Nome: _______________________ Ano: 3º Ano do E.M.
Escola: _________________________ Data: __/__/___
3º Ano do Ensino Médio
Aula nº 03
Assunto: Progressões Aritméticas e Geométricas
1. Introdução
Definição: Na Matemática, uma sequência numérica é uma composição numérica definida por uma
certa “lei de formação”. Os elementos ou termos dessa sequência podem ser representados por uma
letra (geralmente a letra ) e um índice que indica a posição ou ordem do elemento na sequência.
Vejamos alguns exemplos:
TERMO GERAL
PARA PENSAR: Se tomarmos os números ímpares naturais como uma sequência, de que maneira podemos
escrever sua lei de formação?
A seguir, veremos duas sequências muito importantes para o estudo da Matemática: as chamadas
progressões aritmética e geométrica.
2. Progressões Aritméticas
Definição: Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada
termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma certa razão constante . O
número é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.
1
PARA PENSAR: Os números das tabuadas representam PAs?
Assim, a diferença entre cada termo e o anterior é sempre constante e igual à razão. Uma PA pode ser
crescente, quando > 0, decrescente, quando < 0, e constante, quando = 0. Por exemplo,
(2, 5, 8, 11, 14) é uma PA de razão =
(2, 2, 2, 2) é uma PA de razão =
(12, 5, -2, -9) é uma PA de razão =
Termo Geral de uma PA: Em uma P.A. ( , , , …, ) de razão , podemos escrever qualquer termo
em função do primeiro, de tal forma a deduzir o termo geral. Observe:
=
=
=
=
+1
+1 →
+1 →
=(
=(
⋮
+ )+ →
+2 )+ →
= +2
= +3
TERMO GERAL DA PROGRESSÃO ARITMÉTICA:
Soma dos n primeiros termos de uma PA: Conta-se que um professor de Matemática mandou aos alunos
de sua turma que somassem de 1 a 100 como forma de castigo. Para sua surpresa, o prodígio matemático
alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) – na época, uma criança – conseguiu resolver tal questão em um
tempo surpreendente. Como isso foi possível?
1 + 2 + 3 + ⋯ + 98 + 99 + 100 =?
2
Exercícios de Sala
1. A sequência numérica (2, 7, 13, ⋯ ) é uma progressão aritmética infinita. Determine:
a)
b)
c)
d)
e)
Sua razão;
O termo geral da P.A.;
Seu 5º termo;
Seu 26º termo;
A soma dos 12 primeiros termos.
2. Determinar o décimo termo de uma PA, sabendo que a soma dos seus 48 primeiros termos é igual a 1.008
e sua razão é = - 2.
Propriedades de uma PA:
Propriedade do termo médio: Em toda PA, dados três termos consecutivos, o termo do meio é a
média aritmética dos outros dois.
Propriedade dos termos equidistantes: Em toda P.A, a soma de dois termos equidistantes dos
extremos é igual à soma dos extremos.
Verifique as propriedades do termo médio e dos termos equidistantes:
(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19)
3
Exercício de Sala
3. Em uma P.A.,
razão .
+
= 10 e
+
= −22, determine o primeiro termo da progressão ( ) e a sua
3. Progressões Geométricas
Definição: Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir
do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão
geométrica. A razão é indicada geralmente pela letra ! (inicial da palavra "quociente").
As PGs podem ser divididas em 5 tipos de acordo com seu primeiro termo e o valor de sua razão:
•
•
•
•
•
Constante: quando ! = 1 ou quando = 0 e ! é um valor qualquer.
Estacionária: quando ≠ 0 e ! = 0.
Oscilante ou Alternante: quando a1 ≠ 0 e q < 0.
Crescente: quando > 0 e ! > 1 ou quando < 0 e 0 < ! < 1.
Decrescente: quando > 0 e 0 < ! < 1 ou quando
< 0 e ! > 1.
