statística
Teoria e Aplicações
Anderson Dias Gonçalves
2007
O AUTOR
Anderson Dias Gonçalves
Licenciado em Matemática pelo Centro Universitário de Formiga – UNINFOR, pósgraduado em Matemática e Estatística pela UFLA, pós-graduado em Ensino da
Matemática pelo UNINFOR, mestre em Matemática pela Universidade Vale do Rio
Verde.
Professor do Instituto Superior de Ensino J. Andrade, Faculdade de Ciências
Econômicas, Administrativas e Contábeis de Divinópolis-FACED e Instituto Nossa
Senhora do Sagrado Coração – INSSC.
TODOS OS DIREITOS RESERVADOS – Este material didático foi desenvolvido
única e exclusivamente para o uso nas aulas de Estatística ministradas pelo Prof.
Anderson Dias Gonçalves.
A autorização para a utilização deste material por outros professores deverá ser
concedida pelo autor.
Contato: [email protected]
Copyright© Anderson Dias Gonçalves 2007.
Apresentação
A
o longo do século XX, os métodos estatísticos foram desenvolvidos como uma
mistura de ciência, tecnologia e lógica para a solução e investigação de
problemas em várias áreas do conhecimento humano. Ela foi reconhecida
como um campo da ciência neste período, mas sua história tem início bem anterior a
1900.
A estatística moderna é uma tecnologia quantitativa para a ciência
experimental e observacional que permite avaliar e estudar as incertezas e os seus
efeitos no planejamento e interpretação de experiências e de observações de
fenômenos da natureza e da sociedade de um modo geral.
A estatística não é uma caixa-preta, nem bola de cristal, nem mágica.
Tampouco é um conjunto de técnicas úteis para algumas áreas isoladas ou restritas
da ciência. Por exemplo, ao contrário do que alguns imaginam, a estatística não é
um ramo da matemática onde se investigam os processos de obtenção, organização
e análise de dados sobre uma determinada população. A estatística também não se
limita a um conjunto de elementos numéricos relativos a um fato social, nem a
números, tabelas e gráficos usados para o resumo, a organização e apresentação
dos dados de uma pesquisa, embora este seja um aspecto da estatística que pode
ser facilmente percebido no cotidiano (basta abrir os jornais e revistas para ver o
"bombardeio" de estatísticas). Ela é uma ciência multidisciplinar: um mesmo
programa de computador que permite a análise estatística de dados de um físico
poderia também ser usado por um economista, agrônomo, químico, geólogo,
matemático, biólogo, sociólogo, psicólogo e cientista político. Mesmo que as
interpretações dessas análises sejam diferentes por causa das diferenças entre as
áreas do conhecimento, os conceitos empregados, as limitações das técnicas e as
conseqüências dessas interpretações são essencialmente as mesmas.
A estatística é uma ciência que estuda e pesquisa sobre: o levantamento de
dados com a máxima quantidade de informação possível para um dado custo; o
processamento de dados para a quantificação da quantidade de incerteza existente
na resposta para um determinado problema; a tomada de decisões sob condições
de incerteza, sob o menor risco possível. Finalmente, a estatística tem sido utilizada
na pesquisa científica, para a otimização de recursos econômicos, para o aumento
da qualidade e produtividade, na otimização em análise de decisões, em questões
judiciais, previsões e em muitas outras áreas.
Finalizando, o escritor de ficção científica H. G. Wells previu que ”o
pensamento estatístico será um dia tão necessário para a competência da
cidadania quanto à capacidade de ler e escrever.” Esse dia chegou. As
estatísticas de hoje são instrumentos que nos ajudam a perceber o que os olhos
sem qualquer ajuda, poderia escapar.
Capítulo 1
Aspectos Históricos da Estatística
1.1- OBJETIVO DO CAPÍTULO
Nosso objetivo neste capítulo é apresentar ao estudante de graduação os
aspectos históricos da Estatística. Proporcionando uma visão histórica de como,
quando e onde surgiu a Estatística, no mundo e no Brasil.
1.2 - ESTATÍSTICA – ETMOLOGIA
A Estatística está interessada nos métodos científicos para coleta,
organização, resumo, apresentação e análise de dados, bem como na obtenção de
conclusões válidas e tomada de decisões razoáveis baseadas em tais análises.
Podemos dividir a Estatística em duas áreas: estatística indutiva (inferência
estatística) e estatística descritiva.
1.3 – HISTÓRIA DA ESTATÍSTICA NO MUNDO
A origem da palavra Estatística está associada à palavra latino STATUS
(Estado). Há indícios de que 3000 anos a.C. já se faziam censos na Babilônia, China
e Egito e até mesmo o 4º livro do Velho Testamento faz referência a uma instrução
dada a Moisés, para que fizesse um levantamento dos homens de Israel que
estivessem aptos para guerrear (Bíblia Sagrada: Livro dos Números: 1, 1-4).
Usualmente, estas informações eram utilizadas para a taxação de impostos ou para
o alistamento militar.
A palavra "CENSO" é derivada da palavra "CENSERE", que em Latim
significa "TAXAR". Em 1085, Guilherme, O Conquistador, solicitou um levantamento
estatístico da Inglaterra, que deveria conter informações sobre terras, proprietários,
uso da terra, empregados e animais. Os resultados deste Censo foram publicados
em 1086 no livro intitulado "Domesday Book" e serviram de base para o cálculo de
impostos.
Contudo, mesmo que a prática de coletar dados sobre colheitas, composição
da população humana ou de animais, impostos, etc., fosse conhecida pelos
egípcios, hebreus, caldeus e gregos, e se atribuam a Aristóteles cento e oitenta
descrições de Estados, apenas no século XVII a Estatística passou a ser
considerada disciplina autônoma, tendo como objetivo básico a descrição dos BENS
do Estado.
Nos séculos XVII e XVIII, a estatística ocupou-se do cálculo de
probabilidades. Do Princípio, relacionou-se com jogos de azar. Posteriormente, com
a obra Ars conjectandi, de Bernouilli, constituiu-se como ciência. Dedicaram-se ao
cálculo de probabilidades De Moivre, Laplace, Markov e outros.
6
No início do século XIX, Laplace e Gauss desenvolveram os princípios da lei
normal. Nesta época, começou-se aplicar a estatística na pesquisa em ciências
sociais e na educação. Um dos precursores foi Quetelet. Francis Galton foi um dos
pesquisadores que deu maior impulso à aplicação de estatística, introduzindo o
conceito de correlação e regressão, como também o percentis. Pearson colaborou
com Galton e desenvolveu uma das fórmulas mais utilizadas para o cálculo da
correlação, a prova do qui-quadrado e outras contribuições. James McKeen Catell
que permaneceu na Europa até 1880, tendo contatos com Galton e ao regressar aos
Estados Unidos, ele e alguns discípulos, como Thorndike, iniciaram a aplicação da
estatística à psicologia e á pesquisa educativa. Em poucos anos, o ensino da
estatística foi generalizado nas universidades americanas.
