Determinantes Triangulares
Principais
ÍNDICE
- DETERMINANTES
São aqueles nos quais todos os elementos acima ou
abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
Seu valor é sempre o produto dos elementos da diagonal principal.
Vandermonde
Determinantes triangulares
Inversa de matrizes
Propriedade dos determinantes
- SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
TESTES
Teorema de Cramer
Sistemas equivalentes
Discussão de sistemas
Sistemas homogêneos
1) Ache os Determinantes:
1
1
1
Para os casos específicos abaixo usamos Vandermonde:
0
4
5
Exemplo 1:
0
0 25
VANDERMONDE
D=
a0
a1
a2
b0
b1
b2
c0
c1
c2
=
1
a
a2
1
b
b2
a)
1
c
c2
b)
D = (b - a) x (c - a) x (c - b)
2
0
0
0
3
3
0
0
5
4
5
0
=
7
2 =
1
6
Exemplo 2:
1
1 1
4 5
4 16 25
c) Para todo n.det. In =
D= 2
D = (4 - 2) x (5 - 2) x (5 - 4)
D=2x3x1
D=6
A Inversa de uma Matriz
Olhemos a questão da inversa de uma matriz sob
três aspectos:
Exemplo 3:
D=
a0
a1
a2
a3
b0
b1
b2
b3
c0
c1
c2
c3
d0
d1
d2
d3
=
- a definição do conceito de inversa;
- a existência da inversa de uma matriz;
- o cálculo da inversa.
Definição
D= ( b – a ) . (c – a) ( c – b ) ( d – a ) ( d – b) ( d – c)
Dada uma matriz A = ( aij)n x n tal que det A
inversa é a matriz A-1 tal que:
, sua
A . A-1 = A-1 . A = In
Exemplo 4:
D=
1
2
4
8
1 1
1
3 4
6
9 16 36
27 64 216
=
D= (3 - 2) x (4 – 2) x (4 – 3) x (6 – 2) x (6 – 3) x (6 – 4)
D= 1 x 2 x 1 x 4 x 3 x 2
TESTES
2 3
02. Verifique que se A = 3
4
então A-1 =
2x2
4
3
3
2
2x2
Existência
D= 48
1
Observe na definição que uma matriz A só tem inversa se seu determinante for diferente de zero. E a
afirmação recíproca é verdadeira, ou seja:
A-1 existe
det A
05. Sendo A, B e C matrizes n x n, com A e B inversíveis, resolva as seguintes equações matriciais:
a) A . X + B = C
0
b) A . X . B = C
Cálculo da Inversa de Matrizes 2 x 2
b e det A
Se A = a
c d 2x2
A-1 =
d
det A
c
det A
b
det A
a
det A
0, então:
c) A . X + B . X = C
(suponha A + B inversível)
2x2
TESTE
03. Calcule:
EQUAÇÃO SUPER IMPORTANTE
1 3 ,
5 2
a) A =
-1
então A =
2x2
det A -1 =
Cálculo da Inversa de Matrizes
n x n (n 2)
2 3
06. Sabendo que A = 0 9
0 0
1
det A
5
2
6
, calcule det A-1.
3x3
Dada um matriz M = (aij)n x n , não singular, o elemento bij de M-1 = (bij)n x n é dado por:
Propriedades dos Determinantes
cofator de aj i
bij =
det M
TESTE
04. Calcule os elementos da 3ª coluna de M-1 sabendo
1 0 2
que M = 2 0 3 .
0 2 1 3x3
Transformações que não alteram
um Determinante
I) O determinante do produto de duas matrizes quadradas, de mesma ordem, é igual ao produto dos determinantes das matrizes. Isto é:
det (A . B) = det A . det B
TESTE
2 3
07. Sendo A = 5
4
calcule det B 2 x 2
2
e sabendo que det (A.B) = 35,
2x2