UMA TRAJETÓRIA HIPOTÉTICA DE APRENDIZAGEM PARA O
ENSINO DE FUNÇÃO AFIM EM UM CURSO DE FORMAÇÃO
CONTINUADA
Julio Cezar Rodrigues de Oliveira
UNESPAR – Campus Apucarana / UEL – Universidade Estadual de Londrina
[email protected]
Romário Tomilhero Frias
UNESPAR – Campus Apucarana
[email protected]
Letícia Barcaro Celeste Omodei
UNESPAR – Campus Apucarana
[email protected]
Resumo:
Nesse trabalho, apresentamos uma trajetória hipotética de aprendizagem (THA) na perspectiva
da Resolução de Problemas. Nessa THA apresentamos uma proposta que será desenvolvida em
um curso de formação continuada promovido pela UNESPAR – Campus Apucarana. Esse curso
tem como objetivo proporcionar aos professores participantes a possibilidade de trabalhar com
algumas das tendências em Educação Matemática, com o auxílio do software GeoGebra, no
desenvolvimento de propostas elaboradas pelos acadêmicos do curso de Licenciatura e pelas
professores orientadoras. A elaboração dessa THA possibilitou que os acadêmicos planejassem
e antecipassem as possíveis discussões que surgiriam no decorrer da aula, e assim estariam mais
seguros no desenvolvimento da atividade.
Palavras-chave: Trajetória Hipotética de Aprendizagem. Resolução de Problemas.
Função Afim.
Introdução
Neste trabalho apresentamos uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem (THA)
a ser desenvolvida com professores da Educação Básica em um curso oferecido pela
UNESPAR – Campus Apucarana. Esse curso faz parte do projeto intitulado “O Ensino
de Matemática com o GeoGebra:
uma Abordagem por meio de Tendências em
Educação Matemática em um Curso de Formação Continuada”.
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As propostas desenvolvidas no curso têm por objetivo promover momentos de
reflexão e discussão sobre conteúdos e metodologias de ensino, pelos quais os
professores da educação básica podem contribuir com suas experiências para o
desenvolvimento das propostas, e, em contrapartida, os acadêmicos conduzem os
encontros pautados em algumas das tendências em Educação Matemática (Resolução de
Problemas, Investigação Matemática, História da Matemática e Modelagem
Matemática), com o auxílio do software GeoGebra.
Para esta THA, optou-se por utilizar a Resolução de Problemas como tendência,
pois
Ao se ensinar matemática através da Resolução de Problemas, os
problemas são importantes não somente como um propósito de se
aprender matemática mas, também, como um primeiro passo para se
fazer isso. O ensino-aprendizagem de um tópico matemático começa
com uma situação-problema que expressa aspectos chave desse tópico
e são desenvolvidas técnicas matemáticas como respostas razoáveis
para problemas razoáveis. (ONUCHIC, 1999, p. 207)
Ao planejar uma aula de matemática, o professor deve se questionar a respeito
do que o estudante já sabe sobre determinado conteúdo, para que assim ele tenha uma
ideia de como irá conduzir sua aula. Sob esse viés, acreditamos que a THA pode
representar uma alternativa para que o professor consiga explorar as possíveis dúvidas e
discussões que podem surgir no decorrer da aula.
Algumas dissertações de mestrado apontam que as THA representam uma
alternativa para o professor planejar sua atuação em sala de aula, tais como Angiolin
(2009), Barbosa (2009), Lima (2009), Luna (2009), Mesquita (2009), Rosenbaum
(2010), que desenvolveram THA para ser trabalhadas com conteúdos de Ensino
Fundamental e Médio. Com o objetivo de compreender a teoria proposta por Simon
(1995), estudamos o seu trabalho buscando compreender o que ele propõe quando
apresenta a THA.
As Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem nas Aulas de Matemática
A Trajetória Hipotética de Aprendizagem (THA) foi proposta por Simon (1995),
e pode ser utilizada pelo professor oferecendo-lhe a possibilidade de construir seu
próprio projeto de decisões, com base em suas melhores suposições de como o
conhecimento pode ser construído em sala de aula. De acordo com o autor
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Eu uso o termo “trajetória hipotética de aprendizagem” para me referir
a previsão do professor como um caminho pelo qual a aprendizagem
pode ocorrer. É hipotético porque a trajetória real de aprendizagem
não é conhecida previamente. Ela caracteriza uma tendência esperada.
