Curso Mentor
Soluções das Questões de
Matemática da Universidade do
Estado do Rio de Janeiro – UERJ
Vestibular 2011
1º Exame de Qualificação 2011
Questão 26
Observe a representação do trecho de um circuito elétrico entre os pontos X e Y,
contendo três resistores cujas resistências medem, em ohms, a, b e c.
a
X
b
Y
c
1
e que a
2
resistência equivalente entre X e Y mede 2,0 Ω. O valor, em ohms, de ( a + b + c ) é
igual a:
(A) 21,0
(B) 22,5
(C) 24,0
(D) 24,5
Admita que a sequência (a, b, c) é uma progressão geométrica de razão
Solução:
A resistência equivalente entre os pontos X e Y é dada por:
1 1 1 1
= + +
R a b c
Rearrumando os termos teremos:
ab + ac + bc 1
=
abc
2
Reescrevendo os valores em função de uma PG de três termos de razão
 a a
PG  a, , 
 2 4
Então:
a
a a a
a ⋅  + a ⋅  +  ⋅ 
2
 
4 2 4 = 1
2
a a
a ⋅ ⋅ 
2 4
1 1 1
7
a2 ⋅  + + 
1
 2 4 8  = ⇒ a = 8 ⇒ a = 7 ⋅ 16 ⇒ a = 14
1
1
2
8 1
a3 ⋅
8
16
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1
temos:
2
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7

A PG então fica  14, 7,  , somando seus termos temos:
2

7
+ 7 + 14 = 21 + 3, 5 = 24, 5
2
Opção D.
Questão 33
A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na figura abaixo,
tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm.
D
C
B
A
E
Em relação ao prisma, considere:
— cada um dos ângulos  , B̂ , Ĉ e D̂ da base superior mede 120°;
— as arestas AB , BC , e CD medem 10 cm cada.
Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$ 10,00 por m2 e
que 3 = 1, 73 . Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto
somente com o papelão é aproximadamente igual a:
(A) 0,50
(B) 0,95
(C) 1,50
(D) 1,85
Solução:
As partes superior e inferior da caixa do chocolate podem ser vistas como abaixo:
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B
60°
A
•
•
30°
60°
30°
•
60°
C
•
M
N
60°
D
60°
E
Como sabemos, a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por:
Si = 180° ( n − 2 )
Portanto, o ângulo Ê é dado por:
ˆ = 540° ⇒ E
ˆ = 540° − 480°
Si = 180° ( 5 − 2 ) ⇒ 120 ⋅ 4 + E
Ê = 60°
ˆ
ˆ
Como A = D = 120° temos que a figura é simétrica. Traçamos o segmento AD ,
ˆ = ADE
ˆ = 60° . Além disso,
AE = DE e o triângulo ∆ADE é equilátero, portanto DAE
ˆ = CDN
ˆ = 60° .
também como consequência, BAM
Agora, traçando os segmentos BM e CN ambos perpendiculares a BC teremos
ˆ = 30° e os triângulos retângulos congruentes ∆ABM ≡ ∆CDN .
ˆ = DCN
ABM
A área da figura será a soma das áreas do trapézio isósceles ABCD e do triângulo
∆ADE .
Cálculo da área do trapézio ABCD:
 AD + BC 
SABCD = 
 BM
2


