GEOMETRIA PLANA: ÁREAS 7
1. (Fgv 97) No plano cartesiano, os vértices de um triângulo são A (5,2), B (1,3) e C (8,-4).
a) Obtenha a medida da altura do triângulo, que passa por A.
b) Calcule a área do triângulo ABC.
2. (Fuvest 99) A reta r tem equação 2x + y = 3 e intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa
pelo ponto P=(1, 2) e é perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a
reta r, respectivamente,
a) determine a equação de s.
b) calcule a área do triângulo ABC.
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3. (Ufrj 99) O polígono regular representado na figura tem lado de medida igual a 1cm e o
ângulo ‘ mede 120°.
a) Determine o raio da circunferência circunscrita.
b) Determine a área do polígono.
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4. (Ufrj 97) No círculo a seguir, a figura é formada a partir de semicircunferências e
AC=CD=DE=EB.
Determine S/S‚ a razão entre as áreas hachuradas.
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5. (Ufrj 97) Na figura a seguir o quadrado ABCD tem lado 6. Q1, Q2, Q3 e Q4 são quadrados de
lado x. A região hachurada tem área 16.
Determine x.
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6. (Ufrj 98) Na figura a seguir, R é um ponto pertencente ao lado AB e S um ponto pertencente
ao lado AC.
Sejam b a medida de AC, c a medida de AB, p a medida de AR e q a medida de AS.
Mostre que a razão entre as áreas dos triângulos ARS e ABC vale pq/bc.
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7. (Ufrj 98) Um arquiteto projetou um salão quadrangular 10m x 10m. Ele dividiu o salão em
dois ambientes I e II através de um segmento de reta passando pelo ponto B e paralelo a uma
das diagonais do salão, conforme mostra a figura a seguir:
A área do ambiente I é a sétima parte da área do ambiente II.
Calcule a distância entre os pontos A e B.
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8. (Unb 96) Uma sala quadrada, de 6 m de lado, tem seu piso em madeira, feito de tábuas
colocadas em faixas diagonais. A largura da tábua utilizada foi calculada de modo a dividir
cada lado da sala em 60 partes iguais, conforme mostra a figura adiante. Para o
preenchimento do espaço de cada faixa diagonal, utilizou-se uma tábua retangular com
comprimento suficiente apenas para preencher tal espaço, desprezando-se as sobras.
Usando, para Ë2, o valor aproximado de 7/5, calcule, em decâmetros lineares, a quantidade
de madeira utilizada no piso, desconsiderando a parte fracionária de seu resultado, caso
exista.
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9. (Unb 98)
Na situação representada na figura, determine os pontos sobre a reta Ø distantes 7,5cm de A.
Entre esses pontos, escolha aquele que determina com A e B o triângulo de maior área.
Considerando sen 41° = 0,6, calcule em cm£, área desse triângulo, desprezando a parte
fracionária de seu resultado, caso exista.
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10. (Unicamp 97) O retângulo de uma Bandeira do Brasil, cuja parte externa ao losango é
pintada de verde, mede 2m de comprimento por 1,40m de largura. Os vértices do losango, cuja
parte externa ao círculo é pintada de amarelo, distam 17cm dos lados do retângulo, e o raio do
círculo mede 35cm. Para calcular a área do círculo use a fórmula A = ™ r£ e, para facilitar os
cálculos, tome ™ como 22 / 7.
a) Qual é a área da região pintada de verde?
b) Qual é a porcentagem de área da região pintada de amarelo, em relação à área total da
Bandeira? Dê sua resposta com duas casas decimais depois da vírgula.
11. (Unicamp 98) Os lados de um triângulo medem 5, 12 e 13cm.
a) Calcule a área desse triângulo.
b) Encontre o raio da circunferência inscrita nesse triângulo.
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12. (Ita 98) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas suportes das diagonais de um
paralelogramo. Sabendo que estas diagonais medem 4cm e 6cm, então, a área deste
paralelogramo, em cm£, vale:
a) 36/5
b) 27/4
c) 44/3
d) 48/3
e) 48/5
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13. (Cesgranrio 90) Se, no trapézio retângulo ABCD da figura adiante, AB=BC=3 e ‘=™/3,
então a sua área vale:
a) 3(3 + Ë3/2).
b) 3(5 - Ë3/2).
c) 3(4 + Ë2/3).
d) 3(5 - Ë2/3).
e) 6(3 - Ë2/3).
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14. (Cesgranrio 91) O triângulo ABC está inscrito em círculo cujo diâmetro BC mede 1 e cujos
ângulos satisfazem a condição ï=2ð, conforme se vê na figura. A área desse triângulo ABC
vale:
a) (3Ë3)/8.
b) (2Ë3)/5.
c) Ë(3)/5.
d) Ë(3)/6.
e) Ë(3)/8.