A aprendizagem individual dos estudantes ocorre de forma
idiossincrática, embora frequentemente em caminhos similares. É
assumido que uma aprendizagem individual tem alguma regularidade,
que a sala de aula limita a atividade matemática frequentemente de
formas previsíveis, e que muitos estudantes na mesma sala podem se
beneficiar da mesma tarefa matemática. Uma trajetória hipotética de
aprendizagem fornece ao professor uma análise racional para escolher
um projeto instrucional particular; assim, eu tomo as minhas decisões
baseado nas minhas melhores suposições de como a aprendizagem
pode acontecer (SIMON, 1995, p. 135, tradução nossa).
O autor justifica sua escolha pela palavra “trajetória” para referir-se a um
caminho, e faz uma analogia a uma viagem, considerando que você pretenda fazer uma
viagem pelo mundo, e não pretende viajar aleatoriamente, mas também não planejou um
itinerário a ser seguido. Com esse objetivo, você busca o máximo de informações a
respeito de cada lugar que pretende visitar, formulando um plano.
A princípio, você pode ter toda a viagem planejada ou apenas parte dela. No
início da viagem, você seguirá o seu plano, mas no decorrer, devido às condições que
você encontrar, você tem que ajustar constantemente esse plano de viagem. Dessa forma
pode ser que você mude a ordem pela qual visitará os lugares ou fique por mais tempo
em determinados lugares e menos tempo em outros, podendo até deixar de visitar
alguns deles e visitar outros que não havia planejado. Enfim, o caminho pelo qual você
viaja é a sua “trajetória”, e o caminho que você havia planejado é a sua “trajetória
hipotética” (SIMON, 1995).
Uma das características presentes na THA é a relação entre a compreensão
matemática do professor e suas hipóteses a respeito do conhecimento dos estudantes.
Simon refere-se à hipótese sobre o conhecimento dos estudantes para enfatizar que o
professor não consegue acessar diretamente o conhecimento deles, o que implica que o
professor pode comparar a sua compreensão de um conceito particular a partir da sua
construção de entendimentos dos estudantes hipoteticamente, mas não é possível que
ele conheça de antemão os entendimentos reais dos estudantes.
O autor concebe a THA em três componentes: o objetivo que o professor
pretende alcançar com direções claras para a aprendizagem dos estudantes, as atividades
de aprendizagem, e o processo hipotético de aprendizagem, que representa uma
previsão de como a compreensão e os pensamentos dos estudantes evoluirão no
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contexto das atividades de aprendizagem. Além disso, ele ressalta que a criação e a
modificação constante da THA é a peça central do modelo (Quadro 01).
Quadro 01: Ciclo de Ensino de Matemática (abreviado) - (Simon, 1995, p. 136)
A noção de THA na perspectiva de Simon não impõe que o professor sempre
busque um objetivo por vez, ou que apenas uma trajetória deve ser considerada, mas
vale salientar a importância de se ter um objetivo, fazer uma análise racional para a
tomada de decisões do professor, e a natureza hipotética de tal pensamento. O autor
chama a atenção para os benefícios da THA ao afirmar que
[...] o desenvolvimento de um processo de trajetória hipotética de
aprendizagem e o desenvolvimento de atividades de aprendizagem
têm um relacionamento simbiótico; a geração de ideias para atividades
de aprendizagem é dependente das hipóteses do professor sobre o
desenvolvimento do pensamento e da aprendizagem dos estudantes,
além disso a geração de hipóteses do desenvolvimento conceitual do
estudante depende da natureza de atividades antecipadas (SIMON,
1995, p. 136, tradução nossa).
O desenvolvimento de uma THA para uma aula é o processo pelo qual o
professor desenvolve um plano de atividade. Segundo Fernandes e Pires (2013, p. 2),
neste plano é apresentada “uma descrição detalhada de uma aula hipotética que
evidencia possíveis dúvidas que possam aparecer, com encaminhamentos e caminhos
para discussões”.
