Curso de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
Prof. Romel Dias Vanderlei
Prof. Romel Dias Vanderlei
CAPÍTULO 3:
DIMENSIONAMENTO DE VIGAS
3.1 - Introdução
Escolher o material e as dimensões da seção
transversal de uma dada viga, de modo que
ela não venha a falhar devido a um dado
carregamento.
Prof. Romel Dias Vanderlei
3.1.1 – Diagrama de esforços internos
Esforço cortante : V;
Momento fletor : M;
Exemplo: (Método das seções)
S1
HA
q
B
A
x
L
Prof. Romel Dias Vanderlei
VA
VB
3.1.1 – Diagrama de esforços internos
a) Reações de apoio:
∑ FH = 0 ∴ H A = 0
∑ FV = 0 ∴VA + VB − q.L = 0
∑ M A = 0 ∴ q.L.
VA =
q.L
2
L
− VB .L = 0
2
VB =
q.L
2
Prof. Romel Dias Vanderlei
3.1.1 – Diagrama de esforços internos
b) Esforços internos:
Prof. Romel Dias Vanderlei
Sinais:
N
V
3.1.1 – Diagrama de esforços internos
Método das seções:
• Seção 1 pela esquerda:
q⋅L
V = VA − q ⋅ x =
−q⋅ x
2
x q.L
q ⋅ x²
M = VA ⋅ x − q ⋅ x ⋅ =
⋅x−
2
2
2
q⋅L
VMáx → para x = 0 → VMáx =
2
q⋅L
para x = L → VMáx = −
2
L
q ⋅ L2
M Máx → para x = → M Máx =
2
8
M
Prof. Romel Dias Vanderlei
3.1.1 – Diagrama de esforços internos
c) Diagramas dos esforços internos:
q.L
2
(V)
−
q.L
2
(M)
Prof. Romel Dias Vanderlei
q.L ²
2
3.1.2 – Tensões Normais e de Cisalhamento
Material homogêneo e elástico linear
σ =−
M ⋅y
Iz
Fórmula de Flexão
e
τ=
V ⋅MS
b⋅ Iz
Fórmula de Cisalhamento
Prof. Romel Dias Vanderlei
3.1.2 – Tensões Normais e de Cisalhamento
a) Tensões Normais Máximas:
σMÁX
σ
C2
M
y
L.N.
•As tensões normais máximas
ocorrem nos pontos mais
distantes da L.N. (y=C1 ou C2)
e na seção onde o momento
fletor é máximo (M=Mmáx)
C1
σ máx =
Prof. Romel Dias Vanderlei
σMÁX
| M máx | ⋅C
Iz
3.1.2 – Tensões normais e de cisalhamento
b) Tensões de Cisalhamento Máximas:
•As tensões de cisalhamento
máximas ocorrem na L.N.
(y=0) e na seção onde a força
cortante é máxima (V=Vmáx)
τ
y
L.N.
τmáx
τ máx =
| Vmáx | ⋅M S
b⋅ Iz
Prof. Romel Dias Vanderlei
3.2 – Tensões Principais e Tensões de cisalhamento
Máximas
3.2.1 – Vigas de Seção Transversal Retangular
P
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
Prof. Romel Dias Vanderlei
Para a seção transversal indicada na viga
acima, escolhemos cinco pontos no lado da
viga para analisarmos as tensões.
3.2.1 – Vigas de Seção Transversal Retangular
Utilizando as fórmulas de flexão e de
cisalhamento, pode-se calcular as tensões
nos cinco pontos indicados.
Para encontrar as tensões principais e as de
cisalhamento máximas em cada ponto, podese usar as equações para o estado plano
de tensão ou o círculo de Mohr.
Prof. Romel Dias Vanderlei
3.2.1 – Vigas de Seção Transversal Retangular
σ1,2
τmáx
A
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
Seção Transversal
B
Prof. Romel Dias Vanderlei
45°
C
D
E
3.2.1 – Vigas de Seção Transversal Retangular
a) Análise das Tensões Principais:
No ponto “A” a tensão de compressão é horizontal
e a de tração é vertical e nula;
Na L.N. as tensões principais agem a 45º em
relação a horizontal;
Na base (ponto “E”) a tensão de compressão é
vertical e nula e a de tração é horizontal;
Para momentos fletores grandes, as maiores
tensões principais ocorrem no topo e na base
da seção;
Para pequenos momentos fletores e grande força
cortante, a maior tensão principal está na L.N.
