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SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA BOLHA DE SEPARAÇÃO EM UM ESCOAMENTO SOBRE
UMA PLACA PLANA FINA INCLINADA ATRAVÉS DE MODELOS RANS
Fernando Nóbrega de Araujo 1, André Luiz Tenório Rezende 2
1
Departamento de Engenharia Mecânica e de Materiais, IME – Instituto Militar de Engenharia, Rio de Janeiro, Brasil, [email protected]
2
Departamento de Engenharia Mecânica e de Materiais, IME - Instituto Militar de Engenharia, Rio de Janeiro, Brasil, [email protected]
Resumo: O objetivo desta investigação é a simulação
numérica do escoamento sobre uma placa plana fina
inclinada. Neste escoamento complexo a existência de
transição de regime laminar para turbulento, separação de
camada limite, bolha de recirculação e recolamento, torna a
simulação numérica um desafio considerável. As soluções
são obtidas pelas equações de média de Reynolds (RANS)
para o problema bidimensional em regime permanente, e os
resultados são comparados com experimentos realizados em
túnel de vento.
Palavras-Chave: Placa plana, recolamento, turbulência.
1. INTRODUÇÃO
Este trabalho é uma investigação numérica do
escoamento turbulento incompressível em torno de uma
placa plana fina com bordo de ataque afiado e envergadura
infinita para os ângulos de 2° e 4° (Fig. 1). O escoamento
em torno de uma placa fina com pequenos ângulos de
incidência apresenta uma estrutura muito complexa,
apresentando transição de regime laminar para turbulento,
separação de camada limite, bolha de recirculação principal,
recolamento, relaminarização e bolha de recirculação
secundária.
O estudo do fluxo em torno da placa plana fina com
pequenos ângulos de incidência pode ajudar no projeto de
aletas e asas de projéteis e mísseis. Este
escoamento induz sobre a placa uma bolha longa e fina,
denominada na literatura como “thin aerofoil bubble”
(Gault, 1957).
A camada limite ao redor da borda afiada é muito fina, e
espera-se separar imediatamente, devido à mudança de
direção do fluxo. Como mostrado na Fig. 1, há uma linha de
corrente que separa a bolha principal do escoamento externo
e se une à superfície no ponto de recolamento. Se o ângulo
de incidência é suficientemente pequeno (geralmente menor
que 6 graus), o escoamento recola na superfície superior em
um ponto que se move gradualmente a jusante com o
aumento do ângulo de incidência. Para ângulos maiores, não
há ponto de recolamento, e a bolha aumenta a jusante
posteriormente ao bordo de fuga (Newman and Tse, 1992).
Devido ao ponto fixo de separação, o escoamento é
insensível a uma mudança no número de Reynolds, e a
transição ocorrerá logo após a separação (Crompton, 2000).
Após a separação, a camada cisalhante sofre uma transição
muito próxima da borda afiada. A camada cisalhante
turbulenta aumenta rapidamente e possui uma alta taxa de
mistura; e em seguida recola (ponto de recolamento XR) a
jusante e bifurca. Parte do fluxo é dirigido à montante para
aumentar a camada cisalhante. O refluxo resultante reduz a
pressão na superfície e ajuda a dobrar a camada cisalhante
de volta ao ponto de recolamento. O fluxo remanescente que
segue a jusante se reverte gradualmente a uma camada
limite turbulenta anexa à placa, antes de atingir o bordo de
fuga (supondo que exista comprimento suficiente na placa
após o recolamento).
Fig. 1. Modelo simplificado
O fluido que escoa para montante está sujeito a um forte
gradiente de pressão favorável e posteriormente, ele acelera
e atinge a velocidade reversa máxima em cerca de metade
do caminho de volta ao longo do comprimento da bolha.
Este gradiente favorável de pressão tem um efeito
estabilizador sobre a camada limite reversa
e uma
significante queda na intensidade da turbulência
é
registrada nesta região. Correspondente a esta queda na
intensidade da turbulência, o gradiente de velocidade
próximo à superfície diminui e os perfis de camada limite se
tornam mais laminares; o gradiente de pressão favorável
induz uma relaminarização (transição inversa). Perto da
frente da bolha de separação o gradiente de pressão é
adverso ao escoamento reverso e consequentemente a
camada limite laminar é propensa a separação. Crompton
(2000) observou uma pequena bolha de separação
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Fernando Nóbrega de Araujo 1, André Luiz Tenório Rezende 2
secundária nos seus experimentos próximo ao bordo de
ataque da placa. Esta pequena bolha secundária é
esquematicamente ilustrada na Fig. 2, sendo esta bolha de
difícil previsão pelos modelos RANS.
uma função de mistura e ambos modelos são somados. Esta
função de mistura F1 é zero (conduzindo ao modelo k-ω
padrão) no interior da camada limite turbulenta e possui o
valor unitário (correspondente ao modelo k-ε padrão) na
região externa à camada.
