CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
MESTRADO EM EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
Analogias e metáforas em livros didáticos de Matemática: contribuições
para o ensino de geometria
ÉRIKA SCHMIDT NAVES
BELO HORIZONTE
2013
NAVES, Érika Schmidt
Analogias e Metáforas em livros Didáticos de Matemática: contribuições para o
ensino de Geometria
/Érika Schmidt Naves - Belo Horizonte: CEFET/MG, DPPG, 2013.
X, 145 f.: Il; xx cm.
Orientador: Ronaldo Luiz Nagem
Dissertação (mestrado) – Centro Federal de Educação Tecnológica de
Minas Gerais, CEFET-MG, Programa de Pós Graduação em Educação
Tecnológica, 2013.
Referências: f. 129 -134.
1. Metodologia Educacional. 2. Modelos, analogias e metáforas . 3. Área de
Concentração: Educação Tecnológica – Dissertação. I. Nagem, Ronaldo Luiz. II.
Centro Federal de
Educação Tecnológica de Minas Gerais,
Programa de Pós-Graduação Mestrado em Educação Tecnológica de
Minas Gerais III. Título.
ÉRIKA SCHMIDT NAVES
Analogias e metáforas em livros didáticos de Matemática: contribuições
para o ensino de geometria
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em
Educação Tecnológica como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre em Educação
Tecnológica do Centro Federal de Educação
Tecnológica de Minas Gerais.
Orientador: Prof. Dr. Ronaldo Luiz Nagem
BELO HORIZONTE
2013
Dedicatória
Vicente Naves, meu marido;
Jader e Henrique, meus enteados;
Maria Eduarda, minha filha;
Milton e Elvira, meus pais;
Wesller e Michelle, meus irmãos;
pelo carinho, respeito e admiração.
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AGRADECIMENTOS
Primeiramente, agradeço a Deus que foi meu suporte em todas as etapas desta pesquisa,
dando-me força e motivação para construir conhecimentos a respeito de analogias e
metáforas.
Agradeço, especialmente, ao meu orientador Ronaldo Luiz Nagem por direcionar todos
os passos da pesquisa. A ele, toda a minha gratidão pelos ensinamentos e conselhos desde os
mais simples aos mais complexos.
A todos os professores do CEFET-MG que tanto contribuíram e ajudaram durante esta
trajetória.
Ao professor José Geraldo Pedrosa pelos conselhos e dicas importantes para a construção
desta pesquisa.
Aos pareceristas, professor João Bosco Laudares e professora Silvaní dos Santos
Valentin que muito contribuíram com suas observações e orientações.
Aos colegas do GEMATEC pela convivência e por concederem-me as informações em
momentos que delas precisei.
À colega Karyne de Souza Neves que muito me ajudou a digitalizar as figuras.
À Regina Maria Gonçalves Mendes e ao Vicente de Paulo Oliveira Nepomuceno pelas
revisões.
ÉRIKA SCHMIDT NAVES
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Os estudantes jovens não deveriam ser estragados pela
abstração prematura, mas deveriam ser familiarizados com
situações vivas, concretas, e experimentos, antes de
trabalharem com elas usando métodos baseados em puro
raciocínio. Mach (1990)
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RESUMO
O objetivo desta pesquisa foi realizar um diagnóstico a respeito do uso de analogias e
metáforas como recurso didático no ensino de Geometria no 6º ano do Ensino Fundamental,
tendo como foco os livros didáticos de Matemática dos autores Andrini e Andrini &
Vasconcellos no período de 1975 a 2011, com vistas a verificar, classificar e analisar a
trajetória dessa estratégia de ensino nas obras investigadas. Os conteúdos da obra desses
autores contemplam os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) e a obra fez parte do
Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) de 2005 e 2008, sendo uma das obras mais
vendidas pela editora do Brasil, liderando a produção editorial brasileira. As analogias e
metáforas são suportes na construção de conhecimentos que utilizam conceitos, pois
estabelecem significado entre dois domínios, um conhecido e um novo, o que torna o
conteúdo compreensível. O questionamento principal da pesquisa foi saber como os autores
foram modificando as analogias e metáforas nos livros pesquisados. Foi possível
compreender por meio da fundamentação teórica que as analogias e metáforas são
recursos muito úteis para ensinar. Os teóricos mostram que esses recursos preenchem a
lacuna entre o conceito e uma experiência vivida, permitindo correlacionar conceitos
matemáticos à realidade e à construção de conhecimento significativo. A metodologia
utilizada foi a pesquisa documental interativa de caráter descritivo. Os dados foram
classificados dentro das categorias apresentadas por autores da área. Os documentos são
os livros didáticos. Os resultados apontam que a cada edição da obra, os autores do livro
didático pesquisado foram aumentando o uso das analogias no decorrer dos anos, utilizando
metáforas apenas na edição de 1989. Na discussão realizada na análise dos dados foi
possível compreender que as respostas para os questionamentos iniciais foram encontradas
com o suporte das teorias que norteiam o assunto. Foi possível identificar que há poucos
trabalhos que tratam da analogia no ensino da Matemática, sendo escassos os que
abordam o ensino da Geometria com o apoio das analogias e metáforas. Por essa razão,
esta dissertação abre o caminho para outras pesquisas com essa abordagem.
