os
valores de x e y (figura 2). Percebemos que estes alunos não entendem as letras como varáveis,
demonstrando que existe dificuldade na coordenação do RLM  RG  RF.
QUADRO 2 – Situação de ensino 2
Encontre três pares ordenados que sejam solução da equação x  y  5 . A seguir, represente graficamente essa
equação no plano cartesiano.
Fonte: Livro Didático, p. 217.
A situação de ensino dois envolve quatro RR: RLM, REq, RF e o RG. O RLM pode ser
observado na situação de ensino por meio do enunciado. O REq define as letras como incógnitas
com intuito de resolver a equação x  y  5 presente no enunciado. O RF, que define as letras
como varáveis, é o registro intermediário à conversão para o RG. A mobilização/coordenação
destes registros determina a solução da situação.
Cabe destacar que somente quatro alunos realizaram a conversão do REq  RF (figura 3)
e destes, apenas um realizou a conversão do RF  RG (figura 4).
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Figura 3: Conversão do REq  RF
Figura 4: Conversão do REq  RF  RG
Na figura 3 o aluno A realiza somente a conversão do REq  RF, porém não realiza a
conversão do RF  RG, em razão da não coordenação dos RR simbólico e gráfico, ou seja, o
aluno não consegue identificar as abscissas e as ordenadas no plano cartesiano. Na figura 4, o
aluno B, ao realizar a conversão do REq  RF  RG, demonstra compreender as dimensões das
letras como incógnita e variável coordenando os RR envolvidos na situação.
Observamos que os demais alunos, ou seja, os outros setenta e oito alunos realizaram um
tratamento numérico no REq. Compreendemos que estes alunos entenderam as letras x e y apenas
como incógnitas. Estes mesmos alunos atribuíram às incógnitas apenas valores discretizados, ou
seja, alguns números inteiros isolados, desconsiderando o conjunto dos números reais, isto é, não
exploram o que acontece com os valores intermediários aos números selecionados. Como
podemos observar na figura 5.
Figura 5: Tratamento numérico no registro de equações
QUADRO 3 – Situação de ensino 3
Na engenharia pesquisa-se quanto uma mola se alonga em função da massa de um corpo preso a ela. Examine os
valores da tabela e o gráfico abaixo em um experimento com determinada mola.
Considerando estas informações, responda as questões abaixo:
a) Escreva uma fórmula que relacione o alongamento (a) com a massa (p).
b) Quantos centímetros essa mola alongaria se fosse colocado nela um corpo de 2,5 kg? E um corpo de 5 kg?
c) Escreva com suas palavras o que significa a fórmula da questão a.
d) Caso o comprimento inicial dessa mola fosse 10 cm, qual seria a fórmula que forneceria o comprimento total
da mola, em função da massa do corpo, após o alongamento.
Fonte: Livro Didático, p. 123.
A situação de ensino três envolve cinco diferentes RR algébricos: RLM, RFig, RG, RF e o
REq. O RLM é o ponto de partida dos tratamentos necessários à resolução da situação de ensino,
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sendo necessário que o aluno compreenda as informações do gráfico, da figura, e da tabela para a
solução dos itens. A partir do enunciado é apresentado o RFig, que sugere simplesmente a
imagem de uma mola. Precisamos, enquanto professores ter um cuidado especial neste tipo de
imagem, pois ela só ilustra o enunciado, não podendo ser considerado um RR. O RG representa a
planificação das coordenadas no plano cartesiano, que também está explícito no enunciado,
contendo a relação entre o alongamento da mola e a massa do corpo preso a ela. É necessário que
o aluno compreenda esta relação, ou seja, entenda que o alongamento da mola depende da massa
do corpo preso a ela. Identificamos o RN, explícito através da tabela constante no enunciado,
contendo a relação numérica entre o alongamento e a massa, na qual o aluno também pode
estabelecer relações, identificando as regularidades existentes. Feita esta análise do enunciado
principal, pode-se analisar o item A da situação de ensino.
