Universidade Federal de Alfenas – UNIFAL-MG
PIBID-Matemática
Aula 1
A Evolução da álgebra geométrica
A fatoração surgiu durante a evolução da álgebra geométrica devido às
necessidades de simplificar expressões. Sendo assim vamos conhecer um pouco dessa
evolução.
A álgebra geométrica e suas notações tiveram sua trajetória de desenvolvimento
em períodos da antiguidade, o que abrangia os períodos de 1700 a.C. a 1700 d.C.
durante esse período seguiu-se três fases: a retórica, a sincopada e a simbólica. Desta
maneira, os inventos, realizações e afirmações de resolução ocorreram de maneira
progressiva até chegar à álgebra abstrata.
Dentre as três fases, apenas na fase retórica é que podemos notar com mais
precisão a fatoração. Euclides, um professor, matemático platónico e escritor
possivelmente grego, muitas vezes referido como o "Pai da Geometria", foi concebido
na proposição: “Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado
sobre esta linha é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o
retângulo que as partes contêm”. Ou seja:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Nos tempos de Euclides o termo a² representava “um quadrado”, este método já
era utilizado pelos babilônios na resolução de suas equações.
O modo geométrico que Euclides utilizava para resolver a álgebra (a + b)2 =
a² + 2ab + b² era decompondo o quadrado de lado a+b em dois quadrados de área “a”
e “b” e dois retângulos de área “𝑎 × 𝑏” e “𝑏 × 𝑎”, em termos de proposição seu
enunciado seria: “Dividindo – se uma reta em duas partes, o quadrado sobre esta reta é
igual à soma dos quadrados sobre as partes juntamente com o dobro do retângulo
contido pelas partes”. Isto é:
Atividade III:
Fator Comum
Observe a figura abaixo:
Atividade I:
Pedrinho deseja saber
qual a área de sua casa, sabendo que a
sala mede 30 × 5𝑚 , o quarto mede
30 × 8𝑚 e a cozinha 30 × 4𝑚.
a) Qual é o valor de x se o
perímetro do campo de
futebol é igual a 356m?
Casa de Pedrinho
b) Quanto vale a área do
campo de futebol?
Atividade IV:
Fatore as expressões:
Responda:
a) Qual a área total da casa
Pedrinho?
b) Qual o fator comum
expressão encontrada?
c) Fatore passo a passo
polinômio encontrado
exercício (a).
de
da
o
no
Atividade II:
Fatore
os
polinômios
colocando o fator comum em
evidência:
a)
b)
c)
d)
5. 𝑎+5. 𝑏 =
3. 5+3 =
(𝑎2 + 5 . 𝑎) =
(10 . 2 + 2 . 7) =
a)
b)
c)
d)
e)
12 =
2×3+2×5=
22 + 3 × 2 =
5 × 2 + 20 =
100 =
Atividade V:
Se 3𝑚 + 𝑛 = 7, qual é o valor
de 9𝑚 + 3𝑛?
Aula 2
Agrupamento
Atividade I:
Coloque em evidência o fator comum.
a) x (a+b) + y(a+b)=
b) 2a (x-1) – b(x-1)=
Atividade II:
Fatore o polinômio por agrupamento.
a) 7 a – 7c +ma – mc=
b) x² – 10x + xy – 10y=
c) 2xy – 12x + 3by – 18b=
Atividade III:
Um professor de Matemática tem 4 filhos. Em uma de suas aulas, ele propõe a seus
alunos que descobrissem o valor da expressão ac + ad + bc + bd, sendo a, b, c, d as
idades dos filhos na ordem crescente. Como informação complementar, o professor
disse que a soma das idades dos dois mais velhos é 59 anos e a soma das idades dos dois
mais novos é 34 anos. Qual o valor numérico da expressão proposta pelo professor?
Aula 3:
Trinômio Quadrado Perfeito
No sítio do senhor Pedrinho cada animalzinho tem o seu espaço de acordo com a
cor, como mostra na figura abaixo. Por exemplo, as vacas e os bois ficam na área
amarela de lados x e x; os porquinhos ficam na área azul de lados y e y e as galinhas
ficam nas áreas verde e cinza, de lados y e x. Certo dia, João ficou curioso e queria
saber quanto era o espaço que seus animaizinhos tinham para viver. Como você o
ajudaria a resolver esse problema?
Para ajudar Pedrinho precisamos calcular a área da figura acima. Logo temos que:
Área total = Área amarela + Área azul + Área cinza + Área verde.
Área amarela = Quadrado amarelo = x.x = x2
Área azul = Quadrado azul = y.y = y2
Área cinza = Retângulo cinza = x.y
Área verde = Retângulo verde = x.y
Área total = x2 + y2 + x.y + x.y = x2 + 2xy + y2
A expressão acima é chamado de trinômio quadrado perfeito e é obtido através
do produto notável (x + y)2. Recebe este nome pois possui três termos.
