Geometria
Uma breve introdução
Etimologia
Geometria, em grego antigo γεωμετρία,
geo- "terra", -metria "medida“
 Origem (lazer ou necessidade?)
Geometria Euclidiana
 Euclides de Alexandria, matemático grego dos séculos IV e III
a.C. é um dos mais importantes da antiguidade. A maior de
todas as contribuições de Euclides à Matemática, bem como à
ciência em geral, foi o tratado Elementos, obra na qual expôs,
sistematicamente, os conhecimentos de Geometria Plana de
seu tempo – doravante rotulada de Euclidiana –, alguns dos
quais frutos de seu próprio trabalho.
 A importância dos Elementos se deve ao fato deste ser a
primeira obra em que se considera um corpo de conhecimento
matemático como parte de um sistema lógico dedutivo bem
definido.
Conceitos Primitivos
PONTO
• São representados por letras maiúsculas
do nosso alfabeto: A, B, C, ...
RETA
• São representadas por letras minúsculas
do nosso alfabeto: a, b, c, ...
PLANO
• São representados por letras minúsculas
do alfabeto grego: α, β, γ, ...
Axiomas ou postulados
São proposições primitivas aceitas sem demonstração. São elas:
 Em uma reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.
 Em um plano há infinitos pontos.
 Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa
por eles.
 Três pontos não colineares determinam um único plano que
passa por eles.
 Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta
está contida nesse mesmo plano.
Julgue os itens abaixo:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Por um ponto passam infinitas retas.
Por dois pontos distintos passa uma reta.
Uma reta contém dois pontos distintos.
Dois pontos distintos determinam uma e só uma reta.
Por três pontos dados passa uma só reta.
Três pontos distintos são sempre colineares.
Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares.
Quatro pontos distintos determinam um único plano.
RETA, SEMIRRETA E SEGMENTO DE RETA
 Segmento de reta 𝐴𝐴𝐴𝐴.
 Semirreta 𝐴𝐴𝐴𝐴.
 Reta 𝐴𝐴𝐴𝐴.
Medida de um segmento de reta
 Denotamos a medida do segmento 𝐴𝐴𝐴𝐴, ou a distância do ponto
A ao ponto B, por 𝐴𝐴𝐴𝐴 (ou 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝐴𝐴𝐴𝐴)).
 Um ponto M é ponto médio do segmento 𝐴𝐴𝐴𝐴 se, e somente se,
M está entre A e B, de tal forma que 𝐴𝐴𝐴𝐴 ≡ 𝑀𝑀𝑀𝑀.
1) Determine o número de retas, semirretas e segmentos de reta que
podem ser formados com três pontos A, B e C, não colineares.
2) Os segmentos 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐵𝐵𝐶𝐶, 𝐵𝐵𝐶𝐶 e 𝐶𝐶𝐶𝐶 são adjacentes, de tal maneira que
𝐴𝐴𝐴𝐴 é o triplo de 𝐵𝐵𝐶𝐶, 𝐵𝐵𝐶𝐶 é o dobro de 𝐶𝐶𝐶𝐶 e 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 36 𝑐𝑐𝑐𝑐. Determine
as medidas dos segmentos 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐵𝐵𝐶𝐶 e 𝐶𝐶𝐶𝐶.
3) Cinco pontos pertencem a uma circunferência. Quantas retas,
semirretas e segmentos de reta são determinados ligando esses
pontos dois a dois?
4) Determine a medida de cada uma das partes de um segmento de 136
cm que foi dividido em partes diretamente proporcionais a 3 e 14.
5) Determine a medida de cada uma das partes de um segmento de 80
cm que foi dividido em partes inversamente proporcionais a 4 e 6.
6) Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situase entre A e C e a distância de B e C é igual a dois terços da distância
de A a B. Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de cada
cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as cidades B e C e
à distância de 210 km de A. Sabendo que P está 20 km mais próximo
de C do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá
percorrer até o ponto de encontro.
Ângulos
Uma breve revisão
Classificação quanto à medida
� de medida 𝒙𝒙. Se
 Considere um ângulo 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶
� é nulo.
a) 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎, então 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶
� é agudo.
b) 𝟎𝟎 < 𝒙𝒙 < 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗, então 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶
� é reto.
c) 𝒙𝒙 = 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗, então 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶
� é obtuso.
d) 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 < 𝒙𝒙 < 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏, então 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶
� é raso.
e) 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏, então 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶
Ângulos complementares, suplementares e
replementares
 Dois ângulos são
a) COMPLEMENTARES se a soma de suas medidas é igual a 90°.
b) SUPLEMENTARES se a soma de suas medidas é igual a 180°.
c) REPLEMENTARES se a soma de suas medidas é igual a 360°.
Um ângulo
Seu complemento
Seu suplemento
Seu replemento
𝑥𝑥
90° − 𝑥𝑥
180° − 𝑥𝑥
360° − 𝑥𝑥
Ângulos congruentes e OPV
� são denominados CONGRUENTES se as suas medidas
� e 𝑃𝑃𝑂𝑂𝑄𝑄,
 Dois ângulos, 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶
são iguais. Ou seja,
� 𝑸𝑸) ⇔ 𝑨𝑨𝑩𝑩
� 𝑸𝑸
� 𝑪𝑪 = 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎(𝑷𝑷𝑶𝑶
� 𝑪𝑪 ≡ 𝑷𝑷𝑶𝑶
𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝑨𝑨𝑩𝑩
 Dois ângulos são Opostos Pelo Vértice (OPV) se os lados de um são semirretas
opostas aos lados do outro.
OBS.: Ângulos OPV são sempre congruentes, assim
b
a
c
d
a=c e b=d
Bissetriz de um ângulo
 A bissetriz de um ângulo é a semirreta, com origem no vértice do ângulo, que o
divide em dois ângulos congruentes.
A
C
O
B
� ≡ 𝐶𝐶 𝑂𝑂𝐵𝐵,
� então 𝑂𝑂𝑂𝑂 é a bissetriz de 𝐴𝐴𝑂𝑂𝐵𝐵.
�
Se 𝐴𝐴𝑂𝑂𝐶𝐶
EXERCÍCIOS
Resolvidos: p.32 e p.33, números 1, 3 e 6.
Exercícios de aula: p.45, nº 2 (b, d, e) e 4.
Tarefão: p.47 a p.51, nº 1, 2, 11, 12 e 22.
Paralelismo
 Considere duas retas, r e s, paralelas e t uma reta transversal. Ficam
determinados os oito ângulos assinalados a seguir
b
a
d
r
c
f
e
h
s
g
t
 Dois a dois, dizemos que os ângulos a e e, b e f, c e g, d e h são correspondentes.
Propriedade fundamental do paralelismo e
suas consequências
 Pela propriedade fundamental do paralelismo, “ângulos correspondentes
são congruentes”, então:
b
a
d
r
c
b
a
d
s
c
t
b
a
⇒
b
Já que ângulos OPV são congruentes
r
a
b
a
b
s
a
t
EXERCÍCIOS
Resolvidos: p.32, nº 2.
Exercícios de aula: p.46 e p.47, nº 5, 6, 7 e 8.
Tarefão: p.47 a p.51, nº 3 a 10.