PALAVRAS CHAVE: Matemática, Geometria, Analogias e Metáforas.
ÉRIKA SCHMIDT NAVES
Analogias e metáforas em livros didáticos de matemática: contribuições para o ensino de geometria.
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ABSTRACT
The objective of this research was to carry through a diagnosis regarding the use of
analogies and metaphors as didactic resource in the education of Geometry in 6º year of
Basic Education, having as focus the didactic books of Mathematics of authors Andrini and
Andrini & Vasconcellos in the period of 1975 to 2011, to verify and to classify the trajectory of
this strategy of education in the investigated works. The contents of the work of these
authors contemplate the Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) and were part of the
Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) of 2005 and 2008 and it was one of the works
more sold by the publishing company of Brazil, leading the Brazilian publishing production.
The analogies and metaphors are supports in the construction of knowledge that use
concepts, therefore establish meant between two domains, one known and a new, what it
becomes an understandable abstraction. The main questioning of the research is to know as
the authors had been modifying the analogies and metaphors in searched books. The main
questioning of the research was to know as the authors had been modifying the analogies
and metaphors in searched books. It was possible to understand by means of the theoretical
support that the analogies and metaphors are very useful resources to teach and to learn.
The theoreticians show that these resources fill the gap between the concept and a lived
experience, allowing correlating mathematical concepts to the reality and the construction of
significant knowledge. The used methodology is the interactive documentary research of
descriptive character. The data had been classified inside of the categories presented for
authors of the area. The documents are the didactic books. The results point that to each
edition of the workmanship, the authors of the searched didactic book had been increasing
the use of the analogies in elapsing of the years, using metaphors only in the 1989 edition. In
the discussion made through in the analysis of the data it was possible to understand that the
answers for the initial questionings had been found with the support of the theories that guide
the subject. It was possible to identify that it has few works that deal with the analogy in the
education of the Mathematics, being scarce the ones that approach the education of
Geometry with the support of the analogies and metaphors. Therefore, this dissertation
opens the way for other research with this boarding.
WORDS KEY: Mathematics, Geometry, Analogies and Metaphors.
ÉRIKA SCHMIDT NAVES
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Triângulo recursivo de Sierpinski...........................................................................40
Figura 2 - Triângulo.................................................................................................................50
Figura 3 - Quadrado.................................................................................................................51
Figura 4 - Pirâmide..................................................................................................................52
Figura 5 - O significado da analogia........................................................................................53
Figura 6: Esquema da relação analógica estabelecida através da analogia.............................55
Figura 7: capa do livro/1975....................................................................................................64
Figura 8: Força e inteligência..................................................................................................64
Figura 9: Capa do livro/1984...................................................................................................65
Figura 10: Capa do livro/1989.................................................................................................65
Figura 11: Capa do livro/2002.................................................................................................67
Figura 12: Capa do livro/2006.................................................................................................72
Figura 13: Capa do livro/2011.................................................................................................72
Figura 14: Observação sobre retas...........................................................................................92
Figura 15: Observação de formas............................................................................................94
Figura 16: Formas planas e não planas....................................................................................95
Figura 17: Planificações de blocos retangulares......................................................................96
Figura 18: Caixa planificada...................................................................................................97
Figura 19: Ângulos..................................................................................................................98
Figura 20: Classificação dos ângulos......................................................................................99
Figura 21: Retas paralelas......................................................................................................100
Figura 22: Retas paralelas e concorrentes.............................................................................101
Figura 23: Polígonos..............................................................................................................102
Figura 24: Blocos retangulares..............................................................................................104
Figura 25: Perspectivas e vistas.............................................................................................105
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Figura 26: Ângulos................................................................................................................106
Figura 27: Retas perpendiculares e paralelas.........................................................................107
Figura 28: Medida de ângulos...............................................................................................108
Figura 29: Classificação de ângulos......................................................................................109
Figura 30: Perímetro..............................................................................................................110
Figura 31: Circunferência......................................................................................................111
Figura 32: Circunferência e círculo.......................................................................................112
Figura 33: Concepção da Matemática em 1975 ...................................................................124
Figura 34: Concepção da Matemática em 2011....................................................................125
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LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 - Tipo de relação analógica....................................................................................114
Gráfico 2 - Formato da relação analógica..............................................................................115
Gráfico 3 - Condição da analogia...........................................................................................116
Gráfico 4 - Posição do análogo na explicação ......................................................................117
Gráfico 5 - Nível de enriquecimento......................................................................................117
Gráfico 6 - Orientação pré-alvo.............................................................................................118
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LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Categoria das analogias.........................................................................................79
Quadro 2: Critérios de classificação das analógicas .............................................................. 83
