Disciplina de Matemática Financeira
Curso Técnico em Finanças
Profª Valéria Espíndola Lessa
APOSTILA 1
Juros Simples
Juros Compostos
Desconto Simples
Desconto Composto
Erechim,
2014
Apostila I – Matemática Financeira
INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA
Definições:
“A Matemática Financeira ou Matemática das Finanças é uma ciência que se preocupa em analisar os
fenômenos econômico-financeiros à luz dos métodos quantitativos, fornecendo modelos e processos
eficientes na solução de problemas relacionados à tomada de decisão de ordem pessoal, empresarial e
governamental” (FERREIRA, 2010).
“A Matemática Financeira tem por objetivo estudar a evolução do valor do dinheiro ao longo do
tempo”(DAL ZOT, 2006).
Conceitos importantes:
 Capital Inicial, Principal ou Valor Presente
É o valor inicial de um empréstimo ou aplicação, sobre o qual irão incidir os juros.
Símbolos: C, P ou PV (Present Value)
 Prazo
É o tempo de duração do empréstimo ou do investimento. Pode ser medido em dias, meses, trimestres,
semestres, anos, etc.
Símbolo: n
 Juro
É o preço (em Reais) pago pelo aluguel, ou empréstimo, do dinheiro (do capital). É também o rendimento
do dinheiro aplicado.
Símbolo: J
 Taxa de Juros
É a taxa percentual ou unitária do rendimento do capital ou pagamento pelo uso do capital, numa
unidade de tempo (ao dia, ao mês, ao ano,...)
Símbolo: i
Taxa percentual de juros: 25 %
Taxa unitária de juros: 0,25
 Montante ou Valor Futuro
É o valor total a ser pago ou recebido com a finalidade de quitar um empréstimo. É o valor final de uma
aplicação.
Símbolo: M, S ou FV (Future Value)
Fórmula:
M = P + J ou
FV = PV + J
 Fluxo de Caixa
É um esquema, na forma de diagrama ou tabela, que representa as entradas e saídas financeiras ao longo
do tempo.
Exemplo: Um investimento de R$ 1.000,00 pelo qual o investidor recebeu R$ 1.500,00 após 8 meses
pode ser representado pelo fluxo de caixa a seguir.
2
Apostila I – Matemática Financeira
 Regime de Capitalização
Ato de adicionar juros ao capital.
Capitalização Simples
Capitalização Composta
⇨
⇨
 Capitalização Simples
É uma função com crescimento linear
Juros Simples
Juros Compostos
 Capitalização Composta
É uma função com crescimento exponencial
JUROS SIMPLES
Exemplo 1: Qual o juro acumulado no investimento de R$ 100,00 a uma taxa de 3% ao mês por 4 meses?
Mês
Cálculo do Juro
Juro Acumulado
Saldo
0
------
------
100,00
1
100 . 0,03 = 3,00
3,00
103,00
2
3
4
...
n
3
Apostila I – Matemática Financeira
DEDUÇÃO DA FÓRMULA DE JUROS SIMPLES
Qual o juro acumulado no investimento de P reais a uma taxa de i ao mês por n meses?
Mês
Cálculo do Juro
Juro Acumulado
0
------
------
1
P.i
P.i
2
P.i
2.P.i
3
P.i
3.P.i
4
P . Ii
4.P.i
P.i
n.P.i
...
n
𝑱=𝑷∙𝒊∙𝒏
(1)
Exemplo 2: Qual o valor recebido após 6 meses de aplicação de um capital de R$ 500,00 a uma taxa de
0,4% ao mês?
Fórmula do Montante:
Unindo as fórmulas 1 e 2 temos:
𝑴=𝑷+𝑱
(2)
𝑴 = 𝑷(𝟏 + 𝒊𝒏)
(3)
Resolvendo o Exemplo 2 com a fórmula 3:
4
Apostila I – Matemática Financeira
Exemplo 3: Uma pessoa tomou emprestado R$ 200.000,00, a uma taxa de juros simples de 2,5% ao mês, a
ser restituído em 9 meses. Calcule o valor dos juros e o valor futuro da restituição.
Exemplo 4: Calcule o capital necessário para que uma aplicação financeira produza rendimentos iguais a
R$ 148.612,61, à taxa de juros simples de 12% ao ano, durante 3 anos.
Exemplo 5: Um capital de R$ 3.700,00 rendeu R$ 1.200,00 após 5 meses. Calcule a taxa de juros simples da
aplicação.
Exemplo 6: Certa companhia emprestou R$ 3.500,00 à taxa de juros simples de 14% ao ano, para outra
empresa. Se a empresa pagou R$ 930,00 de juros, qual foi a duração do empréstimo?
Exemplo 7: Qual capital deverá ser investido à uma taxa de juros simples de 2,4% ao mês, durante 8
meses, para se obter um montante de R$2.384,00?
5
Apostila I – Matemática Financeira
 TAXA E PRAZO COM UNIDADES DE TEMPO DIFERENTES
Em alguns problemas a taxa de juros apresentada está numa unidade de tempo diferente do prazo da
aplicação do Capital. É preciso analisar cada caso para decidir se é melhor transformar a taxa ou o prazo.
Exemplo 8: Uma pessoa aplicou R$ 750,00 em um banco que remunera a uma taxa de juros simples de 1,3%
ao mês. Sabendo-se que o prazo da aplicação foi de 105 dias, qual foi o montante recebido pela pessoa?
1ª forma de resolver => transformar os dias em meses, dividindo 105 por 30.
2ª forma de resolver => transformar a taxa mensal em taxa diária dividindo também por 30.
Em juros simples esta transformação é parecida com o que fizemos no prazo.
1,03%
1,03 ao mês => dividi-se por 30 dias => tem-se 30 = 0,34% 𝑎𝑜 𝑑𝑖𝑎
Fórmula para transformar taxas:
ia  2is  4it  6ib  12im  360id
(4)
OBS: Em juros simples podemos fazer a transformação da taxa desta forma, por que se trata de taxas
equivalentes. O que isso significa?
• O montante da aplicação de R$ 1.000,00 durante 12 meses à taxa de juros simples de 4% ao mês
será igual a R$ 1.480,00;
• O montante da aplicação do mesmo capital durante 1 ano à taxa de juros simples de 48% aao ano,
também será igual a R$ 1.480,00
Exemplo 9: Qual o juro acumulado no investimento de um Capital de R$ 500,00 a uma taxa de 30% ao ano
por 7 meses?