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15. (Cesgranrio 91) Seja D o ponto médio do lado AB do triângulo ABC. Sejam E e F os pontos
médios dos segmentos DB e BC, respectivamente, conforme se vê na figura. Se a área do
triângulo ABC vale 96, então a área do triângulo AEF vale:
a) 42.
b) 36.
c) 32.
d) 30.
e) 28.
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16. (Cesgranrio 92) No futebol de salão, a área de meta é delimitada por dois segmentos de
reta (de comprimento de 11m e 3m) e dois quadrantes de círculos (de raio 4m), conforme a
figura. A superfície da área de meta mede, aproximadamente,
a) 25 m£
b) 34 m£
c) 37 m£
d) 41 m£
e) 61 m£
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17. (Cesgranrio 98) Os pontos A, B e C pertencem a uma circunferência de centro 0. Sabe-se
que BC=5cm, AC=10cm e que os pontos A e B são diametralmente opostos. A área do círculo
determinado por esta circunferência, em cm£, é igual a:
a) 125™/8
b) 125™/4
c) 125™/2
d) 125™
e) 250™
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18. (Fatec 97) Na figura a seguir tem-se um quadrado inscrito num triângulo retângulo ABC,
reto em Â.
Se os catetos do triângulo medem 3cm e 4cm, então a área do quadrado, em centímetros
quadrados, é igual a
a) 169/49
b) 144/49
c) 100/49
d) 81/49
e) 25/49
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19. (Fatec 98) Na figura a seguir tem-se uma circunferência C de centro O e raio de medida 3
cm. Os pontos A e B pertencem a C, e a medida do ângulo AÔB é 45°
A área da região sombreada, em centímetros quadrados, é igual a
a) 3/4 . (™ - Ë2/2)
b) 3/2 . (™/4 - Ë3)
c) 9/4 . (™/2 - Ë2)
d) 9/2 . (™/4 - Ë2)
e) 9/2 . (™/2 - 1)
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20. (Fei 97) Uma chapa metálica de formato triangular (triângulo retângulo) tem inicialmente as
medidas indicadas e deverá sofrer um corte reto (paralelo ao lado que corresponde à
hipotenusa do triângulo) representado pela linha pontilhada, de modo que sua área seja
reduzida à metade. Quais serão as novas medidas x e y?
a) x = 30 cm, y = 20 cm
b) x = 40 cm, y = 30 cm
c) x = 30Ë2 cm, y = 20Ë2 cm
d) x = 20Ë2 cm, y = 30Ë2 cm
e) x = 90Ë2 cm, y = 60Ë2 cm
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21. (Fuvest 98) Considere o quadrado ABCD inscrito na semicircunferência de centro na
origem. Se (x, y) são as coordenadas do ponto A, então a área da região exterior ao quadrado
ABCD e interior à semicircunferência é igual a
a) ( 5™/2 - 4 ) x£
b) x£ + y£
c) ( 5™ - 4 ) x£
d) ( 5™/2 - 2 ) x£
e) ™x£ - y£
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22. (Fuvest 99) Os quadrados da figura têm lados medindo 10cm e 20cm, respectivamente. Se
C é o centro do quadrado de menor lado, o valor da área hachurada, em cm£, é:
a) 25
b) 27
c) 30
d) 35
e) 40
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23. (Fuvest 99) Dois irmãos herdaram um terreno com a seguinte forma e medidas:
Para dividir o terreno em duas partes de mesma área, eles usaram uma reta perpendicular a
åæ. Para que a divisão seja feita corretamente, a distância dessa reta ao ponto A, em metros,
deverá ser:
a) 31
b) 32
c) 33
d) 34
e) 35
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24. (Ita 97) Em um triângulo ABC, sabe-se que o segmento AC mede 2cm. Sejam ‘ e ’,
respectivamente, os ângulos opostos aos segmentos BC e AC. A área do triângulo é (em cm£)
igual a
a) 2sen£‘ cotg’ + sen 2‘
b) 2 sen£‘ tg ’ - sen 2‘
c) 2cos£‘ cotg ’ + sen 2‘
d) 2cos£‘ tg ’ + sen 2‘
e) 2sen£‘ tg ’ - cos 2‘
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25. (Mackenzie 97) Na figura, a circunferência de centro O tem raio 6, ‘ = arc tg 1/2 e C é
ponto de tangência. Então a área do triângulo ABC é igual a:
a) 36
b) 38,4
c) 40
d) 40,5
e) 42
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26. (Mackenzie 97) O eixo das abscissas, a reta x - 2 = 0 e os pontos (x, y) do plano tais que
ýx -1 + cos t = 0
þ
ÿy + 2 - 2cos t = 0;
