ProblemaEscada.nb
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Problema de Equilíbrio de Escada com
uma Pessoa
Análise Gráfica das Soluções (versão de 10/09/2008)
Física II - ENG 05262 - 2008/2 - UFES/CCA
Prof. Roberto Colistete Jr.
Enunciado
Uma escada de comprimento L = 5 m com massa M = 15 kg
(homogênea) está escorada em uma parede de altura H = 3 m, dando
acesso ao terraço de uma casa. O atrito com a parede é nulo
(aproximadamente), e com o solo o coeficiente de atrito (estático) é
igual a m = 0, 80. Para uma pessoa com massa m = 65 kg :
a) subindo a escada, ela conseguirá chegar até o topo sem a escada
deslizar ?
b) Senão, até que ponto da escada a pessoa alcança ?
c) Qual a massa máxima de uma pessoa para subir até o terraço com
tal escada ?
d) Qual seriam as sugestões para garantir que a pessoa chegue ao
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terraço da casa ?
Sugestão : calcule analiticamente a expressão relacionando mmin, q
(o ângulo que a escada faz com a horizontal), M , m, etc. Só então
aplique o resultado para responder os ítens (a) e (b).
Ângulo mínimo (qmin )
LM + 2DM
tag θmin = , Heq. 9L
2 L HM + mL µE
Com massa da pessoa de 65 kg, o ângulo mínimo (para a escada não deslizar)
é:
180
LM + 2Dm
ArcTanA E ê. 8L → 5, M → 15, µ → 0.80, D → 5, m → 65<
2 L HM + mL µ
π
48.5633
E o ângulo da escada tal como no enunciado do problema :
180.
3
ArcSinA E
π
5
36.8699
é menor que o ângulo mínimo, logo a pessoa de 65 kg não consegue chegar
ao final da escada sem deslizar.
Com massa da pessoa nula, m = 0 kg, então há um ângulo mínimo (aprox.
32o ) para a escada não deslizar, que só depende de m :
LM + 2Dm
ê. m → 0
2 L HM + mL µ
1
2µ
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3
180
LM + 2Dm
ArcTanA E ê. 8µ → 0.80, m → 0<
π
2 L HM + mL µ
32.0054
180
LM + 2Dm
PlotA ArcTanA E ê. 8L → 5, M → 15, µ → 0.80, D → 5<, 8m, 0, 130<,
π
2 L HM + mL µ
PlotRange → All, Frame → True, FrameLabel → 8"m HkgL", "θ HgrausL", "", ""<,
TextStyle → 8FontSize → 14<, PlotStyle → [email protected], RGBColor@0, 0, 1D<<,
Epilog → 8RGBColor@1, 0, 0D, [email protected], 0<, 83.75, 100<<D,
RGBColor@0, 0.7, 0D, Line@8865, 0<, 865, 100<<D<E;
50
47.5
θ HgrausL
45
42.5
40
37.5
35
32.5
0
20
40
60
m HkgL
80
100
120
Vemos claramente no gráfico acima um comportamento não-linear (e crescente desacelerado, com comportamento assimptótico) de qmin função de m .
Significa que se m é pequeno então a escada pode ficar relativamente horizontal (qmin pequeno, porém há um valor mínimo para ele, aprox. 32o ), porém o
qmin cresce rapidamente para massas intermediárias e depois cresce pouco
para massas grandes.
Temos que qmin = 48, 56o para m = 65 kg (linha verde). Ou, para se ter
qmin = q = arcsinH3 ê 5L = 36, 86o , então m = 3, 75 kg (linha vermelha).
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Posição da Pessoa na Escada (D)
L
M
D = AHM + mL µE tan θ − E,
m
2
Heq. 10L
Por maior que seja a massa da pessoa, há uma posição mínima da pessoa na
escada em que a escada desliza, aprox. 3, 00 m :
L
M
JHM + mL ∗ µ ∗ Tan@θD − N ê. 8L → 5, M → 15, µ → 0.80, θ → ArcSin@3 ê 5D, m → 1015 <
m
2
3.
Posição máxima da pessoa antes da escada escorregar :
L
M
JHM + mL ∗ µ ∗ Tan@θD − N ê. 8L → 5, M → 15, µ → 0.80, θ → ArcSin@3 ê 5D, m → 65<
m
2
3.11538
Com pessoa com massa até 3, 75 kg, então se consegue subir a escada toda :
L
M
JHM + mL ∗ µ ∗ Tan@θD − N ê. 8L → 5, M → 15, µ → 0.80, θ → ArcSin@3 ê 5D, m → 3.75<
m
2
5.