Exemplo I:
Na figura abaixo, o lado do quadrado mede (A + 2)cm. Calcule a área desta figura.
Como já sabemos a área total do quadrado é:
Área total = Área amarela + Área azul + Área cinza + Área preta.
Área amarela = Quadrado preto = A.A = A2
Área azul = Quadrado cinza = 2.2 = 4
Área cinza = Retângulo azul = 2.A = 2A
Área verde = Retângulo amarelo = 2.A = 2A
Área total = A2 +4 + 2A + 2A = A2 + 4A + 4
Exemplo II:
Considera o problema abaixo.
Certo dia no sítio do senhor
João, os animais começaram a ficar
muito tristes, pois estavam todos
separados. Assim que João percebeu,
teve a ideia de juntar todos os
animaizinhos do seu sitio em um só
espaço deixando uma área verde no
restante que sobrasse. João sabia que os
animais estavam em uma área que
formavam um quadrado e tinha como
lado uma medidas que ele chamou de x.
João resolveu retirar de dois destes
lados uma medida y. Qual é a nova área
que ficou para os animais?
Para saber qual é a área dos
animaizinhos, iremos precisar das
informações acima.
Lado do quadrado mede x. Como João
tirou Y, então lado do quadrado sobrou
para os animaizinhos é (x-y).
Como sabemos, a área de um quadrado
é lado x lado. Portanto:
Área nova dos animaizinhos é:(x y).(x-y) = x2 - xy - xy + y2 = x2 - 2xy +
y2
A expressão acima é chamado
de trinômio quadrado perfeito e é obtido
através do produto notável (x - y)2.
Recebe este nome pois possui três
termos.
Exemplo III:
Na figura abaixo, o lado do quadrado
mede x centímetros. Dois destes lados,
foi descontado 2 centímetros de cada
lado formando um novo quadrado
(quadrado preto). Calcule a área desta
figura:
Como sabemos, o lado do quadrado
mede x cm . Portanto:
Área quadrado preto é: (x - 2).(x-2) =
x2 - 22 - 2x + 2x = x2 - 4x + 4.
Atividade I:
Observe a figura e responda ao que se
pede.
a) Qual é a área do quadrado
ABCD?
b) Qual é a medida dos lados deste
quadrado?
c) Qual é a forma fatorada de x2 +
10x + 25?
Atividade II:
Coloque o sinal de igual ( = ) ou
diferente (≠) nos itens abaixo:
a) ( a + 7)2
............ a2 + 14ª +
49
b) ( x + 10)2 ............ x2 + 10x +
100
c) ( 2y + z)2 ............ 4y2 + 4yz +
z2
d) ( ax + by)2 ............
(ax)2 +
2
2abxy + (by)
Aula 4:
Exemplo I: Calcule a área da figura
abaixo.
Diferença de Quadrados
Na fazendo do senhor João,
havia muita grama para o gado comer.
Com isso, o senhor João soltou seu gado
para que eles pudessem se alimentar.
Conforme mostra a figura, o gado do
senhor João comeu apenas um quadrado
de lado y. Preocupado com o seu gado,
senhor João quer saber, qual é a área de
grama que tem para que seu gado possa
comer. Ajude-o a descobrir.
Como sabemos, da figura acima tem
lado x, ou seja, sua área mede x2.
Calculando a área do retângulo de lados
“x” e “x-y” (área A1), temos então que,
está área = x2 – xy.
Calculando a área do retângulo de lados
“y” e “x-y” (área A2), temos então que
está área= - (y)2 + xy
A área total é a soma da área A1 + A2 =
x2 – xy + (-y2 )+ xy = x2 - y2.
Atividade I:
Calcule os produtos:
Como sabemos, o quadrado acima tem
lado x, ou seja, sua área mede x2.
Calculando a área do retângulo de lados
“x” e “x-y” (área A1), temos então que,
está área = x2 – xy.
Calculando a área do retângulo de lados
“y” e “x-y” (área A2), temos então que
está área= - (y)2 + xy.
A área total é a soma da área A1 + A2 =
x2 – xy + (-y2 )+ xy = x2 - y2.
A expressão acima é chamada de
Diferença de quadrados e ode ser obtida
através da expressão: (x + y).(x – y)
a) (y + 1)(y – 1) =
b) (x + 5)(x – 5) =
c) (2x + 5)(2x – 5) =
d) (2x + y)(2x – y) =
e) (3x2 – 4)(3x2 + 4) =
f) (ab + 6a)(ab – 6a) =
Atividade II:
Escreva na forma (a + b)(a – b):
a) a2 – 9 =
b) 4x2 – 1 =
c) 81 – m6 =
d) 121 – 9a2 =
e) 4x4 – 225y2 =
f) x2y2 – 81 =