No século XX, foram introduzidas novas técnicas. O inglês R. A. Fisher foi um
dos que mais contribuiu para o moderno desenvolvimento da estatística,
introduzindo diversas técnicas relacionadas à análise da variabilidade. Um dos seus
discípulos, conhecido pelo pseudônimo de Student, realizou importantes avanços
nos contrates das médias.
1.4 – HISTÓRIA DA ESTATÍSTICA NO BRASIL
No Brasil, a Estatística tem sua história associada à história do Instituto
Brasileiro de Geografia e Estatística - IBGE, cujas raízes foram fincadas ainda
durante o Império.
De acordo com o Calendário comemorativo dos 50 anos de sua fundação,
quem primeiro coordenou e sistematizou atividades ligadas a levantamentos
censitários, foi a Diretoria Geral de Estatística, criada em agosto de 1872, data do
"primeiro Recenseamento Geral do Império do Brasil".
No período anterior a esta data (1750 - 1872), a Coroa Portuguesa era quem
determinava levantamentos populacionais, realizados precariamente, com o objetivo
maior de "conhecer a população livre e adulta apta a ser usada na defesa do
território".
A partir da segunda metade do século XIX, esses levantamentos passaram a
ser realizados por juízes de paz e chefes de polícia dos municípios, mais com fins
eleitoreiros, constituindo-se as paróquias, a base para as informações.
Com o advento da República, a produção das estatísticas dispersou-se nas
esferas Federal, Estadual e Municipal, quase impossibilitando a unificação dos
resultados e dificultando as análises estatísticas.
Ainda de acordo com o Calendário, foi criado, em 1907, o Conselho Superior
de Estatística, com vistas à padronização de conceitos e apuração de resultados em
todo o território nacional.
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Em 1934, foi criado o Instituto Nacional de Estatística, que só passou a existir
de fato em 1936, mudando em 1938 para Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística - IBGE, quando os serviços geográficos foram a ele vinculados. Foi a
partir de 1940 que se iniciaram os "modernos censos" decenais, não ocorrendo
apenas o de 1990 (foi adiado para 1991), devido à "falta de recursos" alegada pelo
Governo Collor. Antes disso ocorreram os de 1872, 1890, 1900 e 1920.
Hoje ele é chamado de Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística - IBGE, sendo integrante da Administração Federal, subordinado
diretamente à Secretaria de Planejamento e Coordenação Geral da Presidência da
República - SEPLAN/PR, tendo seu Estatuto sido aprovado pelo Decreto número
97.434 de 05 de janeiro de 1989.
Suas finalidades básicas são "a pesquisa, a produção, a análise e a difusão
de informações e estudos de natureza estatística, geográfica, cartográfica,
geodésica, demográfica e sócio-econômica, de recursos naturais e de condições do
meio ambiente, necessárias ao conhecimento da realidade física, humana,
econômica e social, com vistas, especialmente, à execução de programas e projetos
de desenvolvimento nacional”.
Seu principal veículo de comunicação é a Revista Brasileira de Estatística RBEs, que a partir de 1995 passou a contar com a colaboração da Associação
Brasileira de Estatística, no sentido de indicar editores para a Revista, bem como
buscar bons artigos aplicados para serem submetidos à Associação.
A Associação Brasileira de Estatística - ABE acima referida, é uma das mais
importantes entidades da Estatística existentes no país, na atualidade, tendo como
principal finalidade "promover o desenvolvimento, a disseminação e aplicação da
Estatística". Para tanto, realiza, regularmente, as seguintes atividades:
a) edição quadrimestral de um Boletim, com vistas a promover uma troca de
informações entre os associados, divulgação de suas atividades e fórum de debates
para questões importantes;
b) edição da Revista Brasileira de Probabilidade e Estatística - REBRAPE, de
nível internacional, com todos os artigos publicados em inglês.
c) promoção e realização de Reuniões Regionais, onde temas de interesse de
grupos locais são discutidos, através de painéis, conferências, mini-cursos, debates,
etc.
d) coordenação e realização, a cada dois anos, do Simpósio Nacional de
Probabilidade e Estatística - principal fórum de debates da comunidade ligada à
Estatística, na atualidade.
e) Outras atividades.
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O primeiro curso de Inferência dado no Brasil, ocorreu em 1947, baseado no
livro de Cramer, muito embora somente em 1953 duas Escolas iniciaram o ensino de
Estatística no Brasil: uma, a Escola Nacional de Ciências Estatísticas - ENCE, criada
pelo IBGE nesse mesmo ano, com vistas a contribuir no cumprimento de sua missão
institucional. A outra, também fundada em 1953 e mantida pela Fundação Visconde
de Cairú, era a Escola de Estatística da Bahia.
Em julho de 1955, o Brasil teve a honra de receber Sir Ronald Aylmer Fisher,
que veio participar do 2° Congresso Internacional de Biometria, realizado em
Campinas.
Em 1961, Jerzy Neyman permanece por um mês em São Paulo, onde propôs
a criação de um Departamento de Estatística na Universidade de São Paulo - USP.
Em 1970, O Instituto de Matemática Pura e Aplicada - IMPA (Rio de Janeiro),
a Universidade Estadual de Campinas e a Universidade Federal do Rio de Janeiro
iniciaram a formação de grupos de pesquisa em probabilidades, constituindo-se num
dos grandes passos para a criação de outros cursos nessa área.
A proposta de Jerzy na USP foi concretizada onze anos depois, em 1972,
com a criação do Departamento de Estatística e o Curso de Bacharelado em
Estatística, formando sua primeira turma em 1975. A finalidade básica do
Bacharelado era "formar o profissional em Estatística para atuar junto a empresas
públicas e privadas ou que pretendam prosseguir estudos acadêmicos nos cursos
de pós-graduação".
Conforme correspondência da ABE, datada de 8 de dezembro de 1992,
existem 25 Universidades em todo o país com cursos de graduação e pósgraduação em Estatística. De acordo com levantamento feito, esses cursos
correspondem a 25 de graduação, 6 de mestrado (USP, UFRJ, UFMG, UFPE,
UNICAMP, UNB), 1 de doutorado (USP) e alguns de Especialização, como o da
UFRN e o da UFSCar, muito embora seja em Estatística Aplicada, como é o caso de
outros mestrados não registrados aqui.