Quadro 3: Critérios de classificação das metáforas.................................................................84
Quadro 4: Analogia do ponto..................................................................................................85
Quadro 5: Analogia da reta......................................................................................................86
Quadro 6: Analogia do plano..................................................................................................86
Quadro 7: Analogia do ponto..................................................................................................87
Quadro 8: Analogia da reta ....................................................................................................87
Quadro 9: Analogia da do plano.............................................................................................88
Quadro 10: Analogias da reta.................................................................................................88
Quadro 11: Analogia do ponto ...............................................................................................89
Quadro 12: Analogia do plano................................................................................................89
Quadro 13: Analogias do plano...............................................................................................90
Quadro 14: Analogia da figura espacial .................................................................................90
Quadro 15: Analogia da figura plana .....................................................................................91
Quadro 16: Analogias da figura espacial................................................................................91
Quadro 17: Metáfora dos elementos fundamentais da Geometria..........................................93
Quadro 18 - Circunferência...................................................................................................103
Quadro 19 - Dados coletados.................................................................................................113
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LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Conteúdo de Geometria nas Obras Pesquisadas.....................................................73
Tabela 2 - Organização do Ensino Fundamental.....................................................................79
Tabela 3 - Utilidade das A&M...............................................................................................122
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LISTA DE SIGLAS
A&M - Analogias e Metáforas
CEFET/MG - Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
COMUT - Sistema de Comunicação entre Bibliotecas
EF - Ensino Fundamental
GEEM - Grupo de Estudos do Ensino de Matemática
GEMATEC - Grupo de Estudo de Metáforas, Modelos e Analogias na Tecnologia na
Educação e na Ciência
LDBEN - Lei de Diretrizes e Base da Educação Nacional
MEC - Ministério da Educação e Cultura
MMM - Movimento de Matemática Moderna
PCNS - Parâmetros Curriculares Nacionais
PNLD - Plano Nacional do Livro Didático
RME - Rede Municipal de Ensino
UNIPAC/SC - Universidade Presidente Antônio Carlos de Santa Catarina
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 17
1.1 Objetivos ........................................................................................................................................ 24
1.1.1 Objetivo Geral .............................................................................................................................. 24
1.1.2 Objetivo Específico ...................................................................................................................... 25
2 USO DE ANALOGIAS E METÁFORAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA ........... 26
2.1 O Ensino da Matemática .............................................................................................................. 26
2.2 O Ensino da Geometria................................................................................................................. 31
2.3 Analogia ......................................................................................................................................... 37
2.4 Metáfora ......................................................................................................................................... 42
2.5 Analogias e Metáforas no Ensino ................................................................................................. 46
2.5.1 Analogias e metáforas no Ensino da Matemática...................................................................... 48
2.5.2 Analogias e Metáforas no Ensino da Geometria ..................................................................... 48
3. ANALOGIAS E METÁFORAS NOS LIVROS DIDÁTICOS ...................................... 57
3.1 O livro didático no Brasil.............................................................................................................. 57
3.2 A Geometria nos PCNs ................................................................................................................. 61
3.3 Os livros didáticos dos autores Álvaro Andriani e Maria José de Vasconcellos ..................... 62
3.4 O Currículo de Geometria do Sexto Ano do Ensino Fundamental nas Obras de Álvaro
Andrini ................................................................................................................................................. 73
3.5 Analogias e Metáforas na Geometria nas Edições de 1975 a 2011............................................ 74
4 METODOLOGIA................................................................................................................ 76
4.1 Diretrizes Metodológicas .............................................................................................................. 76
4.2 Tratamento dos dados................................................................................................................... 78
5. APRESENTAÇÃO DOS DADOS ..................................................................................... 85
5. 1 Ensino Objetivo de Matemática - 1975....................................................................................... 85
5.2 Matemática - 1984 ......................................................................................................................... 85
5.3 Praticando Matemática - 1989 ..................................................................................................... 92
5.4 Novo Praticando Matemática - 2002 ........................................................................................... 93
5.5 Novo Praticando Matemática - 2006 ......................................................................................... 103
5.6 Novo Praticando Matemática - 2011 ......................................................................................... 103
6. ANÁLISE DOS DADOS .................................................................................................. 114
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6.1 Analogias ...................................................................................................................................... 114
6.2 Metáforas ......................................................................................................................... 120
6.3 Questionamentos e Objetivos ........................................................................................ 121
6.4 Algumas Utilidades no Uso das A&M ....................................................................................... 122
6.5 Ensino da Matemática ................................................................................................................ 124
CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................... 126
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 129
ANEXOS ............................................................................................................................... 135
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1 INTRODUÇÃO
Vou começar apresentando parte da minha história e trajetória para chegar ao fim, ou
sobre outra perspectiva ao início da pesquisa, pois foi a partir da definição do objeto que a
história se inicia efetivamente.