0´ t ´™, limitam uma região de área:
a) 6
b) 2
c) 5/2
d) 4
e) 8
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27. (Mackenzie 97) Na figura, tg’ = 2 - Ë3 e ‘ + ’ = 60°. Então a área do triângulo assinalado
é:
a) 2 + Ë3
b) 1 + Ë3
c) (2+Ë3)/2
d) (4+Ë3)/2
e) (1+Ë3)/2
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28. (Mackenzie 97) Os pontos (x, y) do plano tais que
ýy ´ 10, ¯x
þx µ 4, ¯y
ÿy µ x + 2
definem uma região de área:
a) 12
b) 10
c) 8
d) 14
e) 16
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29. (Mackenzie 97) O valor mais próximo da área da região assinalada a seguir é:
a) 30
b) 25
c) 20
d) 16
e) 18
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30. (Mackenzie 98) Na figura a seguir, supondo ™=3, a área do círculo inscrito no triângulo
isósceles é 108. Então, a área da região assinalada é:
a) 72
b) 80
c) 84
d) 90
e) 96
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31. (Mackenzie 98) Na figura a seguir, A, B e C são centros de circunferências iguais. Se a área
do trapézio assinalado é 3, então a área do retângulo vale:
a) 4 + 4 Ë3
b) 8 + 4 Ë3
c) 8 + 8 Ë3
d) 4 + 8 Ë3
e) 8 + Ë3
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32. (Puccamp 97) Na figura a seguir tem-se um terreno retangular no qual pretende-se
construir um galpão cujo lado deve medir x metros.
Se a área da parte sombreada é 684 m£, o lado do galpão mede, em metros,
a) 8,5
b) 8
c) 7,5
d) 6
e) 4,5
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33. (Puccamp 98) Um tanque tem a forma de um prisma reto de base quadrada e está
totalmente cheio d'água. Se a aresta de sua base mede 2m e a altura mede 0,9m, quantos
litros d'água devem ser retirados do seu interior para que o líquido restante ocupe os 2/3 de
sua capacidade?
a) 120
b) 240
c) 1.200
d) 2.400
e) 12.000
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34. (Puccamp 98) As três paredes (duas laterais e uma no fundo) de uma banca de jornais
serão pintadas com tinta esmalte. Algumas dimensões da banca aparecem na figura a seguir.
A parede do fundo é retangular e as outras duas são trapézios retângulos congruentes. Cada
lata da tinta usada permite pintar 4m£. Nessas condições, a quantidade de tinta necessária
para executar a tarefa é
a) 4 latas e meia.
b) 5 latas.
c) 5 latas mais 1/4 de lata.
d) 5 latas e meia.
e) 5 latas mais 3/4 de lata.
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35. (Pucmg 97) A medida da área do quadrilátero ABCD, em unidades de área, é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 18
e) 24
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36. (Pucmg 97) O comprimento de uma circunferência é o quádruplo do perímetro de um
quadrado. A razão entre a área do quadrado e a área do círculo é:
a) ™/64
b) ™/72
c) ™/80
d) ™/120
e) ™/128
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37. (Pucmg 97) As retas y = x + 1 e x = 2 formam, com os eixos coordenados, o trapézio OABC.
A medida da área desse quadrilátero, em unidades de área, é:
a) 3,0
b) 3,5
c) 4,0
d) 4,5
e) 5,0
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38. (Pucmg 97) Na figura, M é o ponto médio de AB, e MN é paralelo a AC. S• é a medida da
área do triângulo MBN, e S‚, a do triângulo ABC. O valor da razão S/S‚ é:
a) 1
b) 1/2
c) 1/3
d) 1/4
e) 1/5
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39. (Uel 98) Considere todos os triângulos que têm dois lados de medida 2cm, formando um
ângulo de medida x graus. O menor valor de x para o qual a área do triângulo é igual a Ë3cm£
é
a) 30
b) 45
c) 60
d) 75
e) 90
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40. (Ufmg 97) Observe a figura.
Nela, circunferência de centro O tem raio r e arcos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e HA
congruentes. O valor da área sombreada, em função de r, é:
a) r£ (™ - 2)
b) 2r£ (™ - 1)
c) 2r£
d) r£ (™ - 1)
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41. (Ufmg 97) Observe a figura.