6
Apostila I – Matemática Financeira
Exemplo 10: Calcule a taxa mensal e anual equivalente, em juros simples, a 10% ao semestre.
 CONSTRUINDO GRÁFICOS DO CAPITAL AO LONGO DO TEMPO
Conforme já foi dito, a rentabilidade do capital, em juros simples, tem crescimento linear. Vamos agora,
associar um problema de juros simples a uma função de 1º grau e construir seu gráfico a fim de termos uma
projeção da rentabilidade ao longo do tempo.
Exemplo 11: Construir o gráfico do valor de resgate ao longo dos meses, de uma aplicação inicial de R$
200,00 que rende a uma taxa de juros simples de 3% ao mês.
 APLICAÇÃO DE JUROS SIMPLES
Calculando os Juros do “cheque especial”
Uma das aplicações da capitalização simples é no cálculo dos juros do “cheque especial” de contas
correntes chamado método hamburguês. Neste método, iremos aplicar o cálculo de juros simples aos saldos
devedores diários das contas correntes. Os bancos cobram uma taxa de juros mensal durantes prazos diários
pelo empréstimo do dinheiro e o governo cobra um imposto por este uso, o IOF (imposto sobre operações
financeiras).
Exemplo 12: Sabendo-se que certo banco cobra juros simples de 4,2% a.m. e IOF de 0,123% a.m. de seus
clientes portadores de “cheques especiais”, determinar, para o quadro a seguir – extrato de uma conta
particular – esses valores tendo como data de contabilização o dia 30/03.
7
Apostila I – Matemática Financeira
Dia/Mês
Histórico
Valor
Saldo (D/C) Nº de dias negativo
02/03
Depósito
+ 2.650,00
3.122,50
----
10/03
Pag. Contas
- 4.000,00
- 877,50
6
16/03
Cheque Comp.
- 2.500,00
- 3.377,50
2
18/03
Depósito
+ 5.000,00
1.622,50
----
23/03
Cheque Comp.
- 3.522,50
- 1.900,00
7
30/03
Depósito
+ 3.500,00
1.600,00
-----
(1º) Calcular os juros fazendo um somatório dos saldos negativos e multiplicando pela taxa.
(2º) Vamos calcular o IOF da mesma forma anterior, mas com a taxa de IOF.
Exercícios
Juros Simples
LISTA 1
1. Um comerciário obteve financiamento junto a um banco no valor de R$ 1.350,00 para ser pago após 3
meses, junto com os juros, a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Calcule o valor dos juros a serem
pagos ao banco pelo comerciário. (Resposta: R$ 121,50)
2. Certa aplicação rendeu juros de R$ 500,00 após 10 meses. Sabendo-se que a taxa de juros simples era de
0,5% ao mês, calcule o valor da aplicação inicial. (Resposta: R$ 10.000,00)
3. Qual a taxa de juros simples que foi aplicada num empréstimo de R$ 12.000,00 que, após 13 meses,
rendeu R$ 3.000,00 de juros? (Resposta: 1,92% ao mês)
4. Qual o tempo necessário, para que um capital de R$ 20.000,00 renda juros de R$ 4.000,00, a uma taxa de
juros simples de 12% ao ano? (Resposta: 1,67 anos ou 1 ano e 8 meses)
5. Uma pessoa dispondo de R$100.000,00 faz um contrato com certa instituição para receber durante um
ano as seguintes taxas trimestrais de juros simples: 1º trimestre: 10%; 2º trimestre: 12%; 3º trimestre:
15%; e 4º trimestre: 18%. Calcular os juros simples totais ao fim do prazo de aplicação. (Resposta: R$
55.000,00)
6. Em quanto tempo um capital triplica de valor inicial, quando é aplicado a uma taxa de juros simples de
10% ao semestre? (Resposta: 20 semestres ou 10 anos)
7. Um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 10 meses, rende juros de R$ 5.000,00. Determinar a taxa
correspondente? (Resposta: 2% a.m.)
8
Apostila I – Matemática Financeira
8. Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 semestres, à taxa de 18% ao semestre rende R$
72.000,00 de juros, determinar o montante? (Resposta: R$ 112.000,00)
9. Em que prazo uma aplicação de R$ 35.000,00 pode gerar um montante de R$ 53.375,00, considerandose uma taxa de 30% ao ano? (Resposta: 1,75 ano ou 21 meses ou 1 ano e 9 meses)
10. Uma senhora depositou R$ 25.000,00 em uma conta bancária especial que rende a uma taxa de juros
simples de 5% ao mês. Qual será o saldo da aplicação após 125 dias? (Resposta: R$ 30.208,33)
11. Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Indagase: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? (Resposta: 33% ao ano)
12. Fernando obtém R$ 40.000,00 emprestados de um agiota, entregando-lhe uma nota promissória de R$
80.000,00, com vencimento para 12 meses. Determinar as taxas mensal e anual de juros cobrados pelo
agiota? (Resposta: 8,33% a.m. e 100% a.a.)
13. Qual o capital que, após 179 dias de aplicação se transforma em R$ 10.000,00, a uma taxa de juros
simples de 3,1% ao mês? (Resposta: R$ 8.439,06)
14. Numa operação financeira, um banco emprestou R$ 14.000,00 a uma empresa e recebeu, após 392 dias,
o valor de R$ 30.000,00. Que taxa anual de juros simples foi utilizada? (Resposta: 104,96% ao ano)
15. Sabe-se que um capital de R$ 10.000,00 transformou-se em R$ 15.000,00, a uma taxa de juros simples
de 3% ao mês. Deseja-se saber em que prazo. (Resposta: 16,67 meses ou 16 meses e 20 dias)
16. Calcule as taxas mensal, trimestral e anual equivalentes a 24% ao semestre, em juros simples (Resposta:
4%a.m., 12%a.t. e 48%a.a., respectivamente)
17. Calcule os rendimentos referentes a uma aplicação financeira de R$1.470,00, durante 95 dias, à taxa de
juros simples de 21% a.a. (Resposta: R$ 81,46)
18. Um aplicador deseja transformar o capital de R$ 23.000,00 em R$ 29.997,88, em 556 dias. Qual a taxa
anual de juros simples que o aplicador deverá conseguir para alcançar seu objetivo? (Resposta: 19,70%
a.a.)