O ensino de Estatística é hoje obrigatório em quase todos os cursos das
Universidades espalhadas pelo país, com pouquíssimas exceções, como é o caso
dos cursos de graduação em Direito, Filosofia e Letras. Um dos temas
predominantes nos debates desenvolvidos atualmente se concentra exatamente no
ensino, notadamente em cursos onde o conhecimento em matemática é menos
profundo. A pauta constante é a dificuldade de se transmitir o método estatístico a
esses cursos, sem o rigor matemático que eles exigem.
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Capítulo 2
Fundamentos e Fases do Método Estatístico
2.1- OBJETIVO DO CAPÍTULO
O objetivo deste capítulo é apresentar os fundamentos e fases do método
estatístico, conceitos básicos que serão estudados ao longo do curso, o método
estatístico de pesquisa, coleta de dados, entre outros.
2.2- MÉTODO CIENTÍFICO - Relação entre o projeto de pesquisa e o papel da
estatística
A estatística tem tido uma longa e estreita relação com a filosofia da ciência e
sua epistemologia, embora a estatística, frequentemente tem sido modesta na sua
extensão e pragmática na sua atitude. A estatística é a tecnologia da ciência e,
portanto, a estatística deve estar presente desde o início da pesquisa. A Figura 1
mostra a produção do conhecimento científico, a Figura 2, à relação entre o projeto
de pesquisa e o papel da estatística.
A roda do conhecimento científico
O papel da estatística
Teorias
Generalizaçõe
s
Parâmetros
populacionais
Hipóteses
Observações
Inferência
Estatística
Hipóteses
Amostras
Estimadores
Dados
Estimativas
Figura 1: A produção do conhecimento científico
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O projeto de pesquisa
O papel da estatística
Conceitualização do objeto de pesquisa
1. Definição do objeto de pesquisa
2. Situação dos conhecimentos
3. Modelo teórico e hipóteses ou
questões da pesquisa
Escolha de uma
estratégia de pesquisa
4.a) Modelo de pesquisa escolhido
4.b) Validade do modelo
Planificação operacional da
pesquisa
5) população estudada
6) definição das variáveis e coleta de dados
7) Análise de dados
8) Cronograma e orçamento
9) Pertinência da pesquisa
10) Respeito às regras éticas
A estatística ajuda a
operacionalizar as
hipóteses
ou questões de pesquisa
Por estratégia de pesquisa
entende-se a integração e
articulação do conjunto das
decisões a serem tomadas, para
apreender de maneira coerente
a realidade empírica, a fim de
testar de maneira rigorosa as
hipóteses ou questões de
pesquisa
A estatística ajuda na definição da
população a ser estudada, na
definição das variáveis, na coleta
de dados e na análise.
Figura 2. Esquema de um projeto de pesquisa
2.3 – MODELO TEÓRICO
Uma teoria é uma explicação sistemática dos fenômenos observados e das
leis relativas a eles. Uma teoria se expressa pelos enunciados das relações que
existem entre os conceitos. O modelo teórico escolhido deve então propor uma
solução original para a situação problemática que constitui o objeto do estudo
projetado, caso já exista é possível que seja preciso adaptá-lo e modificá-lo. Quando
não existe um modelo teórico o pesquisador deve propor um que integre a situação
dos conhecimentos e as suas próprias observações.
A qualidade de um modelo teórico reside na sua capacidade de dar
conta dos fenômenos observados no mundo empírico.
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2.4 - Formulação das hipóteses ou questões de pesquisa
Hipóteses. Uma hipótese é um enunciado formal das relações esperadas
entre pelo menos uma variável independente e uma variável dependente. Nas
pesquisas exploratórias, as hipóteses podem se tornar questões de pesquisa. Estas
questões pela sua especificidade, devem dar testemunho do trabalho conceitual
efetuado pelo pesquisador e, pela sua clareza, permitir uma resposta interpretável.
As hipóteses devem ser formuladas na forma de uma relação a ser verificada
entre, pelo menos, duas variáveis e não em termo de uma hipótese nula, impossível
de verificar, como no caso seguinte:
“Os programas de diagnóstico de câncer do pulmão por radiografia
não diminuem a mortalidade por câncer de seio”
As hipóteses de uma pesquisa devem enunciar-se por propostas claras e
específicas quanto possível, como, por exemplo:
“Os programas de diagnóstico de câncer do seio por mamografia
diminuem em um terço o risco de mortalidade por este câncer”
“A intenção de utilizar preservativo é associada positivamente à
presença de normas sociais aprovando a adoção desse comportamento”.
Em um mesmo estudo pode haver mais de uma hipótese e estas podem se
relacionar de diferentes formas.
2.5 - FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO
Direta (primária)
1) Coleta de dados
Descritiva
ou
Dedutiva
Indireta (secundária)
2) Organização
dos dados
Crítica
Apuração
Interna e/ou externa
manual e/ou
eletrônica
Estatística
3) Descrição dos
dados
Indutiva ou
inferencial
contínua
periódica
ocasional
gráficos
tabelas
4) Análise e interpretação dos dados
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2.5.1 - ESTATISTICA INDUTIVA: (INFERÊCIA ESTATISTICA)
Se uma amostra é representativa de uma população, conclusões importantes
sobre a população podem ser inferidas de sua análise.
À parte da estatística que trata das condições sob as quais essas inferências
são válidas chama-se estatística indutiva ou inferência estatística.
Mas, em nosso corso daremos ênfase à estatística descritiva.
2.5.2 - ESTATÍSTICA DESCRITIVA
É a parte da Estatística que procura somente descrever e avaliar certo grupo,
sem tirar quaisquer conclusões ou inferências sobre um grupo maior.
A Estatística descritiva pode ser resumida no seguinte diagrama:
Definição
do
problema
Planejamento
Coleta
de
dados
Críticas
dos
dados
Apresen
tação
dos
DD
dados
Tabelas
e/ou
gráficos
Análise do
Resultado
a) Coleta dos dados:
Após a definição do problema a ser estudado e o estabelecimento do
planejamento da pesquisa, o passo seguinte é a coleta de dados. A coleta de dados
pode ser direta ou indireta.
A coleta é direta quando feita sobre elementos informativos de registros
obrigatórios, como os nascimentos, casamentos e óbitos, a importação ou
exportação de mercadorias etc.
A coleta direta de dados pode ser classificada relativamente ao tempo em:
• Contínua – quanto feita continuamente sem ser interrompido tal como a de
nascimento e óbitos e outros
• Periódica - quando feita em intervalos constantes de tempo, como os censos
(de 10 em 10 anos), as avaliações mensais etc.
• Ocasional – quando feita extemporaneamente, a fim de atender a uma
conjuntura ou a uma emergência, como no caso de epidemias que assolam
ou dizimam rebanhos inteiros.
A coleta é indireta quando é inferida de elementos conhecidos (coleta direta)
e/ou do conhecimento de outros fenômenos relacionados com o fenômeno
estudado. Como exemplo, podemos citar a pesquisa sobre a mortalidade infantil,
que é feita através de dados colhidos por uma coleta direta.
