l. Elcio Abdalla
aula 5
uinta aula
Radiação cósmica de fundo, flutuações
primordiais e Inflação
• Review: formação de estrutura
• A radiação cósmica de fundo (RCF)
• A RCF e as flutuações primordiais: o espectro das perturbações
• O mecanismo básico de criação de partículas
• Criação de perturbações pela inflação: formalismo genérico
• O espectro de perturbações da inflação power-law
• Fenomenologia dos modelos inflacionários
aula 5
5.1 formação de estruturas: review
l. Elcio Abdalla
5.1 História da formação de estruturas
Na quarta aula, aprendemos que:
As perturbações de escala maior que o horizonte (H-1)
permanecem sempre constantes: é só quando elas “entram
no horizonte” que podem (ou não) começar a crescer e formar
estruturas.
Na era da radiação não há formação de estruturas, ou
seja, o contraste de densidade dr/r permanece constante em
todas as escalas.
Na era da matéria as perturbações de escalas subhorizonte começam a crescer: o contraste de densidade
cresce proporcionalmente ao fator de escala.
Uma das principais consequências disso é que as perturbações em escalas
muito grandes têm a mesma amplitude que tinham nos primórdios do
universo.
Se observarmos perturbações em larguíssimas escalas, estaremos observando uma
inomogeneidade que ficou congelada desde o instante em que foi criada.
aula 5
5.2 a radiação cósmica de fundo
5.2 A radiação cósmica de fundo
No instante do desacoplamento,
as perturbações nos fluidos de
radiação e de matéria fria têm a
mesma amplitude (seus contrastes
de densidade são praticamente
iguais).
As perturbações em escalas
grandes são aproximadamente
constantes.
Mas, como o desacoplamento
ocorre um pouco depois do fim da
era da radiação, na era da poeira..
..as escalas pequenas já haviam
começado a crescer.
Então esperamos que as escalas
maiores tenham permanecido
constantes, enquanto as escalas
menores apresentem algumas
oscilações, correspondendo ao
colapso gravitacional das primeiras
estruturas e sua interação com a
radiação (que ainda estava
bastante presente).................
Fim da era da radiação
l. Elcio Abdalla
aula 5
5.2 a radiação cósmica de fundo
l. Elcio Abdalla
De fato:
Características das flutuações de
temperatura (largas escalas):
(1)
T
1
T
  d 3x
0
T
VV
T
( 2)
 T 


T


2
1
3  T ( x ) 
 d x

VV
T


2
 1010
Mas o que isso realmente nos diz
a respeito das flutuações de
densidade? Como podemos usar a
informação contida na RCF para
determinar o espectro primordial
das flutuações?
Escalas grandes:
constante
Escalas pequenas:
oscilações
aula 5
5.3 rcf e espectro de perturbações
l. Elcio Abdalla
5.3 A RCF e o espectro de perturbações
A amplitude das flutuações de temperatura em largas escalas dependem de dois
fatores:
1) flutuações intrínsecas de densidade (regiões mais densas são regiões mais
quentes)
2) os potenciais gravitacionais causados por essas flutuações de densidade
(fótons vindo de uma região mais densa têm que emergir de um poço de potencial
mais profundo, portanto sofrem maior redshift).
A superposição desses dois efeitos dá o efeito Sachs-Wolfe:
T 1
 3  
T
As observações da RCF indicam que T/T e  têm um espectro invariante de escala
(também conhecido como espectro de Harrison-Zeldovich).
O que isso quer dizer é que a média espacial dos quadrados dessas quantidade é
aproximadamente independente do tamanho do volume V:
1
1
3  T 
3 
10
d
x

d
x

10




V V
V V
 T 
3
2
2
aula 5
l. Elcio Abdalla
5.3 rcf e o espectro de perturbações
O que isso significa, em termos dos modos de Fourier desses campos é:
d 3k ik x
( x)  
e k
3
( 2 )
V
9  1010   2 ( x ) 
V 1

3
d k
|  k |2 
3
( 2 )
L1
dk
2
|
d
(
k
)
|

k
Para que essa média (ou valor esperado) seja independente da escala V~L3, é
necessário que o espectro d(k) seja uma função que dependa fracamente de k:
k3
ns 1
2
| d  (k , ) | 
|