19. Calcular o valor dos juros referentes às aplicações dos capitais R$ 20.000,00, R$ 10.000,00 e R$
40.000,00, pelos prazos de 65 dias, 72 dias e 20 dias, respectivamente, sabendo-se que a taxa
considerada é de 25,2% ao ano. (Resposta: R$ 1.974,00)
20. Vamos admitir que o Banco Rico S/A esteja creditando juros, no final de cada semestre, sobre os saldos
dos depósitos a vista, à razão de 12% ao ano. Calcular o total de juros a ser creditado no 1º semestre para
um cliente que teve a seguinte movimentação em sua conta: (Resposta: R$1.863,67)
Data
Histórico
Valores
Saldo
Nº dias
15/01
Depósito
100.000,00
+100.000,00
11
26/01
Cheque
- 30.000,00
+70.000,00
18
13/02
Cheque
- 15.000,00
+55.000,00
15
28/02
Depósito
+ 40.000,00
+95.000,00
5
05/03
Saque
- 60.000,00
+35.000,00
46
20/04
Cheque
- 28.000,00
+7.000,00
12
02/05
Depósito
+ 22.000,00
+29.000,00
3
05/05
Cheque
- 29.000,00
0,00
41
15/06
Depósito
+ 10.000,00
+10.000,00
15
9
Apostila I – Matemática Financeira
21. Calcular os juros incidentes sobre os saldos devedores de um cliente, durante o mês de abril, à taxa de
4% ao mês, e o IOF, de 0,123% ao mês, conforme extrato a seguir: (Resposta: R$ 176,67 e R$ 5,43)
Data
01/04
05/04
12/04
13/04
18/04
21/04
26/04
Histórico
Depósito
Cheque
Cheque
Depósito
Saque
Cheque
Depósito
Valores
+20.000,00
-25.000,00
-10.00,00
+19.000,00
-5.500,00
-8.500,00
+3.000,00
Saldo
+20.000,00
-5.000,00
-15.000,00
+4.000,00
-1.500,00
-10.000,00
-7.000,00
Nº dias
--7
1
--3
5
4
22. Qual a taxa anual necessária para certo capital quadruplicar seu valor em 40 meses? (Resposta: 90% ao
ano)
23. Qual o juro e o IOF que pagarei ao banco por ficar 27 dias com saldo negativo de R$ 1.890,00, sabendo
que o banco cobra uma taxa de juros de 3,8% ao mês e que a taxa de IOF é de 0,13% ao mês? (Resposta:
R$ 64,64 e R$ 2,21)
24. Calcule a taxa mensal de uma aplicação de R$ 15.000,00 em capitalização simples, que gerou um
montante de R$ 18.340,00 durante 7 semestres e meio. (Resposta: 0,49% ao mês)
25. Faça a projeção gráfica dos capitais futuros de uma aplicação R$ 2.000,00 a uma taxa de juros simples de
0,3% ao mês, de 0 a 5 meses de aplicação. (Resposta: M = 2000 + 6n; e gráfico)
26. Faça uma projeção gráfica da capitalização de uma aplicação, de 0 a 6 bimestres, sabendo que esta gera
um valor futuro de R$ 6.726,00 após 7 bimestres, com uma taxa anual de juros simples de 12%.
(Resposta: M = 5900 + 118n; e gráfico)
27. Uma empresa aplicou R$ 2.000.000,00 no Open Market no dia 15/07/1997 e resgatou essa aplicação no
dia 21/07/1997 por R$ 2.018.000,00. Qual foi a taxa mensal de rendimento à juros simples
proporcionada por essa operação. (Resposta: 4,5% ao mês)
28. Calcular o valor do capital que aplicado a taxa de 50,4% ao ano, durante 2 anos e 3 meses, produz um
montante de R$ 600.000,00. (Resposta: R$ 281.162,14)
29. Ao fim de quantos dias o capital de R$ 40.000,00 aplicado a taxa de 3% ao mês, produz R$ 18.600,00 de
juros. (Resposta: 465 dias)
30. Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor. (Resposta: 25 meses)
31. A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a ¼ do seu valor. (Resposta:
2,5% ao mês).
10
Apostila I – Matemática Financeira
JUROS COMPOSTOS
Quando uma determinada soma de dinheiro está aplicada a juros simples, os juros são sempre
calculados sobre o montante inicial. Quando uma soma está aplicada a juros compostos, os juros são
calculados não apenas sobre o capital inicial, mas sobre este capital acrescido dos juros já vencidos.
Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros
acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função
do tempo.
 CÁLCULO DO MONTANTE (M, FV)
O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital
aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da divida.
𝑴=𝑱+𝑷
(2)
A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, M, o montante, P, o capital inicial, n, o período e i, a
taxa. A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que aquela já
vista para a capitalização simples. Para facilitar o entendimento, vamos resolver o seguinte problema:
Exemplo 1: Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5
meses.
Dados:
P = 1.000,00
n = 5 meses
i = 4% ao mês
M=?
A montagem de uma tabela mês a mês permite que visualizemos o cálculo do montante na capitalização
composta.
Mês
(n)
1
Capital (P)
Juros Acumulados (J)
Montante no final do
período (M)
2
3
4
5
Essa forma de cálculo é bastante trabalhosa e demorada. Vamos deduzir uma fórmula que permita
um cálculo mais fácil e rápido, partindo do desenvolvimento anterior, sem, no entanto, efetuar os cálculos
ali demonstrados.
 DEDUÇÃO DA FÓRMULA
M0 = 1.000,00
M1 = 1.000,00 + 0,04 x 1.000,00 = 1.000,00(1 + 0,04) = 1.000,00 (1.04)1
M2 = 1.000,00(1,04) + 0,04 x 1.000,00 x (1,04) = 1.000,00 (1,04)(1+0,04) = 1.000,00(1,04)2
11
Apostila I – Matemática Financeira
..........
M5 = 1.000,00(1,04)4 + 0,04 x 1.000,00(1,04)4= 1.000,00(1,04)4(1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04)5
O valor do montante no final do quinto mês é dado pela expressão:M5 = 1.000,00 (1,04)5. Como (1,04)5 =
1,21656  m = 1.000,00 x 1,21656 = 1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente.
Substituindo cada n da expressão M5 = 1.000,00(1,04)5 pelo seu símbolo correspondente, temos
𝑴 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏
(5)
em que a expressão (1 + i)n é chamada de fator de capitalização ou fator de acumulação de capital
para pagamento simples ou único.