Para Simon e Tzur (2004), a seleção das atividades a serem utilizadas e as
hipóteses sobre o processo de aprendizagem dos estudantes são interdependentes, e,
subjacentes à elaboração da THA, encontramos os seguintes pressupostos:
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1. A geração de um THA é baseada na compreensão do conhecimento
atual dos estudantes envolvidos.
2. Uma THA é um veículo para o planejamento da aprendizagem de
conceitos matemáticos particulares.
3. As atividades matemáticas fornecem ferramentas para promover a
aprendizagem de conceitos matemáticos particulares e são, portanto,
uma parte chave para o processo.
4. Dada a natureza hipotética e inerentemente incerta desse processo,
o professor está frequentemente envolvido em modificar cada aspecto
da THA (SIMON e TZUR, 2004, tradução nossa)
Steffe (2004) afirma que uma trajetória de aprendizagem apresenta um modelo
de conceitos iniciais que os estudantes possuem, e a consideração de mudanças
observáveis nesses conceitos como o resultado da atividade matemática interativa em
situações de aprendizagem, além de uma descrição das interações matemáticas que
estiveram envolvidas nessas mudanças.
No desenvolvimento da atividade, conforme o professor observa os estudantes e
interage com eles, uma experiência é constituída coletivamente que pode ser, e
geralmente é, diferente daquela antecipada pelo professor na THA. Nesse sentido, as
ideias do professor sobre como os estudantes agiriam hipoteticamente na THA se
transformam ao passo que ele nota como os estudantes estão desenvolvendo a atividade,
o que pode fazer com que o professor recrie sua THA, com novas perspectivas para uma
próxima atividade.
Gómez, González e Lupiáñez (2007) descrevem como a THA pode oferecer
subsídios com relação aos planejamentos para o professor em sua formação inicial, por
meio de uma adaptação do conceito apresentado por Simon (1995) e por Simon e Tzur
(2004).
Nessa perspectiva, vamos apresentar nesse trabalho uma THA relacionada ao
estudo de função afim em um curso de formação continuada, com o auxílio do software
GeoGebra, ressaltando as discussões desencadeadas no decorrer da THA e destacando
como o software pode ser utilizado com o intuito de promover a aprendizagem.
O Curso de Formação Continuada e o GeoGebra
O curso intitulado “A Educação Matemática e a prática em sala de aula: ideias e
possibilidades com o GeoGebra” (parte de um projeto da UNESPAR – Apucarana em
parceria com o Núcleo Regional de Educação de Apucarana) é voltado para os
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professores da Educação Básica, a fim de que os professores participantes sejam
capacitados para utilizarem os laboratórios de informática nas aulas de Matemática,
trabalhando com o computador como uma ferramenta que pode ser utilizada na
construção do conhecimento matemático.
Este curso faz parte de um projeto de iniciação científica, no qual o primeiro
autor desse trabalho atua como voluntário, e de um projeto de extensão, no qual o
segundo autor desse trabalho atua como bolsista, ambos coordenados e orientados pela
terceira autora desse trabalho.
Neste curso, os acadêmicos do curso de Licenciatura em Matemática – bolsistas
e voluntários, com o auxílio das professoras coordenadoras, elaboram e colocam em
prática propostas para serem desenvolvidas com o auxílio do software GeoGebra,
sempre por meio de uma das tendências em Educação Matemática (Resolução de
Problemas, Investigação Matemática, História da Matemática e Modelagem
Matemática).
O software GeoGebra é gratuito e foi criado em 2001 por Markus Hohenwarter,
que tinha como meta desenvolver um software voltado para o ensino e a aprendizagem
de matemática nos vários níveis de conhecimento. Atualmente, o GeoGebra reúne
recursos de álgebra, geometria e cálculo, possibilitando o trabalho com tabelas, gráficos,
construções geométricas, probabilidade, matemática financeira, estatística, entre muitos
outros conteúdos em um único ambiente.
