Capı́tulo 30 - Indutância RODRIGO ALVES DIAS Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF Livro texto: Fı́sica 3 - Eletromagnetismo Autores: Sears e Zemansky Edição: 12a Editora: Pearson - Addisson and Wesley 8 de novembro de 2011 Capı́tulo 30 - Indutância Objetivos de Aprendizagem Ao estudar este capı́tulo você aprenderá: I Como uma corrente variável em uma bobina pode induzir uma fem em outra bobina desconectada. Capı́tulo 30 - Indutância Objetivos de Aprendizagem Ao estudar este capı́tulo você aprenderá: I Como uma corrente variável em uma bobina pode induzir uma fem em outra bobina desconectada. I Como relacionar a fem induzida em um circuito à taxa de variação de corrente no mesmo circuito. Capı́tulo 30 - Indutância Objetivos de Aprendizagem Ao estudar este capı́tulo você aprenderá: I Como uma corrente variável em uma bobina pode induzir uma fem em outra bobina desconectada. I Como relacionar a fem induzida em um circuito à taxa de variação de corrente no mesmo circuito. I Como calcular a energia armazenada em um campo magnético. Capı́tulo 30 - Indutância Objetivos de Aprendizagem Ao estudar este capı́tulo você aprenderá: I Como uma corrente variável em uma bobina pode induzir uma fem em outra bobina desconectada. I Como relacionar a fem induzida em um circuito à taxa de variação de corrente no mesmo circuito. I Como calcular a energia armazenada em um campo magnético. I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor. Capı́tulo 30 - Indutância Objetivos de Aprendizagem Ao estudar este capı́tulo você aprenderá: I Como uma corrente variável em uma bobina pode induzir uma fem em outra bobina desconectada. I Como relacionar a fem induzida em um circuito à taxa de variação de corrente no mesmo circuito. I Como calcular a energia armazenada em um campo magnético. I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor. I Por que ocorrem oscilações elétricas em circuitos que possuem tanto um indutor quanto um capacitor. Capı́tulo 30 - Indutância Objetivos de Aprendizagem Ao estudar este capı́tulo você aprenderá: I Como uma corrente variável em uma bobina pode induzir uma fem em outra bobina desconectada. I Como relacionar a fem induzida em um circuito à taxa de variação de corrente no mesmo circuito. I Como calcular a energia armazenada em um campo magnético. I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor. I Por que ocorrem oscilações elétricas em circuitos que possuem tanto um indutor quanto um capacitor. I Por que as oscilações diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um capacitor. Capı́tulo 30 - Indutância Introdução 1. Uma corrente variável em uma bobina induz uma fem em outra bobina adjacente. Capı́tulo 30 - Indutância Introdução 1. Uma corrente variável em uma bobina induz uma fem em outra bobina adjacente. 2. O acoplamento entre as duas bobinas é descrita pela indutância mútua. Capı́tulo 30 - Indutância Introdução 1. Uma corrente variável em uma bobina induz uma fem em outra bobina adjacente. 2. O acoplamento entre as duas bobinas é descrita pela indutância mútua. 3. Uma corrente variável em uma bobina induz uma fem na propria bobina. Capı́tulo 30 - Indutância Introdução 1. Uma corrente variável em uma bobina induz uma fem em outra bobina adjacente. 2. O acoplamento entre as duas bobinas é descrita pela indutância mútua. 3. Uma corrente variável em uma bobina induz uma fem na propria bobina. 4. A relação entre a corrente e a fem na propria bobina depende da indutância(auto-indutância). Capı́tulo 30 - Indutância Indutância Mútua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. Capı́tulo 30 - Indutância Indutância Mútua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. I Se passarmos uma corrente I1 na bobina 1 o campo magnético gerado por essa bobina será: ~1 B = ~1 B = N1 I1 k̂ 0 ≤ r ≤ R1 L 0 k̂ 0r > R1 µ0 Capı́tulo 30 - Indutância Indutância Mútua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. I Se passarmos uma corrente I1 na bobina 1 o campo magnético gerado por essa bobina será: ~1 B = ~1 B = N1 I1 k̂ 0 ≤ r ≤ R1 L 0 k̂ 0r > R1 µ0 I Seja Φ2(1) → O fluxo magnético ~ 1 sobre as N2 espiras de produzido por B 2(Não nulo dentro de R1 ). Z ~ 1 · k̂dS = N2 B1 (πR 2 ) Φ2(1) = N2 B 1 S2 Capı́tulo 30 - Indutância Indutância Mútua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. I Se passarmos uma corrente I1 na bobina 1 o campo magnético gerado por essa bobina será: ~1 B = ~1 B = N1 I1 k̂ 0 ≤ r ≤ R1 L 0 k̂ 0r > R1 µ0 I Seja Φ2(1) → O fluxo magnético ~ 1 sobre as N2 espiras de produzido por B 2(Não nulo dentro de R1 ). Z ~ 1 · k̂dS = N2 B1 (πR 2 ) Φ2(1) = N2 B 1 S2 Φ2(1) = N1 N2 µ0 (πR12 )I1 L Capı́tulo 30 - Indutância Indutância Mútua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. I Se passarmos uma corrente I1 na bobina 1 o campo magnético gerado por essa bobina será: ~1 B = ~1 B = N1 I1 k̂ 0 ≤ r ≤ R1 L 0 k̂ 0r > R1 µ0 I Seja Φ2(1) → O fluxo magnético ~ 1 sobre as N2 espiras de produzido por B 2(Não nulo dentro de R1 ). Z ~ 1 · k̂dS = N2 B1 (πR 2 ) Φ2(1) = N2 B 1 S2 Φ2(1) = N1 N2 (πR12 )I1 µ0 L