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Crítica dos dados:
Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente criticados, à procura de
possíveis falhas, imperfeições e erros, afim de não incorrermos em erros grosseiros
ou de certo vulto, que possam influir sensivelmente nos resultados.
A crítica é externa quando vida as causas dos erros por parte do informante,
por distração ou má interpretação das perguntas que lhe foram feitas; é interna
quando visa observar os elementos originais dos dados da coleta.
b) Apresentação dos dados.
Após a crítica dos dados convém organizá-los de maneira prática e racional,
para melhor entendimento do fenômeno que se está estudando. A apresentação dos
dados pode ser feita por meio de tabelas e/ou gráficos. Utilizaremos o software
Excel como recurso computacional para este curso, mas fica ao estudante o papel
de não ficar restrito ao uso dele, podendo estar paralelamente fazendo estudos de
outros softwares adequados para a apresentação de dados de uma amostra
estatística.
c) Análise dos resultados
Como já dissemos, o objetivo último da Estatística é tirar conclusões sobre o
todo (população) a partir de informações fornecidas por parte representativa do todo
(amostra). Assim, realizadas as fases anteriores, fazemos uma análise dos
resultados obtidos, através dos métodos da Estatística Indutiva ou Inferencial, que
tem por base a indução ou inferência, e tiramos desses resultados conclusões e
previsões.
2.6 - Exercícios Propostos
1) Para você o que é coletar dados?
2) Para que serve a crítica dos dados?
3) Como podem ser apresentados ou expostos os dados?
4) Cite três ou mais atividades do planejamento empresarial, social, educativo,
psicológico em que a Estatística se faz necessária?
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Capítulo 3
População, Amostras e Variáveis.
3.1- OBJETIVO DO CAPÍTULO
Nosso objetivo nesse capítulo é de apresentar as primeiras noções de
conceitos estatísticos. Inicialmente começaremos com o estudo de variáveis,
população, amostra e amostragem. Apresentaremos uma tabela de números
aleatórios gerada pela Excel, bem como a sua utilização dentro do estudo de
Estatística. Desta maneira esperamos que o estudante comece a se familiarizar com
os conceitos utilizados na disciplina de Estatística.
3.2 - VARIÁVEIS:
Quanto à sua origem, as variáveis ou observações podem ser obtidas de:
•
•
Respostas de Pesquisas. Quem aplica a pesquisa não tem nenhum controle
intencional sobre os fatores que influenciaram as respostas: a contagem de
habitantes de um país, o cadastro de clientes de um banco, a aceitação de
um produto por um determinado tipo de consumidor, aplicação de testes
psicológicos, avaliações, etc.
Respostas por Experimentos. Quem aplica o experimento tem controle
intencional sobre os fatores que influenciam as respostas: o teste de
estabilidade de produtos perecíveis frente a diferentes valores de temperatura
e umidade, o desgaste de componentes de equipamentos mecânicos em
condições especificadas, etc.
Unidade elementar é qualquer pessoa, objeto ou coisa que faça parte de uma
população.
Dado é o resultado de investigação, cálculo ou pesquisa.
Variável é toda característica que pode assumir diversos valores conforme a
pessoa, objeto ou coisa.
As respostas de uma pesquisa ou um experimento são a matéria-prima da
análise estatística em que os dados ou observações são obtidos medindo as
características de uma pessoa, objetos ou coisa. O conjunto dessas respostas ou
observações forma uma unidade elementar, que em geral, está composta de uma ou
mais características denominadas variáveis.
a) Variável qualitativa: quando seus valores são expressos por atributos: sexo
(masculino-feminino), cor da pele (branca, preta, amarela, vermelha, parda) etc.;
b) Variável quantitativa: quando seus valores são expressos em números (salários
dos operários, idade dos alunos de uma escola etc.). Uma variável quantitativa pode
ser:
15
•
Contínua: É aquela que pode assumir qualquer valor numa escala de valores e
resulta freqüentemente de uma medição sendo usada em geral, em alguma
forma de medida, e se trata geralmente de valor aproximado. As medidas de
comprimento, peso, altura, volume, etc. são exemplos típicos de variável
contínua. Resumindo, pode-se dizer que variáveis contínuas são aquelas que
podem assumir qualquer valor, em um conjunto / intervalo de valores: peso,
altura, velocidade, tempo, etc.
•
Discreta: é aquela que pode assumir apenas um conjunto limitado de valores em
qualquer escala de medida e, em geral inteiros, sendo obtida mediante alguma
forma de contagem. É uma variável cujos valores podem ser todos relacionados.
Uma variável é discreta quando assume alguns valores dentro de certo intervalo.
A produção diária de carros de uma fábrica de automóveis, é teoricamente um
número inteiro de carros. O número de funcionários de uma empresa só pode ser
um número inteiro, não pode ser fracionado. O número de filhos de um casal. O
resultado de um sorteio. O número de habitantes de uma cidade. O número de
alunos de uma sala de aula. O número de veículos faturados por uma empresa e
quantidade vendida de um produto X, são exemplos de variáveis discretas.
3.3 - POPULAÇÃO
É o conjunto de objetos, pessoas, coisas ou itens que apresentam certa
característica em comum. A população não se limita, apenas às pessoas, mas sim a
todos os conjuntos com características próprias: produção, vendas, salários,
população de uma cidade, etc. O conjunto pode ser finito ou infinito conforme o
número de seus elementos.
a) População Finita:
É aquela que se consegue enumerar todos os elementos que a formam.
Refere-se a um universo limitado em uma dada unidade de tempo. Exemplificando
pode-se dizer que a quantidade de automóveis produzidos por uma fábrica por mês,
a população de uma cidade, o número de alunos de uma sala de aula são exemplos
de uma população finita.
b) População Infinita:
É aquela cujos elementos não podem se contados. Refere-se a um universo
não delimitado. Os resultados (cara ou coroa) obtidos em sucessivos lances de uma
moeda, o conjunto de números inteiros, reais ou naturais são exemplos de
populações infinitas.
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3.4 - AMOSTRA
Amostra é o subconjunto de unidades elementares selecionadas de uma população.
3.5 - AMOSTRAGEM
A amostragem é uma ferramenta que permite a você analisar um subconjunto
de uma população, objetivando levantar informações sobre fatos relativos a esse
subconjunto, com a intenção de inferir o comportamento da população. A amostra é
uma parte, um subconjunto de um espaço amostral. Uma amostra deve reunir
características básicas de uma população. A amostragem permite recolher
amostras, e ainda garante, tanto quanto possível, o acaso na escolha.
Desta forma, cada elemento da população passa a ter a mesma chance de
ser escolhido, o que garante à amostra o caráter de representatividade, e isto é
muito importante, pois, como vimos, nossas conclusões relativas à população vão
estar baseadas nos resultados obtidos nas amostras dessa população.