Nas propostas realizadas, os professores buscaram investigar as questões
envolvidas para descobrir e justificar suas respostas com a ajuda do software, discutindo
suas resoluções e como poderiam trabalhar com o GeoGebra em sala de aula. Vamos
apresentar um THA sobre o estudo de função afim que será desenvolvida nesse curso.
THA: Estudando Função Afim por meio da Resolução de Problemas
A THA desse trabalho é destinada a professores da Educação Básica em um
curso de formação continuada, com o objetivo de levantar a discussão a respeito do
conceito de função afim por meio de uma situação-problema. Nela vamos investigar,
com o auxílio do GeoGebra, como é possível determinar o domínio, a imagem, e em
quais intervalos é mais interessante escolher uma ou outra proposta de pagamento, e,
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por fim, analisaremos o fato de termos uma função discreta, que pode ser representada
por uma progressão aritmética (PA), um caso particular de função afim.
A proposta apresentada foi adaptada de uma questão de vestibular da
Universidade de Brasília. Nessa aula, os conceitos serão abordados conforme as
discussões se desenvolverem e, partindo da lei de associação, estudaremos quais são os
componentes das funções estudadas e como podemos compará-las.
No desenvolvimento desta THA as falas dos professores participantes do curso
iniciarão pela letra Pn, sendo que cada n representa um possível professor, e as falas do
acadêmico responsável por ministrar a aula iniciarão com a letra A.
A princípio, será explicado aos professores que seria interessante que eles
testassem suas ideias, ao construir os gráficos no software GeoGebra, para também
poderem analisar graficamente o que estão investigando.
É importante ressaltar que nosso objetivo com este trabalho não está no
aprofundamento das instruções de como realizar construções no GeoGebra, mas sim nas
possibilidades que o software traz para o desenvolvimento de propostas que visam a
aprendizagem dos estudantes, por meio de discussões a respeito dos conteúdos
envolvidos.
O papel do acadêmico responsável pela aula será de questionar as sugestões dos
professores, com o objetivo de fazê-los refletir sobre o que estão considerando e se a
rota pela qual eles estão seguindo é interessante, pensando ainda nos possíveis
obstáculos de aprendizagem que podem ser gerados, dependendo de como eles estão
resolvendo essa proposta. A proposta será abordada em grupo, e sua resolução ocorrerá
seguindo as sugestões dos professores, para que assim, por meio dessa construção
coletiva, eles consigam resolvê-la e discutir os conceitos envolvidos.
A proposta a ser apresentada é a seguinte:
O Parque de Diversões (Unb 97 - Adaptado)
Cada bilhete vendido em um parque de diversões dá direito à utilização de apenas um
brinquedo, uma única vez. Esse parque oferece aos usuários três opções de pagamento:
I: R$ 3,00 por bilhete;
II: Valor fixo de R$ 15,00, acrescidos R$ 0,40 por bilhete;
III: Valor fixo de R$ 30,00 com direito a 10 bilhetes mais R$ 0,20 por bilhete
excedente.
a) Quais as expressões que definem as funções das opções I, II e III? Esboce seus
respectivos gráficos no GeoGebra.
b) Julio está com a família e pretende usar 15 bilhetes. Qual opção é mais
vantajosa para ele?
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c) Existe algum ponto que torna indiferente a escolha entre as opções II e III?
d) Emily, seu marido e seus três filhos foram ao parque no dia em que o parque
estava comemorando seu aniversário. Nesse dia, as crianças pagavam apenas
R$ 2,00 por bilhete e os adultos escolheram a opção I. Sabendo que eles
gastaram R$ 13,00, e cada um utilizou um bilhete, determine quantas crianças o
casal tem.
Quadro 02: Proposta do Parque de Diversões
Os professores farão a leitura dessa proposta antes de dar início a resolução.
A: Como podemos pensar no problema do parque?
P1: Como esse problema envolve o conceito de funções afins, basta
encontrarmos as funções que definem cada uma das opções de pagamento do parque,
para, em seguida, respondermos as questões propostas.
P2: Para a primeira opção, a expressão que define a função f é dada por f(x)= 3x.
A: Além da lei de associação, o que mais definiria a função que representa a
opção I?
