Lista Revisão UFRJ – ARRANCADA FINAL 1) Considere a figura, onde estão sobrepostos os quadrados OX1Z1Y1 , OX 2 Z 2Y2 , ...., OX n Z nYn , formados por pequenos segmentos medindo 1 cm cada um. Sejam An e Pn a área e o perímetro, respectivamente, do n-ésimo quadrado. Considere a seqüência ( B1 , B2 ,..., Bn ) , definida por A Bn n . Calcule a soma Pn dos 40 primeiros termos dessa seqüência, isto é, B1 B2 ... B40 . 2) Considere f uma função polinomial de primeiro grau tal que f(f(x)) = 9x + 8, para todo x real. Essa função é crescente e (2, 5, 8, ..., 44) é uma progressão aritmética de razão 3. Calcule o valor numérico de f(2) + f(5) + f(8) + ... + f(44). 3) Calcule o valor do número natural n que satisfaz a equação: log10 (0,1) log10 (0,1)2 log10 (0,1)3 ... log10 (0,1) n = - 15 1 0 x X 4) Considere as matrizes A e X abaixo: A = e y 2 3 Chama-se autovalor de A qualquer valor real de que faz com que a equação matricial AX X tenha soluções não nulas para X. Determine os autovalores de A. 5) Na figura a seguir, temos um cubo ABCDEFGH de aresta a = 6 cm. Os pontos I, J, K, L, M e N são pontos médios das arestas a que pertencem. Determine o volume da pirâmide de base hexagonal IJKLMN e vértice H. 1 Lista Revisão UFRJ – ARRANCADA FINAL 6) A circunferência abaixo tem raio 1, o arco AB mede 70º e o arco BC mede 40º. Calcule a área da região limitada pelas cordas AB , AC e pelo arco BC. 7) As três provas de um vestibular devem ser realizadas na primeira semana do ano. Calcule de quantos modos é possível escolher os dias das provas de modo que não haja provas em dias consecutivos. 8) Observe a figura que representa o projeto de uma escada com 6 m de comprimento, 2 m de largura. Cada degrau tem 25 cm de altura e x cm de largura, sendo x um inteiro múltiplo de 40. Esta escada pode ser construída com formas diferentes porque as larguras dos degraus podem variar. Apenas com essas condições, calcule o número de formas distintas que essa escada pode ter. 9) As alturas de um triângulo medem 12, 15 e 20. Calcule o maior ângulo interno desse triângulo. 10) Sobre o segmento AB, que mede 12 cm, construímos três triângulos eqüiláteros: ACP, DNP e BEM. Se AP = PN = x, calcule o valor de x, em cm, para que a soma das áreas dos três triângulos seja mínima. E C A D P 2 N B Lista Revisão UFRJ – ARRANCADA FINAL 11) (1º) Resolva a equação: x4 5x 6 0 (2º) Mostre que, se a e b são números reais e se não são ambos nulos, então as raízes da equação x4 ax b 0 não podem ser todas reais. 12) Seja p um número real positivo. Se sen(2 ) = 2p e sen = 3p, 0 < < /2, calcule o valor de p. 13) Um holofote situado na posição (-5,0) ilumina uma região elíptica de contorno x² + 4y² = 5, projetando sua sombra numa parede representada pela reta x = 3, conforme ilustra a figura abaixo. Considerando o metro a unidade dos eixos, calcule o comprimento da sombra projetada. 14) Considere a superfície esférica E de equação x2 y 2 z 2 2 x 2 z 4 0 e o plano P de equação x 2 y z 12 0 . Determine o ponto de E mais próximo de P. Numa urna há: - uma bola numerada com o número 1; - duas bolas com o número 2; - três bolas com o número 3, e assim por diante, até n bolas com o número n. Uma bola é retirada ao acaso desta urna. Admitindo-se que todas as bolas têm a mesma probabilidade de serem escolhidas, qual é, em função de n, a probabilidade de que o número da bola retirada seja par? 15) 3 Lista Revisão UFRJ – ARRANCADA FINAL 16) A figura dada abaixo representa dois cones cujas bases são seções planas em uma esfera. As geratrizes de um cone são os prolongamentos das geratrizes do outro e os raios das seções medem 1 cm e 4 cm, sendo 5 cm a medida da distância entre os planos paralelos que as contém. 5 cm Calcule a área da superfície da esfera. 17) A função a seguir expressa, em função do tempo t (em anos), aproximadamente, a população, em milhões de habitantes, de um pequeno país, a partir de 1950 (t = 0). Um esboço do gráfico dessa função, para 0 t 80 , é dado na figura. De acordo com esse modelo matemático, calcule em que ano a população atingiu 12 milhões de habitantes. (Use as aproximações log3 2 = 0,6 e log3 5 = 1,4). 4 Lista Revisão UFRJ – ARRANCADA FINAL 18) A tabela abaixo indica os preços e os diâmetros de bolinhos que têm forma esférica. a) Suponha que João comeu apenas um bolinho grande e Mariana comeu exatamente cinco pequenos. Calcule a percentagem do volume que João comeu a mais do que Mariana. b) Foram arrecadados 40 reais na venda de 25 unidades de bolinhos.Calcule a quantidade vendida de cada tipo, sabendo que o número de bolinhos grandes foi o maior possível. 19) As engrenagens E1 e E2 , de raios 3cm e 8cm, respectivamente, estão em contato na origem do plano de Argand-Gauss representado na figura abaixo (o eixo real passa pelo centro das engrenagens) . O giro da engrenagem E1 , no sentido horário e com velocidade constante, acarreta um movimento circular uniforme da engrenagem E2 . No início do movimento, os pontos A e B pertencentes, respectivamente, às engrenagens E1 e E2 , estão juntos na origem do sistema. Quando o ponto A coincide, pela primeira vez, com o afixo de um complexo z de 5 argumento principal , o ponto B coincide com o afixo de um complexo w. 6 E2 E1 Sabendo que a velocidade angular dos pontos A e B são inversamente proporcionais aos raios de E1 e E2 , determine a forma algébrica do complexo w. 20) Uma loja pratica uma taxa de juros composta de 2% ao mês em suas vendas a prazo, sendo que as prestações mensais cobradas são sempre iguais, com a primeira delas no ato da compra. Determine o valor P de cada prestação, em função do número n de prestações a serem pagas, para um produto cujo preço a vista é R$1.000,00. 5