CONEXÃO ENTRE OS CRISTAIS LÍQUIDOS NEMÁTICOS E A
GEOMETRIA DIFERENCIAL
Fernando Cesar Correia de Araujo (PIBIC/CNPq-UEL), Manuel Simões Filho
(Orientador), e-mail: [email protected].
Universidade Estadual de Londrina/Centro de Ciências Exatas/Londrina, PR.
Grande área: Ciências Exatas e da Terra / Área: Física / Sub-área: Física
da Matéria Condensada.
Palavras-chave: Cristais líquidos nemáticos, Geometria Diferencial.
Resumo:
É proposta, neste artigo, uma extensão do modelo de Hess-Baalss
[Baalss, D.; Hess, S. Phys. Rev. Lett. 1986, 57, 86] para cristais líquidos
nemáticos, o qual tem por base teórica a Transformação Afim, consistindo
na alteração da simetria da superfície equipotencial de uma molécula
hipoteticamente esférica para uma superfície equipotencial de simetria
elipsoidal, que representa uma molécula nemática. Nosso trabalho
demonstra - com base nos estudos de Simões [Simões, M.; Campos, A. de;
Barbato, D. Phys. Rev. E. 2007, 75, 061710.] - que esse conceito pode ser
desenvolvido utilizando os fundamentos da geometria diferencial. Esta
metodologia permite construir uma métrica que descreve a transformação da
simetria do potencial de esférica para a simetria elipsoidal e vice-versa.
Introdução
Em 1935, Miesowicz [1] mostrou que, na presença de campos externos,
alguns cristais líquidos nemáticos poderiam apresentar viscosidades que
dependiam da direção relativa entre o campo externo e o plano de
cisalhamento. Hoje em dia, sabemos que esse fenômeno tem origem na
forma anisotrópica dos domínios nemáticos: quando a direção do campo
externo é mudada, a orientação coletiva média das moléculas também
muda, estabelecendo condições físicas diferentes para o transporte de
momento entre os planos de cisalhamento adjacentes [2].
Nas últimas três décadas um modelo adquiriu relevância notável na
descrição da viscosidade molecular de um cristal líquido nemático: o modelo
de Conexão Afim de Hess [3,4]. Cuja viscosidade dos compostos nemáticos
é calculada usando argumentos geométricos. Essa transformação consiste
na alteração da simetria da superfície equipotencial de uma molécula
hipoteticamente esférica para uma superfície equipotencial de simetria
elipsoidal, que representa uma molécula nemática. Quando é imposto o
caráter local para essa transformação, a forma determinante para a
configuração do diretor do meio nemático adquire uma curvatura intrínseca
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em que tratamento correto requer a substituição das técnicas e métodos do
cálculo usual por aquele da geometria diferencial de superfícies não planas.
Essa metodologia permitiu construir uma métrica que descreve a
transformação da simetria do potencial de esférica para a simetria elipsoidal
e vice-versa.
Seguindo essas idéias, demonstraremos a conexão entre os cristais
líquidos nemáticos e a geometria diferencial.
Revisão de literatura
Parâmetro de ordem.
A fase cristal líquido caracteriza-se basicamente pela forma e alinhamento
das moléculas anisotrópicas [2], em um dado intervalo de temperatura.
Como essas moléculas anisotrópicas, formadoras dos cristais líquidos, são
parecidas com bastões rígidos, a forma apresentada por esta fase pode ser
descrita por um fator, dado pela razão entre o comprimento e a espessura
dessas moléculas. A direção do alinhamento médio do eixo maior das
moléculas é representada por um vetor unitário nˆ ( r ) , chamado de diretor,
sendo que em cada ponto, existe uma direção preferencial de alinhamento.
O grau de alinhamento é quantificado através de um parâmetro de ordem da
fase cristal líquido. A escolha mais conveniente para o parâmetro de ordem
escalar de um cristal líquido é dada pela medida da orientação média das
moléculas, utilizando uma função distribuição simetricamente cilíndrica em
relação ao eixo definido pelo diretor n̂ que depende apenas do ângulo θ
médio entre o eixo maior da molécula e o diretor como mostrado na figura 1.
Figura 1 – Ordem molecular em um cristal líquido nemático. Adaptado de [6].
A medida do grau de alinhamento das moléculas é um parâmetro
fundamental na caracterização e descrição das fases. Ele expressa o quanto
a configuração das moléculas na fase menos simétrica difere daquela mais
simétrica. Em geral, um parâmetro de ordem , descrevendo uma transição
de fase, deve satisfazer os seguintes requisitos: =0 (fase isotrópica) na fase
mais simétrica, menos ordenada, e ≠0 (fase nemática) na fase menos
simétrica, mais ordenada.
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Modelo de Hess e Baalss.