(

)
|

C
(

)
k
k
2 2
2
,
ns  1
É fácil ver que se ns<1, a integral é dominada pelo IR; dizemos nesse caso que o
espectro é “vermelho”. Por outro lado, se ns >1 a integral tem uma contribuição maior
no UV; nesse caso o espectro é “azul”. As últimas observações indicam que:
ns  0.96  0.05
Melchiorri, Bode, Bahcall and Silk,
astro-ph/0212276 (12/12/2002).
Em suma, as observações da RCF indicam que o espectro das perturbações é
aproximadamente invariante de escala, com amplitude da ordem de 10-10.
Além disso, como sabemos que em largas escalas as flutuações são
constantes, esse espectro é o espectro primordial. Vamos reproduzi-lo a seguir.
aula 5
5.4 a física da criação de partículas
l. Elcio Abdalla
Parker ‘68-’69,
5.4 A física do mecanismo de criação de partículas
Birrel &
Davies ‘82,
Mukhanov &
Chibisov ‘81,
Hawking, Guth
& Pi ‘82
expansão acelerada
separa os pares
A inflação (aceleração) converte
pares virtuais em
pares reais
Horizonte H-1
aula 5
5.5 perturbações durante a inflação
l. Elcio Abdalla
5.5 Perturbações de um campo escalar durante a inflação: formalismo
R 1

S   d x  g  2  (  )2  V ( )  ,  2  16 G
2


4
 ( x)   0 ( )  d ( x)
g  ( x)  a 2 () [    ( x)]
Tempo conforme :
dx 0  d  dt / a(t )
•Após diagonalização e integração por partes, os termos quadráticos são:
S2   d x
4
1
2
(v' )
2
 (v )   ( ) v  ...
2
 vk  [k 2   2 ( )]vk  0
•Soluções no ultravioleta (k2>>2) e
no infravermelho

(k2<< 2):
2
2
z ( )
 ( )  
z ( )
2
UV : vk  Ak eikη  Bk e  ikη
d '
IR : vk  Ck z ( )  Dk z ( )  2
z ( ' )
aula 5
l. Elcio Abdalla
5.5 perturbações durante a inflação


 
[vˆ(, x ),ˆ (, x ' )]  id ( x , x ' )


ik x

vˆ(, x )   e [aˆ k vk ( ) aˆ k vk ( )]
• Quantização:
k
[aˆk , aˆk*' ]  d k ,k '
• Vácuo:
ak|0>=0
Porém,
, vk vk  vk vk   ik
 k2 ( )  k 2   2 ( )
 0 : vk  e
, vk  e
1, 
0, 
0, 
1 : vk   k (0 ,1 )vk   k (0 ,1 )vk
0, 
i k
0, 
 i k
=> Mistura entre modos com energias positivas e negativas
=> Amplificação da energia de ponto-zero pelo “campo externo” (expansão)
=> Criação de partículas
•Inflação gera inomogeneidades no “fluido primordial”
aula 5
5.5 perturbações durante a inflação
t
vk  [k   ( )]vk  0
2
l. Elcio Abdalla
2
UV
H-1
Hoje
z ( )
 ( )  
 a2H 2
z ( )
2
Fim da inflação
lphys
UV
UV : vk  Pk e
 ikη
IR : vk  Const.
IR
aula 5
l. Elcio Abdalla
5.6 espectro dos modelos power-law
5.6 O espectro de perturbações dos modelos “power law inflation”
O background ao redor do qual desenvolveremos teoria de perturbações é homogêneo
e isotrópico, de curvatura zero, onde o fator de escala é uma lei de potència:
ds0
2
2
 a ( )(  d  dx )
2
1 /( p 1)
2
p
t
 


a      
 ti 
 i 
p 1
H
 p /( p 1)
 
a
 H i  
a
 i 
i  
p  1 1
Hi
p
O campo escalar e o potencial que causam essa expansão acelerada são:

1  Hi
V ( )  61 
 2 e
3p  

2 1
0 ( ) 
ln a ( )
s
2


p

aula 5
5.6 espectro dos modelos power-law
l. Elcio Abdalla
Tanto a métrica quanto o campo escalar têm flutuações em torno de seus backgrounds.
Vamos fixar o gauge longitudinal usado na aula passada:
  0 ( )   ( x )

ds 2  a 2 ( )[ -(1  2 ( x ))d 2  (1  2 ( x )) dx 2 ]
A equação de Einstein 0-i é um vínculo entre a perturbação do campo, (x), e a
perturbação da métrica, (x):