Por exemplo,
(1, 2, 4, 8, 16, . . . )
é uma PG ________________ de razão q = ___.
(−8, −4, −2, −1, . . . ) é uma PG ________________ de razão q = ___.
(3, 3, 3, 3)
é uma PG ________________ de razão q = ___.
(81, 27, 9, 3, . . . )
é uma PG ________________ de razão q = ___.
(1, −3, 9, −27, . . . )
é uma PG ________________ de razão q = ___.
4
Termo Geral de uma PG: Dada uma PG ( , , , …, ) de razão !, podemos, assim como para as PAs,
escrever qualquer termo em função do primeiro. Dessa maneira, encontramos o termo geral. Observe:
=
=
=
=
∙ !
∙! →
∙! →
=(
=(
⋮
∙ !) ∙ ! →
∙! )∙! →
=
=
∙ !²
∙ !³
TERMO GERAL DA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA:
Soma dos n primeiros termos de uma PG: A soma dos ' primeiros termos de uma PG, sendo conhecidos o
primeiro termo e a razão !, ! ≠ 1, é dada por:
( =
)* ∙( +,- )
+,
Soma dos termos de uma PG infinita: Pense na PG dada por: a1 = 1 e q = 1/5. Quanto vale o 5º termo
dessa PG? E o 10º? E o 100º? O que se pode notar sobre essa sequência?
Seja ( , , , …, , … ) uma progressão geométrica em que −1 < ! < 1, ou seja, |!| < 1. Note que,
quanto maior for n, menor será ! . Nesse caso, a soma dos infinitos termos da PG é limitada e tende a:
( =
5
)*
+,
Exercícios de Sala
4. Dada a progressão geométrica (3, 9, 27, … ), determine:
a)
b)
c)
d)
e)
Sua razão;
O termo geral da P.G.;
Seu 5º termo;
Seu 8º termo;
A soma dos 6 primeiros termos.
5. Determine a soma dos 10 primeiros termos de uma PG em que o sexto termo é 160 e a razão é 2.
6. Calcular a soma de termos da progressão geométrica infinita / , , 0 , … 1.
Propriedades de uma P.G:
Propriedade do termo médio: Em toda P.G, dados três termos consecutivos, o termo do meio é a
média geométrica dos outros dois.
Propriedade dos termos equidistantes: Em toda P.G, o produto de dois termos equidistantes dos
extremos é igual ao produto dos extremos.
6
Verifique as propriedades do termo médio e dos termos equidistantes:
(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64)
Exercícios de sala
7. Um carro usado é vendido nas seguintes condições: uma entrada de R$5.000,00 e 24
prestações de valores crescentes. A primeira prestação é de R$450,00; a segunda de
R$460,00; a terceira, de R$470,00 e assim sucessivamente. Qual é o valor da última
prestação e o total pago por esse carro?
8. Um empreiteiro contratou a abertura de um poço semiprofundo nas seguintes condições:
recebe R$50,00 pelo primeiro metro de profundidade; R$100,00 pelo segundo; R$200,00
pelo terceiro; R$400,00 pelo quarto metro e assim sucessivamente. Sabendo que o poço terá
10 metros de profundidade, quanto receberá o empreiteiro pelos serviços prestados?
7
Exercícios de Casa
1. O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas
seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36
000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram
vendidas por essa empresa em julho do ano passado?
a) 38 000.
b) 40 500.
c) 41 000.
d) 42 000.
e) 48 000.
2. Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser empilhadas respeitando a seguinte
ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na
pilha. Por exemplo:
1ª pilha
1
2ª pilha
2
3ª pilha
4
4ª pilha
8
5ª pilha
16
Qual a quantidade de tábuas empilhadas na 9ª pilha?
a) 256.
b) 512.
c) 17.
d) 2048.
e) 64.