Em 2003, comecei a participar do Grupo de Estudo de Metáforas, Modelos e
Analogias na Tecnologia na Educação e na Ciência - GEMATEC sob a coordenação do Prof.
Dr. Ronaldo Luiz Nagem. Comecei a cursar uma disciplina Analogias e Metáforas no ensino
de Ciência e Tecnologia. As leituras sugeridas pelo professor, os trabalhos desenvolvidos na
disciplina e a conexão com minha atividade profissional despertaram em mim a necessidade
de desenvolver uma pesquisa focada nas A&M no conteúdo de Geometria.
Passei a buscar mais informações sobre o tema, pois sou professora de Matemática da
Rede Municipal de Ensino de Belo Horizonte (RME) no Ensino Fundamental - EF. Ao
ministrar aulas, percebi que os alunos entravam para o 6º ano sem noção básica de Geometria.
Por isso, procurei saber o porquê dessa situação. A partir do momento em que comecei a
trabalhar o conteúdo das formas geométricas com os alunos, fazendo o uso das Analogias com
as formas da natureza, percebi que essa estratégia facilitava o entendimento de conceitos de
Geometria. Ao utilizar essa prática pedagógica, surgiu o interesse em pesquisar o tema
Analogias e Metáforas, por perceber que elas aproximam a abstração da realidade cotidiana.
Desenvolvi a investigação com o intuito de identificar a potencialidade das A&M para a
construção do conhecimento em Matemática, mais especificamente, em Geometria e refletir
sobre formas de aluno compreender esse conteúdo matemático.
Esta pesquisa é relevante na medida em que mostra como as A&M contribuem para o
ensino em geral e principalmente para o da Geometria. Segundo Duit (1991), as A&M são
recursos que o professor pode utilizar no ensino de conceitos abstratos. Ao passo que English
(1997) considera a analogia um instrumento para facilitar o raciocínio matemático,
possibilitando a assimilação de conteúdos novos.
Assim que decidi realizar essa pesquisa, iniciei o levantamento dos autores que
abordam o tema para dar-me suporte teórico. Durante esse procedimento, compartilhei autoria
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do artigo "Analogias e metáforas em livros didáticos de matemática para alunos de 11 a 14
anos de idade: aplicações no ensino de geometria" (NAGEM; NAVES, 2012). Chegamos à
conclusão de que usar analogias e metáforas para facilitar a compreensão dos conteúdos,
sendo uma estratégia para o professor utilizar na sala de aula. O artigo foi uma forma de
iniciar a pesquisa.
Comecei a pesquisa, estudando os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCNs de
Matemática, pois os PCNs são referências para a elaboração de currículos do Ensino
Fundamental e Médio no Brasil. O objetivo desse documento é garantir que crianças e jovens
brasileiros tenham acesso aos conhecimentos reconhecidos como essenciais para o exercício
da cidadania. Seu caráter não é obrigatório, podendo ser adaptado à realidade da comunidade
onde a escola está inserida. Portanto, os PCNs não são regras para controlar o que os
professores devem fazer, mas uma referência para auxiliar na elaboração de objetivos,
conteúdos e metodologia de ensino.
Dessa forma, optei por uma obra que estivesse na lista do Programa Nacional de
Livros Didáticos - PNLD. No PNLD/2008, o livro didático é compreendido como um
material pedagógico que deve oferecer informações e explicações sobre o conhecimento
matemático que interfere e recebe interferências provenientes das práticas sociais da
atualidade e do passado. Além disso, deve conter propostas pedagógicas que considerem o
conhecimento prévio, o nível de escolaridade do aluno e oferte atividades motivadoras para
que o estudante participe ativamente de seu processo de construção de conhecimentos e
interaja com seus companheiros de classe, devendo ser um material de referência para o aluno
e também para o professor.
Ao pesquisar nesses instrumentos foi possível perceber que o livro de Matemática de
Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos atendia às sugestões dos PCNs. Além disso, o livro
estava indicado para ser escolhido pelas escolas do EF. Esse foi um dos motivos que me levou
a escolher esse livro para fazer parte de meu objeto de estudo. Para delimitar o assunto, optei
por estudar a Geometria nas edições deste livro do 6º ano do EF. As edições estudadas são de
1975, 1984, 1989, 2002, 2006 e 2011. De 1975 a 1989, a autoria era somente de Álvaro
Andrini e a partir de 2002, Maria José de Vasconcellos passou a ser coautora.