No item A é solicitada a escrita de uma fórmula que relacione o alongamento (a) com a
massa (p), sendo necessário um pensamento funcional para compreender o que o RLM solicita,
entendendo o que compõe uma função e que as letras assumem as dimensões de variáveis,
dependente (a) e independente (p). É necessária a mobilização do RLM, RFig, RG e RN,
explícitos no enunciado principal, para o RF, que define as letras como variáveis, e é solução
deste item.
No item B, é preciso determinar quantos centímetros essa mola se alongaria se fossem
colocados nela um corpo de 2,5 Kg e um de 5 Kg. É necessário compreender o RLM explícito no
enunciado, realizando o tratamento numérico da tabela (RN), dando continuidade à seqüência.
Ou, mobilizar o RF (item A), para o REq, que define as letras como incógnitas, para então,
atribuir valores a elas.
O item C solicita, ao aluno, que registre o significado do RF obtido no item A, sendo
necessário que ele faça a conversão do RF para o RLM, expressando através da língua portuguesa
o significado da “fórmula”.
O item D solicita ao aluno que determine uma função que represente o comprimento total
da mola, em função da massa do corpo, considerando o comprimento inicial de 10 cm. É
necessário compreender que o RLM sugere um pensamento funcional, entendendo que o
comprimento inicial é um valor fixo, e que este assume a função de coeficiente linear na função a
ser determinada. È necessário relacionar o RFig, RG e RN, realizando então, a mobilização
destes registros para o RF, encontrando a função a  3 p  10 .
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Através desta análise inicial identificamos a conversão dos RLM, RFig, RG e RN para o
RF, do RF para o REq, e do RF para RLM, sendo que estas mobilizações determinam a solução
da situação de ensino. Nas tabelas, abaixo destacamos, os procedimentos adotados pelos alunos.
Dos oitenta e dois alunos, dezessete não responderam à situação de ensino. Destes dezessete
alunos, dois escreveram que não sabiam fazer a situação.
Número de alunos
Itens resolvidos
17
0
16
1
15
2
12
3
22
4
82
Total de alunos
Relação de alunos e quantidade de itens resolvidos
Dentre os dezesseis alunos que responderam apenas a um item, nove responderam o item A,
e sete responderam o item B. Cinco alunos responderam os itens A e B, três responderam os itens
A e C, seis responderam os itens B e C, e um respondeu aos itens B e D, compondo o total de
quinze alunos que responderam dois itens. Entre os doze alunos que responderam três itens, cinco
responderam aos itens A, B e C, cinco responderam aos itens A, B, e D, e dois responderam aos
itens A, C e D.
A tabela abaixo relaciona o número de alunos que responderam aos itens A, B, C e D. As
questões A e B foram respondidas pelo maior número de aluno, já o item D, teve o menor índice.
Item
Número de alunos
A
51
B
53
C
38
D
30
Número de alunos que responderam a cada item
Dentre os cinqüenta e um alunos que realizaram o item A, apenas um realizou a conversão
do RLM, RFig, RG e RN para o RF (figura 6). Dois alunos chegaram ao RF generalizando o RN,
identificando a regularidade presente na tabela. Nestes três casos podemos perceber que os alunos
conseguiram desenvolver um pensamento funcional, entendendo a dimensão das letras como
variáveis dependente e independente. Dezoito alunos perceberam a regularidade existente, porém
apenas realizaram o RLM, expressando a regularidade na língua portuguesa. Nove alunos,
tentaram realizar a conversão para o RF, porém não tiveram sucesso, escrevendo a função na
forma 3cm  x  3 y . Entendemos que estes alunos em geral, entenderam que o alongamento
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depende da massa, identificando algebricamente ou não, as dimensões das letras como variáveis,
mas não possuem clareza no significado de dependência entre as variáveis. Dois alunos apenas
perceberam a regularidade numérica, enfatizando, por exemplo, que a cada quilograma
acrescentado a mola aumenta três centímetros, porém não conseguiram generalizar esta
informação, através do RF ou do RLM. Um aluno fez apenas o tratamento numérico da tabela,
listando os valores da massa vezes três. Outro aluno entendeu através do RLM o processo que
ocorre com a mola, porém não conseguiu generalizar, ou seja, escrever algebricamente através do
RF, pois ele escreveu que “se o peso da massa fosse 7,5 Kg a mola se alongaria para 22,5 cm”.