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5
L
M
PlotA JHM + mL ∗ µ ∗ Tan@θD − N ê. 8L → 5, M → 15, µ → 0.80, θ → ArcSin@3 ê 5D<,
m
2
8m, 2, 100<, PlotRange → All, Frame → True,
FrameLabel → 8"m HkgL", "D HmL", "", ""<, TextStyle → 8FontSize → 14<,
PlotStyle → [email protected], RGBColor@0, 0, 1D<<, Epilog → 8RGBColor@1, 0, 0D,
[email protected], 0<, 83.75, 10<<D, RGBColor@0, 0.7, 0D, Line@8865, 0<, 865, 10<<D<E;
6.5
6
D HmL
5.5
5
4.5
4
3.5
3
0
20
40
60
80
100
m HkgL
Vemos claramente no gráfico acima um comportamento não-linear (e decrescente desacelerado, com comportamento assimptótico) de D função de m .
Significa que se m é bem pequeno a pessoa consegue subir até o final da
escada, porém para massas pequenas e médias a posição na escada cai rapidamente, e para massas grandes a posição na escada tende a 3, 00 m.
Temos que D > 3, 11 m para m = 65 kg (linha verde). Ou, para se ter
D = 5 m, então m = 3, 75 kg (linha vermelha).
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6
L
M
PlotA JHM + mL ∗ µ ∗ Tan@θD − N ê. 8L → 5, m → 65, µ → 0.80, θ → ArcSin@3 ê 5D<, 8M, 2, 300<,
m
2
PlotRange → All, Frame → True, FrameLabel → 8"M HkgL", "D HmL", "", ""<,
TextStyle → 8FontSize → 14<, PlotStyle → [email protected], RGBColor@0, 0, 1D<<E;
5
D HmL
4.5
4
3.5
3
0
50
100
150
M HkgL
200
250
300
O gráfico acima mostra que D função de M é linear crescente. Logo,
aumentando a massa da escada ela fica mais estável (mais difícil de deslizar).
Massa máxima da pessoa subir toda a escada (mmax )
M H2 µE tan θ − 1L
mmax = , Heq. 11L
2 H1 − µE tan θL
Para os dados do enunciado do problema, a massa máxima da pessoa para
conseguir subir toda a escada é :
M H2 µ ∗ Tan@ θD − 1L
ê. 8M → 15, µ → 0.80, θ → ArcSin@3 ê 5D<
2 H1 − µ ∗ Tan@θDL
3.75
3, 75 kg.
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Notar que a massa máxima diverge (singularidade, tende a infinito) quando
m * Tan@qD = 1, logo há um valor de q menor do que p ê 2 rad (ou 90o ) tal que
qualquer pessoa (com massa que for) consegue subir a escada. Para m = 0, 80
então :
180
1
θ = ∗ ArcTanA E ê. µ → 0.80
π
µ
51.3402
tal que q > 51, 34o .
Há também um valor mínimo de q, aprox. 32o , tal 2 * m * Tan@qD = 1, que
abaixo do qual a massa da pessoa seria negativa :
180
1
θ = ∗ ArcTanA E ê. µ → 0.80
π
2µ
32.0054
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8
M H2 µ ∗ Tan@ π ∗ θ ê 180D − 1L
PlotA ê. 8M → 15, µ → 0.80<, 8θ, 32, 50<,
2 H1 − µ ∗ Tan@ π ∗ θ ê 180DL
PlotRange → All, Frame → True, FrameLabel → 8"θ HgrausL", "mmax HkgL", "", ""<,
TextStyle → 8FontSize → 14<, PlotStyle → [email protected], RGBColor@0, 0, 1D<<,
Epilog → 8RGBColor@1, 0, 0D, Line@880, 3.75<, 860, 3.75<<D,
RGBColor@0, 0.7, 0D, Line@880, 65<, 860, 65<<D<E;
140
120
mmax HkgL
100
80
60
40
20
0
32.5
35
37.5
40
42.5
θ HgrausL
45
47.5
50
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9
M H2 µ ∗ Tan@ π ∗ θ ê 180D − 1L
PlotA ê. 8M → 15, µ → 0.80<, 8θ, 32, 51.1<,
2 H1 − µ ∗ Tan@ π ∗ θ ê 180DL
PlotRange → All, Frame → True, FrameLabel → 8"θ HgrausL", "mmax HkgL", "", ""<,
TextStyle → 8FontSize → 14<, PlotStyle → [email protected], RGBColor@0, 0, 1D<<,
Epilog → 8RGBColor@1, 0, 0D, Line@880, 3.75<, 860, 3.75<<D,
RGBColor@0, 0.7, 0D, Line@880, 65<, 860, 65<<D<E;
800
mmax HkgL
600
400
200
0
35
40
θ HgrausL
45
50
Vemos claramente no gráfico acima um comportamento não-linear (e crescente acelerado) de mmax função de q (analogamente em função de m caso q
seja fixado). Significa que se m é pequeno então a escada pode ficar relativamente horizontal (qmin pequeno, porém há um valor mínimo para ele, aprox.
32o ), porém o qmin cresce rapidamente para massas intermediárias e depois
cresce pouco para massas grandes.
Temos que qmin = 48, 56o para m = 65 kg (linha verde). Ou, para se ter
qmin = q = arcsinH3 ê 5L = 36, 86o , então m = 3, 75 kg (linha vermelha).