MODELAGEM DE PROCESSOS DIFUSIVOS ANÔMALOS ATRAVÉS DE
FRACTAIS
Vilson Fabricio Juliatto (ICV-UNICENTRO), Eduardo Vicentini (Orientador),
e-mail: [email protected].
Universidade Estadual do Centro-Oeste, Setor de Ciências Exatas e
Tecnológicas, Departamento de Física, Guarapuava, Paraná.
Palavras-chave: sistemas complexos, conjunto de Cantor, expoente de
difusão.
Resumo
Neste trabalho, elaborou-se um modelo de uma caminhada aleatória
unidimensional com um conjunto de espalhadores distribuídos de acordo
com o conjunto de Cantor. As propriedades do processo difusivo resultante
foram obtidas computacionalmente. Observou-se uma dependência do
expoente de difusão com a geração do conjunto de Cantor subjacente,
implicando numa transição entre difusão anômala e normal.
Introdução
Caminhadas aleatórias são um modelo recorrente na Física
Estatística. Desde o trabalho pioneiro de Einstein sobre o movimento
browniano [1], elas tem sido usadas para modelar uma grande variedade de
sistema físicos. É bem sabido que uma caminhada aleatória simples, no
sentido de uma isotrópica e markoviana (isto é, sem efeitos de memória),
leva, na passagem ao limite contínuo, à difusão normal. Mas, mesmo em
casos apresentando interações mais complexas, que originam a difusão
anômala, caminhadas aleatórias ainda podem ser efetivamente usadas
como modelos, com boa concordância com tanto simulações
computacionais e experimentos reais.
Nos últimos anos, tem sido mostrado que a difusão anômala
aparece em diversos fenômenos interessantes, como: transporte em fluidos
turbulentos ou meios porosos [2,3], reações limitadas por difusão ou
coalescência [4,5], difusão em plasmas [6] e muitos outros. Infelizmente,
esses sistemas são difíceis de sujeitar à experimentação em condições bem
controladas. Isso torna evidente a necessidade de sistemas especificamente
projetados para tornar possível tal controle no laboratório e, portanto, de
modelos teóricos para descrevê-los, fornecendo-nos uma melhor
compreensão dos processos de transporte anômalos.
Um exemplo de tal sistema é o vidro de Lévy [7]. Ele consiste de um
grupo de esferas de vidro, com raios seguindo uma distribuição tipo lei de
potência, com o meio entre elas sendo preenchido com nanopartículas
fortemente espalhadoras de luz. Quando um feixe de luz é focado no
sistema, esse arranjo faz os fótons realizarem um voo de Lévy, que sabe-se
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gerar difusão anômala.
Em [8] é apresentado um interessante modelo teórico para
caminhadas de Lévy correlacionadas, investigando especificamente difusão
em conjuntos de Cantor. Embora estes sejam fractais determinísticos, o
tamanho de suas lacunas segue uma distribuição tipo lei de potência, o que
o torna um bom modelo para tais tipos de caminhadas aleatórias.
Neste trabalho é proposto um estudo computacional de caminhadas
aleatórias tendo uma versão discretizada do conjunto de Cantor ternário,
obtido iterando-se sua rotina de construção um número finito de vezes,
como uma rede de espalhadores. O número de vezes que essa rotina foi
iterada foi chamado de geração. A influência da geração nas propriedades
difusivas do sistema, particularmente o expoente de difusão, foi investigada
e uma transição do comportamento subdifusivo para o normal foi
encontrada.
Metodologia
Uma caminhada aleatória tendo um conjunto de Cantor ternário
discretizado como espalhadores. Mais especificamente, foi considerada uma
rede unidimensional e a rotina de construção do conjunto de Cantor foi
implementada um número de vezes igual à geração considerada. Os pontos
nas interfaces entre os subconjuntos pertencentes ao fractal e os “vazios”
foram tomados como espalhadores. Quando a partícula está adjacente a um
deles, ela pode dar seu próximo passo tanto para a esquerda como para a
direita, com probabilidades iguais. Mas, nas demais posições, ela mantém
seu movimento, balisticamente, até encontrar um dos espalhadores ou uma
das extremidades da rede. O processo difere, portanto, da caminhada
aleatória usual, onde as probabilidades de transição para ambos os lados
são sempre iguais, irrespectivamente da posição da partícula. A posição
inicial foi tomada como refletora e a outra como absorvedora.