Dez alunos entenderam as letras como variáveis, porém não compreenderam o significado do RF,
bem como, não conseguiram generalizar o RFig, RG ou RN, pois observamos procedimentos do
tipo: a  p , 1 p  3 , 3  a  p  3  a  p ou a  p . Observamos ainda, que quinze alunos não
conseguiram realizar a conversão entre os registros, pois não entenderam as dimensões das letras,
conseqüência , de não identificarem nenhuma regularidade nos registros que antecedem este item,
pois todos escreveram a relação 2  p  2  a  6  a  6  a  4  p  12  a . Um aluno demonstrou não
ter compreendido a situação de ensino, pois realizou a subtração entre 5 Kg e 3Kg .
Figura 6: Conversão do RLM, RFig, RG, RN  RF
Figura 7: Solução por Regra de Três
Observamos no item B que a maioria dos alunos realizou corretamente os procedimentos de
conversão do RF para o REq, realizando o tratamento do mesmo, substituindo a letra
correspondente à massa da mola, por seus respectivos valores. Dentre os cinqüenta e três alunos
que responderam este item, dois apenas destacaram os valores, consequência de não terem
realizado corretamente o RF solicitado no item A. Um aluno, já destacado anteriormente, por
realizar uma subtração entre as massas do corpo, realizou uma adição entre as massas. Seis
alunos destacaram apenas “achar” que o resultado seria a  p , 19,5 Kg ou 6 Kg, através da
multiplicação do três pelo dois, ou ainda, que “o corpo de 2 Kg aumentaria 4 cm e o corpo de 5
Kg aumentaria 6 cm... não sei isso, não me lembro”, bem como, apenas dar uma resposta
algébrica. Entendemos que estes alunos não obtiveram sucesso neste item, pois não realizaram
corretamente a conversão para o RF no item A. Quarenta e quatro alunos, responderam
corretamente este item, ignorando alguns equívocos, tais como, a multiplicação de números
100
decimais. Dentre estes alunos, observamos que quatro alunos realizaram uma regra de três para
solucionar este item (figura 7), chegando também a uma resposta numérica, os demais,
realizaram a multiplicação, ou seja, o tratamento do REq, ou deram continuidade à tabela do
enunciado principal, encontrando corretamente a solução, registrando o resultado no protocolo
através do RN ou do RLM.
No item C observamos que dos trinta e oito alunos que responderam a este item, seis não
haviam solucionado o item A. Dois destes alunos por sua vez, responderam que “é um gráfico de
massa de alongamento, com números em vez de letras”, não existindo uma compreensão da
situação de ensino. Os demais alunos compreenderam a situação de ensino, porém, não tiveram
um pensamento funcional, pois não conseguiram realizar o RF, recorrendo ao RLM para
representar que a cada quilograma acrescentado à mola, esta se alongará três centímetros (figura
8). Os trinta e dois alunos restantes realizaram o RLM corretamente, cada um utilizando
linguagem própria.
Figura 8: RLM
Figura 9: Conversão do RLM, RFig, RG, RN  RF
Percebemos no item D que dos trinta alunos que o responderam, apenas cinco realizaram a
conversão do RLM, RFig, RG e RN para o RF, entendendo a medida inicial da mola como o
coeficiente linear da função, identificando o pensamento funcional, como podemos observar na
figura 7. Oito alunos não compreenderam o que compõe uma função e que o número dez assume
a função de coeficiente linear, pois usaram o mesmo procedimento do item A. Observamos em
dois casos que os alunos realizaram uma multiplicação e uma divisão, formando uma nova tabela,
realizando o tratamento numérico, porém incorreto, deixando explícito, que não houve uma
compreensão em relação ao coeficiente linear, fazendo com que não se realizasse a conversão
para o RF. Em seis protocolos observamos que os alunos apenas colocaram respostas como, 3,5
Kg, a  p  40 , não deixando explícito qual o processo utilizado para esta solução, entendendo
que apenas foram realizados tratamento numéricos. Cinco alunos se expressaram através do
RLM, não sendo possível identificar o significado desta solução. Outros quatro protocolos
também não explicitam uma solução concreta, destacamos que entre estas, uma utiliza o RLM
para expressar a multiplicação do coeficiente linear três pelo número dez, entendendo que ele
101
considerou a função inicial a  3  p , com p igual a dez. Outro aluno registrou, também através
do RLM, que com o peso de dez quilos, a mola chega ao seu comprimento total, além de um caso
em que apenas registrou-se que o alongamento é igual a dez centímetros. Nestes casos
entendemos que os alunos não possuem uma compreensão de que a fórmula solicitada consiste
em um RF, ou, entendem apenas a Álgebra como a substituição de letras por números.
