Aula-7
Teoria da Relatividade
Os Postulados
i) Postulado da relatividade: As leis da
física devem ser exatamente as mesmas
se
descritas
por
observadores
em
diferentes referenciais inerciais. Não
existe um referencial inercial privilegiado
(referencial absoluto).
Os Postulados
ii) Postulado da velocidade da luz: A velocidade
da luz no vácuo tem o mesmo valor em todas as
direções e em todos os referenciais inerciais ( a
velocidade da luz é independente da velocidade
da fonte). Esta é a velocidade máxima com que
qualquer tipo de informação pode ser
transmitida.
Os postulados
• A noção de tempo e espaço está ligada ao
conceito de evento.
Um evento é algo que ocorre e ao qual se atribui
uma posição (espaço) e um instante (tempo).
• Diferentes observadores em diferentes
referenciais atribuem diferentes posições e
instantes a um mesmo evento.
•Espaço e tempo são interligados:
Espaço – tempo
Simultaneidade
A relatividade da simultaneidade
• A simultaneidade não é um conceito
absoluto mas sim relativo, que depende do
movimento do observador.
• Dois observadores em movimento relativo,
em geral não concordam quanto a
simultaneidade de dois eventos.
A relatividade do tempo
O relógio de luz
MOVIMENTO
1
D  c t0
2
2
 c t   1

2
L 
   v t   D
 2  2

2
relógios
2
A relatividade do tempo
2


v
2
2


t 1  2   t0
 c 
2
t 
onde o fator de Lorentz é dado por:

1
1 
2
 v c
Dilatação temporal
2
 c t   1

2
L2  

v

t
 
 D
 2  2

t0
1 v 2 c 2
  t0
Transformações de Lorentz
• As noções de espaço e tempo,
como entes independentes, não têm
mais sentido; o que temos é um
ente único: o espaço-tempo.
•As transformações de Lorentz são
equações que ligam as variáveis
espaço
–
tempo
entre
dois
referenciais diferentes
As transformações de Lorentz
• Se, no referencial S, dois eventos estão separados por uma
diferença de coordenada
; e ocorrem em dois
instantes de tempo separados por
,
no referencial S’ (que está em movimento) teremos:
x   (x  vt ) ;
v
t    ( t  2 x )
c
• Podemos também inverter as transformações acima:
x   ( x  vt  ) ;
v
t   ( t   2 x )
c

1
1 
2
 v c
As Transformações de Lorentz e
Simultaneidade
• Se dois eventos ocorrem no mesmo
instante no sistema S’, mas em pontos
distantes, temos:
S´ :
t '  0
e
v
S : t   ( t  
x )
2
c
x'  0
v
t   2 x
c
Eventos que são simultâneos em S’
não são simultâneos em S ,
se ocorrem em pontos distintos.
As Transformações de Lorentz e
Dilatação do Tempo
• Vamos supor que dois eventos ocorram no
mesmo local em S’, mas em tempos
diferentes, então:
S´ :
x'  0
e
v
S : t   ( t  
x )
2
c
Dilatação temporal
t '  0
t   t 
v  0,8 c
A relatividade do tempo
• Quando dois eventos ocorrem no mesmo
ponto, em um referencial inercial, o
intervalo de tempo entre os eventos,
medido neste referencial, é chamado
intervalo de tempo próprio ou tempo
próprio.
•O intervalo de tempo em qualquer
outro referencial é sempre maior que o
tempo próprio.
As Transformações de Lorentz e
Contração das Distâncias
• Se uma régua está em repouso no sistema S’ o seu
comprimento próprio é L0 = ∆x’. No sistema S a régua
passa com uma velocidade v , e o seu comprimento ∆x
é determinado pela posição dos seus dois extremos num
mesmo instante, então:
t  0
x   ( x  vt )

1
1 
2
 v c
x 
x'