Prof. Romel Dias Vanderlei
3.2.1 – Vigas de Seção Transversal Retangular
b) Análise da Tensão de Cisalhamento Máxima:
Prof. Romel Dias Vanderlei
No topo e na base da viga as τmáx ocorrem em
planos inclinados a 45º;
Na L.N as τmáx ocorrem em planos horizontais e
verticais;
Para momentos fletores grandes, as maiores τmáx
ocorrem no topo e na base da seção.
Para pequenos momentos fletores e grande força
cortante, as maiores τmáx ocorrem na L.N.
3.2.2 – Viga de Perfil I
Para estas seções, as maiores tensões principais
podem ocorrer na ligação do flange com a alma
(pontos “B” e “D”).
B
D
Prof. Romel Dias Vanderlei
3.3 – Projeto de Vigas Prismáticas
O projeto de uma viga depende essencialmente do
valor absoluto máximo do momento fletor na viga
[M]máx, e há situações em que o projeto depende
do valor máximo absoluto da força cortante [V]máx.
Prof. Romel Dias Vanderlei
Um dimensionamento correto de uma viga deve
levar ao projeto mais econômico.
3.3 – Projeto de Vigas Prismáticas
Procedimentos:
1) Determinar os valores das tensões admissíveis:
σ adm =
σu
C.S .
e
τ adm =
τu
C.S .
2) Desenhar os diagramas de força cortante e
momento fletor, determinando os valores máximos
absolutos [V]máx e [M]máx.
Prof. Romel Dias Vanderlei
3.3 – Projeto de Vigas Prismáticas
3) Assume-se que o dimensionamento é controlado
pelo valor da tensão normal que atua no topo e na
base da seção de máxímo momento fletor.
σ máx =
| M máx | ⋅C
I
, onde W = z → Módulo de Resistência
Iz
C
O mínimo valor admissível para o módulo de
resistência da viga é:
Wmín =
| M máx |
σ adm
Prof. Romel Dias Vanderlei
4) Escolher uma seção transversal com W > Wmín.
3.3 – Projeto de Vigas Prismáticas
5) Uma vez escolhida a seção transversal da viga,
verifica-se sua resistência à força cortante:
τ máx =
| Vmáx | ⋅M S
≤ τ adm
b⋅ Iz
A tensão de cisalhamento máxima na L.N. pode ser:
3⋅ | Vmáx |
Seção Retangular → τ máx =
2⋅ A
|V |
Perfil I
→ τ máx = máx
AAlma
6) No caso de perfil I ou perfil de abas largas, é
importante fazer uma verificação do valo σmáx na
junção da alma com os flanges.
Prof. Romel Dias Vanderlei
Exemplo 1
Uma viga de madeira AB tem 3m de vão e 100mm de
largura. Determine a mínima altura necessária “d”
para a viga, sabendo-se que, para a qualidade de
madeira usada, σadm=12,6 MPa e τadm=840 kPa.
4 kN
10 kN
10 kN
A
0,6 m
0,9 m
0,9 m
0,6 m
3m
Prof. Romel Dias Vanderlei
d
B
100
mm
Exemplo 1
1) Esforços internos:
VA=VB=12kN
12
4
Vmáx = 12 kN
V (kN)
4
12
M (kN.m)
Mmáx = 9 kN.m
7,2
7,2
9
Prof. Romel Dias Vanderlei
Exemplo 1
2) Dimensionamento baseado na tensão normal
admissível:
Wmín =
W=
Logo:
| M |máx
σ adm
=
9.10³
= 7,14.10 − 4 m³
12,6.106
b.d ³
Iz
12 = b.d ² = 0,1.d ²
=
d
C
6
6
2
0,1.d ²
≥ 7,14.10 − 4
6
d ² = 0,0428
Prof. Romel Dias Vanderlei
d = 0,207m = 207mm
Exemplo 1
3) Verificação da tensão de cisalhamento:
Vmáx = 12kN
e
3 Vmáx
≤ τ adm
2 A
3.12.10³
≤ 840kPa
2.(0,1.0,207)
869,5 ≤ 840kPa
τ máx =
d = 207mm
Prof. Romel Dias Vanderlei
Exemplo 1
4) Dimensionamento baseado na tensão de cisalhamento
admissível:
3 ⋅ Vmáx
≤ τ adm
2⋅ A
3 × 12 × 10³
≤ 840 × 10³
2× A
A ≥ 2,14 × 10 − 2 m²
b ⋅ d ≥ 2,14 × 10 − 2
0,1 ⋅ d ≥ 2,14 × 10 − 2 → d ≥ 0,214m
Prof. Romel Dias Vanderlei
d = 214mm
Exemplo 2
A viga abaixo é feita de duas tábuas de 200x30 mm. Se a tensão
de flexão admissível for σadm=12MPa e a tensão de cisalhamento
admissível for τadm=0,8MPa, a viga suportará com segurança o
carregamento mostrado?