Estas análises nos possibilitaram a percepção das dificuldades encontradas pelos alunos em
reconhecer e mobilizar os diferentes RR de um mesmo objeto matemático, inerente ao conceito
algébrico. Observamos ainda que os alunos, em sua maioria, entendem a Álgebra como sendo a
substituição de letras por números, ou seja, compreendem as letras apenas como incógnitas,
desconsiderando a noção das letras como variáveis. Sendo que o reconhecimento e a conversão
entre os diferentes RR Algébricos permitem ao aluno reconhecer diferentes formas de representar
um objeto matemático, adquirindo uma aprendizagem de Álgebra mais sólida e rica em
significados (BRASIL, 1998), ou seja, uma apreensão conceitual mais significativa.
Considerações parciais
Nossa centralidade foi analisar os procedimentos dos alunos à luz da Teoria dos Registros
de Representação Semiótica dos conceitos algébricos. Consideramos o protocolo como um todo,
ou seja, analisamos as três situações de ensino que o compõe. Identificamos e entendemos quais
as dificuldades reais dos alunos em relação ao reconhecimento, utilização e mobilização dos RR
Algébricos, trabalhando com as atividades de tratamento e conversão. Damm (1999), afirma que
a apreensão conceitual dos objetos matemáticos somente será possível com a coordenação, pelo
sujeito que aprende, de vários RR, entendemos a importância dos alunos reconhecerem e
mobilizarem as diferentes representações de um mesmo objeto matemático, para uma apreensão
conceitual significativa.
Fatos como, o registro de um aluno na qual destaca que “aprendeu a fazer gráficos, mas não
tirar a fórmula dele”, ou mesmo, realizar a conversão do RF para o RLM, que consiste em,
apenas, escrever o que foi registrado algebricamente, evidenciam que os alunos continuam sendo
“treinados” para armazenar informações e para desenvolver a competência no desempenho de
manipulações algorítmicas (COXFORD; SHULTE, 1995). Além desses fatos, podemos observar
que os alunos, em sua maioria, optaram por realizar um tratamento numérico nos registros
explicitados nas análises.
102
Tais aspectos são reflexos das opções metodológicas utilizadas pelos professores em sala de
aula. Sendo estas, muitas vezes, determinadas pelos Livros Didáticos, sem um apoio teórico de
fato, que poderia contribuir significativamente para o desempenho das aulas e aquisição
conceitual por parte dos alunos.
Portanto, acreditamos na importância de o professor de Matemática considerar em seus
planejamentos e, elaboração/reorganização de situações de ensino, a Teoria dos Registros de
Representação Semiótica. Possibilitando ao aluno uma construção e compreensão de conceitos
matemáticos, especificamente, conceitos algébricos, através da coordenação e mobilização de
diferentes RR, pois a compreensão em Matemática implica a capacidade de mudar de registro
(DUVAL, 2003). É importante que o aluno compreenda de fato as diferentes formas de
representar um objeto matemático, bem como as possibilidades de conversão entre os RR, para
que este tenha uma aprendizagem significativa em relação ao Ensino de Álgebra.
Referências
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Secretaria de Educação. Brasília:
MEC, SEF, 1998. (Anos Finais do Ensino Fundamental)
COXFORD, A. F.; SHULTE, A. P. As idéias da álgebra. Traduzido por Hygino H. Domingues.
São Paulo: Atual, 1994.
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