2 p


,

2a

p 1
Substituindo as perturbações na Lagrangeana, expandindo até segunda ordem e
eliminando  e  por , temos a seguinte expressão:
L( 2 ) 
1
 D   ... ,
2
D  2 
p(2 p  1) 1
( p  1)2  2
o que evidentemente significa que o campo  obedece à equação
D=0
.
Abramo & Woodard,
Phys. Rev. D60: 044011
aula 5
l. Elcio Abdalla
5.6 espectro dos modelos power-law
Podemos agora proceder à quantização do campo . Primeiro, escrevemos o campo em
termos de operadores de criação e aniquilação:


d 3k ikx
*

ik  x
 e

ˆ
ˆ
 ( x)  
e

(

)
a

(

)
a
k
k
k
k
(2 )3

Os quanta de energia negativa são associados com modos de frequências negativas e
com os operadores ak .
Os operadores ak e a+K obedecem as relações de comutação usuais:
aˆ , aˆ   d

k

k

( 3)
 
(k  k ' )
e os modos são normalizados pelo Wronskiano:
 k '  k*   k  k* '  i
No caso de power-law inflation, os modos têm soluções exatas:
 2 p(2 p  1) 1 
  
  ( )  0 ,
2
2  k
( p  1)  


 k ( )  Ak 1 / 2 h(k )
h(k )  H(1, 2 ) (k )
aula 5
l. Elcio Abdalla
5.6 espectro dos modelos power-law
As funções de Hankel oscilam no limite UV k<<1, mas são as funções de Hankel do
segundo tipo, H(2), que têm frequência negativa e portanto estão associados aos
modos k e aos operadores de aniquilação. Portanto, escrevemos:
 k ( )  Ak 1/ 2 H( 2 ) (k )
 *k ( )  A*k 1/ 2 H(1) (k )
onde as constantes Ak são determinadas pelo Wronskiano. Usando as relações de
comutação das funções de Hankel:
zH ( z ) z H ( z )  zH ( z ) z H ( z ) 
( 2)
( 2)
(1)
(1)
4i

obtemos que o Wronskiano é:
 i   k '  k*   k  k* '  i

4 | Ak |2


| Ak |2 
Ak 
E portanto os modos já normalizados têm a seguinte expressão:
 k ( ) 

2
eik H( 2 ) ( k )

4

2
ei k
aula 5
l. Elcio Abdalla
5.6 espectro dos modelos power-law
Lembre-se de que o campo  é o mesmo que o potencial newtoniano , a menos de
uma normalização:
 k ( ) 

2 p  1 a ( )
 k ( )
e que, portanto, o potencial newtoniano já normalizado tem a seguinte expressão:
 k ( ) 
 
4 p  1 a ( )
i k
( 2)
e H
3
1
(k ) ,   
2 p 1
Agora podemos calcular o espectro de perturbações da inflação power-law.
Estamos interessados no limite IR do espectro (k <<1) – ou seja, a região do
espectro que de fato sofreu amplificação da energia de ponto zero.

( )  2 
H(1, 2 ) ( z ) 
   ...
i  z 
A função de Hankel tem a seguinte forma assintótica:
e portanto o espectro é:
2
k
 H i 2  ( )  k 
2


| d  (k ) | 
|  k ( ) | 
2
3
2
32
p  1  Hi 
3
2
2
2
2
2 /( p 1)
aula 5
l. Elcio Abdalla
5.6 espectro dos modelos power-law
Vamos repetir o resultado obtido quantizando um campo escalar/gravitacional:
| d  (k ) |   H
2
2
2 22  2 ( )
i 32 3 ( p 1)
 k 


 Hi 
2 /( p 1)
2  16 G
e comparar com aquilo que esperamos analisando os dados observacionais:
k 
2
| d  ( k ) |Obs  C  
 k0 
ns 1
 C  0.5  1010

ns  0.96  0.05
,
1. A amplitude das perturbações C fixa o parâmetro livre Hi que fixa a escala
do potencial:

1  Hi
V ( )  61 
 2 e
3p  

2


p

2
mi
 H i  2  1010
M Pl
2
2
2. O “índice escalar” ns no modelo power-law é portanto:
2
ns  1 
 0.96  0.05
p 1
 p  21
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aula 5
O Futuro
O estudo das perturbações é a principal chave para se testar
modelos cosmológicos. As perturbações não só explicam alguns dos
porquês da história do universo, como revelam até mecanismos
quânticos que podem ter sido a chave para o aparecimento das
estruturas do universo.l
Há uma multiplicidade brutal de “modelos cosmológicos” no
mercado; apesar disso, o “modelo padrão inflacionário” tem se
mantido de longe a teoria mais consistente e bem testada.
As possibilidades para aplicações de física teória em cosmologia são
ilimitadas: hoje em dia a qualidade das observações é tal que podemos
seriamente começar a fazer perguntas que até pouco seriam
consideradas absurdas.
Os limites do universo observável estão sendo empurrados num
ritmo tal que este curso corre sério risco de caducar (ou até se tornar
irrelevante) nas próximas semanas. Então, fique esperto!