L0

Relatividade das Distâncias
comprimento próprio (ou
comprimento de repouso), L0 , o comprimento no
• Definimos
como
referencial em que o corpo encontra-se em
repouso.
• Logo, o comprimento medido em um referencial
em relação ao qual o corpo esteja se movendo (na
direção da dimensão que está sendo medida), é
sempre menor que o comprimento próprio, L0.
A relatividade das velocidades
Vimos que:
x   ( x  vt )
Portanto:
dx   ( dx  vdt )
v
t    ( t  2 x )
c
v
dt    ( dt  2 dx )
c
dx u x  v
Logo: ux 

dt  1 v u x
c2
Na transformação clássica
de Galileu teríamos (v << c):
dx
ux 
 ux  v
dt 
• Se:
ux  c teremos:
ux  v
ux 
c
v ux
1 2
c
 A transformação está portanto coerente
com o fato da velocidade da luz ser a mesma
em todos os referenciais, e que nenhuma
velocidade pode excedê-la.
Exemplo – relatividade da velocidade : Uma espaçonave cujo comprimento
próprio é 350 m está se movendo com uma velocidade de 0,82c em um certo
referencial. Um micrometeorito, também com velocidade de 0,82c neste
referencial, cruza com a espaçonave viajando na direção oposta. Quanto tempo
o micrometeorito leva para passar pela espaçonave, do ponto de vista de um
observador a bordo da espaçonave ?
L0 = 350 m
y
L0
v = 0,82c
v
ux = - 0,82c
Velocidade do meteorito
em relação à nave:
ux 
v
x
ux  v
vu
1 2x
c
u  2,94  10 m/s
´
x
S
8
L0
350 m
t 0  ' 
 1,19 s
8
ux 2,94  10 m/s
A relatividade do tempo (Exemplos)
a) Decaimento dos Múons
• Tempo de vida dos múons em laboratório (estacionários) :
• Estes múons também são criados na alta atmosfera, pelo
bombardeio de raios cósmicos, chegando à superfície da
Terra com uma velocidade vµ= 0,998 c ( 2,994×108 m/s).
Sem a relatividade diríamos que eles seriam capazes de
percorrer apenas :
• Entretanto, considerando a relatividade, teremos:
L  t v    t 0 v  
2,200s
1  (0,998)2
v   34,80 s  2,994.108 m / s  10,4 km
A relatividade do tempo (Exemplos)
b) Relógios Macroscópicos
•Em 1977 J. Hafele e R. Keating transportaram quatro
relógios atômicos, portáteis, duas vezes em volta da terra,
em aeronaves convencionais.
Confirmaram a dilatação do tempo, conforme as previsões
das teorias da Relatividade (Restrita e Geral), dentro de
uma margem de erro de 10% .
Alguns anos mais tarde, um experimento mais preciso foi
realizado e a confirmação ocorreu dentro de uma margem
de erro de 1% .
Relógio atômico
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Um relógio atômico usa como contador o padrão a frequência de oscilação da
energia do átomo.
Como um pêndulo de relógio, o átomo pode ser estimulado externamente (no
caso por ondas eletromagnéticas) para que sua energia oscile de forma
regular.
Exemplo: a cada 9.192.631.770 oscilações do átomo de césio-133 o relógio
entende que se passou um segundo. Os elementos mais usados: hidrogênio,
rubídio e, principalmente, césio.
Funcionamento não é simples. Deve-se conhecer a frequência máxima com
que o átomo libera energia. Os mecanismos do relógio estimulam os átomos
por meio de microondas e ondas magnéticas, até atingir essa frequência, que é
interpretada como tempo de acordo com os padrões já conhecidos.
1º. relógio atômico: 1949 nos Estados Unidos.
Aprimorada por Louis Essen em 1955 no Reino Unido - átomo de césio-133.
Desde 1967 isto tornou-se uma definição internacionalmente aceita acerca
do segundo baseada no tempo atômico. É usada em relógios, satélites e
aparelhos de última geração.
No SI: 1 segundo = 9.192.631.770 ciclos de radiação do átomo de césio133.
2004: Cientistas do NIST (National Institute of Standards and Technology ) relógio atômico do tamanho de um chip, consumindo apenas 75mW,
tornando possível sua utilização em aparelhos movidos a pilhas ou baterias.
O Brasil possui, no Observatório Nacional dois relógios de átomos de Césio
133. As agências nacionais responsáveis pelos horários oficiais zelam pela
manutenção de uma precisão de 10−9 segundo por dia (isto é, 0,000 000 001
segundo ou ainda, um bilionésimo de segundo).
• No efeito Doppler do som é necessário
distinguir as situações em que ele é
causado pelo movimento da fonte ou do
observador. Isto, porque o som propagase no ar, e ambos podem ter velocidades
relativas a este.
•Já para a luz, que propaga-se no vácuo,
importa apenas a velocidade relativa
entre a fonte e observador.
O efeito Doppler da luz
Ondas eletromagnéticas (luz) não
precisam de meio para propagar. O
efeito Doppler depende apenas da
velocidade relativa entre a fonte e
o detector em relação ao ar.
Observador e fonte se
afastando
Observador e fonte se
aproximando
O efeito Doppler na astronomia
• Vamos supor que uma estrela se afasta da Terra com
uma velocidade relativamente pequena, <<1 .
Em termos dos comprimentos de onda, temos:
• Se v > 0 a estrela está
se afastando:  > 0
•Se v < 0 a estrela está se
aproximando:  < 0
Deslocamento da
luz para o vermelho
Deslocamento da
luz para o azul
Problema efeito Doppler: Uma espaçonave está se afastando da
Terra a uma velocidade de 0,20c. Uma fonte luminosa na popa da nave
parece azul ( = 450 nm) para os passageiros. Determine: (a) o
comprimento de onda e (b) a cor (azul, verde, amarela...) da luz emitida
pela nave, do ponto de vista de um observador terrestre.
• Efeito Doppler da luz (se afastando):
c c 1  