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Também, esses livros foram utilizados com a finalidade de verificar, classificar e
analisar a trajetória das A&M, de forma sistemática, bem como para verificar o aumento no
seu uso como potente recurso para ensinar.
O maior desafio de pesquisar esses livros foi a dificuldade para encontrar as edições de
1975 e 1984. Foi necessário utilizar o sistema COMUT entre o CEFET/MG e a UNIPAC/SC
para conseguir cópias das partes do livro necessárias para a realização da pesquisa. Esse
documento se encontra no anexo dessa pesquisa.
Outro desafio: não consegui contato com os autores. Pedi os dados para contato na
Editora do Brasil, onde os livros foram publicados, a editora me respondeu que isso não seria
possível. Busquei na internet, dados sobre os autores Álvaro Andrini & Maria José de
Vascellos, conseguindo somente os livros didáticos.
Nos levantamentos que fiz, encontrei pesquisadores que tratam da obra de Andrini que
foram muito úteis no embasamento dessa pesquisa: Ramos (2006), autor que pesquisou sobre
a praticidade da obra de Matemática de vários autores, dentre eles Andrini & Vasconcellos
(2002), Jamelli (2007), que aborda sobre a argumentação no livro "Praticando Matemática"
dos referidos autores, Oliveira (2009) tratando da evolução das argumentações que validam
atividades sobre construções geométricas em Andrini & Vasconcellos (2006), entre outros.
Esta pesquisa tem como principal preocupação e eixo norteador, o uso de Analogias e
Metáforas (A&M) como recurso didático para o ensino de Geometria no 6º ano do Ensino
Fundamental - EF. O objeto de estudo busca por meio de um olhar específico e centrado,
identificar de forma sistemática as Analogias e Metáforas como recursos didáticos para o
ensino de Geometria, verificando o aprimoramento do seu uso na obra de Matemática dos
autores Andrini (1975, 1984 e 1989) Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos (2002, 2006,
2011) editada pela Editora do Brasil e consta no Programa Nacional do Livro Didático
(BRASIL/PNLD, 2007).
Entre a década de 40 e 50 do século XX, a Matemática foi denominada formalista
clássica, com a utilização de teoremas, axiomas, definições, postulados entre outros. Segundo
Fiorentini (1995, p. 5), essa tendência da Matemática se caracterizou por dar ênfase às ideias e
formas da Matemática clássica, principalmente ao modelo euclidiano e à concepção platônica
de Matemática. O ensino era centrado no livro e pela exposição do professor para o aluno
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recebendo os conteúdos passivamente, pois ele memorizava e reproduzia os raciocínios e
procedimentos dados prontos pelo professor ou pelo livro didático.
Os livros didáticos da década de 50 e 60 são caracterizados por um ensino de
Matemática que se convencionou chamar de “tradicional” e que quase sempre associamos à
memorização de regras e ao treino de algoritmos os quais formariam um adulto bem
disciplinado, persistente e rigoroso. Dessa forma, a Matemática seria um meio pelo qual se
formariam homens bem organizados, de pensamento claro, preciso e ordenados, “um guia
insubstituível nas estradas que levam às concepções científicas e às realizações da vida
prática". (FONSECA et al, 2009, p. 48).
De acordo com Duarte & Silva (2006), surgiu um movimento com o objetivo de
melhorar o conteúdo e o ensino de Matemática a partir de 1950. Em 1955 ocorreu o I
Congresso Nacional de Ensino da Matemática, em Salvador, para defender as ideias desse
movimento. Sugeriram-se mudanças pouco significativas com relação ao conteúdo, algumas
no contexto de tópicos remanejados de um ano para outro. Em 1957, no II Congresso os
teóricos Ubiratan D'Ambrosio, Osvaldo Sangiorgi e o Major Emmanuel Jorge F. Barbosa
defenderam a utilização da Matemática moderna no ensino secundário. Em 1959, veio o III
congresso no qual se sugeriu o desenvolvimento de experimentos e de inserção da Matemática
moderna em nível secundário. Quanto ao IV Congresso, ocorrido em Belém, em 1962, alguns
de seus artigos, aparecendo nas publicações de Matemática moderna para o ensino secundário
do Grupo de Estudos do Ensino de Matemática - GEEM. No ano de 1966, ocorreu o V
Congresso Nacional, que abordou os preceitos da Matemática moderna e sua
internacionalização.