Nela, a circunferência maior C tem raio 2, e cada uma das circunferências menores, C, C‚, Cƒ,
C„, é tangente a C e a um lado do quadrado inscrito. Os centros de C , C‚, Cƒ e C„ estão em
diâmetros de C perpendiculares a lados do quadrado. A soma das áreas limitadas por essas
quatro circunferências menores é:
a) 8™ (3+2Ë2)
b) ™ (3+2Ë2)
c) ™ (3-2Ë2)
d) 2™ (3-2Ë2)
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42. (Ufmg 98) Observe a figura.
Nessa figura, ABCD é um quadrado de lado 1, EF=FC=FB e DE=1/2.
A área do triângulo BCF é
a) 3/16
b) 1/5
c) 1/6
d) (Ë3)/4
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43. (Ufmg 98) Observe a figura.
Nessa figura, está representando um canteiro retangular de 6 m de largura por 10 m de
comprimento, cercado por um passeio de largura constante.
Se a área do passeio é de 36 m£, a medida de sua largura, em metros, é
a) 1,5
b) 1
c) 2
d) 0,5
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44. (Ufrs 97) A altura de um triângulo eqüilátero inscrito numa circunferência é 2Ë3cm. A razão
entre a área desse triângulo e a área de um quadrado inscrito nessa mesma circunferência é
a) Ë3/4
b) (3Ë3)/4
c) 3/8
d) Ë3/8
e) (3Ë3)/8
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45. (Unb 97) Na figura adiante, ABCD é um paralelogramo, DQ é perpendicular à reta que
contém BC e o segmento CP é perpendicular a AB.
Com base nessas informações, julgue os seguintes itens.
(1) A medida de AP é igual a 2 cm.
(2) O triângulo CDQ é semelhante ao triângulo BCP.
(3) A medida de DQ é igual a 8 cm.
(4) A área do trapézio ABQD é igual a 144 cm£.
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46. (Unesp 97) A figura foi obtida mediante rotações de 60°, 120°, 180°, 240° e 300° aplicadas
a um quadrado cujos lados medem 1dm, em torno de um mesmo vértice desse quadrado e
num mesmo sentido.
A área da região escura é.
a) 1 - 2tg (15°).
b) tg (30°).
c) 1 - 4tg (15°).
d) 1 - tg (30°).
e) 1 - tg (15°).
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47. (Unesp 97) A área de um triângulo isósceles é 4Ë15 dm£ e a altura desse triângulo, relativa
à sua base, mede 2Ë15 dm. 0 perímetro desse triângulo é igual a
a) 16 dm.
b) 18 dm.
c) 20 dm.
d) 22 dm.
e) 23 dm.
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48. (Unesp 98) Considere um quadrado ABCD cuja medida dos lados é 1dm. Seja P um ponto
interior ao quadrado e eqüidistante dos vértices B e C e seja Q o ponto médio do lado DA.
Se a área do quadrilátero ABPQ é o dobro da área do triângulo BCP, a distância do ponto P ao
lado BC é
a) 2/3 dm.
b) 2/5 dm.
c) 3/5 dm.
d) 1/2 dm.
e) 4/7 dm.
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49. (Unesp 99) Um cavalo se encontra preso num cercado de pastagem, cuja forma é um
quadrado, com lado medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m que está fixada
num dos cantos do quadrado. Considerando ™ = 3,14, calcule a área, em metros quadrados,
da região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar, porque está amarrado.
a) 1244.
b) 1256.
c) 1422.
d) 1424.
e) 1444.
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50. (Unirio 96)
A área da figura hachurada é:
a) 100 m£
b) 132 m£
c) 140 m£
d) 144 m£
e) 156 m£
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GABARITO
1. a) (3Ë2)/2
b) 21/2
2. a) x - 2y = -3
b) 81/20
3. a) r = Ë(3/2)
b) A = 3 - Ë3
4. S/S‚ = 1
5. x = 1 ou x =2
6. Seja ‘ = BAC. Temos que Área(ABC)=(b×c×sen‘)/2
Da mesma forma, Área(ARS)=(p×q×sen‘)/2
Logo Área(ARS) / Área(ABC) = p . q / b . c
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7. d = 5m
8. 51 dm
9. 37 cm£
10. a) 19202 cm£
b) 17,67 %
11. a) 30 cm£
b) 2 cm
12. [E]
13. [A]
14. [E]
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15. [B]
16. [C]
17. [B]
18. [B]
19. [C]
20. [C]
21. [A]
22. [A]
23. [D]
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24. [A]
25. [B]
26. [D]
27. [E]
28. [C]
29. [D]
30. [C]
31. [B]
32. [D]
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33. [C]
34. [C]
35. [B]
36. [A]
37. [C]
38. [D]
39. [C]
40. [A]
41. [D]
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42. [A]
43. [B]
44. [E]
45. F V V V
46. [A]
47. [C]
48. [B]
49. [E]
50. [B]
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