A importância de uma amostra está na avaliação de grandezas
desconhecidas de uma população e a qualidade desta avaliação depende
basicamente da representatividade da amostra e a representatividade de uma
amostra depende de sua capacidade de reproduzir as características básicas de sua
população. Muito provavelmente você não será capaz de entrevistar toda uma
população de pessoas ou examinar todo um conjunto de objetos, então você se
orienta por um pequeno grupo retirado de uma população / conjunto.
Você vai inferir o comportamento da população com base nos resultados
descritos da amostra. Uma amostra é uma parte integrante de uma população e a
diferença básica entre os conceitos de amostra e população é que a amostra
representa parte do todo, enquanto a população representa o todo. Mas à medida
que o tamanho da amostra for crescendo, tais informações vão se tornando cada
vez mais verdadeiras.
Diversos fatores justificam os trabalhos com amostras, no lugar de estudar a
respectiva população, entre os quais, destacam-se:
•
•
•
Custo: as despesas com operacionalização estatística da população são
geralmente bem maiores que com a averiguação de uma amostra.
Velocidade: as pesquisas realizadas com amostras são mais rápidas, em
virtude de conter um menor número de unidades.
Praticidade: conforme o próprio conceito, às vezes, a dimensão da
população tornas as pesquisas impraticáveis.
3.5.1 - Amostragem casual ou aleatória simples:
É o processo mais elementar e freqüentemente utilizado. É equivalente a um
sorteio lotérico. Pode ser realizada numerando-se a população de 1 a n e sorteandose, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, x números dessa
seqüência, os quais corresponderão aos elementos pertencentes à amostra.
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Exemplo1: Queremos realizar uma pesquisa de opinião sobre a qualidade de um
curso universitário, que tem cerca de 1000 alunos, perguntando aspectos relativos
ao encadeamento das disciplinas no currículo. Decidimos utilizar amostragem
aleatória simples para selecionar os respondentes. Este método de amostragem é o
mais apropriado? Justifique
Exemplo 2: Vamos obter uma amostra, de 10%, representativa para a pesquisa da
estatura de 90 alunos de uma escola:
1º parte - numeramos os alunos de 1 a 90.
2º parte - escrevemos os números dos alunos, de 1 a 90, em pedaços iguais de
papel, colocamos na urna e após misturar retiramos, um a um, nove números que
formarão a amostra.
Observação: quando o número de elementos da amostra é muito grande, esse tipo
de sorteio torna-se muito trabalhoso. Neste caso utiliza-se uma Tabela de números
aleatórios, construída de modo que os dez algarismos (0 a 9) são distribuídos ao
acaso nas linhas e colunas. (tabela gerada pelo Excel).Veja a seguir:
TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS
9
4
5
4
4
0
6
8
3
8
2
0
3
5
1
0
7
2
1
8
3
4
6
8
1
4
5
6
4
9
7
3
6
4
9
3
2
3
8
4
4
0
7
0
1
3
8
7
1
0
0
8
3
4
7
5
2
2
0
2
3
7
3
8
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Estatística - Teoria e Aplicações.
Prof. Anderson Dias Gonçalves
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5
4
5
6
2
7
7
0
2
6
4
7
4
7
8
0
4
7
8
4
4
7
8
3
1
5
4
0
7
5
3
7
1
7
8
5
0
4
5
5
5
4
2
5
4
8
3
4
5
1
5
6
4
6
3
5
3
7
7
3
2
4
1
7
4
2
6
6
8
6
3
1
1
7
4
8
3
3
1
7
1
7
7
6
6
3
2
9
8
7
7
6
7
8
7
3
2
4
7
0
0
5
8
6
2
4
2
7
8
1
3
3
5
5
5
5
4
0
7
6
1
3
5
9
9
1
7
7
7
7
9
8
3
2
6
5
6
4
4
5
1
1
2
7
8
7
8
2
2
2
1
5
6
2
5
0
4
7
3
5
0
3
3
5
1
7
3
1
2
0
8
7
3
6
4
3
6
2
6
2
9
8
2
2
7
7
7
2
7
8
4
7
9
4
8
8
7
7
4
8
8
3
6
2
7
9
2
7
4
6
4
7
8
9
7
3
1
3
3
4
3
6
8
8
1
6
6
6
1
9
7
3
2
4
3
3
6
6
4
2
8
7
8
6
9
2
0
2
9
8
4
2
3
8
3
3
4
7
1
6
6
0
7
8
8
6
3
3
1
7
2
3
8
8
1
7
2
2
8
7
0
3
5
3
8
6
2
6
3
6
0
9
1
2
1
4
3
4
2
7
3
4
3
7
1
5
5
3
9
5
7
1
3
1
5
6
1
9
5
6
6
1
2
0
2
2
0
5
7
3
3
5
3
2
9
7
3
2
1
9
2
7
6
3
5
8
5
7
7
7
4
6
4
2
4
8
7
8
8
7
1
5
6
9
9
8
1
8
4
1
8
0
2
1
7
7
8
3
6
7
7
3
8
7
4
0
4
6
8
2
2
6
6
1
5
2
18
3.5.2 - Amostragem proporcional estratificada:
Muitas vezes a população se divide em estratos (sub-populações).
Como é provável que a variável em estudo apresente, de estrato em estrato,
um comportamento heterogêneo e, dentro de cada estrato, um comportamento
homogêneo, convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração
tais estratos.
É exatamente isso que fazemos quando empregamos a amostragem
proporcional estratificada, que, além de considerar a existência dos estratos,
obtém os elementos da amostra proporcional ao número de elementos dos mesmos.
Exercício Resolvido:
Supondo que uma sala com 90 alunos, 54 seja do sexo masculino e 36 do sexo
feminino, vamos obter a amostra proporcional estratificada.
São, portanto, dois estratos (sexo masculino e sexo feminino) e queremos
uma amostra de 10% da população. Logo, temos:
a)
Sexo
População
10 %
Amostra
M
54
10 x 54 = 5,4
5
100
F
36
10 x 36 = 3,6
4
100
Total
90
10 x 90 = 9,0
9
100
b) Numeramos os alunos de 01 a 90, sendo que 01 a 54 correspondem a meninos e
de 55 a 90, meninas. Tomando na Tabela de Números Aleatórios a primeira e a
Segunda coluna da esquerda, de cima para baixo, obtemos os seguintes números:
90 48 53 44 47 05 62 82 30 82 23 07 33 58
Temos então: 48 53 44 47 05 - para os meninos;
90 62 82 58 - para as meninas.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Pesquisa – peso dos colegas de sua classe (incluindo você).
Amostra – correspondente a 30 % da população.