Φ2(1) = L21 I1 ; L21 = µ0 N1 N2 (πR12 ) L Capı́tulo 30 - Indutância Indutância Mútua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. I Se passarmos uma corrente I1 na bobina 1 o campo magnético gerado por essa bobina será: ~1 B = ~1 B = N1 I1 k̂ 0 ≤ r ≤ R1 L 0 k̂ 0r > R1 µ0 I Seja Φ2(1) → O fluxo magnético ~ 1 sobre as N2 espiras de produzido por B 2(Não nulo dentro de R1 ). Z ~ 1 · k̂dS = N2 B1 (πR 2 ) Φ2(1) = N2 B 1 S2 Φ2(1) = N1 N2 (πR12 )I1 µ0 L Φ2(1) = L21 I1 ; L21 = µ0 N1 N2 (πR12 ) L I Se invertermos e passarmos uma corrente I2 na bobina 2 temos que o campo magnético gerado por essa bobina será: ~2 B = ~2 B = N2 I2 k̂ 0 ≤ r ≤ R2 L 0 k̂ 0r > R2 µ0 Capı́tulo 30 - Indutância Indutância Mútua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. I Se passarmos uma corrente I1 na bobina 1 o campo magnético gerado por essa bobina será: ~1 B = ~1 B = N1 I1 k̂ 0 ≤ r ≤ R1 L 0 k̂ 0r > R1 µ0 I Se invertermos e passarmos uma corrente I2 na bobina 2 temos que o campo magnético gerado por essa bobina será: ~2 B = ~2 B = N2 I2 k̂ 0 ≤ r ≤ R2 L 0 k̂ 0r > R2 µ0 Z I Seja Φ2(1) → O fluxo magnético ~ 1 sobre as N2 espiras de produzido por B 2(Não nulo dentro de R1 ). Z ~ 1 · k̂dS = N2 B1 (πR 2 ) Φ2(1) = N2 B 1 S2 Φ2(1) = N1 N2 (πR12 )I1 µ0 L Φ2(1) = L21 I1 ; L21 = µ0 N1 N2 (πR12 ) L Φ1(2) = ~ 2 · k̂dS = N1 B2 (πR 2 ) B 1 N1 S1 Capı́tulo 30 - Indutância Indutância Mútua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. I Se passarmos uma corrente I1 na bobina 1 o campo magnético gerado por essa bobina será: ~1 B = ~1 B = N1 I1 k̂ 0 ≤ r ≤ R1 L 0 k̂ 0r > R1 µ0 I Se invertermos e passarmos uma corrente I2 na bobina 2 temos que o campo magnético gerado por essa bobina será: ~2 B = ~2 B = N2 I2 k̂ 0 ≤ r ≤ R2 L 0 k̂ 0r > R2 µ0 Z I Seja Φ2(1) → O fluxo magnético ~ 1 sobre as N2 espiras de produzido por B 2(Não nulo dentro de R1 ). Z ~ 1 · k̂dS = N2 B1 (πR 2 ) Φ2(1) = N2 B 1 S2 Φ2(1) = N1 N2 (πR12 )I1 µ0 L Φ2(1) = L21 I1 ; L21 = µ0 N1 N2 (πR12 ) L Φ1(2) = ~ 2 · k̂dS = N1 B2 (πR 2 ) B 1 N1 S1 Φ1(2) = µ0 N1 N2 (πR12 )I2 L Capı́tulo 30 - Indutância Indutância Mútua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. I Se passarmos uma corrente I1 na bobina 1 o campo magnético gerado por essa bobina será: ~1 B = ~1 B = I Se invertermos e passarmos uma corrente I2 na bobina 2 temos que o campo magnético gerado por essa bobina será: N1 I1 k̂ 0 ≤ r ≤ R1 L 0 k̂ 0r > R1 µ0 ~2 B = ~2 B = N2 I2 k̂ 0 ≤ r ≤ R2 L 0 k̂ 0r > R2 µ0 Z I Seja Φ2(1) → O fluxo magnético ~ 1 sobre as N2 espiras de produzido por B 2(Não nulo dentro de R1 ). Z ~ 1 · k̂dS = N2 B1 (πR 2 ) Φ2(1) = N2 B 1 S2 N1 N2 (πR12 )I1 L Φ2(1) = µ0 Φ2(1) = L21 I1 ; L21 = µ0 N1 N2 (πR12 ) L Φ1(2) = N1 ~ 2 · k̂dS = N1 B2 (πR 2 ) B 1 S1 N1 N2 (πR12 )I2 L Φ1(2) = µ0 Φ1(2) = L12 I2 ; L12 = µ0 N1 N2 (πR12 ) L Capı́tulo 30 - Indutância Indutância Mútua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. I Se passarmos uma corrente I1 na bobina 1 o campo magnético gerado por essa bobina será: ~1 B = ~1 B = I Se invertermos e passarmos uma corrente I2 na bobina 2 temos que o campo magnético gerado por essa bobina será: N1 I1 k̂ 0 ≤ r ≤ R1 L 0 k̂ 0r > R1 µ0 ~2 B = ~2 B = N2 I2 k̂ 0 ≤ r ≤ R2 L 0 k̂ 0r > R2 µ0 Z I Seja Φ2(1) → O fluxo magnético ~ 1 sobre as N2 espiras de produzido por B 2(Não nulo dentro de R1 ). Z ~ 1 · k̂dS = N2 B1 (πR 2 ) Φ2(1) = N2 B 1 S2 N1 N2 (πR12 )I1 L Φ2(1) = µ0 Φ2(1) = L21 I1 ; L21 = µ0 N1 N2 (πR12 ) L Φ1(2) = N1 ~ 2 · k̂dS = N1 B2 (πR 2 ) B 1 S1 N1 N2 (πR12 )I2 L Φ1(2) = µ0 Φ1(2) = L12 I2 ; L12 = µ0 N1 N2 (πR12 ) L I Veja que L12 = L21 é a indutância mútua. I No S.I. a unidade de indutância mútua 1Henry = Wb . A Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância I A corrente I1 produz campo em 2 e também em 1 assim: Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância I A corrente I1 produz campo em 2 e também em 1 assim: Z ~ 1 · k̂dS = N1 B1 (πR 2 ) Φ1(1) = N1 B 1 S1 Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância I A corrente I1 produz campo em 2 e também em 1 assim: Z ~ 1 · k̂dS = N1 B1 (πR 2 ) Φ1(1) = N1 B 1 S1 Φ1(1) = N2 µ0 1 (πR12 )I1 L Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância I A corrente I1 produz campo em 2 e também em 1 assim: Z ~ 1 · k̂dS = N1 B1 (πR 2 ) Φ1(1) = N1 B 1 S1 Φ1(1) = N2 µ0 1 (πR12 )I1 L Φ1(1) = L11 I1 ; L11 = µ0 N12 (πR12 ) L I L11 é a auto-indutância da bobina 1. Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância I A corrente I1 produz campo em 2 e também em 1 assim: Z ~ 1 · k̂dS = N1 B1 (πR 2 ) Φ1(1) = N1 B 1 S1 I Analogamente, a corrente I2 produz campo em 2 e também em 1 assim: Z ~ 2 · k̂dS = N2 B2 (πR 2 ) Φ2(2) = N2 B 2 S2 Φ1(1) = N2 µ0 1 (πR12 )I1 L Φ1(1) = L11 I1 ; L11 = µ0 N12 (πR12 ) L I L11 é a auto-indutância da bobina 1. Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância I A corrente I1 produz campo em 2 e também em 1 assim: Z ~ 1 · k̂dS = N1 B1 (πR 2 ) Φ1(1) = N1 B 1 I Analogamente, a corrente I2 produz campo em 2 e também em 1 assim: Z ~ 2 · k̂dS = N2 B2 (πR 2 ) Φ2(2) = N2 B 2 S1 Φ1(1) Φ1(1) = = S2 N2 µ0 1 (πR12 )I1 L L11 I1 ; L11 = µ0 Φ2(2) N12 L (πR12 ) I L11 é a auto-indutância da bobina 1. = N2 µ0 2 (πR22 )I2 L Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância I A corrente I1 produz campo em 2 e também em 1 assim: Z ~ 1 · k̂dS = N1 B1 (πR 2 ) Φ1(1) = N1 B 1 I Analogamente, a corrente I2 produz campo em 2 e também em 1 assim: Z ~ 2 · k̂dS = N2 B2 (πR 2 ) Φ2(2) = N2 B 2 S1 Φ1(1) Φ1(1) = = S2 N2 µ0 1 (πR12 )I1 L L11 I1 ; L11 = µ0 N12 L (πR12 ) I L11 é a auto-indutância da bobina 1. Φ2(2) = N2 µ0 2 (πR22 )I2 L Φ2(2) = L22 I2 ; L22 = µ0 N22 (πR22 ) L I L22 é a auto-indutância da bobina 2. Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância I A corrente I1 produz campo em 2 e também em 1 assim: Z ~ 1 · k̂dS = N1 B1 (πR 2 ) Φ1(1) = N1 B 1 I Analogamente, a corrente I2 produz campo em 2 e também em 1 assim: Z ~ 2 · k̂dS = N2 B2 (πR 2 ) Φ2(2) = N2 B 2 S1 Φ1(1) Φ1(1) = = S2 N2 µ0 1 (πR12 )I1 L L11 I1 ; L11 = µ0 N12 L (πR12 ) I L11 é a auto-indutância da bobina 1. L1 L2 = µ20 N12 N22 2 2 2 (π R1 R2 ) L2 Φ2(2) = N2 µ0 2 (πR22 )I2 L Φ2(2) = L22 I2 ; L22 = µ0 N22 (πR22 ) L I L22 é a auto-indutância da bobina 2. Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância I A corrente I1 produz campo em 2 e também em 1 assim: Z ~ 1 · k̂dS = N1 B1 (πR 2 ) Φ1(1) = N1 B 1 I Analogamente, a corrente I2 produz campo em 2 e também em 1 assim: Z ~ 2 · k̂dS = N2 B2 (πR 2 ) Φ2(2) = N2 B 2 S1 S2 Φ1(1) = N2 µ0 1 (πR12 )I1 L Φ1(1) = L11 I1 ; L11 = µ0 N12 (πR12 ) L I L11 é a auto-indutância da bobina 1. L1 L2 = p L1 L2 = N12 N22 2 2 2 (π R1 R2 ) L2 N1 N2 R2 µ0 (πR1 R2 ) = L12 L R1 µ20 Φ2(2) = N2 µ0 2 (πR22 )I2 L Φ2(2) = L22 I2 ; L22 = µ0 N22 (πR22 ) L I L22 é a auto-indutância da bobina 2. Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância I A corrente I1 produz campo em 2 e também em 1 assim: Z ~ 1 · k̂dS = N1 B1 (πR 2 ) Φ1(1) = N1 B 1 I Analogamente, a corrente I2 produz campo em 2 e também em 1 assim: Z ~ 2 · k̂dS = N2 B2 (πR 2 ) Φ2(2) = N2 B 2 S1 Φ1(1) Φ1(1) = = S2 N2 µ0 1 (πR12 )I1 L L11 I1 ; L11 = µ0 N12 L (πR12 ) I L11 é a auto-indutância da bobina 1. L1 L2 = p L1 L2 = N12 N22 2 2 2 (π R1 R2 ) L2 N1 N2 R2 µ0 (πR1 R2 ) = L12 L R1 µ20 Φ2(2) = N2 µ0 2 (πR22 )I2 L Φ2(2) = L22 I2 ; L22 = µ0 N22 (πR22 ) L I L22 é a auto-indutância da bobina 2. L12 √ L1 L2 L12 √ L1 L2 L12 √ L1 L2 = = = R1 = K < 1 p/R1 < R2 R2 R1 = K = 1 p/R1 = R2 R2 R1 = K > 1 p/R1 > R2 R2 Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na bobina 2 então: Φ1 = L11 I1 + L12 I2 Φ2 = L21 I1 + L22 I2 Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na bobina 2 então: Φ1 = L11 I1 + L12 I2 Φ2 = L21 I1 + L22 I2 ε1 = ε2 = dΦ1 dt dΦ2 − dt − Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na bobina 2 então: Φ1 = L11 I1 + L12 I2 Φ2 = L21 I1 + L22 I2 ε1 = ε2 = ε1 = ε2 = dΦ1 dt dΦ2 − dt − dI1 dI2 − L12 dt dt dI1 dI2 −L21 − L22 dt dt −L11 Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na bobina 2 então: Φ1 = L11 I1 + L12 I2 Φ2 = L21 I1 + L22 I2 ε1 = ε2 = ε1 = ε2 = dΦ1 dt dΦ2 − dt − dI1 dI2 − L12 dt dt dI1 dI2 −L21 − L22 dt dt −L11 I Vemos que conhecendo a auto-indutância, a indutância-mutua e as correntes sabemos qual será a fem induzidas em cada bobina. Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na bobina 2 então: Φ1 = L11 I1 + L12 I2 Φ2 = L21 I1 + L22 I2 ε1 = ε2 = ε1 = ε2 = dΦ1 dt dΦ2 − dt − dI1 dI2 − L12 dt dt dI1 dI2 −L21 − L22 dt dt −L11 I Vemos que conhecendo a auto-indutância, a indutância-mutua e as correntes sabemos qual será a fem induzidas em cada bobina. I A auto-indutância e a indutância-mutua só depende de fatores geométricos, ou seja, é independente das correntes. Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância Auto-Indutância L de um Solenóide Toroidal Ideal I Nesse sistema, o campo magnético fica completamente confinado no seu núcleo de área A. Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância Auto-Indutância L de um Solenóide Toroidal Ideal I Nesse sistema, o campo magnético fica completamente confinado no seu núcleo de área A. I Iremos supor que a área A é pequena o suficiente, tal que o campo será constante nesta superfı́cie. Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância Auto-Indutância L de um Solenóide Toroidal Ideal I Nesse sistema, o campo magnético fica completamente confinado no seu núcleo de área A. I Iremos supor que a área A é pequena o suficiente, tal que o campo será constante nesta superfı́cie. I Da lei de ampere temos que o campo magnético é dado por: B = µ0 Ni 2πr Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância Auto-Indutância L de um Solenóide Toroidal Ideal I Nesse sistema, o campo magnético fica completamente confinado no seu núcleo de área A. I Iremos supor que a área A é pequena o suficiente, tal que o campo será constante nesta superfı́cie. I Da lei de ampere temos que o campo magnético é dado por: B = ΦB = µ0 Ni 2πr Z 2 ~ ·A ~ = NBA = µ0 N iA N B 2πr Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância Auto-Indutância L de um Solenóide Toroidal Ideal I Nesse sistema, o campo magnético fica completamente confinado no seu