A viscosidade turbulenta é formulada pelas expressões:
(2)
Fig. 2. Esboço da bolha secundária
2. MODELO MATEMÁTICO
A abordagem de média de Reynolds é baseda na
decomposição da velocidade em u=u+u’ onde u é o vetor
velocidade média e u' o vetor da flutuação de velocidade.
As equações da continuidade e momento linear médias
(RANS), para o escoamento incompressível em regime
permanente são dadas por
(1)
;
∇ • u=0
∇ • ( u u ) = − ∇(
p
ρ
) + υ ∇ 2 u + ∇ • ( − u' u' )
onde ρ é a massa específica, υ=µ/ρ é a viscosidade
cinemática, µ é a viscosidade molecular, e p é a pressão. A
Equação (1) tem a mesma forma da equação de NavierStokes, mas agora ela tem um termo adicional, o termo de
tensão de Reynolds, -u'u' , representando a influência das
flutuações no escoamento médio. Para fechar a Eq. (1), o
termo de tensão de Reynolds pode ser modelado com base
na hipótese de Boussinesq, onde a tensão turbulenta é obtida
através de uma analogia com a lei de Stokes, i.e., a tensão é
proporcional à taxa de deformação. Os modelos de
turbulência selecionados para serem investigados no
presente trabalho são descritos a seguir.
2.1. Modelo SST k-ω
O modelo RANS de transporte de tensão de
cisalhamento (Shear-Stress Transport) SST k-ω (Menter,
1994) foi proposto para simulações de escoamentos
aerodinâmicos com fortes gradientes de pressão adversos e
separação de camada limite combinando os modelos k-ε e
k-ω. Para escoamentos de camada limite, o modelo k-ω é
superior ao modelo k-ε na solução da região viscosa
próxima à parede, e tem sido aplicado com sucesso em
problemas envolvendo gradientes adversos de pressão.
Entretanto, o modelo k-ω requer uma condição de contorno
não nula em ω para correntes livres não turbulentas, e o
fluxo calculado é muito sensível ao valor especificado
(Menter, 1994). Também tem sido mostrado (Cazalbou et
al, 1993) que o modelo k-ε não sofre esta deficiência.
Portanto, o modelo SST k-ω mescla a robusta e precisa
formulação do modelo k-ω próximo às paredes com a
independência da corrente livre do modelo k-ε fora da
camada limite. Para isso, o modelo k-ε é escrito em termos
da taxa de dissipação específica, ω. Então, o modelo k-ω
padrão e o modelo k-ε transformado são multiplicados por
onde S = ( 2 Sij Sij )0.5 é o módulo do tensor taxa de
deformação média Sij , e F2 é a função de mistura para a
viscosidade turbulenta no modelo SST k-ω, d é a distância à
parede. A energia cinética turbulenta k e sua taxa de
dissipação específica ω do modelo SST k-ω (Menter, 1994)
pode ser determinada pela solução destas equações de
conservação, onde o conjunto de constantes de fechamento
para o modelo SST k-ω φ são calculadas usando-se uma
função de mistura entre as constantes φ1 do modelo k-ω
padrão e φ2 do modelo k-ε , então:
φ =F1 φ1 +(1 - F1) φ2.