3. O trabalho em empresas de festas exige dos profissionais conhecimentos de diferentes áreas. Na
semana passada, todos os funcionários de uma dessas empresas estavam envolvidos na tarefa de
determinar a quantidade de estrelas que seriam utilizadas na confecção de um painel de Natal. Um dos
funcionários apresentou um esboço das primeiras cinco linhas do painel, que terá, no total, 150 linhas.
1ª
2ª
3ª
4ª
⋯
150ª
5ª
Após avaliar o esboço, cada um dos funcionários deu uma resposta:
Funcionário I: aproximadamente 200 estrelas.
Funcionário II: aproximadamente 6 000 estrelas.
Funcionário III: aproximadamente 12 000 estrelas.
Funcionário IV: aproximadamente 22 500 estrelas.
Funcionário V: aproximadamente 22 800 estrelas.
Qual funcionário apresentou um resultado mais próximo da quantidade de estrelas necessária?
a) I.
b) II.
c) III.
8
d) IV.
e) V.
4. A sequência (x, - 4, 16, y) é uma P.G. finita. Qual o valor de x + y?
a) 257.
b) – 63.
c) 64.
d) 65.
e) – 65.
5. Ao arrumar seu quintal, Maria resolve enrolar uma mangueira para guardá-la. A primeira volta tem 20
cm e, a partir dela, cada volta é cinco vezes maior. Sabendo-se que são necessárias 3 voltas para enrolar
toda a mangueira, qual é o seu comprimento total?
a) 6,24 m.
b) 7,8 m.
c) 8,0 m.
d) 5,2 m.
e) 6,2 m.
6. Uma herança deve ser dividida em PA de razão R$ 6.000,00 entre 6 irmãos, de modo que o filho mais
velho receba a maior parte, que é R$ 45.000,00. Qual é o valor total da herança e quanto receberá o
filho mais novo?
a) R$ 210.000,00 e R$ 15.000,00.
b) R$ 210.000,00 e R$ 21.000,00.
c) R$ 180.000,00 e R$ 15.000,00.
d) R$ 180.000,00 e R$ 6.000,00.
e) R$ 130.000,00 e R$ 21.000,00.
7. (ENEM 2ª Aplicação 2010) Nos últimos anos, a corrida de rua cresce no Brasil. Nunca se falou tanto no
assunto como hoje, e a quantidade de adeptos aumenta progressivamente, afinal, correr traz inúmeros
benefícios para a saúde física e mental, além de ser um esporte que não exige um alto investimento
financeiro.
Disponível em: http://www.webrun.com.br. Acesso em: 28 abr. 2010.
Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, correndo 3 quilômetros no primeiro dia e
aumentando 500 metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu médico cardiologista autorizou essa
atividade até que o corredor atingisse, no máximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de treino. Se o
atleta cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias
consecutivos, pode-se afirmar que esse planejamento de treino só poderá ser executado em,
exatamente,
a) 12 dias.
b) 13 dias.
c) 14 dias.
d) 15 dias.
e) 16 dias.
Respostas
1. d)
2. a)
3. c)
4. b)
5. e)
9
6. c)
7. d)
Raciocínio Lógico Matemático
Assunto: Potenciação e Radiciação (propriedades)
1. Potenciação
Definição de potenciação: A potenciação é a operação de elevar um número ou expressão a uma dada
potência.
Ex.: 2³ = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 → 2 é a base e 3, o expoente.
Principais propriedades da potenciação:
1)
2)
2
×
)?
=
)2
3) (
4)
=
2+
) =
) 2
/B 1
:;;;;;< 2= × 2 = 2=4 = 2
24
,
2×
5652789
>
5) ( × C)2 =
≠ 0 :;;;;;< 2= ÷ 2 = 2=+ = 2
5652789
:;;;;;< (2 ) = 2
5652789
)?