Precisamos calcular BM e AD . Cálculo de BM :
BM
3 BM
cos 30° =
⇒
=
⇒ BM = 5 3 cm
2
10
AB
Cálculo de AD :
AD = AM + MN + ND
AM
1 AM
cos 60° =
⇒ =
⇒ AM = 5 cm
2
10
AB
AD = 5 + 10 + 5 ⇒ AD = 20 cm
Voltando ao cálculo da área:
 10 + 20 
2
SABCD = 
 ⋅ 5 3 ⇒ SABCD = 75 3 cm
 2 
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Calculando a área do triângulo equilátero teremos:
( AD )
=
2
S∆ADE
3
4
Assim:
S∆ADE =
( 20 )
2
3
4
⇒ S∆ADE =
S∆ADE = 100 3 cm
( 400 )
3
4
2
Lembrando que são duas faces pentagonais (inferior e superior) e somando as duas área
calculadas anteriormente:
(
STotal = 2 ( S∆ADE + SABCD ) ⇒ STotal = 2 100 3 + 75 3
STotal = 350 3 cm
)
2
Além disso, precisamos considerar as laterais da caixa que são formadas por retângulos
de base igual às respectivas arestas das faces superior e inferior e altura 5 cm. Assim,
chamando os vértices da base inferior de A’, B’, C’, D’ e E’. Teremos a soma:
SLateral = SAA’B’B + SBB’C’C + SCC’D’D + SDD’E’E + SEE’A’A
Note que algumas áreas são iguais, o que reduz nosso cálculo e nos dá:
SLateral = 3 ⋅ 10 ⋅ 5 + 2 ⋅ ( 20 ) ⋅ 5 ⇒ SLateral = 350 cm2
Finalmente, somando a área das faces superior e inferior com a área lateral temos:
(
)
S = 350 + 350 3 ⇒ S = 350 1 + 3 cm2
O custo de confecção da caixa é de R$ 10,00 por m2. Logo será de R$ 10,00 para cada
10.000 cm2.
Fazendo uma regra de três simples e direta:
10
10000
=
x
350 1 + 3
x=
(
350 1 +
(
)
3)
⇒ x ≅ 0, 95
1000
Portanto o custo de confecção da caixa é aproximadamente R$ 0,95. Opção B.
Questão 34
Uma fábrica produz sucos com os seguintes sabores: uva, pêssego e laranja. Considere
uma caixa com 12 garrafas desses sucos, sendo 4 garrafas de cada sabor. Retirando-se,
ao acaso, 2 garrafas dessa caixa, a probabilidade de que ambas contenham suco com o
mesmo sabor equivale a:
(A) 9,1%
(B) 18,2%
(C) 27,3%
(D) 36,4%
Solução 1:
Como os eventos são independentes podemos fazer:
4 3
3
P = 3⋅ ⋅
⇒P=
⇒ P ≅ 0, 2727
12 11
11
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P ≅ 27, 3%
Solução 2:
O número de possibilidades de retirada de 2 garrafas de suco quaisquer pode ser
calculado como:
12 !
C12,2 =
10 ! 2 !
12 ⋅ 11 ⋅ 10 !
C12,2 =
⇒ C12,2 = 66
10 ! 2 !
Para duas garrafas de sucos de sabores iguais temos:
4!
T = 3 ⋅ C4,2 ⇒ T = 3 ⋅
⇒ T = 18
2!2!
Assim a probabilidade de escolher duas garrafas de mesmo sabor será:
18
3
P=
⇒P=
66
11
Portanto, opção C.
Questão 37
Para melhor estudar o Sol, os astrônomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos
4
de observação. Admita um filtro que deixe passar
da intensidade da luz que nele
5
incide. Para reduzir essa intensidade a menos de 10% da original, foi necessário utilizar
n filtros. Considerando log 2 = 0,301, o menor valor de n é igual a:
(A) 9
(B) 10
(C)11
(D) 12
Solução:
Esquematizando os dados do problema temos:
4
1 Filtro ——— da intensidade
5
2
4
2 Filtros ———   da intensidade
5
⋮
4
n Filtros ———  
5
Assim, a inequação que precisamos resolver é:
n
da intensidade
n
1
4
I0 >   I 0
10
5
Onde I0 é a intensidade original de luz. Daí:
1 4
> 
10  5 
n
n
1
4
log
> log  
10
5
−1 > n ( log 4 − log 5 )
10 

−1 > n  2 log 2 − log 
2 

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−1 > n 2 ⋅ 0, 301 − (1 − 0, 301) 
−n [3 ⋅ 0, 301 − 1] > 1 ⇒ n (1 − 0, 903 ) > 1
n>
1
⇒ n > 10, 3
1 − 0, 903
n = 11
A opção correta é C.
Questão 40
Observe as guias para pagamento em cota única do IPTU-2010 mostradas abaixo.
Em uma delas, com o desconto de 15%, será pago o valor de R$ 1.530,00; na outra,
com o desconto de 7%, será pago o valor de R$ 2.790,00. O desconto percentual médio
total obtido com o pagamento desses valores é igual a:
(A) 6%
(B) 10%
(C) 11%
(D) 22%
Solução:
Do enunciado, temos que, da guia da esquerda, serão pagos 85%, pois há um desconto
de 15%. Logo, sendo x o valor total, tem-se:
1530
0, 85x = 1530 ⇒ x =
0, 85
Analogamente, sendo y o valor total da guia da direita:
2790
0, 93y = 2790 ⇒ y =
0, 93
O valor que seria pago sem desconto é dado pela expressão:
1530 2790
x+y=
+
0, 85 0, 93
Chamando de D o valor total com desconto o desconto médio total (DMT) pode ser
calculado como:
(x + y) − D
DMT =
(x + y)
Substituindo os valores:
1530 2790
+
− (1530 + 2790 )
0, 85 0, 93
DMT =
1530 2790
+
0, 85 0, 93
1530 ⋅ 0, 93 + 2790 ⋅ 0, 85 − 4320 ⋅ 0, 85 ⋅ 0, 93
DMT =
1530 ⋅ 0, 93 + 2790 ⋅ 0, 85
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1422, 90 + 2371, 50 − 3414, 96
1422, 90 + 2371, 50
379, 44
1
DMT =
⇒ DMT =
⇒ DMT = 10%
3794, 40
10
A resposta correta é, portanto, opção B.
DMT =
Questão 41
Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação
abaixo.
B
•
•A
Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos,
percorrendo X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d.
Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses
caminhos, X equivale a:
(A) 20
(B) 15
(C) 12
(D) 10
Solução:
Partindo da figura definimos:
BA — Deslocamento para baixo
F — Deslocamento para frente
B
•
•A
Como o caminho deve ser mínimo (veja a figura acima) a solução será a permutação
com repetição dos elementos abaixo:
BA BA FFFF
O que nos dá 6 movimentos apenas, ou seja, dois movimentos para baixo e quatro
movimentos para frente.
Portanto:
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P6
P4 ⋅ P2
6!
6 ⋅ 5 ⋅ 4!
T=
⇒T=
⇒ T = 15 caminhos
4!2!
2 ⋅ 4!
T=
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