Especificar o espaço mínimo entre pregos necessários para
prender as duas tábuas, supondo que cada prego resiste com
segurança a 1,50kN sob cisalhamento.
200 mm
1,5 kN
0,5 kN/m
30 mm
A
200 mm
B
C
2m
ȳ
2m
30 mm
Prof. Romel Dias Vanderlei
Exemplo 2
1) Esforços internos máximos
V A = 1,5kN
VB = 1,0kN
1,5
0,5
V (kN)
Vmáx = 1,5 kN
1
Mmáx = 2 kN
M (kN.m)
Prof. Romel Dias Vanderlei
2
Exemplo 2
2) Verificação baseada na tensão normal admissível
σ adm ≥
M máx ⋅ C
Iz
a) Centróide:
y=
∑ y .A
∑A
i
i
i
=
0,1.(0,03.0,2) + 0,215.(0,2.0,03)
= 0,1575m
0,03.0,2 + 0,2.0,03
b) Momento de inércia:
Iz =
∑ (I ′ + d
zi
2
i
⋅ Ai )
0,03 ⋅ 0,2³
+ (0,1575 − 0,1)² ⋅ (0,03 ⋅ 0,2)] +
12
0,2 ⋅ 0,03³
+ (0,215 − 0,1575)² ⋅ (0,03 ⋅ 0,2)] = 60,125 ×10 − 6 m 4
[
12
Iz = [
Prof. Romel Dias Vanderlei
Exemplo 2
C1 = ȳ = 0,1575 m
e
C2 = 0,230-0,1575 = 0,0725 m
Logo: C = C1 = 0,1575 m
Assim:
M máx ⋅ C 2 × 10³ ⋅ 0,1575
=
Iz
60,125 × 10 − 6
12 MPa > 5,24 MPa
σ adm ≥
Prof. Romel Dias Vanderlei
(OK)
Exemplo 2
3) Verificação baseada na tensão de cisalhamento
admissível:
Vmáx ⋅ Ms
τ adm ≥
0,0725 m
L.N.
d
0,1575 m
b⋅ Iz
0,1575
⋅ 0,03 ⋅ 0,1575
2
M s = 0,372 × 10 −3 m³
Ms = d ⋅ A =
b = 0,03m
Logo:
τ adm ≥
1,5 × 10³ ⋅ 0,372 × 10 −3
0,03 ⋅ 60,125 × 10 −6
0,8MPa > 0,309MPa
(OK)
Prof. Romel Dias Vanderlei
Exemplo 2
4) Espaçamento entre pregos:
f =
V ⋅Ms
Iz
Momento estático da mesa:
Ms=d.A=(0,0725-0,015).(0,2.0,03)=0,345x10-3 m³
Fluxo de cisalhamento na região AC e CB
Vmáx(AC) = 1,5 kN
Prof. Romel Dias Vanderlei
f AC =
1,5 × 10³ ⋅ 0,345 ×10 −3
60,125 × 10 − 6
e
Vmáx(CB) = 1 kN
f CB =
= 8,61kN / m
1,0 × 10³ ⋅ 0,345 × 10 −3
60,125 × 10 − 6
= 5,74kN / m
Exemplo 2
Como:
s AC =
sCB
f =
F
s
F
1,5 ×10³
= 0,174m
8,61× 10³
f AC
=
e
F = Fadm = 1,5kN
F
1,5 × 10³
=
=
= 0,261m
f CB 5,74 × 10³
Logo:
s AC = 150mm
sCB = 250mm
0,0725 m
0,03 m
L.N.
0,1575 m