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Resolução e comentários de:
ESTATÍSTICA – AFRFB – 2003
Organizadora: ESAF
Opinião pessoal: A prova de Estatística contemplou os itens constantes do
edital (evidentemente) e que costumeiramente são explorados por nós em
aula. Em minha opinião, a prova foi Fácil e pouco trabalhosa. Fácil, porém,
exigiu segurança por parte do candidato!
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1) As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma com N empregados produziram as
estatísticas
Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo [R$ 12.500,00; R$
16.100,00]. Assinale a opção correta.
a) P é no máximo 1/2
b) P é no máximo 1/1,5
c) P é no mínimo 1/2
d) P é no máximo 1/2,25
e) P é no máximo 1/20
Resolução:
Usamos o “Teorema de Tchebychev”. Que diz que a proporção que está FORA de tantos desvios padrão
2
era 1/k , onde K era a quantidade de desvios padrão. Lembrados?
Vamos, inicialmente, determinar a “Distância de 12.500 até a Média” e a “Distância entre 16100 até a
Média”.
Média = 14.300
Dist.= 14.300 – 12.500 = 1.800
Dist.= 16.100 – 14.300 = 1.800
Como percebe-se, é simétrico com respeito à Média 14.300.
Assim, K = Dist. / Desvio, fica;
K = 1800/1200, nos fornece quantos desvios padrão (S=1200) existem em 1800, ou seja, 1,5 desvios
padrão. K = 1,5.
2
2
Então, a proporção procurada é: 1/k = 1/1,5 = 1 /2,25.
Alternativa d).
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As questões 02 e 03 dizem respeito ao enunciado seguinte: Considere a tabela de freqüências seguinte
correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das
classes.
2) Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral de X que não é
superado por cerca de 80% das observações.
a) 10.000
b) 12.000
c) 12.500
d) 11.000
e) 10.500
Resolução:
Conforme exaustivamente explorado em nossas aulas, procedemos à técnica de fazer duas escalas para
estudarmos a proporcionalidade dos dados amostrais que correspondem a “até 80%” da freqüência
acumulada. Vamos lá:
Então, fazemos:
X  10.000
80  77

o que resulta em X = 10.500.
12.000  10.000 89  77
Alternativa e).
Esse foi de graça! Não somente exercícios difíceis caem nas provas da bondosa e condescendente
ESAF...
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3) Assinale a opção que corresponde ao valor do coeficiente de assimetria percentílico da amostra de X,
baseado no 1º, 5º e 9º decis.
a) 0,024
b) 0,300
c) 0,010
d) - 0,300
e) - 0,028
Resolução:
Embora não constasse em livro algum ou apostila a fórmula explícita, era possível, digo, perfeitamente
possível, por analogia às expressões das medidas separatrizes, concluir-se:
CA 
D10  D 90 - 2  D 50
D 90  D10
Concordam? Reparem que estudamos o “Coef. Decílico de Assimetria” cuja expressão é absoluta e
perfeitamente análoga à supra! Questãozinha Baba!
Vamos proceder ao cálculo das separatrizes D10, D50 e D90. Antes, contudo, temos de obter as “Freqüências
Relativas Simples”, conforme visto em aula e apresentado abaixo:
Classes
2.000 – 4.000
4.000 – 6.000
6.000 – 8.000
8.000 – 10.000
10.000 – 12.000
12.000 – 14.000
Freqüência Relativa
Simples (%)
5
11
26
35
12
11
Freqüência Rel.
Acumulada (%)
5
16
42
77
89
100
As separatrizes:
D10 = l D10
Onde:
 100

 100 
1  10  Fant 
1  10  5
 h
= 4.000  2.000 
= 4.909,09
f D10
11
D10 é a medida separatriz do 1º Decil;
lD10 é o limite inferior da ‘classe’ que contém este 1º Decil;
h é o tamanho (amplitude) do intervalo de classe que contém o 1º Decil;
Fant é a freqüência acumulada da classe imediatamente anterior à do 1º Decil;
fd10 é a amplitude da classe que contém o 1º Decil. (Extraído da 2ª coluna de Freq. Rel.Simples)
Analogamente:
D50 = l D 50
 100