Dessa forma, nos anos de 1960, o ensino de Matemática no Brasil e também de outros
países foi influenciado pelo Movimento da Matemática Moderna - MMM, que procurava
aproximar a Matemática da escola básica com aquela que os pesquisadores desta área do
conhecimento produziam. Esse grupo enfatizava as estruturas algébricas, a teoria dos
conjuntos e a tipologia. Atualmente sabe-se que este movimento fracassou. Entretanto, os
PCNs de Matemática de 1998 defendem que muitas ideias do MMM ainda permanecem no
ensino de Matemática no Brasil. Por exemplo, ainda há a insistência em trabalhar a linguagem
da teoria dos conjuntos nas séries iniciais, em formalizar precocemente conceitos, dando
predomínio a álgebra nas séries finais, com poucas aplicações práticas no EF. (BRASIL,
21
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1998, p. 21). Por isso, esse é um movimento de grande alcance que precisa de investigações e
reflexões para saber como as ideias dele foram interpretadas efetivamente.
Sintetizando, nas décadas de 1960 e 1970 a Matemática era denominada moderna com
uma abordagem internalista, caracterizada pela precisão da linguagem matemática, pelo rigor
e pelas justificativas das transformações algébricas e pelas propriedades estruturais. Era
voltada para a axiomatização, para as estruturas algébricas, para a lógica e para os conjuntos,
sendo tratada como formalista moderna. Nessa fase, a Matemática ainda era centrada no
professor e o aluno recebia o conteúdo passivamente, como na formalista clássica. O ensino
de Matemática continuava "tradicional" (FIORENTINI, 1995, p. 15). De acordo com os PCNs
de 1998, no Brasil, nessas décadas, o ensino de Matemática também era tratado de moderno.
O MMM foi um movimento educacional de uma política de modernização da economia. Esse
cenário da Matemática era considerado como uma via de acesso com privilégios para o
pensamento científico e tecnológico. Buscou-se aproximar a Matemática desenvolvida na
escola com a contribuição de estudiosos e pesquisadores, fundamentando-se em grandes
estruturas de organização do conhecimento matemático contemporâneo, dando ênfase à teoria
dos conjuntos, estruturas algébricas, tipologia entre outra. Esse movimento trouxe em muitos
países, incluindo o Brasil, debates e amplas reformas no currículo de Matemática. (BRASIL
1998).
A Matemática surgiu de necessidades básicas, em especial econômicas, para
contabilizar diversos tipos de objetos. De forma semelhante, a origem da geometria (do
grego geo =terra + metria= medida, ou seja, "medir terra") está intimamente ligada à
necessidade de melhorar o sistema de arrecadação de impostos de áreas rurais. Foram
os antigos egípcios que deram os primeiros passos para o desenvolvimento do saber.
(IMENES & LELLIS, 2007).
Ainda segundo Imenes & Lellis (2007), as primeiras considerações humanas a respeito
da Geometria originaram-se da necessidade de “medir a terra”. Em todas as atividades
incluíam-se observações, comparações e relações entre formas e tamanhos. Desde a mais
remota civilização, o homem já pintava em cavernas, animais e objetos, demonstrando
simetria e congruência.
Com o advento da Matemática moderna no ensino, não se exalta mais o indivíduo
disciplinado, mas sim, o inteligente. Conclamam-se os professores de Matemática a
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abandonar o mero “treinamento de técnicas mecanizáveis” e a trabalharem de forma a
contribuir “para o aprimoramento da inteligência e o desenvolvimento da habilidade de
pensar”. (BRASIL/PNLD, 2005).
A&M fazem parte do cotidiano das pessoas e são utilizadas, muitas vezes na
educação, como forma de facilitar o ensino, aproximando os conceitos com o familiar. Podem
contribuir dessa maneira, para um processo de ensino e de aprendizagem significativos que
levem em consideração os conhecimentos prévios dos alunos. Nesse sentido, Bourdieu (2002)
considera as A&M uma contribuição empírica e teórica na construção de conhecimentos em
geral.
Para Duit (1991), as analogias constituem valiosas ferramentas para mudanças
conceituais e facilitadoras do entendimento do abstrato na construção de conhecimentos.
Também, elas atuam no processo de associações entre o estranho e o familiar, possibilitando a
reestruturação de conhecimentos prévios ou na formação de novos esquemas de cognição. Isto
é, um domínio menos familiar, assunto científico a ser esclarecido, denominado de “alvo,
estabelecendo uma identidade estrutural ou funcional entre o análogo e o alvo. A&M são
instrumentos valiosos para transformar informações em conhecimentos por atuar de forma
explanatória e heurística através de um processo de tensão cognitiva, com associação entre o
estranho e o familiar, em outras palavras, do conhecimento prévio aos novos conhecimentos.
Nesse sentido, Glynn et al. (1989), entendem que a utilização das A&M torna a abstração
compreensível por semelhança com um domínio mais familiar, denominado de “análogo”.
Elas fazem parte do cotidiano, facilitando o processo de ensino e aprendizagem significativos,
pois aproxima os conceitos ao que é familiar aos estudantes porque considera os
conhecimentos prévios destes.