núcleo de área A. I Iremos supor que a área A é pequena o suficiente, tal que o campo será constante nesta superfı́cie. I Da lei de ampere temos que o campo magnético é dado por: B = ΦB = L = µ0 Ni 2πr Z 2 ~ ·A ~ = NBA = µ0 N iA N B 2πr dΦB di Capı́tulo 30 - Indutância Indutores e Auto-Indutância Auto-Indutância L de um Solenóide Toroidal Ideal I Nesse sistema, o campo magnético fica completamente confinado no seu núcleo de área A. I Iremos supor que a área A é pequena o suficiente, tal que o campo será constante nesta superfı́cie. I Da lei de ampere temos que o campo magnético é dado por: B = ΦB = L = L = µ0 Ni 2πr Z 2 ~ ·A ~ = NBA = µ0 N iA N B 2πr dΦB di µ0 N 2 A 2πr Capı́tulo 30 - Indutância Energia do Campo Magnético Energia armazenada em um indutor I Vamos calcular a energia total U necessária para estabelecer uma corrente final If = I em um indutor com indutância L. Capı́tulo 30 - Indutância Energia do Campo Magnético Energia armazenada em um indutor I Vamos calcular a energia total U necessária para estabelecer uma corrente final If = I em um indutor com indutância L. I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0). P = Vab = Vab i di L dt Capı́tulo 30 - Indutância Energia do Campo Magnético Energia armazenada em um indutor I Vamos calcular a energia total U necessária para estabelecer uma corrente final If = I em um indutor com indutância L. I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0). I A potência em um indutor sera dada por: P = Vab = P = Vab i di L dt di dU Li = dt dt Capı́tulo 30 - Indutância Energia do Campo Magnético Energia armazenada em um indutor I Vamos calcular a energia total U necessária para estabelecer uma corrente final If = I em um indutor com indutância L. I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0). I A potência em um indutor sera dada por: P = Vab = P = dU = Vab i di L dt di dU Li = dt dt di Pdt = Li dt dt Capı́tulo 30 - Indutância Energia do Campo Magnético Energia armazenada em um indutor I Vamos calcular a energia total U necessária para estabelecer uma corrente final If = I em um indutor com indutância L. I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0). I A potência em um indutor sera dada por: P = Vab = P = dU = dU = U = U = Vab i di L dt di dU Li = dt dt di Pdt = Li dt dt Lidi Z I L idi 0 1 2 LI 2 Capı́tulo 30 - Indutância Energia do Campo Magnético Densidade de Energia Magnética I A energia em um indutor é, na realidade, armazenada no campo magnético no interior da bobina. Capı́tulo 30 - Indutância Energia do Campo Magnético Densidade de Energia Magnética I A energia em um indutor é, na realidade, armazenada no campo magnético no interior da bobina. I Da mesma forma, que a energia elétrica é armazenada no campo elétrico no interior de um capacitor. Capı́tulo 30 - Indutância Energia do Campo Magnético Densidade de Energia Magnética I A energia em um indutor é, na realidade, armazenada no campo magnético no interior da bobina. I Da mesma forma, que a energia elétrica é armazenada no campo elétrico no interior de um capacitor. I Para um solenóide toroidal ideal temos que: L = U = µ0 N 2 A 2πr 1 2 LI 2 Capı́tulo 30 - Indutância Energia do Campo Magnético Densidade de Energia Magnética I A energia em um indutor é, na realidade, armazenada no campo magnético no interior da bobina. I Da mesma forma, que a energia elétrica é armazenada no campo elétrico no interior de um capacitor. I Para um solenóide toroidal ideal temos que: L = U = U = µ0 N 2 A 2πr 1 2 LI 2 1 µ0 N 2 A 2 I 2 2πr Capı́tulo 30 - Indutância Energia do Campo Magnético Densidade de Energia Magnética I A energia em um indutor é, na realidade, armazenada no campo magnético no interior da bobina. I Da mesma forma, que a energia elétrica é armazenada no campo elétrico no interior de um capacitor. I Para um solenóide toroidal ideal temos que: L = U = U = µ0 N 2 A 2πr 1 2 LI 2 1 µ0 N 2 A 2 I 2 2πr I O campo magnético e a energia estão armazenados em um volume V = 2πrA. Capı́tulo 30 - Indutância Energia do Campo Magnético Densidade de Energia Magnética I A energia em um indutor é, na realidade, armazenada no campo magnético no interior da bobina. I Da mesma forma, que a energia elétrica é armazenada no campo elétrico no interior de um capacitor. I Para um solenóide toroidal ideal temos que: L = U = U = µ0 N 2 A 2πr 1 2 LI 2 1 µ0 N 2 A 2 I 2 2πr I O campo magnético e a energia estão armazenados em um volume V = 2πrA. I A densidade de energia magnética será dada por: u = u = U V 1 µ0 N 2 A 2 1 I 2 2πr 2πrA Capı́tulo 30 - Indutância Energia do Campo Magnético Densidade de Energia Magnética I A energia em um indutor é, na realidade, armazenada no campo magnético no interior da bobina. I Da mesma forma, que a energia elétrica é armazenada no campo elétrico no interior de um capacitor. I Para um solenóide toroidal ideal temos que: L = U = U = µ0 N 2 A 2πr 1 2 LI 2 1 µ0 N 2 A 2 I 2 2πr I O campo magnético e a energia estão armazenados em um volume V = 2πrA. I A densidade de energia magnética será dada por: u = u = u = U V 1 µ0 N 2 A 2 1 I 2 2πr 