 RESOLUÇÃO NO MODO FINANCEIRO COM A CALCULADORA HP12C
Simbologia das teclas:
[PV] = capital inicial
[FV] = montante
[i] = taxa
[n] = prazo/tempo/período
Procedimento:
1.000,00 [CHS] [PV] 4[i] 5 [n] [FV] => 1.216,65
Exemplo 2: Qual o montante de uma aplicação de R$ 15.000,00, pelo prazo de 9 meses, à taxa de 2% ao mês.
Dados: P = 15.000,00
n = 9 meses
i = 2% ao mês
M=?
Solução algébrica na calculadora científica:
M = C(1 + i)n
M = 15.000,00 (1 + 0,02)9
M = 15.000,00 x 1,19509 = 17.926,35
Solução algébrica na HP12c, no modo RPN:
15000 [enter] 1,02 [enter] 9 [yx] [x] => 17.926,39
Você pode optar por apenas
um modo de cálculo.
Solução na HP12c no modo financeiro:
15000 [CHS][PV] 9[n] 2[i] [FV] => 17.926,39
Exemplo 3: Um investimento de R$ 4.000,00 é feito em 10 anos. Sabendo-se que os juros são compostos e
rendem 18% ao ano, calcule o saldo da aplicação final. (Resposta: R$ 20.935,34)
12
Apostila I – Matemática Financeira
Exemplo 4: Calcule o valor de resgate de uma aplicação de R$ 37.000,00 à taxa composta de 4,1% ao mês,
após 60 dias. (Resposta: R$ 40.096,20)
 CALCULO DOS JUROS (J)
Calcular o montante e depois descontar o principal. É uma variação da fórmula M = P + J
𝑱=𝑴−𝑷
(2) com J isolado
Exemplo 5: Qual a rentabilidade de uma aplicação de R$ 4.500,00 à taxa de juros compostos de 3,6% ao mês,
durantes 45 meses?
Exemplo 6: Uma pessoa fez um empréstimo de R$ 200.000,00 para serem pagos ao final de 4 anos sob o
regime de capitalização composta, com taxa de 15% ao ano. Quanto a pessoa pagará de juros? (Resposta: R$
149.801,25)
 CÁLCULO DO CAPITAL INICIAL (PRINCIPAL – P, C, PV)
Usamos a mesma fórmula do montante, porém isolando o P.
𝑴 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏
→
𝑴
𝑷 = (𝟏+𝒊)𝒏
Exemplo 7: No final de 2 anos, uma pessoa deverá efetuar um pagamento de R$ 200.000,00 referente ao
valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondente a uma taxa a juros compostos
de 3,5% ao mês. Qual o valor emprestado?
13
Apostila I – Matemática Financeira
Exemplo 8: Para comprar um automóvel no valor de R$ 15.000,00 daqui a um ano, um jovem deve depositar
numa aplicação financeira que rende juros compostos à taxa de 3% ao mês. Calcule a quantia que deverá ser
depositada. (Resposta: R$ 10.520,70)
Exemplo 9: Quanto se deve depositar, hoje, em um tipo de aplicação financeira que rende juros compostos
de 2,4% ao mês, para que se possa atingir um montante de R$ 3.000,00, após um semestre? (Resposta: R$
2.602,09)
 CÁLCULO DA TAXA (i)
Usamos a mesma fórmula do montante, porém isolando o i.
𝟏
𝑴 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏
→
𝒊=
𝑴 𝒏
( )
𝑷
−𝟏
Exemplo 10: Certa loja financia um bem de consumo de uso durável no valor de R$ 16.000,00, sem entrada,
para pagamento em uma única prestação de R$ 52.512,15 no final de 27 meses. Qual a taxa mensal cobrada
pela loja?
Exemplo 11: Para um capital crescer de R$ 3.000,00 para R$ 4.000,00, em 3 anos, a que taxa de juros
compostos, anualmente, deve ser aplicado. (Resposta: 10,06% a.a.)
14
Apostila I – Matemática Financeira
Exemplo 12: Qual a taxa mensal de juros compostos que foi utilizada, em uma aplicação financeira de R$
2.500,00 que se transformou num saldo de R$ 3.700,00, após 18 meses? (Resposta: 2,2% a.m.)
 CÁLCULO DO PRAZO (n)
Usamos a mesma fórmula do montante, porém isolando o n.
𝑴
𝑴 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏
→
𝒏=
𝒍𝒏( 𝑷 )
𝒍𝒏(𝟏+𝒊)
Exemplo 13: Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de
R$ 110.624,65, sabendo-se que a taxa contratada é de 15% ao semestre?
Exemplo 14: Sabendo-se que o depósito de R$ 9.012,58, em um fundo remunerado à taxa de juros
compostos de 1,2% ao mês, converteu-se num saldo de R$ 12.000,00, calcule o tempo que o capital ficou
aplicado. (Resposta: 24 meses)
15
Apostila I – Matemática Financeira
Exemplo 15: Sabe-se que um capital de R$ 9.999,36 transformou-se em R$ 12.762,00 a uma taxa de juros
compostos de 5% ao mês. Deseja-se saber em que prazo. (Resposta: 5 meses)
Exercícios
Juros Compostos
LISTA 2
1) Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de 100.000,00 à taxa
de 3,75% ao mês? (R: R$144.504,39)
2) Um agiota empresta 80.000,00 hoje para receber 507.294,46 no final de 2 anos. Calcular as taxas mensal
e anual deste empréstimo. (R.8% ao mês e 151,817% ao ano)
3) Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de 12,486%,
determinar qual o prazo em que um empréstimo de 20.000,00 será resgatado por 36.018,23. (R: 5
trimestres ou 15 meses)
4) Uma empresa obtém um empréstimo de 700.000,00 que será liquidado, de uma só vez, no final de 2 anos.
Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá
ser quitado? (R. R$1.708.984,38)
5) Em que prazo uma aplicação de R$ 272.307,03 em letras de câmbio, à taxa de 3,25% ao mês, gera um
resgate de R$ 500.000,00? (R. 19 meses)
6) Um terreno está sendo oferecido por R$ 450.000,00 à vista ou R$ 150.000,00 de entrada e mais uma
parcela de R$ 350.000,00, no final de 6 meses. Sabendo-se que no mercado a taxa média para aplicação
em títulos de renda prefixada gira em torno de 3,5% ao mês, determinar a melhor opção para um
interessado que possua recursos disponíveis para comprá-lo. (R. A melhor opção é pagar com o prazo de
6 meses)
7) A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro do seu valor?