Para Aristóteles1 apud Machado (1995, p. 10) “a metáfora consiste em dar a uma coisa
o nome de outra coisa, produzindo-se como que uma transferência de significados, com base
na analogia ou na semelhança”. Uma característica marcante da Metáfora é o intuito de dizer
alguma coisa, para entender ou significar outra. Aristóteles (2001), diz o mesmo em outras
palavras: "A metáfora é a transposição do nome de uma coisa para outra, transposição do
1
Filósofo grego. Aristóteles nasceu na cidade de Estagira em 384 a.C. e foi discípulo de Platão. Sua
obra constitui um dos principais fundamentos do pensamento ocidental. Faleceu na cidade de Cálsis,
no ano 322
a.C.
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gênero para a espécie, ou da espécie para o gênero, ou de uma espécie para outra por via de
analogia."
Embora as pesquisas sobre A&M no ensino de Matemática sejam escassas, é
importante considerar que há uma forte relação histórica entre Linguística e a Matemática.
Alguns autores como Duit (1991), English (1997), Vasconcellos & Andrini (2006); Fonseca
et al (2009) entre outros consideram que a observação das simetrias existentes na natureza e a
consequente percepção de seu valor artístico e estético, teriam levado o homem a utilizar tais
representações e a perceber suas regularidades. Assim, o sujeito organiza e transforma a
realidade sem jamais copiá-la, atua sobre a realidade e o objeto, desenvolvendo o processo de
construção mental do conhecimento.
É importante destacar, em nossa prática pedagógica, que, as situações de
aprendizagem podem estar centradas na construção de significados, na elaboração de
estratégias e na resolução de problemas em que o aluno desenvolve processos importantes
como intuição, analogia, indução e dedução, e não atividades voltadas unicamente para a
memorização, desprovidas de compreensão ou de um trabalho que privilegie uma
formalização precoce dos conceitos. Nesse sentido, English (1997, p. 5) considera que as
crianças necessitam reconhecer a correspondência entre a fonte e o alvo, mapeando o que
poderia ser ambíguo. O uso da analogia mostra claramente a relação estrutural que dá suporte
ao argumento almejado, facilitando o raciocínio matemático na incorporação dos conceitos
estudados. A criança ganha confiança para articular os conceitos ou generalidades
transmitidos pelo concreto, fazendo com que ela desloque abstrações, esclarecendo o
conteúdo pensado. Por isso, a analogia pode ser utilizada no ensino da Matemática, no sentido
auxiliar a construção de conceitos matemáticos, propiciando que o aluno construa significados
com base nos conhecimentos prévios e nas formas de raciocínio que é o elemento chave para
o processo de aquisição desses conceitos. Dessa maneira, as noções de abstrato e etéreo são
substituídas para o real, físico e passível de imaginação. Sendo assim, o raciocínio
matemático se configura pela existência de múltiplos raciocínios envoltos por estruturas que
surgem por meio de experiências físicas quando o indivíduo interage com o ambiente.
(ENGLISH, 1997, p. 4).
Percebemos que a Matemática é vista por muitos alunos atualmente, como uma
disciplina que gera muitas dificuldades, conflitos pessoais e até certo grau de ansiedade
emocional. Esse problema gerou a necessidade de pesquisar esse assunto para refletir sobre
24
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novas alternativas educacionais que sejam mais atraentes e envolventes e que possam
transformar o professor e o aluno em sujeitos da educação. Isso me fez depreender a
capacidade das A&M na Educação e em especial na Geometria.
Para Itacarambi & Berton (2008, p.4), as atividades de resolução de problemas na
aprendizagem em geral é uma das maiores dificuldades do estudante e que podem resultar no
fracasso escolar. Os problemas geométricos se incluem nessa observação. Para as autoras a
resolução de problemas é uma atividade tradicional. Mas qualquer atividade procedimental
realizada em sala de aula ou fora dela, é considerada problema, não há diferença entre
exercícios e problemas.
As questões que norteiam a pesquisa são as seguintes:
(1) As A&M têm destaque nos PCNs de Matemática e no PNLD?
(2) De que forma as A&M no ensino de Geometria aparecem nas obras analisadas?
(3) Os autores foram modificando as A&M nas obras pesquisadas?
(4) Que tipos de analogias e metáforas foram mais utilizadas nas obras analisadas?
(5) Os autores relacionam as A&M expostas no conteúdo com os exercícios que
aparecem geralmente no final do capítulo?
1.1 Objetivos
1.1.1 Objetivo Geral
Fornecer subsídios para diagnosticar o uso de Analogias e Metáforas no conteúdo de
Geometria na obra de Andrini & Andrini e Vasconcellos do 6° ano do Ensino Fundamental,
no período entre 1975 até 2011.