 
   1   
1 
f f
1 
a)
1/ 2
1  


   
1  
0,20c
1/ 2
 1,2 
 450 nm 

 0,8 
 551nm
700
b) Luz "verdeamarelada":
v=
1/ 2
600
500
400
nm
Dinâmica
relativística
Dinâmica relativística
Na mecânica Newtoniana temos

 dp , onde o momento linear é definido por:
F


dt
F  0  p  const.


p  mv
Procuramos um análogo relativístico desta expressão que
tenha as seguintes propriedades:
a)
O momento relativístico deve ser conservado em sistemas isolados, assim
como na mecânica Newtoniana.
b) A expressão obtida deve se reduzir à forma newtoniana no limite
.
Momento linear relativístico


 p  mv não nos fornece
uma expressão para o momento
linear que seja invariante pelas
Transformações de Lorentz,
pois
Momento linear relativístico
Entretanto, pode-se mostrar que teremos uma quantidade conservada
definindo:


p  mv
A massa depende
da velocidade
m   m0 
m0
1 v 2 c 2
onde m0 é a massa do corpo no referencial em que ele se encontra em
repouso. A força é, então, dada por
Energia relativística
Etotal  K  m0c 2
Energia cinética
Mas
Energia de repouso
Etotal  m0c  mc
2
2
Portanto:
Conservação da massa é equivalente à conservação de energia.
Relação energia-momento
linear
Usando que


p  mv
temos
E 2  m 2c 4   2 m02c 4
Como
E 
2
m02 c 4
 c p 
1  2 2 
 c E 
4
2



 mc v
p 2
c
2

1
1  ( v / c) 2

 c p
v
E
2
obtemos:
E m c  p c
2
Se m0 = 0
2 4
0
2 2
E  pc
• Lembrando que a radiação eletromagnética transporta momento
linear
p  U / c, podemos imaginá-la como composta por
corpúsculos de massa zero ( fótons ), como veremos mais adiante.