(R. 4,162% ao mês)
8) Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se aplicado a 3,755% ao
mês? (R. 11 meses)
9) Qual é mais vantajoso: aplicar R$ 10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao mês, ou aplicar esse
mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês? (R. É melhor aplicar a juros compostos)
10) No fim de quanto tempo um capital aplicado à taxa de 4% ao mês, quadruplica o seu valor:
a) no regime de capitalização composta; (R. 36 meses)
b) no regime de capitalização simples. (R. 75 meses)
16
Apostila I – Matemática Financeira
11) Uma loja financia um televisor de R$ 3.900,00 sem entrada para pagamento em uma única prestação de
R$ 7.000,00 no final de cinco meses. Qual a taxa mensal de juros cobrada por ela? (R. 12,41% a.m.)
12) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 2.700,00 pelo prazo de 12 meses a uma
taxa de juros de 7,50% ao mês? (R. R$ 3.730,80)
13) Qual seria o prazo de aplicação de R$ 12.000,00, à taxa de 9% ao mês, para que renda 20% do valor da
aplicação? (R. 3 meses)
 PRAZOS E TAXAS COM UNIDADE DE TEMPO DIFERENTE
O cálculo de taxas equivalentes em juros compostos é diferente do cálculo em juros simples. Em juros
simples, vimos que o valor futuro de certa aplicação durante 12 meses à taxa de juros simples de 4% ao mês
será igual ao valor futuro da mesma aplicação durante 1 ano à taxa de juros simples de 48% ao ano. Portanto,
basta dividir ou multiplicar a taxa e está resolvido.
Já em juros compostos isso não ocorre. Por quê?
Em juros simples:
1ª situação => M = P ( 1+ in)
2ª situação => M = P ( 1+ in)
=> M = 100 ( 1 + 0,04 . 12) => 148,00
=> M = 100 ( 1 + 0,48 . 1) => 148,00
Em juros compostos:
1ª situação => M = P ( 1 + i)n => M = 100 ( 1 + 0,04)12 => 160,10
2ª situação => M = P ( 1 + i)n => M = 100 ( 1 + 0,48)1 => 148,00
Iguais
Diferentes
Assim, temos que a taxa mensal im é equivalente à taxa anual ia, em juros compostos, quando:
M prazo  M prazo
anual
 C 1  ia 
1ano
 C 1  im 
12meses

1  ia 1  1  im 12
mensal
Ou seja, duas taxas referentes a períodos distintos de capitalização são equivalentes quando
produzem o mesmo montante no final de determinado tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial.
Da igualdade acima, deduz que:
1  ia 1  1  is 2  1  it 4  1  ib 6  1  im 12  1  id 360
(6)
Há a possibilidade de fazer a transformação com o modo financeiro da HP12c, como veremos nos
exemplos.
Exemplo 16: Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês.
17
Apostila I – Matemática Financeira
Exemplo 17: Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano.
Exemplo 18: Determinar a taxa anual equivalente a 0,19% ao dia:
Exemplo 19: Calcule a taxa mensal equivalente a 0,12% ao dia.
Exemplo 20: Calcule as taxas mensal, trimestral e anual equivalentes a 15% ao semestre, em juros
compostos.
Exemplo 21: Determinar a taxa anual equivalente a 1% à quinzena:
18
Apostila I – Matemática Financeira
 PERÍODOS NÃO INTEIROS ---> Convenção Linear e Exponencial
Na vida prática é comum encontrarmos períodos não inteiros de tempo, tendo em vista a unidade de
juros composto utilizada. Quando isso ocorre, é possível adotar duas formas diferentes de cálculo que
resultarão em resultados diferentes. Estas formas diferentes dependerão do acordo financeiro estabelecido.
Os dois tipos são: convenção linear e convenção exponencial. Em ambas, são aplicadas as fórmulas de
juros compostos para a parte inteira do prazo. Na parte não inteira (fracionária ou decimal), a convenção
linear utiliza juros simples, enquanto a convenção exponencial utiliza juros compostos.
Seja n  k 
p
q Então,
Convenção Linear => Juros Compostos (parte inteira) + Juros Simples (parte fracionária)


M CL  P  1  i   1  i  qp
 


k
J .C .
(7)
J .S .
Convenção Exponencial => Juros Compostos (parte inteira + parte fracionária)
M CE  P  1  i  q



k
p
(8)
J .C .
Cálculo no modo financeiro:
A HP12c possui comandos para os dois tipos de convenção. Se no visor “não” aparece uma letra “C”,
então está no modo “linear”, se aparece a letra “C” está no modo “exponencial”. Para habilitar esta função ou
desabilitar, basta digitar [STO] [EEX].
Exemplo 22: Em 09/02/2001, uma empresa fez uma aplicação financeira de R$ 12.500,00 em CDB’s, a uma
taxa de juros compostos de 4% ao mês. Calcule o valor de resgate, realizado em 25/04/2001, pelas duas
convenções: linear e exponencial.
OBS: Calculo de dias na HP12c: (1º) habilitar [g] [4]; (2º) digitar data mais antiga 09.022001 [enter]; (3º)
digitar a outra data 25.042001 [g] [EEX], e no visor vai aparecer o número 75.
19
Apostila I – Matemática Financeira
Observação 1: Como pode ser visto, a convenção linear apresenta resultado superior ao da convenção
exponencial, ao contrário do que geralmente se espera: os juros compostos são vistos como os que mais
rendem juros. Porém, neste caso de períodos não inteiros, é a convenção linear, que possui juros simples,
que rende mais juros.
Observação 2: Quando o problema apresentar prazo não inteiro e não especificar qual convenção a ser
utilizada, iremos sempre utilizar a convenção exponencial, ou seja, teremos sempre que habilitar a função
“C” na HP12C. Por isso, é importante ficar atento!!
Exemplo 23: Uma aplicação financeira de R$ 13.570,00 ficou à disposição de um banco durante 105 dias.
Sabendo-se que a taxa de juros de remuneração da aplicação foi de 4,5% ao mês, calcule os valores de resgate
da aplicação tanto pela convenção linear como pela exponencial. (Resposta: R$ 15.834,05, R$ 15.830,22,
respectivamente)
Exemplo 24: Uma pessoa aplicou R$ 20.000,00 durante 250 dias, a uma taxa de 2,5% ao mês. Calcule o
montante e o juro da aplicação. (R. R$ 24.569,46 e R$ 4.569,46)
 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA
Existem situações em que a taxa utilizada no problema não coincide com o período de capitalização.