Sugestão – faça uso do diário de seu professor e da Tabela dos Números
Aleatórios (5º e 6º colunas, de baixo para cima).
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19
Sexo
M
População
30 %
Amostra
F
Total
2) Em uma escola existem 250 alunos, sendo 35 na 1ª série, 32 na 2ª, 30 na 3ª, 28
na 4ª, 35 na 5ª, 32 na 6ª e 27 na 8ª. Obtenha uma amostra de 40 alunos e
preencha o quadro abaixo.
Séries
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
8ª
Total
População
35
32
30
28
35
32
31
27
250
Cálculo proporcional
Amostra
40
Sugestão: devemos calcular o número de elementos de cada estrato
proporcionalmente ao número de elementos da amostra. Assim, para a 1ª série,
temos:
250
35
40
x
=>
x = 35 x 40 = 5,6 => x = 6.
250
3.5.3 – Amostragem sistemática:
Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há
necessidade de construir o sistema de referência. São exemplos os prontuários
médicos de um hospital, as casas de uma rua, as linhas de produção etc. Nestes
casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um
sistema imposto pelo pesquisador.
Assim, no caso de uma linha de produção, podemos, a cada dez itens
produzidos, retirar um para pertencer a uma amostra da produção diária. Neste
caso, estaríamos fixando o tamanho da amostra em 10 % da população.
Exemplo: Suponhamos uma rua com 900 casas, das quais desejamos obter uma
amostra formada por 50 casas para uma pesquisa de opinião. Podemos, neste caso,
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20
usar o seguinte procedimento: como 900/50 = 18 escolhemos por sorteio casual um
número de 01 a 18, o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os
demais elementos seriam periodicamente considerados de 18 em 18. Assim, se o
número sorteado fosse o 4, tomaríamos, pelo lado direito da rua, o 4º prédio, o 22º,
o 40º etc., até voltarmos ao início da rua, pelo lado esquerdo.
Exemplo 2: Uma operadora telefônica pretende saber a opinião de seus assinantes
comerciais sobre serviços na cidade de Divinópolis. Supondo que há 25037
assinantes comerciais, e a amostra precisa ter no mínimo 800 elementos, mostre
como seria organizada uma amostragem sistemática para selecionar os
respondentes.
3.5.4 – Amostragem por conglomerados (ou agrupamentos):
Algumas populações não permitem, ou tornam extremamente difícil que se
identifiquem seus elementos. Não obstante isso pode ser relativamente fácil
identificar alguns subgrupos da população. Em tais casos, uma amostra aleatória
simples desses subgrupos (conglomerados) pode ser colhida, e uma contagem
completa deve ser feita para o conglomerado sorteado. Agrupamentos típicos são
quarteirões, famílias, organizações, agências, edifícios etc.
Exemplo 1: Num levantamento da população de determinada cidade, podemos
dispor do mapa indicando cada quarteirão e não dispor de uma relação atualizada
dos seus moradores. Pode-se, então, colher uma amostra dos quarteirões e fazer a
contagem completa de todos os que residem naqueles quarteirões sorteados.
Exemplo 2: Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (PNAD) do IBGE. Coleta
informações demográficas e sócio-econômicas sobre a população brasileira. Utiliza
amostragem por conglomerados.
Primeiro estágio: Amostras de municípios (conglomerados) para cada uma das
regiões geográficas do Brasil.
Segundo estágio: Setores censitários sorteados em cada município (conglomerado
sorteado);
Terceiro estágio: domicílios sorteados em cada setor censitário.
3.5.5 – Amostragem Acidental:
Trata-se de uma amostra formada por aqueles elementos que vão
aparecendo, que são possíveis de se obter até completar o número de elementos da
amostra. Geralmente utilizada em pesquisas de opinião, em que os entrevistados
são acidentalmente escolhidos.
Exemplo: Pesquisas de opinião em praças públicas, ruas de grandes cidades.
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21
3.5.6 – Amostragem Intencional:
De acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente um grupo
de elementos que irão compor a amostra. O investigador se dirige intencionalmente
a grupos de elementos dos quais deseja saber a opinião.
Exemplo: Numa pesquisa sobre preferência por determinado cosmético, o
pesquisador se dirige a um grande salão de beleza e entrevista as pessoas que ali
se encontram.
3.5.7 – Amostragem por Quotas:
Um dos métodos de amostragem mais comumente usados em levantamentos
de mercado e em prévias eleitorais. Ele abrange três fases:
1ª - classificação da população em termos de propriedades que se sabe, ou
presume, serem relevantes para a característica a ser estudada;
2ª - determinação da proporção da população para cada característica, com base na
constituição conhecida, presumida ou estimada, da população;
3ª - fixação das quotas para cada entrevistador a quem tocará a responsabilidade de
selecionar entrevistados, de modo que a amostra total observada ou entrevistada
contenha a proporção e cada classe tal como determinada na 2ª fase.
Exemplo Resolvido:
Numa pesquisa sobre o “trabalho das mulheres na atualidade”, provavelmente se
terá interesse em considerar: a divisão cidade e campo, a habitação, o número de
filhos, a idade dos filhos, a renda média, as faixas etárias etc. A primeira tarefa é
descobrir as proporções (porcentagem) dessas características na população.
Imagina-se que haja 47 % de homens e 53 % de mulheres na população. Logo,
uma amostra de 50 pessoas deverá Ter 23 homens e 27 mulheres. Então o
pesquisador receberá uma “quota” para entrevistar 27 mulheres. A consideração de
várias categorias exigirá uma composição amostral que atenda ao n determinado e
às proporções populacionais estipuladas.
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22
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Uma escola de ensino fundamental abriga 124 alunos. Obtenha uma amostra
representativa correspondendo a 15 % da população. (Sugestão: usem a 8º, 9º e
10º colunas, a partir da 1ª linha, da Tabela de Números Aleatórios de cima para
baixo.).
2) Em uma escola há oitenta alunos. Obtenha uma amostra de doze alunos.
(Sugestão: decida em conjunto o uso da Tabela de Números Aleatórios).
3) O diretor de uma escola, na qual estão matriculados 280 meninos e 320 meninas,
deseja-se de conhecer as condições de vida extra-escolar de seus alunos e não
dispondo de tempo para entrevistar todas as famílias, resolveu fazer um
levantamento, por amostragem, em 10 % dessa clientela. Obtenha, para esse
diretor, os elementos componentes da amostra.
4) Uma cidade X apresenta o seguinte quadro relativo às suas escolas de 1º grau:
Escolas
A
B
C
D
E
F
Total
Número de Estudantes
Masculino
Feminino
80
95
102
120
110
92
134
228
150
130
300
290
876
955
Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 estudantes.