=2
×
6)
A
0
8)
D
5652789
= 1,
7) 0 = 0,
D
= B? , C ≠ 0 :;;;;;< / 1 = ∙ ∙ ∙ =
>
n
)
+
2
× C 2 :;;;;;< (2 × 5) = 2³ × 5³
5652789
>
≠ 0 :;;;;;< 4 = 1
5652789
> 0 :;;;;;< 0
5652789
= )- = /)1 ,
Obs.: 0 é uma indeterminação matemática e 0 com n negativo não existe.
= 0 × 0 × …× 0 = 0
≠ 0 :;;;;;< 23+ =
5652789
F
2. Radiciação
Definição de radiciação: A radiciação é a operação inversa da potenciação, ou seja, para
J*, tem-se: √ = C ⇔ C =
H C ≥ 0.
-
Ex.: NA = , pois / 1 = A e ≥ 0 → A é o radicando, 2 é o índice (implícito) e
Principais propriedades da radiciação:
1) √ × √C = √ × C :;;;;;< √2 × √5 = √2 × 5 = √10
5652789
-
-
2)
3)
P
√O
√Q
P
-×V
-
F
F
S
)
√R
U
F
F
= NB , C ≠ 0 :;;;;;< S = N = √2
√
2×7
2
4) Z √ [
-
-
-
= √
-
?
5) \ √ =
-
= √
2
7) *√ =
-
2 :;;;;;< WX√5A
5652789
:;;;;;< Z√2[
5652789
F
U
=
√5A÷A = √5
WX÷Y
= √2
F
F
=
√2
F÷F
\ √22 = √22 = √22
√ :;;;;;<
5652789
F D
-∙?
6) √− = − √ ,
-
5652789 √T
F∙D
=4
*W
< 0 H ' ímpar :;;;;;< √−64 = − √64 = −4
:;;;;;< √8 = √2 =
5652789
Obs.: Se
÷
F
F
5652789
√2
F÷F
÷
F
F
= √2 = 2
*
< 0 e n par, √ NÃO EXISTE NO CONJUNTO DOS REAIS.
-
10
≥0H' ∈
é a raiz quadrada de A .
Exercícios de Casa
1. Calcule, detalhando as etapas de cálculo, as seguintes expressões (não é necessário calcular as
potências de base maior que 10 ou raízes inexatas):
a) 3 × 3+ =
b) 2 × 2+ × 2 =
c) 5 ÷ 5 =
d) 4 ÷ 4 =
e) (17 ) =
h) √4 × √2 =
F
F
S
√b
i) S
√cR
Y
j)√6
=
=
k) Z √9[ =
d
l) \ X√8 =
U
m)√−32
=
W
f) / 1 =
g) (2 × 3) =
2. Calcule, detalhando as etapas de cálculo, as seguintes expressões (não é necessário calcular as
potências de base maior que 10 ou raízes inexatas):
a) (2 × 2 )² + (0 ) − (4
÷ 4= ) =
b) [/ 1 × √2 ] + (7+ × 14)+ =
d
c)( √4 × √4 ) ÷ √−8 =
F
F
F
F
W
d) ( √3+ ) + N\4³ − NA =
3. (ENEM 2012 – Adaptado) Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a relação entre
medidas de diferentes partes do corpo humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da
superfície corporal de uma pessoa relaciona-se com a sua massa m pela fórmula g = h. \i², em que k
é uma constante positiva.
Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8, por
quanto será multiplicada a área da superfície corporal?
F
a) √16.
b) 4.
c) √24.
d) 8.
e) 64.
11
4. (ENEM 1ª Aplicação 2010) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado,
existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco
do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação
matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões
lineares. As fórmulas que determinam esses índices são:
jkl =
i mm (hn)
[ opq (i)]²
rjs =
opq
(ti)
\i mm (hn)
F
ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia,
volume 79, nº 1, 2002 (adaptado).
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m², então ela possui RIP igual a:
a) 0,4ti/ F\hn.
b)2,5ti/ F\hn.
c)8ti/ F\hn.
d)20ti/ F\hn.
e)40ti/ F\hn.
12