2πrA 2 2 1 N I µ0 2 (2πr )2 Capı́tulo 30 - Indutância Energia do Campo Magnético Densidade de Energia Magnética I A energia em um indutor é, na realidade, armazenada no campo magnético no interior da bobina. I Da mesma forma, que a energia elétrica é armazenada no campo elétrico no interior de um capacitor. I Para um solenóide toroidal ideal temos que: L = U = U = µ0 N 2 A 2πr 1 2 LI 2 1 µ0 N 2 A 2 I 2 2πr I O campo magnético e a energia estão armazenados em um volume V = 2πrA. I A densidade de energia magnética será dada por: u = u = u = B2 µ20 = U V 1 µ0 N 2 A 2 1 I 2 2πr 2πrA 1 N 2 I2 µ0 2 (2πr )2 N 2 I2 (2πr )2 Capı́tulo 30 - Indutância Energia do Campo Magnético Densidade de Energia Magnética I A energia em um indutor é, na realidade, armazenada no campo magnético no interior da bobina. I Da mesma forma, que a energia elétrica é armazenada no campo elétrico no interior de um capacitor. I Para um solenóide toroidal ideal temos que: L = U = U = µ0 N 2 A 2πr 1 2 LI 2 1 µ0 N 2 A 2 I 2 2πr I O campo magnético e a energia estão armazenados em um volume V = 2πrA. I A densidade de energia magnética será dada por: U V 1 µ0 N 2 A 2 1 I 2 2πr 2πrA N 2 I2 1 µ0 2 (2πr )2 u = u = u = B2 µ20 = N 2 I2 (2πr )2 u = 1 B2 2 µ0 Capı́tulo 30 - Indutância Energia do Campo Magnético Densidade de Energia Magnética e Elétrica I A densidade de energia elétrica é dada por: I A densidade de energia magnética é dada por: u = 1 0 E 2 2 u = 1 B2 2 µ0 Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Fechando a chave S1 em t = 0 temos: 0 = ε − Ri(t) − L di(t) dt Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Fechando a chave S1 em t = 0 temos: 0 = ε − Ri(t) − L u(t) = ε − Ri(t) di(t) dt Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Fechando a chave S1 em t = 0 temos: 0 = ε − Ri(t) − L u(t) = ε − Ri(t) di(t) dt = − 1 du(t) R dt di(t) dt Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Fechando a chave S1 em t = 0 temos: di(t) dt 0 = ε − Ri(t) − L u(t) di(t) dt = 0 = ε − Ri(t) 1 du(t) − R dt L du(t) u(t) + R dt = Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Fechando a chave S1 em t = 0 temos: di(t) dt 0 = ε − Ri(t) − L u(t) di(t) dt = 0 = du(t) u(t) = ε − Ri(t) 1 du(t) − R dt L du(t) u(t) + R dt R − dt L = Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Fechando a chave S1 em t = 0 temos: di(t) dt 0 = ε − Ri(t) − L u(t) di(t) dt = 0 = ε − Ri(t) 1 du(t) − R dt L du(t) u(t) + R dt R − dt L Z R − dt L du(t) u(t) Z du(t) u(t) = = = Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Fechando a chave S1 em t = 0 temos: di(t) dt 0 = ε − Ri(t) − L u(t) di(t) dt = 0 = ε − Ri(t) 1 du(t) − R dt L du(t) u(t) + R dt R − dt L Z R − dt L R − t + A1 ; L du(t) u(t) Z du(t) u(t) ln[u(t)] = = = = τL = L R Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L di(t) dt 0 = ε − Ri(t) − L u(t) di(t) dt = 0 = ε − Ri(t) 1 du(t) − R dt L du(t) u(t) + R dt R − dt L Z R − dt L R L − t + A1 ; τL = L R A exp[−t/τL ] = ε − Ri(t) du(t) u(t) Z du(t) u(t) = = = ln[u(t)] = u(t) = Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L di(t) dt 0 = ε − Ri(t) − L u(t) di(t) dt = 0 = ε − Ri(t) 1 du(t) − R dt L du(t) u(t) + R dt R − dt L Z R − dt L R L − t + A1 ; τL = L R A exp[−t/τL ] = ε − Ri(t) 1 (ε − Ae −t/τL ) R du(t) u(t) Z du(t) u(t) = = = ln[u(t)] = u(t) = i(t) = Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Em t = 0 di(t) dt 0 = ε − Ri(t) − L u(t) di(t) dt = 0 = ε − Ri(t) 1 du(t) − R dt L du(t) u(t) + R dt R − dt L Z R − dt L R L − t + A1 ; τL = L R A exp[−t/τL ] = ε − Ri(t) 1 (ε − Ae −t/τL ) R du(t) u(t) Z du(t) u(t) = = = ln[u(t)] = u(t) = i(t) = h i di(t) dt t=0 6= 0 e i(0) = 0, Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Em t = 0 di(t) dt 0 = ε − Ri(t) − L u(t) di(t) dt = 0 = ε − Ri(t) 1 du(t) − R dt L du(t) u(t) + R dt R − dt L Z R − dt L R L − t + A1 ; τL = L R A exp[−t/τL ] = ε − Ri(t) 1 (ε − Ae −t/τL ) R du(t) u(t) Z du(t) u(t) = = = ln[u(t)] = u(t) = i(t) = h i di(t) dt t=0 6= 0 e i(0) = 0, Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Em t = 0 di(t) dt 0 = ε − Ri(t) − L u(t) di(t) dt = 0 = ε − Ri(t) 1 du(t) − R dt L du(t) u(t) + R dt R − dt L Z R − dt L R L − t + A1 ; τL = L R A exp[−t/τL ] = ε − Ri(t) 1 (ε − Ae −t/τL ) R du(t) u(t) Z du(t) u(t) = = = ln[u(t)] = u(t) = i(t) = di(t) dt di(t) dt i di(t) dt t=0 = ε L = 1 R t=0 t=0 h 6= 0 e i(0) = 0, dε A −t/τL + e dt τL t=0 Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Em t = 0 di(t) dt 0 = ε − Ri(t) − L u(t) di(t) dt = 0 = ε − Ri(t) 1 du(t) − R dt L du(t) u(t) + R dt R − dt L Z R − dt L R L − t + A1 ; τL = L R A exp[−t/τL ] = ε − Ri(t) 1 (ε − Ae −t/τL ) R du(t) u(t) Z du(t) u(t) = = = ln[u(t)] = u(t) = i(t) = di(t) dt di(t) dt = t=0 = t=0 ε L = h i di(t) dt t=0 6= 0 e i(0) = 0, ε L 1 dε A −t/τL + e R dt τL t=0 A RτL Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Em t = 0 di(t) dt 0 = ε − Ri(t) − L u(t) di(t) dt = 0 = ε − Ri(t) 1 du(t) − R dt L du(t) u(t) + R dt R − dt L Z R − dt L R L − t + A1 ; τL = L R A exp[−t/τL ] = ε − Ri(t) 1 (ε − Ae −t/τL ) R du(t) u(t) Z du(t) u(t) = = = ln[u(t)] = u(t) = i(t) = di(t) dt