Por exemplo: Aplica-se R$ 1.000,00 a juros compostos por sete meses à taxa de 15% ao ano, capitalizados
mensalmente.
Isto significa que a taxa incide a cada mês, portanto 12% ao ano é uma taxa nominal, ou aparente. Dada
uma taxa de juros nominal procede-se para o cálculo da respectiva taxa de juros efetiva, por convenção, de
maneira igual a do sistema de capitalização simples, isto é, calcula-se a taxa proporcional à dada, relativa à
unidade de tempo mencionada para a capitalização.
No exemplo dado, divide-se 12% por 12 meses, obtendo 1% ao mês. Assim, 1% ao mês é a taxa efetiva
mensal, e, se necessário, calcula-se a taxa efetiva anual encontrando a taxa equivalente no sistema de
capitalização composta, que vimos no início desta aula.
20
Apostila I – Matemática Financeira
Exemplo 25: Calcular o montante de um financiamento de R$ 3.000,00, após 1 ano, a uma taxa de juros
compostos de 12% ao ano, capitalizados mensalmente. (R. R$ 3.380,48)
Exemplo 26: Calcule o valor de resgate de uma aplicação de R$ 1.300,00, após 2 anos, a uma taxa de juros
compostos de 14% ao ano, capitalizados semestralmente. (Resposta: R$ 1.704,03)
 JUROS COMPOSTOS COMO FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Vamos agora, associar problemas de juros compostos à funções exponenciais, pois como já vimos, uma
aplicação no regime de capitalização composta tem crescimento exponencial.
Exemplo 27: Construir o gráfico do valor de resgate ao longo dos meses, de uma aplicação inicial de R$
200,00 que rende uma taxa de juros compostos de 3% ao mês.
21
Apostila I – Matemática Financeira
Exercício
LISTA 3
Juros Compostos: taxa equivalente, taxa nominal e efetiva, função exponencial
1) Calcule as taxa anuais equivalentes em juros compostos a:
a) 5% ao mês
b) 4% ao trimestre
c) 20% ao bimestre
d) 12% ao semestre
(R. 79,59%; 16,99%;198,60%; 25,44%)
2) Calcule as taxas mensais equivalentes em juros compostos a:
a) 42% ao ano
b) 22% ao trimestre
c) 15% ao bimestre
d) 17% ao semestre
(R. 2,97%; 6,85%; 7,24%; 2,65%)
3) Calcule as taxas efetivas anuais de:
a) 11% ao ano, capitalizados trimestralmente
b) 14% ao ano, capitalizados mensalmente
c) 6% ao semestre, capitalizados mensalmente
(R. 11,46%; 14,93%; 12,68%)
4) Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 51,107% ao ano, para ter 1.000.000,00 no final de 19 meses? (R.
520.154,96)
5) A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de R$ 820.000,00 no final de
1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros? (R. R$ 423.711,21)
6) Fiz uma aplicação em CDB no valor de R$ 600.000,00 pelo prazo de 85 dias e estimo que a rentabilidade
será de 25% ao bimestre. Qual é o montante final? (R. R$ 823.076,94)
7)
8) Foi oferecido a um aplicador um investimento com rentabilidade de 750% ao ano. Qual a taxa mensal?
(R. 19,52% a m)
9) Em 02/07/2001, uma empresa aplicou R$ 23.000,00, a uma taxa de juros compostos de 21% ao ano.
Calcule o valor do resgate da aplicação, sabendo que a mesma foi efetuada em 02/01/2002.
(Atenção! Como se trata de prazo não inteiro, é preciso habilitar o “C” na calculadora financeira, se não o
calculo será feito à juros simples) (R. R$ 25.353,39)
10) Calcule o valor de resgate da aplicação do problema anterior, utilizando a convenção linear para
períodos não inteiros. (R. R$ 25.468,67)
11) Uma financeira emprestou a uma loja de eletrodomésticos a quantia de R$ 35.000,00, a uma taxa de
juros compostos de 3,8% ao mês, durante 155 dias, pela convenção linear. Calcule os juros pagos pela
loja. (R. R$ 7.442,08)
12) Um banco financiou a uma construtora a quantia de R$ 500.000,00 a uma taxa de juros compostos de
4,5% ao mês, pela convenção linear. Sabendo que a dívida foi resgatada em 200 dias, calcule os
rendimentos obtidos pelo banco na operação. (R. R$ 170.663,96)
22
Apostila I – Matemática Financeira
13) Um pensionista aplicou a quantia de R$ 500,00 em uma caderneta de poupança. Sabendo-se que a
referida poupança rende 6% ao ano, capitalizados mensalmente, calcule o saldo que o pensionista terá
após 6 meses. (R. R$ 515,19)
14) Calcule a taxa efetiva anual de 15% ao ano, capitalizados semestralmente. (R. 15,56%)
15) Calcule a taxa efetiva anual de 13,5% ao ano, capitalizados trimestralmente. (R. 14,2%)
16) Qual o capital necessário para acumular R$ 1.100,00, em 33 meses, à taxa de 35% ao ano, capitalizados
de 3 em 3 meses? (R. R$ 437,19)
17) Faça a projeção gráfica dos capitais futuros de uma aplicação R$ 200,00 a uma taxa de juros compostos
de 20% ao ano, de 0 a 5 anos de aplicação. (R. M = 200 x 1,2n; e gráfico)
18) Faça uma projeção gráfica da capitalização de uma aplicação, de 0 a 5 anos, sabendo que esta gera um
valor futuro de R$ 11.575,56 após 20 anos, com uma taxa anual de juros compostos de 12%. (R. M =
1200 x 1,12n; e gráfico)
DESCONTO
O desconto é a diferença entre o valor futuro (valor nominal) de um título de crédito (duplicata, nota
promissória, letra de câmbio, cheque pré-datado etc.) e seu respectivo valor presente (valor atual), isto é,
seu valor antes do término do prazo do título.
Elementos do cálculo de desconto:
 Valor Nominal ou Valor Futuro (S, M, FV ou N) – valor indicado no título, a ser pago no dia do
vencimento;
 Valor Atual ou Valor de Resgate ou Valor Presente (P, C, PV, A) – líquido pago (ou recebido) antes do
vencimento;
 Prazo (n) – número de períodos compreendidos entre aquele em que se negocia o título e o do seu
vencimento;
 Taxa de desconto (i) – taxa usada na operação de desconto;
 Desconto (D) – é a quantia a ser abatida do valor futuro (nominal), isto é, a diferença entre o valor
futuro e o valor presente.