5) Uma população encontra-se dividida em três estratos, com tamanhos,
respectivamente, n 1 = 40, n 2 = 100 e n 3 = 60. Sabendo que, ao ser realizada uma
amostragem estratificada proporcional, nove elementos da amostra foram retirados
do 3º estrato, determine o número total de elementos da amostra.
6) Consulte uma revista Veja recente, identifique, na seção Números, os informes
estatísticos ali expressos.
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CAPÍTULO 4
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
4.1 - OBJETIVO DO CAPÍTULO
O objetivo deste capítulo é estudar a forma pela qual podemos descrever os
dados estatísticos resultantes de variáveis quantitativas, como é o caso das notas
obtidas pelos alunos de uma classe, estaturas de um conjunto de pessoas, salários
recebidos pelos operários de uma fábrica etc. Desta maneira espera-se que o
estudante de estatística possa organizar de maneira adequada os dados coletados
de uma população.
4.2 – TABELAS DE FREQÜÊNCIA DE DADOS QUANTITATIVOS DISCRETOS.
Iniciamos este tema com a construção de tabelas de freqüência de uma
amostra de dados quantitativos discretos que, em geral, medem contagens
representadas por números positivos o,1,2,3,...,n, por exemplo o número de pessoas
atendidas em um determinado período de tempo, o número de transações
financeiras realizadas pela internet em um determinado banco, a quantidade de
peças defeituosa de um lote de produção, etc. Depois será tratada a construção de
uma tabela de distribuição de freqüência com dados contínuos que podem assumir
qualquer valor do conjunto de números reais, por exemplo, o peso dos alunos de
uma sala do curso primário, vendas diárias de uma empresa, o consumo mensal de
energia elétrica, a rentabilidade diária das ações mais negociadas na Bolsa de
Valores.Embora essa classificação dados quantitativos pareça fácil, a separação
entre discretas e contínuas nem sempre é clara.
4.2.1-Tabelas de freqüências absolutas
A freqüência do valor de uma variável é o número de repetições desse valor.
A tabela de freqüências absolutas de uma variável é uma função formada pelos
valores da variável e suas respectivas freqüências; conhecidas também pelo nome
de distribuição de freqüências absolutas.
Considere o exemplo abaixo. Construa uma tabela de freqüências absolutas do
número de operações fechadas por dia pelo operador B.
Exemplo 1: O gerente do departamento de uma instituição financeira deseja
analisar o número diário de operações fechadas nos últimos dois anos por um
operador de seu departamento de operações de ações na Bolsa de Valores. Na
tabela a seguir foi registrada uma amostra probabilística simples de tamanho 26,
extraída das operações diárias fechadas pelo Operador B nos últimos dois anos. O
objetivo é obter as possíveis conclusões dos registros dessa tabela.
24
14
13
12
14
13
15
11
13
12
12
13
14
16
13
14
14
14
13
15
15
17
16
Operações fechadas por dia
Freqüências Absolutas
11
12
13
14
15
16
17
Total
2
5
6
7
3
2
1
26
14
12
11
13
Observando a tabela acima, que conclusões podemos chegar?
A tabela de freqüências absolutas resume uma série de valores numéricos em
uma simples classificação de freqüências muito útil para descrever características
importantes do conjunto de dados da amostra. As duas tabelas de freqüências
seguintes possibilitam incluir outras características não mostradas pela primeira
tabela.
4.2.2-Tabelas de freqüências relativas
A tabela de freqüência dada acima agrupa valores absolutos que permitem
chegarmos a conclusões como, em cinco dias da amostra, o Operador B fechou 12
operações. Esse tipo de resultado não permite avaliar, por exemplo, se essa
freqüência doze é alta ou baixa, pois nesse resultado não há nenhuma informação
sobre o tamanho da amostra. Conseguiremos extrair mais informação da variável se
suas freqüências forem expressas como porcentagem do tamanho da amostra.
A freqüência relativa do valor de uma variável é o resultado de dividir sua
freqüência absoluta pelo tamanho da amostra.
A tabela de freqüências relativas de uma variável é uma função formada pelos
valores da variável e suas respectivas freqüências relativas; conhecidas como
distribuição de freqüências relativas.
Continuando com o exemplo 1. Construa a tabela de freqüências relativas da
variável número de operações por dia pelo Operador B e, depois analise a tabela.
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25
Operações
fechadas por dia
11
12
13
14
15
16
17
Total
Freqüências
Absolutas
2
5
6
7
3
2
1
26
Freqüências
Relativas
7,69%
19,23%
23,08%
26,92%
11,54%
7,69%
3,85%
100,00%
Um ponto importante que precisa ser ressaltado é que analisando o
procedimento para a construção da distribuição de freqüências relativas observamos
que essa tabela é realizada com os dados registrados na tabela de freqüências
absolutas.
4.2.3-Tabelas de freqüências acumuladas
As distribuições de freqüências absolutas e relativas apresentadas são muito
úteis para organizar e resumir os dados das observações em forma de tabela,
permitindo detectar as características relevantes dos valores da variável amostrada.
Em alguns casos, o interesse da análise reside em conhecer os valores da variáveis
menores ou maiores que um determinado valor, por exemplo, o número de dias que
o Operador B fechou menos do que 15 operações por dia, etc.
A freqüência acumulada do valor de uma variável é a soma das freqüências
absolutas ou relativas desde o valor inicial da variável.
A tabela de freqüências acumuladas ou distribuição de freqüências acumuladas de
uma variável é uma função formada pelos valores da variável e suas respectivas
freqüências acumuladas.
Continuando com o Exemplo1. Construa a tabela de freqüências acumuladas da
variável número de operações fechadas por dia pelo Operador B.
Operações
fechadas por dia.
11
12
13
14
15
16
17
Freqüências acumuladas
Absolutas
Relativas
2
7,69%
7
26,92%
13
50,00%
20
76092%
23
88,46%
25
96,15%
26
100,00%
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4.3-TABELAS DE FREQÜÊNCIAS DADOS QUANTITATIVOS CONTÍNUOS
A construção das tabelas de freqüências do Exemplo 1 foi relativamente fácil,
pois dados os dados da variável são quantitativos discretos, que resultam de
contagens, com uma quantidade pequena de observações e a maior parte delas
repetidas. Entretanto, se os dados da variável forem contínuos, que resultam de
medições que podem ter grande precisão, a aplicação do procedimento anterior será
trabalhosa e de baixa eficiência, pois poucos, ou até nenhum dos dados poderão
apresentar freqüências. Nesse caso, o procedimento adequado para variáveis com
valores contínuos é trabalhar com classes de valores. O método começa pela
definição da quantidade, dos limites e da amplitude das classes onde serão
selecionados os valores da variável.