di(t) dt = t=0 = t=0 ε L = A = h i di(t) dt t=0 6= 0 e i(0) = 0, ε L 1 dε A −t/τL + e R dt τL t=0 A RτL εRτL εR L = =ε L L R Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Em t = 0 di(t) dt 0 = ε − Ri(t) − L u(t) di(t) dt = 0 = ε − Ri(t) 1 du(t) − R dt L du(t) u(t) + R dt R − dt L Z R − dt L R L − t + A1 ; τL = L R A exp[−t/τL ] = ε − Ri(t) 1 (ε − Ae −t/τL ) R du(t) u(t) Z du(t) u(t) = = = ln[u(t)] = u(t) = i(t) = di(t) dt di(t) dt = t=0 = t=0 ε L = A = i(t) = h i di(t) dt t=0 6= 0 e i(0) = 0, ε L 1 dε A −t/τL + e R dt τL t=0 A RτL εRτL εR L = =ε L L R ε (1 − e −t/τL ) R Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Em t = 0 di(t) dt di(t) dt = t=0 = t=0 ε L = A = i(t) = h i di(t) dt t=0 6= 0 e i(0) = 0, ε L 1 dε A −t/τL + e R dt τL t=0 A RτL εR L εRτL = =ε L L R ε −t/τL (1 − e ) R Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Diminuição da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Diminuição da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Se S1 está muito tempo fechada I (∞) = ε . R Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Diminuição da corrente em um circuito R-L I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no novo tempo t = 0 temos, I Considere o circuito R-L. I Se S1 está muito tempo fechada I (∞) = ε . R Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Diminuição da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no novo tempo t = 0 temos, 0 = −Ri(t) − L di(t) dt I Se S1 está muito tempo fechada I (∞) = ε . R Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Diminuição da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no novo tempo t = 0 temos, 0 = −Ri(t) − L di(t) dt = − R i(t) L di(t) dt I Se S1 está muito tempo fechada I (∞) = ε . R Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Diminuição da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no novo tempo t = 0 temos, 0 di(t) dt Z di(t) i(t) = −Ri(t) − L = − = R i(t) L Z R − dt L di(t) dt I Se S1 está muito tempo fechada I (∞) = ε . R Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Diminuição da corrente em um circuito R-L I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no novo tempo t = 0 temos, 0 di(t) dt Z di(t) i(t) ln[i(t)] = −Ri(t) − L = − = = R i(t) L Z R − dt L R − t + A1 L di(t) dt ; τL = L R Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Diminuição da corrente em um circuito R-L I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no novo tempo t = 0 temos, 0 di(t) dt Z di(t) i(t) = −Ri(t) − L = − = ln[i(t)] = i(t) = di(t) dt R i(t) L Z R − dt L R − t + A1 ; L A exp[−t/τL ] τL = L R Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Diminuição da corrente em um circuito R-L I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no novo tempo t = 0 temos, 0 di(t) dt Z di(t) i(t) = −Ri(t) − L = − = ln[i(t)] = i(t) = i(∞) = di(t) dt R i(t) L Z R − dt L R − t + A1 ; L A exp[−t/τL ] ε i0 = =A R τL = L R Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Diminuição da corrente em um circuito R-L I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no novo tempo t = 0 temos, 0 di(t) dt Z di(t) i(t) = = = ln[i(t)] = i(t) = i(∞) = i(t) = −Ri(t) − L di(t) dt R i(t) L Z R − dt L R − t + A1 ; L A exp[−t/τL ] ε i0 = =A R i0 exp[−t/τL ] − τL = L R Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L Diminuição da corrente em um circuito R-L I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no novo tempo t = 0 temos, 0 di(t) dt Z di(t) i(t) = = = ln[i(t)] = i(t) = i(∞) = i(t) = −Ri(t) − L di(t) dt R i(t) L Z R − dt L R − t + A1 ; L A exp[−t/τL ] ε i0 = =A R i0 exp[−t/τL ] − τL = L R Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 , Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 , 0 = − q(t) di(t) −L C dt Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 , 0 = i(t) = di(t) q(t) −L C dt dq(t) dt − Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 , 0 = i(t) = d 2 q(t) dt 2 = q(t) di(t) −L C dt dq(t) dt 1 − q(t) = −ω02 q(t) LC − Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 , 0 = i(t) = d 2 q(t) dt 2 e q (t) = = q(t) di(t) −L C dt dq(t) dt 1 − q(t) = −ω02 q(t) LC qe λt ; q = Ae iφ − Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 , = di(t) q(t) −L C dt dq(t) dt 1 − q(t) = −ω02 q(t) LC qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt 0 = i(t) = d 2 q(t) dt 2 e q (t) de q (t) dt = − Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 , = q(t) di(t) −L C dt dq(t) dt 1 − q(t) = −ω02 q(t) LC qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt = λ2 qe λt = λ2 e q (t) 0 = i(t) = d 2 q(t) dt 2 e q (t) de q (t) dt d 2e q (t) dt 2 = − Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 , = q(t) di(t) −L C dt dq(t) dt 1 − q(t) = −ω02 q(t) LC qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt = λ2 qe λt = λ2 e q (t) = 1 −ω02 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = √ LC 0 = i(t) = d 2 q(t) dt 2 e q (t) de q (t) dt d 2e q (t) dt 2 λ2 = − Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 , = q(t) di(t) −L C dt dq(t) dt 1 − q(t) = −ω02 q(t) LC qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt = λ2 qe λt = λ2 e q (t) λ2 = 1 −ω02 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = √ LC e q (t) = Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ) 0 = i(t) = d 2 q(t) dt 2 e q (t) de q (t) dt d 2e q (t) dt 2 = − Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 , = q(t) di(t) −L C dt dq(t) dt 1 − q(t) = −ω02 q(t) LC qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt = λ2 qe λt = λ2 e q (t) λ2 = 1 −ω02 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = √ LC e q (t) = e i(t) = 0 = i(t) = d 2 q(t) dt 2 e q (t) de q (t) dt d 2e q (t) dt 2 = − Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ) de q (t) = Aiω0 e i(ω0 t+φ) dt Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito L-C O Circuito L-C e ±iθ I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 , = q(t) di(t) −L C dt dq(t) dt 1 − q(t) = −ω02 q(t) LC qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt = λ2 qe λt = λ2 e q (t) λ2 = 1 −ω02 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = √ LC e q (t) = e i(t) = 0 = i(t) = d 2 q(t) dt 2 e q (t) de q (t) dt d 2e q (t) dt 2 = − Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ) de q (t) = Aiω0 e i(ω0 t+φ) dt = cos(θ) ± i sin(θ) Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 , = q(t) di(t) − −L C dt dq(t) dt 1 − q(t) = −ω02 q(t) LC qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt = λ2 qe λt = λ2 e q (t) λ2 = 1 −ω02 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = √ LC e q (t) = e i(t) = 0 = i(t) = d 2 q(t) dt 2 e q (t) de q (t) dt d 2e q (t) dt 2 = Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ) de q (t) = Aiω0 e i(ω0 t+φ) dt e ±iθ = cos(θ) ± i sin(θ) e q (t) e i(t) = A[cos(ω0 t + φ) + i sin(ω0 t + φ)] = Aω0 [i cos(ω0 t + φ) − sin(ω0 t + φ)] Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 , = q(t) di(t) − −L C dt dq(t) dt 1 − q(t) = −ω02 q(t) LC qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt = λ2 qe λt = λ2 e q (t) λ2 = 1 −ω02 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = √ LC e q (t) = e i(t) = 0 i(t) d 2 q(t) dt 2 e q (t) de q (t) dt d 2e q (t) dt 2 = = = Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ) de q (t) = Aiω0 e i(ω0 t+φ) dt e ±iθ = cos(θ) ± i sin(θ) e q (t) e i(t) = A[cos(ω0 t + φ) + i sin(ω0 t + φ)] = Aω0 [i cos(ω0 t + φ) − sin(ω0 t + φ)] q(t) = i(t) = Re[e q (t)] = A cos(ω0 t + φ) Re[e i(t)] = −Aω0 sin(ω0 t + φ) Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 , = q(t) di(t) − −L C dt dq(t) dt 1 − q(t) = −ω02 q(t) LC qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt = λ2 qe λt = λ2 e q (t) λ2 = 1 −ω02 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = √ LC e q (t) = e i(t) = 0 i(t) d 2 q(t) dt 2 e q (t) de q (t) dt d 2e q (t) dt 2 = = = Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ) de q (t) = Aiω0 e i(ω0 t+φ) dt e ±iθ = cos(θ) ± i sin(θ) e q (t) e i(t) = A[cos(ω0 t + φ) + i sin(ω0 t + φ)] = Aω0 [i cos(ω0 t + φ) − sin(ω0 t + φ)] q(t) = i(t) = Re[e q (t)] = A cos(ω0 t + φ) Re[e i(t)] = −Aω0 sin(ω0 t + φ) q(t = 0) = q0 = A cos(φ) i(t = 0) = i0 = −Aω0 sin(φ) Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 , = q(t) di(t) − −L C dt dq(t) dt 1 − q(t) = −ω02 q(t) LC qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt = λ2 qe λt = λ2 e q (t) λ2 = 1 −ω02 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = √ LC e q (t) = e i(t) = 0 i(t) d 2 q(t) dt 2 e q (t) de q (t) dt d 2e q (t) dt 2 = = = Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ) de q (t) = Aiω0 e i(ω0 t+φ) dt e ±iθ = cos(θ) ± i sin(θ) e q (t) e i(t) = A[cos(ω0 t + φ) + i sin(ω0 t + φ)] = Aω0 [i cos(ω0 t + φ) − sin(ω0 t + φ)] q(t) = i(t) = Re[e q (t)] = A cos(ω0 t + φ) Re[e i(t)] = −Aω0 sin(ω0 t + φ) q(t = 0) = q0 = A cos(φ) i(t = 0) = A = φ = i0 = −Aω0 sin(φ) q q02 + (i0 /ω0 )2 i0 arctan − q0 ω0 Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , 0 = −L di(t) q(t) − Ri(t) − dt C Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , 0 = 0 = 0 = ω0 = di(t) q(t) − Ri(t) − dt C d 2 q(t) R dq(t) 1 + + q(t) dt 2 L dt LC d 2 q(t) dq(t) + 2γ + ω02 q(t) dt 2 dt 1 R √ ; γ= 2L LC −L Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , di(t) q(t) − Ri(t) − dt C d 2 q(t) R dq(t) 1 + + q(t) dt 2 L dt LC 2 d q(t) dq(t) + 2γ + ω02 q(t) dt 2 dt 1 R √ ; γ= 2L LC −L 0 = 0 = 0 = ω0 = e q (t) de q (t) dt d 2e q (t) dt 2 = qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt = λ2 qe λt = λ2 e q (t) Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , di(t) q(t) − Ri(t) − dt C d 2 q(t) R dq(t) 1 + + q(t) dt 2 L dt LC 2 d q(t) dq(t) + 2γ + ω02 q(t) dt 2 dt 1 R √ ; γ= 2L LC −L 0 = 0 = 0 = ω0 = e q (t) de q (t) dt d 2e q (t) dt 2 = qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt = λ2 qe λt = λ2 e q (t) Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , di(t) q(t) − Ri(t) − dt C d 2 q(t) R dq(t) 1 + + q(t) dt 2 L dt LC 2 d q(t) dq(t) + 2γ + ω02 q(t) dt 2 dt 1 R √ ; γ= 2L LC −L 0 = 0 = 0 = ω0 = e q (t) de q (t) dt d 2e q (t) dt 2 = qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt = λ2 qe λt = λ2 e q (t) Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , di(t) q(t) − Ri(t) − dt C d 2 q(t) R dq(t) 1 + + q(t) dt 2 L dt LC d 2 q(t) dq(t) + 2γ + ω02 q(t) dt 2 dt 1 R √ ; γ= 2L LC −L 0 = 0 = 0 = ω0 = e q (t) de q (t) dt q (t) d 2e dt 2 0 = qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt = λ2 qe λt = λ2 e q (t) = λ2 + 2γλ + ω02 Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , di(t) q(t) − Ri(t) − dt C d 2 q(t) R dq(t) 1 + + q(t) dt 2 L dt LC d 2 q(t) dq(t) + 2γ + ω02 q(t) dt 2 dt 1 R √ ; γ= 2L LC −L 0 = 0 = 0 = ω0 = e q (t) de q (t) dt q (t) d 2e dt 2 0 = qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt = λ2 qe λt = λ2 e q (t) = λ2 + 2γλ + ω02 λ = −γ ± q γ 2 − ω02 = −γ ± ω2 Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , λ = I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , ω1 = di(t) q(t) − Ri(t) − dt C d 2 q(t) R dq(t) 1 + + q(t) dt 2 L dt LC d 2 q(t) dq(t) + 2γ + ω02 q(t) dt 2 dt 1 R √ ; γ= 2L LC −L 0 = 0 = 0 = ω0 = e q (t) de q (t) dt q (t) d 2e dt 2 0 = qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt = λ2 qe λt = λ2 e q (t) = λ2 + 2γλ + ω02 q −γ ± γ 2 − ω02 = −γ ± ω2 q ω02 − γ 2 1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-crı́tico), 2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido), 3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido). Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , λ = I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , ω1 = di(t) q(t) − Ri(t) − dt C R dq(t) 1 d 2 q(t) + + q(t) dt 2 L dt LC 2 d q(t) dq(t) + 2γ + ω02 q(t) dt 2 dt 1 R √ ; γ= 2L LC −L 0 = 0 = 0 = ω0 = e q (t) = qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt = λ2 qe λt = λ2 e q (t) = λ2 + 2γλ + ω02 de q (t) dt d 2e q (t) dt 2 0 q −γ ± γ 2 − ω02 = −γ ± ω2 q ω02 − γ 2 1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-crı́tico), 2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido), 3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido). Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , λ = I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , ω1 = di(t) q(t) − Ri(t) − dt C R dq(t) 1 d 2 q(t) + + q(t) dt 2 L dt LC 2 d q(t) dq(t) + 2γ + ω02 q(t) dt 2 dt 1 R √ ; γ= 2L LC −L 0 = 0 = 0 = ω0 = e q (t) = qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt = λ2 qe λt = λ2 e q (t) = λ2 + 2γλ + ω02 de q (t) dt d 2e q (t) dt 2 0 q −γ ± γ 2 − ω02 = −γ ± ω2 q ω02 − γ 2 1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-crı́tico), 2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido), 3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido). Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , λ = I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , ω1 = di(t) q(t) − Ri(t) − dt C R dq(t) 1 d 2 q(t) + + q(t) dt 2 L dt LC 2 d q(t) dq(t) + 2γ + ω02 q(t) dt 2 dt 1 R √ ; γ= 2L LC −L 0 = 0 = 0 = ω0 = e q (t) = qe λt ; q = Ae iφ = λqe λt = λ2 qe λt = λ2 e q (t) = λ2 + 2γλ + ω02 de q (t) dt d 2e q (t) dt 2 0 q −γ ± γ 2 − ω02 = −γ ± ω2 q ω02 − γ 2 1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-crı́tico), 2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido), 3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido). Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série e q (t) = e i(t) = Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ) de q (t) = Aiω0 e i(ω0 t+φ) dt Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série e q (t) = e i(t) = e ±iθ = Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ) de q (t) = Aiω0 e i(ω0 t+φ) dt cos(θ) ± i sin(θ) Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série e q (t) = e i(t) = Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ) de q (t) = Aiω0 e i(ω0 t+φ) dt cos(θ) ± i sin(θ) e ±iθ = e q (t) e i(t) = A[cos(ω0 t + φ) + i sin(ω0 t + φ)] = Aω0 [i cos(ω0 t + φ) − sin(ω0 t + φ)] Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série e q (t) = e i(t) = Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ) de q (t) = Aiω0 e i(ω0 t+φ) dt cos(θ) ± i sin(θ) e ±iθ = e q (t) e i(t) = A[cos(ω0 t + φ) + i sin(ω0 t + φ)] = Aω0 [i cos(ω0 t + φ) − sin(ω0 t + φ)] q(t) = i(t) = Re[e q (t)] = A cos(ω0 t + φ) Re[e i(t)] = −Aω0 sin(ω0 t + φ) Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série e q (t) = e i(t) = Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ) de q (t) = Aiω0 e i(ω0 t+φ) dt cos(θ) ± i sin(θ) e ±iθ = e q (t) e i(t) = A[cos(ω0 t + φ) + i sin(ω0 t + φ)] = Aω0 [i cos(ω0 t + φ) − sin(ω0 t + φ)] q(t) = i(t) = Re[e q (t)] = A cos(ω0 t + φ) Re[e i(t)] = −Aω0 sin(ω0 t + φ) q(t = 0) = q0 = A cos(φ) i(t = 0) = i0 = −Aω0 sin(φ) Capı́tulo 30 - Indutância O Circuito R-L-C em série O Circuito R-L-C em série e q (t) = e i(t) = Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ) de q (t) = Aiω0 e i(ω0 t+φ) dt cos(θ) ± i sin(θ) ±iθ = e q (t) e i(t) = A[cos(ω0 t + φ) + i sin(ω0 t + φ)] = Aω0 [i cos(ω0 t + φ) − sin(ω0 t + φ)] q(t) = i(t) = Re[e q (t)] = A cos(ω0 t + φ) Re[e i(t)] = −Aω0 sin(ω0 t + φ) q(t = 0) = q0 = A cos(φ) i(t = 0) = A = φ = i0 = −Aω0 sin(φ) q q02 + (i0 /ω0 )2 i0 arctan − q0 ω0 e
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