Caminho Livre Médio e
Distribuição de Maxwell
BC0205
Roosevelt Droppa Jr.
[email protected]
Velocidade das moléculas do ar
Livre Caminho Médio
Quando
destampamos um
vidro de perfume
numa extremidade de
um quarto, o cheiro
leva um tempo
apreciável para se
transmitir até a outra
extremidade do
quarto.
Caminho Livre Medio
Se vrms do N2 e do O2 j temperatura
ambiente é de cerca de 500 m/s
porque um odor demora tanto para se
propagar em um ambiente fechado ?
vrms =
�
3kT
m
Vrms depende somente de T e da
massa da moléculas. Até o momento
estamos desconsiderando colisões
moleculares.
Qual seria o caminho médio que uma
molécula poderia caminhar sem colidir
com nenhuma outra ?
Livre Caminho Médio
Trajetória típica de uma
molécula
Caminho Livre Médio
•
Modelo
•
•
As colisões são elásticas.
•
•
As moléculas são esféricas.
A molécula tem velocidade
constante entre as colisões.
Consideraremos o caso
particular de uma molécula livre,
enquanto as outras estão
paradas.
Colisões
•
Ocorrem quando a distância
entre moléculas é menor que
d. O raio molecular é de d/2.
•
Equivalente a situação de que
a nossa molécula “móvel” tem
raio d (diâmetro 2d) e as
“outras” moléculas são pontos.
Colisões
•
Comprimento da trajetória
durante Δt: Dist = vmed Δt
•
Número de colisões
durante Δt: proporcional a
densidade ρ=N/V
•
V é o volume “ocupado”
pela partícula no tempo Δt
•
Este Volume é o volume
do cilindro (πd2)(vmed Δt)
Caminho Livre Médio
λ=
Comprimento da trajetória
durante Δt
Número de colisões em Δt
Ncol
N
2
= (πd v∆t)
V
1
v∆t
=
λ=
2
πd v∆tN/V
πd2 N/V
Caminho Livre Médio Exato
•
Tínhamos considerado que as
outras moléculas eram estáticas!!!
•
A fórmula correta deve utilizar a
velocidade média relativa no
denominador e não a média em
relação ao recipiente!
•
Para nossa sorte existe uma
relação simples entre as duas.
Vrel = √2 Vmed
1
λ= √
2πd2 N/V
Exercício
Resolução
Exercício
Resolução
Exercício
Resolução
Distribuição de Velocidades
•
•
Qual a distribuição de velocidades em um gás ?
James Clerk Maxwell respondeu esta questão em 1852:
•
•
•
uma distribuição de probabilidades deve ser utilizada;
deve ser função da velocidade;
deve ser proporcional a temperatura;
Medida da distribuição de velocidades
em um gás
Uma distribuição de velocidade
Distribuição Normalizada
Exercício - Distribuições
• Um certo gás com N partículas tem a seguinte
distribuição de velocidades:
onde c e v0 são constantes.
Exercício - Distribuições
a) Expresse c em termos de N e v0.
b) Quantas moléculas têm velocidades entre
1,5 v0 e 2 v0?
c) Expresse a velocidade média das moléculas em
termos de v0.
d) Encontre a velocidade quadrática média.
Exercício de distribuição
Exercício de distribuição
Distribuição de MaxwellBoltzmann
Distribuição de MaxwellBoltzmann
Distribuição de MaxwellBoltzmann
Distribuição de MaxwellBoltzmann