2.2. Modelo de Spalart-Allmaras
Desenvolvido por Spalart e Allmaras (1992), este é um
modelo relativamente simples que resolve uma equação
diferencial de transporte para a viscosidade turbulenta e, por
conseguinte, requer um menor esforço computacional. O
modelo de Spalart-Allmaras foi projetado especificamente
para aplicações aeroespaciais que envolvem escoamentos
delimitados por paredes e gradientes adversos de pressão. A
equação diferencial é obtida usando o empiricismo, os
argumentos de análise dimensional, e uma dependência
selecionada sobre a viscosidade molecular. Para este modelo
o termo de tensão de Reynolds é modelado sem o último
termo da Eq. (3),
(3)
T
− u' u' = υ t ( ∇ u + ∇ u )
A viscosidade turbulenta é definida como
υ t = υ~ fν 1
(4)
onde fυ1 é a função de amortecimento viscoso usada para
tratar mais adequadamente a camada amortecedora e a
subcamada viscosa, expressa por
fν 1 =
χ3
3
χ +
Cν31
;
χ ≡
υ~
υ
A equação de transporte para a variável de trabalho υ~
dada por (Deck et al, 2002)

∂υ~ ∂(ui υ~)
1  ∂
+
= Gν +

σν~ ∂ x j
∂t
∂x j

(5)
é
2

 ∂υ~  
∂υ~ 
  − Υ (6)
(υ + υ~)
 + Cb2 
ν
∂ xj 
∂x j 


 
3. RESULTADOS
A placa plana fina proposta por Crompton (2000) foi
modelada com a geometria descrita na Fig. 3. A placa tem
uma corda de comprimento c de 160 mm e uma envergadura
de 800 mm dando uma proporção de 5, o que é suficiente
para fornecer nominalmente escoamento bi-dimensional.
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O comprimento de recolamento foi considerado por
Crompton (2000) como sendo independente de Re quando
Re >105, onde Re é definido como Re= U∞ c /υ, onde U∞ é
a velocidade de corrente livre, e c é a corda da placa. O
experimento em túnel de vento foi realizado com Re = 2.13
× 105 e este número de Reynolds é usado para comparar os
modelos de turbulência e os dados experimentais. Ângulos
de ataque α = 1o à 5o, estão disponíveis nos dados
experimentais em intervalos de 1 grau. A Fig. 4 mostra o
domínio computacional usado nas simulações, o qual foi
definido com base no trabalho de Collie (2005).
respectivamente. Ambas estações estão localizadas dentro
da bolha de recirculação.
Fig. 5. Perfis de velocidade para ângulo de incidência θ = 2 o.
Fig. 3. Dimensões da placa plana.
Fig. 4. Detalhes do domínio.
Os campos de velocidade, pressão e grandezas
turbulentas foram determinados com o software comercial
Fluent (2006) com ambos modelos descritos na seção 2.
Este código é baseado no Método de Volumes Finitos. As
simulações foram realizadas com o esquema QUICK
(Leonard, 1979), que é de segunda ordem. O sistema de
equações algébricas foi resolvido com o método Multgrid
(Hutchinson and Raithby, 1986). O problema foi
considerado convergido quando os resíduos máximos de
todas as equações foram menores que 10-6.
o
Fig. 6. Perfis de velocidade para ângulo de incidência θ = 4 .
3.1. Comprimento de recolamento
A Tabela 1 apresenta os comprimentos de recolamento
(XR) para a placa plana para os ângulos de incidência de 2 o e
4 o, obtidos com os modelos de turbulência RANS.
Tabela 1 – Comprimentos de recolamento normalizados (XR) e
respectivos erros.
o
Fig. 7. Linhas de corrente para o modelo SST - θ = 4 .
A precisão das previsões dos comprimentos de
recolamento para este escoamento é fortemente dependente
da capacidade do modelo de turbulência em representar a
complexa estrutura do escoamento descrito; entretanto o
refinamento da malha também exerce um papel fundamental
neste desempenho.
3.2. Perfis de velocidade média
Os perfis de velocidade média obtidos com os modelos
SST e Spalart-Allmaras (SA) para os ângulos de incidência
de 2 o e 4 o são comparados com os dados experimentais de
Crompton (2000) em duas estações nas Figs. 5 e 6,
A Fig. 7 mostra as linhas de corrente correspondentes às
previsões do modelo SST. Pode ser verificado que o modelo
SST foi capaz de prever a bolha de recirculação secundária,
que foi observada experimentalmente. O modelo de SpalartAllmaras não apresenta a bolha secundária e isto está
diretamente relacionado aos perfis de velocidades
observados serem mais turbulentos nos resultados destas
simulações, induzindo o escoamento dentro da bolha a ser
mais resistente à segunda separação, mantendo a camada
limite reversa junto à superfície da placa dentro da bolha
principal.
3.3. Distribuições de pressão
A distribuição de pressão é analizada através do
coeficiente de pressão definido como
3
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(7)
C P = ( p ∞ − p ) /( 0.5 ρ U ∞2 )
onde p é a pressão estática, p∞ e U∞ são a pressão e a
velocidade da corrente livre. A Fig. 8 apresenta a variação
do coeficiente de pressão ao longo da placa para θ =2o.