P1: Como assim?
A: Pense em funções de um modo geral. Para definir uma função, o que
precisamos conhecer?
P1: Ah, sim. Precisamos dos conjuntos que definem o domínio e o
contradomínio. Nesse caso, o domínio seria representado pela quantidade de bilhetes a
ser comprada, e a imagem seria determinada pelo preço que pagaremos. Vamos
considerar, nesse caso, que o conjunto que define o contradomínio seja o conjunto dos
números reais.
A: O que vocês acham da sugestão de P1?
P3: É interessante, mas como podemos traçar esse gráfico no GeoGebra, porque
eu digitei no campo de entrada “f(x) = 3x”, mas o gráfico apresentado é uma reta, e nele
também é considerado os valores da função para x < 0.
P4: Se conseguirmos restringir o domínio para x > 0, com x real, seria possível
traçar o gráfico dessa função. Para isso, podemos digitar no campo de entrada
“Função[3x,0,∞]”, assim, conseguimos apresentar a expressão que define a função, e o
intervalo no qual ela é definida.
A: Plotando esse gráfico, agora podemos afirmar que ele descreve a forma de
pagamento caso escolhermos a opção I?
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P3: Muito bem, se cada bilhete nos dá direito a utilização de um único
brinquedo, observando esse gráfico pressupõe-se que ½ bilhete dá direito a utilização de
½ brinquedo já que consideramos o domínio como o conjunto dos números reais
maiores que 0, correto? Mas isso não faz sentido.
P5: Então temos que repensar no domínio, como ele é definido pela quantidade
de bilhetes a ser comprada, teremos que o domínio é representado pelo conjunto dos
Números Naturais. Mas como o software poderá ajudar a plotar esse gráfico?
A: É nisso que temos que pensar, muitas vezes o software pode trazer alguns
obstáculos, por isso temos que compreender de fato como representamos o domínio da
função, para que o gráfico não seja mal interpretado. Felizmente podemos utilizá-lo para
definir essa função, embora tenhamos que restringir o domínio. Digamos então que a
quantidade de bilhetes esteja entre 0 e 120, e assim podemos utilizar o comando
“Sequência” para definir o domínio dessa função como um subconjunto dos números
naturais.
Gráfico da função definida por
f(x) = 3x, com Dom = {x > 0},
Gráfico da função definida por f(x) = 3x, com Dom = {0 ≤ x ≤
com x real
120}, com x natural
Quadro 03 – Gráficos que podem ser construídos para supostamente representar a Opção I
Fonte: Do autor.
A: Uma vez definido o domínio da função, qual será o conjunto imagem?
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P6: O conjunto imagem é dado pelos números 0, 3, 6, 9, ..., 360, considerando o
conjunto que restringimos para plotar o gráfico da função. Ou poderíamos também dizer
que o conjunto imagem é representado pelos múltiplos de 3, de 0 a 360.
A: E agora, conseguimos determinar os elementos da função que representa o
quanto vamos pagar pelos bilhetes caso escolhermos a opção I?
P1: Agora temos todos os elementos que definem a função: a lei de associação, o
domínio e o contradomínio. Mas, se pararmos para pensar, o domínio das funções que
representam as opções II e III será o mesmo, pois também estaremos relacionando a
quantidade de bilhetes comprada com o total a ser pago.
P3: Então para determinar a função que define a opção II fica fácil, porque temos
um valor fixo de R$ 15,00, mais R$ 0,40 por bilhete, teremos que o coeficiente angular
da função será 0,4, que representa o quanto o preço aumentará a cada unidade a mais de
bilhete que comprar, e o coeficiente linear será igual a 15, que é a taxa fixa. Logo,
temos uma função g definida por g(x) = 0,4x+15, e a imagem dessa função é um
subconjunto dos racionais.
P7: Mas e a função h que define a opção III? Como vamos determinar a lei?
P8: Essa função é definida em dois intervalos diferentes, sendo o primeiro deles
definido pelo conjunto dos números naturais de 0 a 10, no qual a função será igual a 30,
ou seja, uma constante.