Um programa de computador na linguagem C++ foi escrito, simulando
esta caminhada para 5000 partículas. O procedimento foi repetido para
gerações variando da primeira à décima. O deslocamento quadrático médio
dos caminhantes foi plotado num gráfico dilog e a parte assintótica dos
dados foi ajustada a uma lei de potência, fornecendo assim o expoente de
difusão.
A caminhada foi também analisada pelo método das cadeias de
Markov. Definindo-se o estado do sistema, tanto a posição do caminhante
como o sentido de sua velocidade, o processo estocástico resultante é
markoviano e, devido a possuir um número finito de estados, é de fato uma
cadeia de Markov. Portanto, a multiplicação do seu vetor distribuição de
probabilidade inicial pelas potências sucessivas da matriz de transição do
processo leva à distribuição de probabilidade para cada instante de tempo. A
partir dessas distribuições o deslocamento quadrático médio pode ser
facilmente calculado. Uma rotina, também em C++, foi escrita para executarse numericamente esse cálculo.
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Resultados e Discussão
O gráfico 1 mostra os resultados da simulação para a quinta geração
(os gráficos obtidos para todas as gerações, por ambos os métodos testados
são similares):
Figura 1 - Variação temporal do deslocamento quadrático médio do
caminhante para a quinta geração, obtidos através da simulação.
Podemos observar claramente o comportamento balístico até
aproximadamente t=200 quando os caminhantes encontram o primeiro
espalhador. A presença destes atrasa consideravelmente a caminhada,
levando a subdifusão para as gerações iniciais.
Os valores obtidos para os expoentes de difusão foram:
Tabela 1 – Expoentes de difusão para cada geração
Geração
Expoente de difusão
(simulação)
Expoente de difusão
(cadeia de Markov)
1
0,50
0,52
2
0,58
0,55
3
0,54
0,61
4
0,65
0,69
5
0,85
0,83
6
1,11
0,99
7
1,01
1,02
8
1,24
1,13
9
1,26
1,08
10
1,11
1,05
Nota-se que a medida que as gerações (e, consequentemente, a
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densidade de espalhadores) aumentam os expoentes de difusão aumentam
concomitantemente. Isto é consistente com a teoria, pois no caso limite em
que todos os sítios são espalhadores recupera-se a caminhada aleatória
usual, que leva a difusão normal.
Os expoentes maiores que um obtidos para as maiores gerações,
entretanto, são difíceis de entender a luz dos resultados já conhecidos. Na
falta de uma análise mais cuidadosa de questões de estabilidade numérica
dos algoritmos empregados, ainda a ser realizada, não se pode afirmar com
certeza que realmente há comportamento superdifusivo.
Conclusões
Realizou-se um estudo de uma caminhada aleatória unidimensional
envolvendo o conjunto de Cantor e as propriedades do processo difusivo
associado. Os expoentes de difusão foram calculados tanto através de
simulações explícitas da caminhada aleatória quanto de cálculos numéricos
da cadeia de Markov associada, obtendo boa concordância, a menos de
pequenas flutuações numéricas, entre si e sendo qualitativamente
consistentes com o comportamento esperado teoricamente.
Referências
1. Einstein, A. Ann. d. Physik. 1905, 17, 549.
2. Richardson, L. F. Proc. Roy. Soc. 1926, 110, 709.
3. Klammler, F.; Kimmich, R. Croat. Chem. Acta. 1992, 65, 455.
4. Galfi, L.; Racz, Z. Phys. Rev. A. 1988, 38, 3151.
5. Braunstein, L.; Martin, O. H.; Grynberg, M. D.;Roman, H. E. Phys. A. 1992,
25, 255.
6. Berryman, J. G. J. Math. Phys. 1977, 18, 2108.
7. Barthelemy, P.; Bertolotti, J.; Wiersma, D. S.; Nature. 2008, 453, 495.
8. Burioni, R. et alii. Phys. Rev E. 2010, 81, 11127.
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