 100

5  10  Fant 
5  10  42
 h
= 8.000  2.000 
= 8.457,14
f D 50
35
(observe que esse valor, qüinqüagésimo decil, D50, é coincidente com a Mediana!)
D90 = l D 90
 100

 100

9  10  Fant 
9  10  89
 h
= 12.000  2.000 
= 12.181,82
f D90
11
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Substituindo na expressão para a Assimetria, tem-se:
CA =
D10  D 90 - 2  D 50
4.909,09  12.181,82 - 2  8.457,14
=
= 0,024
12.181,82  4.909,09
D 90  D10
Ou seja, Alternativa a).
Prezados colegas, essa questão foi simples! Estudamos em aula. A maior dificuldade aqui foi fazer as
continhas da 2ª série do primário! Baba!
4) Dadas as três séries de índices de preços abaixo, assinale a opção correta.
a) As três séries mostram a mesma evolução de preços.
b) A série S2 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S3.
c) A série S3 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S2.
d) A série S1 mostra evolução de preços distinta das séries S2 e S3.
e) As três séries não podem ser comparadas pois têm períodos-base distintos.
Resolução:
O primeiro passo será passarmos todos os valores para o de uma data-base. Seja a data-base o ano de
1999. Então, dividindo-se todos os valores de cada item, S1,S2 e S3 por seus respectivos valores na database, quais sejam; 50, 75 e 100, obtém-se:
Ano
1999
2000
2001
2002
S1
1
1,5
2
3
S2
1
1,3...
1,6...
2,3...
S3
1
1,5
2
3
Facilmente percebe-se que as série dos itens S1 e S3 são idênticas no que se refere às suas variações no
decorrer dos anos de 1999 até 2002. Logo, as séries S1 e S3 são idênticas e diferentes de S2.
Alternativa b).
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5) O atributo Z= (X-2)/3 tem média amostral 20 e variância amostral 2,56. Assinale a opção que
corresponde ao coeficiente de variação amostral de X.
a) 12,9%
b) 50,1%
c) 7,7%
d) 31,2%
e) 10,0%
Resolução:
Estão lembrados do CV? Severino?! ???? Não! CV é o “Coeficiente de Variação” que é uma medida relativa
de dispersão. Vimos isso naquela aula quando tratamos de Dispersões Absolutas; Desvio-Médio, DesvioPadrão, Amplitude Amostral, Amplitude Semi-Interquartílica, Amplitudes Quartílica, Decílica e Percentílica.
E de Dispersões Relativas. Lembraram-se?
S
onde S é o desvio-padrão amostral e X é a média
X
amostral. Vamos agora determinar os valores de S e de X . Reparem que Z é uma variável reduzida.
Pra quem está com a bateria da ROM fraca, CV 
Nossa missão será, inicialmente, dados o desvio-padrão e a média amostrais desta, determinar quais serão
as da variável de interesse, X.
Recorde-mo-nos da aula sobre Dispersões. Naquela ocasião, discutimos sobre as propriedades da Média e
da Variância (e, Desvio-Padrão).
1ª Propriedade da Média/Desvio-Padrão: Se multiplicarmos cada termo de uma coleção
de dados amostrais por uma mesma constante, a nova Média/Desvio-Padrão será igual
ao produto da anterior por esta constante.
2ª Propriedade da Média/Desvio-Padrão: Se somarmos a cada termo de uma coleção de
dados amostrais uma mesma constante, a Média será aumentada da mesma constante.
Já o Desvio-Padrão da nova variável será idêntico ao da anterior!
Repare que a variável X pode ser reescrita assim:
X = 3Z+2
2
Ora, se S Z = 2,56 , SZ = 1,6 e Z = 20, segue-se que:
SX = 3 SZ = 3 ( 1,6 ) = 4,8
e
X = 3 Z +2 = 3 (20) + 2 = 62
Assim, CV 
S
4,8
=
 0,0774  7,7%
62
X
Alternativa c).
A ESAF, novamente, cobra uma questão de fácil resolução!
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