Desconto = (Valor Nominal) – (Valor Atual)
D=N–A
Valor Atual
(9)
Valor Nominal = valor do
compromisso financeiro
0
n
Há quatro formas de se calcular descontos de títulos de crédito:
23
Apostila I – Matemática Financeira
Descontos Simples -> utiliza capitalização simples
(1) Desconto Simples Bancário, Comercial ou por fora => o cálculo incide sobre o N.
(2) Desconto Simples Racional ou por dentro => o cálculo incide sobre o A.
Descontos Compostos -> utiliza capitalização composta.
(3) Desconto Composto Bancário, Comercial ou por fora => o cálculo incide sobre o N.
(4) Desconto Composto Racional ou por dentro => o cálculo incide sobre o A.
Na prática bancária são utilizados com mais frequência os tipos (1) Desconto Bancário Simples, em
operações de financiamento de curto prazo, e (4) Desconto Racional Composto, utilizado nas operações de
longo prazo. Portanto, iremos focar o estudo de descontos nestes dois tipos
DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES
É o valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal (N) do compromisso que
seja saldado em n períodos antes do seu vencimento. Por ser o mais utilizado nos bancos, é chamado de
desconto bancário.
𝑫𝑺 = 𝑵 ∙ 𝒊 ∙ 𝒏
(10)
O valor atual ou de resgate (A) é calculado pela diferença entre o valor nominal (N) e valor do desconto
bancário (DS).
𝑨=𝑵−𝑫
ou
𝑨 = 𝑵(𝟏 − 𝒊𝒏)
(11)
OBS: Não usaremos os recursos financeiros da HP12c neste tipo de desconto.
Exemplo 1: Calcular o valor do desconto bancário simples de um título de R$ 2.000,00, com vencimento
para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês. (R: R$ 150,00)
Exemplo 2: Uma empresa precisava pagar uma duplicata de R$ 8.000,00 com vencimento em 3 de
novembro. No dia 16 de agosto pagou o título num banco que cobra 2% a.m. de desconto bancário simples.
Determinar o valor do desconto bancário. (R$ 421,33)
24
Apostila I – Matemática Financeira
Exemplo 3: Calcule o valor atual do exemplo 1 e 2. (R$ 1;850,00; R$ 7.578,67)
Exemplo 4: Sabendo que um banco utiliza uma taxa de desconto bancário simples de 5% ao mês, calcule
qual deve ser o valor pago por um título de crédito, cujo valor nominal era de R$ 1.800,00, 60 dias antes do
vencimento. (R$ 1.620,00)
Exemplo 5: Uma empresa emitiu um título a um cliente com vencimento em 20 de dezembro. No dia 6 de
setembro o título foi todo pago num banco que cobra 3% a.m. de desconto bancário simples, recebendo o
valor líquido de R$ 5.450,55. Calcule o valor nominal do título. (R$ 6.090,00)
Exemplo 6: Um certo título de crédito, com vencimento em 10 de janeiro de 2013, foi pago no dia 15 de
dezembro de 2012 com 0,5% a.m. de desconto bancário, tendo recebido de desconto o valor de R$ 655,40.
Calcule o valor nominal do título. (R$ 151.246,15)
Exemplo 7: Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 8.000,00 que foi paga 25 dias antes do, sendo o
desconto bancário simples no valor de R$ 345,30. Calcule a taxa mensal de desconto. (aproximadamente
5,2% a.m.)
Exemplo 8: Uma duplicata no valor de R$ 12.500,00 foi paga antes do seu vencimento, no dia 10 de maio de
2013, à taxa de desconto bancário simples de 1,5% a.m. Após o desconto, o valor pago pela duplicata foi de
R$12.181,25. Calcule a data de vencimento da duplicata. (R: dia 30/06/2013)
25
Apostila I – Matemática Financeira
 DESCONTO PARA SÉRIE DE TÍTULOS
Exemplo 9: Quatro duplicatas, no valor de R$ 32.500,00 cada uma, com vencimentos para 90, 120, 150 e
180 dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto bancário simples cobrada pelo
banco é de 3,45% ao mês, calcular o valor do desconto?
Os prazos antecipados formam uma P.A., portanto, para calcular a soma destes prazos podemos usar a
fórmula da Soma da PA. Assim temos
𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑃𝐴 =
𝐷 = 𝑁𝑖𝑛
→
(𝑎1 + 𝑎𝑛 ) ∙ 𝑛
2
𝐷 = 𝑁𝑖 ∙
𝑫𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑵 ∙ 𝒊 ∙
(𝑝1 + 𝑝𝑛 )𝑛
2
(𝒑𝟏 +𝒑𝒏 )𝒏
𝟐
(12)
Exemplo 10: Um consumidor deseja liquidar antecipadamente 6 prestações restantes de um financiamento
obtido para a compra de um veículo. Sabendo-se que o valor de cada prestação é de R$ 30.000,00; que a
primeira prestação vence a 30 dias de hoje e a última 180 dias, e que o desconto dado pela financeira é de
1% ao mês (desconto bancário ou por fora), calcular o valor a ser pago pelo financiado para liquidar o
contrato? (R$ 173.700,00)
26
Apostila I – Matemática Financeira
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO
É o abatimento concedido sobre um título antecipado, ou a venda de um título antes de seu
vencimento, observando os critérios da capitalização composta. A taxa de juro composta incide sobre o valor
atual A.
Poderemos utilizar as funções financeiras da HP12C, com as seguintes teclas:
A = valor atual ou de resgate => [PV]
N = valor nominal ou valor do título => [FV]
n = tempo entre a data de vencimento e a data do pagamento => [n]
i = taxa => [i]
Dc = desconto composto => [FV] - [PV]
Ou podemos utilizar fórmulas. Utiliza-se a fórmula do montante do Juro Composto e troca-se o M por
N, e o P por A.
𝑵 = 𝑨(𝟏 + 𝒊)𝒏
(13)
𝑫=𝑵−𝑨
𝟏
𝑫 = 𝑵 [𝟏 − ((𝟏+𝒊)𝒏)]
(14)
Exemplo 1: Qual é o valor nominal de um título que foi resgatado 1 ano antes de seu vencimento por
R$16.290,13 à taxa de desconto racional composto de 5% ao trimestre? (R$ 19.800,75)
Exemplo 2: Determine o desconto composto racional para um título no valor de R$9.000,00, à taxa de 5%
a.m., resgatado 5 meses antes do vencimento. (R$1.948,26)
Exemplo 3: Que taxa de desconto composto racional sofreu um título de R$20.000,00 que, pago 5 meses
antes do prazo, foi reduzido a R$14.950,00? (6%a.m.)