Na construção da tabela de freqüência, leve em consideração que:
• Não há uma regra para determinar o número de classes, apenas orientações
práticas para o analista. Por exemplo, para uma amostra de tamanho n, a
quantidade de classe k recomendada por ser obtida através de:
• k = n , onde k , representa a quantidade de classes, e n o tamanho da
amostra (número de elementos de uma amostra)
• k = 1 + 3,322 log(n) (chamada de regra de Sturges)
• Ao trabalhar com classes, a tabela de freqüências não retém a identidade de
cada observação individual, provocando perda de informação. Os valores da
variável são transformados em uma nova variável cujos valores são os limites
dos intervalos de classes.
4.3.1-ELEMENTOS
DE
(com intervalos de classe).
UMA
DISTRIBUIÇÃO
DE
FREQÜÊNCIA:
a) Classes: São os intervalos de variação da variável. As classes são
representadas simbolicamente por i, sendo i = {1, 2, 3,..., K}, onde k é o número
total de classes da distribuição.
b) Limites de classe: São os extremos de cada classe. O menor número é o limite
inferior da classe ( li ) e o maior número, o limite superior da classe (Li). Obs.: Os
intervalos de classe devem ser escritos, em termos de desta quantidade até
menos aquela, empregando, para isso, o símbolo
(inclusão de li e exclusão
de Li , em alguns casos usa-se somente
, para facilitar a escrita)
c) Amplitude de um intervalo de classe (h i): É a medida do intervalo que define a
classe. Assim: hi = Li − li
d) Amplitude total da distribuição (AT): É a diferença entre o limite superior da
última classe e o limite inferior da primeira classe. Assim: AT = L( Max ) − l ( Min )
e) Amplitude amostral (AA): É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo
da amostra. AA = x ( Max ) − x ( Min ) .
f) Ponto médio de uma classe (xi): É o ponto que divide o intervalo de classe em
l + Li
duas partes iguais. Assim: xi = i
2
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27
Decidido o número de classes que deve ter a distribuição, resta-nos resolver o
problema da determinação da amplitude do intervalo de classe, o que conseguimos
dividindo a amplitude total pelo número de classes. Assim temos que:
h≅
AA
k
O exemplo a seguir mostra como proceder para construir tabelas de freqüências
absolutas utilizando classes.
As vendas diárias em milhares de uma empresa estão registradas na tabela a
seguir. O objetivo é construir a tabela de freqüências absolutas e relativas e as
respectivas freqüências acumuladas.
280
365
305
280
320
375
330
380
310
400
340
371
330
390
341
400
369
370
355
401
370
420
360
430
370
Solução:
a) Determinação da quantidade de classes.
Como premissa inicial é conveniente que todas as classes tenham a mesma
largura, denominado também de intervalo ou amplitude de classe (como foi
mostrado acima). A quantidade de classes deve ser ficada de forma que as classes
representem adequadamente a distribuição de valores da variável sob estudo. Um
número pequeno de classes gera amplitude de classes grandes, e vice-versa,
podendo gerar distorções indesejáveis.
Utilizando as regras práticas citadas acima, temos:
k = 25 = 5 ou ainda;
k = 1 + 3,322 log(25) = 5,64
Neste caso fica a critério do analista da amostra qual fica mais conveniente utilizar.
Vamos, para facilitar os cálculos, utilizar k = 5 .
b) Determinação da amplitude das classes.
Os valores máximos e mínimos da amostra são respectivamente. 430 e 280. Logo
temos que:
h≅
AA 430 − 280 150
=
=
= 30
5
5
k
c) Vamos agora preparar a tabela de seleção.
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28
Classes
1
2
3
4
5
Limite Inferior
280
310
340
370
400
Limite Superior
310
340
370
400
430
d) Seleção dos dados e construção das tabelas de freqüências.
Classes
280 – 310
310 – 340
340 – 370
370 – 400
400 – 430
Total
Freqüências
absolutas
3
4
6
7
5
25
Freqüências
relativas
12%
16%
24%
28%
20%
100%
Freqüências
acum. abs.
3
7
13
20
25
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Freqüências
acum. rel.
12%
28%
52%
80%
100%
29
4.4 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Utilizando as notas obtidas por 50 alunos de uma classe de 7ª série, construa
uma tabela de freqüência absoluta, relativa e acumulada e responda:
1
2
2
2
2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
9
9
9
Amplitude amostral.
Amplitude da distribuição.
O número de classes.
O limite inferior da quarta classe.
O limite superior da classe de ordem 2.
Amplitude do segundo intervalo de classe.
2) Complete a tabela abaixo:
i
1
2
3
4
5
6
Estaturas (cm)
150
154
154
158
158
162
162
166
166
170
170
174
fi
4
9
11
8
5
3
Σ = 40
xi
fri
Fi
Fri
Σ=
Calcule:
a)
b)
c)
d)
Quantos alunos têm estatura entre 154 cm, inclusive, e 158 cm?
Qual a percentagem de alunos cujas estaturas são inferiores a 154 cm?
Quantos alunos têm estatura abaixo de 162 cm?
Quantos alunos têm estatura não-inferior a 158 cm?
3) Dada a tabela abaixo referente aos pontos dos 50 alunos em um teste da SEEMG, faça a distribuição de freqüência preenchendo a tabela.
Estatística - Teoria e Aplicações.
Prof. Anderson Dias Gonçalves
30
21,0
23,5
24,0
27,5
29,2
21,5
23,0
25,0
28,4
27,4
26,2
24,5
25,4
27,0
28,0
25,2
28,2
26,0
22,8
24,6
27,5
26,6
27,4
27,0
27,4
31,5
26,5
32,5
22,8
29,2
26,0
25,0
25,6
27,8
31,6
28,0
26,2
28,5
24,0
25,5
29,0
31,0
30,0
24,3
27,0
27,2
22,0
25,8
28,0
29,6
4) A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas
de uma empresa de ônibus:
Nº. Acidentes
Nº. Motoristas
0
20
1
10
2
16
3
9
4
6
5
5
6
3
7
1
Determine:
a)
b)
c)
d)
e)
o número de motoristas que não sofreram nenhum acidente;
o número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes;
o número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes;
o número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes;
a percentagem dos motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes.
5) A associação de ex-alunos de uma faculdade patrocina excursões mensais para
associados solteiros. Os registros mostram que nos últimos quatro anos essas
excursões contaram com
28
33
33
40
51
31
22
42
31
41
37
43
38
46
38
41
27
40
36
35
35
36
48
50
33
53
22
31
40
23
36
48
37
33
45
38
28
27
34
33
33
40
26
39
27
30
28
35
ex-alunos associados. Agrupe esses registros numa tabela de distribuição de
freqüência com as classes 20-24; 25-29; 30-34;35-39;40-44;45-49;50-54.
Estatística - Teoria e Aplicações.
Prof. Anderson Dias Gonçalves