P9: Então a segunda parte é definida no conjunto dos naturais maiores que 10, e
a lei de formação será h(x) = 30 + 0,2x.
P10: Mas então quer dizer que a segunda parte da função h intercepta o eixo das
ordenadas no ponto (0,30)? Isso não parece fazer sentido, parece?
A: Se comprarmos 11 bilhetes, escolhendo a opção III, quanto pagaríamos?
P5: Temos que pagar R$ 30,20, sendo que os R$ 30,00 é a parte fixa, e R$ 0,20
por um bilhete excedente.
A: E se substituirmos x por 11 na função sugerida, ou seja, h(x) = 30+0,2x, o
que vamos encontrar?
P9:Assim concluiríamos que h(11) = 32,20. É, não vai dar certo. Então não é
essa lei que determina a função para o segundo intervalo.
P6: Mas como sabemos que f (11) = 30,2, e que o acréscimo é de 0,20 centavos
por cada unidade extra, podemos substituir esses valores na função afim y = ax+b. E
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assim descobriremos o valor de b e teremos a lei que define a função para o segundo
intervalo.
P4: Fazendo essas substituições, temos que a função h é definida por
h(x)=28+0,2x. E o domínio dessa função é o conjunto dos números naturais, mas a
imagem pode ser representada por um subconjunto dos números racionais. E essa última
função é uma função por partes, pois temos que considerar duas leis de formação, uma
para cada um dos intervalos.
P11: Mas, como os domínios dessas funções afins que encontramos são os
números naturais, podemos considerar que cada uma dessas funções pode ser
representada por uma progressão aritmética (PA), não podemos?
A: O que vocês acham?
P13: Podemos sim, até pela definição de PA, na qual a diferença entre dois
termos consecutivos é uma constante real, e se considerarmos, por exemplo, a primeira
opção como uma PA, teríamos que o primeiro termo (a1) seria 3 e a razão seria 3,
deixando de lado o termo zero, ou ainda considerando a0 = 0. Dessa forma, o termo
geral seria dado por: an  a1  (n  1).r  3  (n 1).3  3  3n  3  3n , onde n é o
número de bilhetes comprados e an o quanto pagaremos por n bilhetes.
P10: É interessante observar que as progressões aritméticas podem ser tratadas
como um caso particular das funções afins.
P13: E, da mesma forma, poderíamos definir a função g por meio de uma PA. No
caso da função h, teríamos duas progressões aritméticas, no primeiro intervalo teríamos
uma PA de razão igual a zero, e na segunda uma PA de razão 0,2.
P3: Então conseguimos definir as funções que representam cada uma das opções
fornecidas pelo parque, são elas:
Opção I: f : IN  IR definida por f ( x)  3x
Opção II: g : IN  IR definida por g ( x)  0,4 x  15
30, se x  10

Opção III: h : IN  IR definida por h( x)  
0,2 x  28, se x  10
Quadro 04: As funções que representam as três opções de pagamento
Graficamente, temos:
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Quadro 05: Gráficos que representam as três opções de pagamento
Fonte: do autor
P8: Uma vez plotado o gráfico das três funções, fica tranquilo para responder as
perguntas do problema: a letra a) está feita. No caso da letra b), basta calcular f(15),
g(15) e h(15), e verificar qual dos três valores será o mais baixo.
P6: Mas, podemos ver também pelo gráfico que, se traçarmos a reta vertical
definida por x=15, a função g é a que intercepta essa reta no menor valor de y. Logo, a
opção II é mais vantajosa para Julio.
P13: No caso da letra c), graficamente temos que as funções g e h aparentemente
se interceptam em apenas um ponto. Para descobrir as coordenadas desse ponto,
igualamos a função g à parte da função h cujo coeficiente angular é 0,2, pois é nessa
semirreta
que
temos
a
interseção
de
ambas
as
funções.
Temos
que:
0,4x  15  0,2x  28  0,2x  13  x  65 . Assim, se resolvêssemos comprar
65 bilhetes, a escolha entre a opção II e opção III seria indiferente. E podemos ter
certeza disso ao calcular g(65) e h(65).