Hess e Baalss [4] formularam um modelo para descrever a anisotropia dos
coeficientes de viscosidade dos cristais líquidos nemáticos. Neste modelo,
supõe-se que o fluido é constituído de partículas perfeitamente ordenadas,
suas superfícies equipotenciais têm a forma de elipsóides de revolução, os
coeficientes de viscosidade são obtidos em função da forma da molécula e
da viscosidade de um líquido isotrópico hipotético. Os resultados são obtidos
a partir de uma Transformação Afim que deforma os potenciais esféricos
dessas moléculas para que eles assumam a forma elipsoidal dos potenciais
de interação dos aglomerados moleculares dos cristais líquidos.
Neste modelo, um cristal líquido nemático na presença de um campo
orientacional forte é encarado como o um fluido anisotrópico composto de
moléculas não esféricas com uma orientação fixa. Em termos matemáticos
essa hipótese é descrita considerando que o potencial de interação
elipsoidal Φ E entre as moléculas nemáticas pode ser transformado em um
potencial de interação esférico Φ S , uma vez que o vetor r conectando duas
partículas é submetido a uma conexão afim apropriada. Ou seja,
Φ E (rS ) = Φ S (rE )
(1)
Os índices E e S indicam uma simetria elipsoidal e esférica
respectivamente. Isto é, o potencial não esférico, Φ E , pode ser substituído
pelo potencial esférico, Φ S , se a distância entre dois pontos é dada por uma
métrica na qual dois pontos sobre uma superfície equipotencial não esférica
permanecem eqüidistantes do centro do potencial.
.
Resultados e Discussão
Como conseqüência, existe uma Transformação Afim entre a física de
líquidos formados com moléculas esféricas com a física de líquidos com
moléculas elipsoidais, e vice-versa. Desta forma, considera-se que a
superfície equipotencial de uma molécula idealizada de um líquido isotrópico
é dada pela superfície S , cuja coordenada relativa ao ponto central comum
é dada por s i , e a distância ds , do ponto central comum obedece a relação
ds 2 = δ ij ds i ds j
(2)
Enquanto que a distância entre dois pontos na superfície elipsoidal e dada
por,
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ds E2 = δ ij dx i dx j
(3)
Para obter a lei de transformação dada na equação (1), os pontos
situados ao longo da superfície equipotencial de simetria elipsoidal devem
permanecer eqüidistantes do centro do potencial. Deste modo, para o
potencial de simetria elipsoidal existe um potencial de simetria esférica
associado satisfazendo a regra
ds 2 = ds E2
(4)
i
Deformando continuamente cada componente s da superfície S , de
forma que a nova equipotencial será descrita pela superfície elipsoidal E ,
cujas coordenadas são dadas por x i e considerando também que a relação
entre os sistemas coordenados é descritas através de uma transformação
i
local dxds j , as componentes infinitesimais destas superfícies são conectadas
pelas relações,
j
i
ds i = dxds j dx j , dsd i = dxds i dxd j ,
(5)
que obedece a regra,
ds i dx m
= δ ij
(6)
dx m ds j
Portanto, das equações (4) e (5), pode-se obter a condição de que a
distância efetiva entre os pontos, em um sistema esférico e no sistema
deformado, permaneça a mesma, resultando na expressão abaixo,
i
j
ds 2 = δ ij ds i ds j = δ ij dxdsk dsdxl dx k dx l = g kl dx k dx l
(7)
na qual
ds l ds m
g ij = δ lm dx
(8)
i
dx j
Assim, a passagem do potencial elipsoidal um para o esférico, ou vice-versa,
pode ser realizada através de uma mudança de métrica g ij em cada ponto
da amostra em que o fenômeno está a ser estudado.
Conclusões
A passagem da fase isotrópica para a anisotrópica pode ser compreendida
com o surgimento de uma nova métrica, que, em conseqüência, deve ser
dependente da temperatura. Além disto, quando a fase nemática apresenta
uma textura, o campo diretor depende da posição e a métrica não descreve
um espaço plano, ela apresenta uma curvatura que descreve a elasticidade
dos materiais nemáticos muito bem, conforme [5].
Agradecimentos
O presente trabalho foi realizado com o apoio do Conselho Nacional de
Desenvolvimento Científico e Tecnológico – CNPq – Brasil.
Referências
[1] Miesowicz, M., Nature (london). 1935, 136, 261.
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[2] Chandrasekhar, S. Liquid Crystals. Cambridge: Great Britain, 1994.
[3] Baalss, D.; Hess, S. Phys. Rev. Lett. 1986, 57, 86.
[4] Baalss, D.; Hess, S. Z. Naturforsch. 1988, A 43, 662.
[5] Simões, M.; Campos, A. de; Barbato, D. Phys. Rev. E. 2007, 75, 061710.
[6] Alves, F. S. Geometria dos Cristais Líquidos Nemáticos sobre
Cisalhamento e Conexão entre os Coeficientes de Leslie. Tese de
Doutorado. Universidade Estadual de Londrina, 2008.
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