27
Apostila I – Matemática Financeira
Exemplo 4: Em quanto tempo foi antecipado o pagamento de R$162.810,15, sabendo que, descontado
racionalmente a juros compostos de 10% a.m., seu valor foi reduzido a R$83.547,35?
Exemplo 5: Qual é o valor do título que, descontado racionalmente 3 meses antes de seu vencimento, a uma
taxa de 10% a.m., determinou um valor atual de R$12.400,00? (R$16.504,40)
Exercícios
LISTA 4
 Exercícios de Desconto Bancário Simples
1. Num título de R$50.000 vencível em 30/11 e descontado em 22/08 à taxa de desconto simples de 3,6%
a.m., calcule o valor do desconto bancário e o respectivo valor atual. (R$ 6.000,00 e R$ 44.000,00)
2. Qual o desconto bancário simples de uma duplicata de R$22.000,00, resgatada 3 meses antes do
vencimento, à taxa de 18% a.a.? (R$ 990,00)
3. Uma nota promissória de R$ 86.000,00 foi paga 3 meses e 15 dias antes do vencimento com desconto
bancário simples de 12% a.a. Qual o valor do resgate?
4. Um título com vencimento em 30/11 foi descontado em 25/09 por R$75.350,00. Sabendo que o banco
cobra a taxa de desconto bancário simples de 5% a. m., qual o valor do título? (R$ 84.662,92)
5. Uma pessoa recebeu em 17/08 o valor de R$5.380,00 por um título que vence em 03/12. O banco cobrou
a taxa de desconto bancário simples de 9,5% a. m. Qual foi o valor do desconto? (R$ 2.796,29)
6. Um cliente pagou por um título, de valor nominal de R$5.732,00, antes do vencimento, o total de
R$5.723,04. Quanto tempo antes do vencimento foi descontado este título sabendo-se que o banco cobra
0,335% a. m. de desconto bancário simples? (14 dias)
7. Calcule a taxa mensal de desconto bancário simples de um título de R$ 23.000,00 que foi descontado 25
dias antes do vencimento por R$19.850,00. (16,43% a.m.)
8. Determinar o valor nominal de um título, com 144 dias para o seu vencimento, que descontado à taxa de
48% ao ano proporcionou um valor atual (líquido creditado) de R$ 38.784,00. Sabe-se que a operação
foi feita de acordo com o conceito tradicional, ou seja, desconto bancário. (R: R$ 48.000,00)
9. Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9.800,00, que sofreu
um desconto bancário de R$ 548,50, à taxa de 32% ao ano. (R. 63 dias)
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Apostila I – Matemática Financeira
10. Uma pessoa obteve um financiamento, para aquisição de um veículo, para ser quitado em 18 prestações
mensais, iguais e consecutivas de R$ 9.470,00. No dia do vencimento da 10ª prestação, após ter pago
esta, o financiado propõe à financeira a quitação, nesta data, das 8 prestações restantes. Sabendo-se que
essa financeira concede um desconto bancário ou “por fora” de 1,8% ao mês para pagamentos
antecipados, calcular o valor do desconto total concedido. (R. R$ 6.136,56)
11. Uma empresa apresenta a um banco, para desconto, 4 duplicatas no valor de R$ 32.600,00 cada uma,
com vencimentos para 60, 120, 180 e 240 dias. Calcular o valor líquido creditado pelo banco na conta da
empresa, sabendo-se que se trata de um desconto simples comercial ou “por fora” e que a taxa de
desconto cobrada é de 2,4% ao mês. (R: R$ 114.752,00)
12. Oito títulos, no valor de R$ 1.000,00 cada um, são descontados por um banco, cujo líquido
correspondente, no valor de R$ 6.830,00, é creditado na conta do cliente. Sabendo-se que os vencimentos
desses títulos são mensais e sucessivos a partir de 30 dias, calcular a taxa de desconto?
 Exercícios de Desconto Racional Composto
13. Calcular o desconto racional composto de um título de R$27.560,00, descontado 6 meses antes do
vencimento, a 6,5% a.m.. (R: R$ 8.672,19)
14. Calcular o valor atual de um título de R$12.000,00, à taxa de desconto composto racional de 9% a.m., 8
meses antes do vencimento. (R: R$ 6.022,40)
15. Qual o desconto composto racional obtido no resgate de um título de R$85.000,00 com vencimento em
02 de maio de 2012, no dia 02 de dezembro de 2011, à taxa de 8% a.m.? (R$ 27.446,48)
16. Um título de R$20.000,00 foi descontado num banco, pelo desconto composto racional, à taxa de 5% a.m.,
sendo o valor atual de R$16.290,13. Quanto tempo antes do vencimento foi descontado este título? (
17. Calcular o valor do desconto composto racional de um título de R$20.000,00, 1 ano antes do vencimento
à taxa de 5% ao trimestre. (R$ 3.545,95)
18. Calcular a taxa de desconto composto racional de um título de R$20.000,00, descontado 4 meses antes
do vencimento, recebendo líquido o valor de R$15.500,00. (6,6% ao mês)
19. Calcule o valor atual de um título de R$125.000, à taxa de 0,8% a.m., pago 2 meses e 10 dias antes do
vencimento. (R$ 122.697,42)
20. Uma letra de câmbio, paga 3 meses antes do vencimento, foi reduzida à metade de seu valor. Que taxa de
desconto composto foi aplicada? (25,99% ao mês)
21. Uma duplicata no valor de R$ 12.800,00, com vencimento no dia 15/04/2013 foi descontada com uma
taxa de desconto composto de 2,5% ao mês. Sabendo que o valor do resgate foi de R$11.360,00, encontre
a data do resgate.
REFERÊNCIAS
CRESPO, A.A. Matemática Financeira Fácil. 14.ed. atual. São Paulo: Saraiva, 2009.
DAL ZOT, W. Matemática Financeira. 4.ed. Porto Alegra: Editora da UFRGS, 2006.
FERREIRA, R.G. Matemática Financeira Aplicada: mercado de capitais, administração financeira,
finanças pessoais. 7.ed. São Paulo: Atlas, 2010.
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