P14: Em relação à letra d), eu penso que o enunciado está dando a resposta, pois
se Emily vai ao parque com seu marido e seus três filhos, fica implícito que o número
de crianças é três, não fica?
A: Mas será que os três filhos do casal são crianças?
P14: É verdade, isso não está escrito no enunciado. Bom, mas se for assim então
podemos pensar em um sistema?
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A: Como você sugere?
P14: Considerando que o número total de pessoas seja cinco e temos x adultos e y
crianças, teríamos a equação x  y  5 . E como eles escolheram a opção I, todos
pagariam R$ 3,00 por bilhete, mas, como as crianças pagam R$ 2,00 por bilhete nesse
dia, temos que o total pago pode ser representado pela equação 3x  2 y  13 .
P15: Agora existem várias formas de resolver, mas eu resolveria por substituição,
isolando x ou y na primeira equação e substituindo na segunda.
A: É interessante que a resolução de um sistema de equações lineares pode ser
feita de várias formas. Graficamente, como poderíamos interpretar essa solução?
P10: Se considerarmos os gráficos das retas dadas por cada uma das equações
que montamos, o ponto de interseção dessas retas, quando elas são concorrentes,
determina a sua solução. Plotando os gráficos no GeoGebra, podemos observar com
mais facilidade:
Quadro 06: Representação Gráfica do Sistema de Equações de Reta
P10: Dessa forma, o número de adultos é 3, e juntos eles pagaram R$ 9,00, e o
número de crianças é 2, e eles pagaram R$ 4,00, totalizando R$ 13,00.
P11: O GeoGebra pode ajudar na interpretação das respostas encontradas quando
resolvemos um sistema linear, porque quando o sistema não possui solução, as retas
seriam paralelas, e fica fácil de observar esse detalhe.
Ao finalizar a THA, o professor não somente planejou todo o conteúdo que
pretende abordar em sala de aula e a metodologia pela qual irá trabalhar, mas também se
colocou no lugar do estudante ao imaginar as possíveis dúvidas que viriam a surgir no
decorrer da aula. Além disso, o professor simulou as possíveis discussões que podem
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ser geradas conforme eles buscam uma resolução para o problema apresentado, podendo
antecipar qual será a sua postura perante cada uma dessas situações, ou seja, como ele
agirá como um mediador no processo de ensino e aprendizagem.
Considerações Finais
A elaboração de uma THA para o projeto do qual fazemos parte constituiu-se
como uma diferente alternativa para planejarmos o trabalho com os professores
participantes do curso, antecipar e promover reflexões relacionadas aos conteúdos
estudados e trabalhar com as possibilidades que o GeoGebra oferece para o ensino de
matemática.
A THA pode oferecer mais segurança ao professor, pois se ele antecipou as
possíveis situações que podem ocorrer em sala de aula, ele também já estruturou como
será a sua reação à determinada dúvida ou discussão que surgir, e se por acaso surgir
alguma dúvida que o professor não havia antecipado, ele poderá esclarecer essa dúvida
do estudante e complementar a sua THA.
Segundo Steffe (2004)
A construção de trajetórias hipotéticas de aprendizagem dos
estudantes é um dos problemas mais difíceis, porém urgentes que a
educação matemática enfrenta atualmente. É também um dos
problemas mais empolgantes porque é nela que podemos construir
uma compreensão da matemática dos estudantes e como nós
professores podemos afetar de forma rentável essa matemática
(STEFFE, 2004, p. 130, tradução nossa).
Corroboramos com o autor, pois ao elaborar a THA, foi necessário que
refletíssemos sobre como os professores pensariam ao tentar resolver o problema
apresentado, e que dúvidas poderiam surgir. Para tanto, nos pautamos nas dissertações
sobre as THA que encontramos na literatura, e por meio dessa pesquisa construímos
uma THA a ser desenvolvida com professores em um curso de formação continuada.
Enquanto estudantes de licenciatura, acreditamos que as THA oferecem um
suporte à formação inicial do professor, e por meio dela é possível descrever algumas
situações de aprendizagem que podem surgir no decorrer de uma aula, de forma a
melhor preparar o professor para trabalhar em sala de aula.
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
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