Novamente os modelos RANS SA e SST são comparados
com os dados experimentais. Estes resultados confirmam a
discussão da seção anterior, i.e., os modelos de turbulência
preveram maiores valores de velocidade próximo à parede,
por isso, como esperado, as distribuições de pressão
apresentaram menores valores do que os dados
experimentais.
o
Fig. 10. Estatísticas de Segunda ordem - ângulo de incidência θ = 4 .
4. CONCLUSÃO
o
Fig. 8. Coeficientes de Pressão para ângulo de incidência θ = 2 .
3.4. Estatísticas de segunda ordem
As estatísticas de segunda ordem u′ u′ encontradas com
os modelos de SA e SST são comparadas com os dados
experimentais para os dois ângulos de incidência na
primeira e segunda estações.
O modelo de Spalart-Allmaras usa uma função de
amortecimento viscoso para melhor representar a camada de
amortecimento e a subcamada viscosa, mas isso resulta em
uma maior redução na taxa de mistura e consequentemente
menores níveis de turbulência dentro da bolha, que são
visíveis em ambas as estações para os dois casos mostrados
nas Figs. 9 e 10.
O modelo SST simula maiores níveis de turbulência na
camada cisalhante do que o modelo de Spalart-Allmaras. No
entanto dentro da bolha principal o modelo SST mistura o
modelo κ−ε na região interna da bolha então a equação de ε
é resolvida em toda a camada cisalhante. Por conseguinte
isto resulta que a equação de ε prevê uma menor dissipação
da turbulência que leva a uma maior previsão de níveis de
turbulência na camada cisalhante separada. Assim o
aumento da turbulência é um resultado direto da equação
de ε o que realmente melhora os resultados do modelo SST.
Neste trabalho, os modelos de turbulência SST (Menter,
1994) e Spalart-Allmaras (1992) foram aplicados para
calcular o escoamento incompressível sobre uma placa plana
com um bordo de ataque afiado, usando pequenos ângulos
de inclinação. Dois ângulos foram investigados, θ =2o e 4o.
Os resultados obtidos foram comparados com os dados
experimentais de Crompton (2000).
Os perfis de velocidade média apresentaram uma
concordância razoável com os resultados experimentais;
entretanto os detalhes da bolha de recirculação foram
subestimados em tamanho e superestimados em magnitude.
Qualitativamente os perfis são os mesmos para os diferentes
ângulos de ataque indicando a presença de similaridade. A
previsão do comprimento de recolamento foi melhorada
com o aumento do ângulo de ataque; por outro lado, a
distribuição da pressão sobre a placa tem se deteriorado.
Apesar de uma melhor previsão do comprimento de
recolamento ter sido obtida com o modelo SA, os resultados
globais do modelo SST foram melhores. O modelo SpalartAllmaras não capturou a bolha de recirculação secundária e
uma taxa de mistura correta na camada limite cisalhante,
provocando desvios nos campos de velocidade e pressão na
região da bolha.
AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem à CAPES o apoio concedido a
esta pesquisa.
REFERÊNCIAS
[1]DOI Collie S., Gerritsen M., Jackson P., 2008, “Performance of
Two-Equation Turbulence Models for Flat Plate Flows with
Leading Edge Bubbles”. Journal of Fluids EngineeringTransactions of the Asme, Vol. 130, No. 2.
[2]PUB Crompton, M. J.; Barret, R. V., 2000, “Investigation of the
Separation Bubble Formed Behind the Sharp Leading Edge of a
Flat Plate at Incidence”. Proceedings of the Institution of
Mechanical Engineers Part G-Journal of Aerospace Engineering,
Vol. 214, No. G3, pp. 157-176.
[3]PUB Menter, F. R., 1994, “Two-Equation Eddy-Viscosity
Turbulence Models for Engineering Applications”, AIAA Jounal,
Vol. 32, No. 8, pp. 1598-1605.
Fig. 9. Estatísticas de Segunda ordem - ângulo de incidência θ = 2
o
[4] Rezende, A.L.T. Sampaio, L.E.B and Nieckele, A.O., 2008,
“Reynolds Averaged Navier-Stokes Simulation of Highly
Anisotropic Turbulence Structures”, Proceedings of the 6th Spring
School of Transition and Turbulence, EPTT 2008.