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1.1.2 Objetivo Específico

Realizar um estudo capaz de identificar a tendência de A&M nas edições dos
livros pesquisados;

Verificar a trajetória das A&M nesses livros;

Classificar as A&M nessas edições.
Levando em conta todas essas considerações, essa dissertação se estrutura da seguinte
forma:
1. INTRODUÇÃO: Neste capítulo, apresento o objeto de estudo, mostrando o problema, a
justificativa e os questionamentos a serem elucidados com a pesquisa.
2. USO DE ANALOGIA E METÁFORAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA: Este capítulo define
o que são analogias e metáforas no ensino em geral, em Matemática e em Geometria.
3. ANALOGIAS E METÁFORAS NOS LIVROS DIDÁTICOS: o terceiro capítulo discorre
sobre a origem do livro didático no Brasil, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), o
Programa nacional do livro didático (PNLD), sobre o livro de Matemática dos autores Álvaro
Andriani e Maria José de Vasconcellos, o currículo de Geometria no 6º do Ensino
Fundamental e a trajetória das analogias e metáforas na geometria nas edições de1975 a 2011,
do livro em questão.
4. METODOLOGIA: Apresenta as diretrizes metodológicas e o tratamento dos dados.
5. APRESENTAÇÃO DOS DADOS: Este capítulo apresenta os dados e classifica as
analogias e metáforas.
6. ANÁLISE DOS DADOS: Discute os resultados, mostrando se os objetivos foram
alcançados e se os questionamentos foram respondidos ou se há a necessidade de pesquisas
futuras.
CONSIDERAÇÕES FINAIS: Neste capítulo há um fechamento associado à introdução,
retoma algum ponto importante, mostra o caráter científico e a relevância da pesquisa para a
academia entre outros.
REFERÊNCIAS: Nas referências são listados todos os trabalhos utilizados para compreender
o objeto de estudo e encontrar as respostas para as perguntas realizadas.
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2 USO DE ANALOGIAS E METÁFORAS NO ENSINO DA
MATEMÁTICA
Conforme Rodrigues (2007, p. 21), A&M são muito usadas na construção de
conhecimento de todas as áreas, mas muitas vezes são ocultas, imperceptíveis, disfarçadas ou
até mesmo, descartadas. Entretanto, elas estão presentes na história e filosofia da ciência,
exercendo cognitivamente, um papel semelhante ao do processo indutivo.
2.1 O Ensino da Matemática
Segundo Piaget (1995, p. 59), a passagem do pensamento operatório concreto para o
pensamento formal ocorre após os 11 ou 12 anos, as operações lógicas começam a ser
transportadas do plano da manipulação para as ideias. É relevante tratar dessa fase do
desenvolvimento cognitivo humano porque essa pesquisa envolve estudantes com essa faixa
etária.
Com o pensamento operatório concreto o indivíduo é capaz de:

Associar situações reais;

Perceber situações que se subordinam às transformações entre si;

Perceber as consequências das transformações;

Assimilar as transformações por meio de operações;
Nessa fase, anterior aos 11 anos, o indivíduo ainda não cria hipótese, agindo sobre a
realidade concreta.
Já o pensamento formal, surge a partir da adolescência, fase na qual o indivíduo
consegue:

Inferir sobre dados;

Usar a lógica das combinações possíveis do pensamento;

Lidar com o hipotético;
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
Utilizar o sistema de operações de segunda potência (multiplicação de multiplicação);

Inverter o sentido entre o real e o possível;

Coordenar em um sistema geral uma nova forma de equilíbrio, todos os campos
parciais, próprios do pensamento concreto.
O pensamento formal dispõe de amplas operações virtuais, ultrapassando o domínio
das operações, usadas real e momentaneamente. Essas operações são condição necessária de
equilíbrio por correspondência com transformações virtuais e por se tratar de um sistema
reversível com base na lógica.
O pensamento formal é, portanto, “hipotético-dedutivo”, isto é, capaz de deduzir as
conclusões de puras hipóteses e não somente através de uma observação real. Suas conclusões
são válidas, mesmo independente da realidade de fato, sendo por isto que essa forma de
pensamento envolve uma dificuldade e um trabalho mental muito maior que o pensamento
concreto. (PIAGET, 1995, p. 59). O pensamento formal possibilita a inferência de que o
indivíduo nessa fase cognitiva tem a capacidade de interpretar A&M.
Na teoria piagetiana, o conhecimento do real é produzido por uma elaboração pessoal,
sendo a consequência de um processo no interior do pensamento em que o próprio indivíduo
coordena os entendimentos diferentes entre si, dando significado, organizando, relacionando
com conhecimentos prévios. Essa dinâmica proporciona a construção de conhecimentos
novos, uma aprendizagem significativa que mobiliza a cognição, favorecendo o acesso a
novas aprendizagens por meio de suas próprias estratégias intelectuais para acessar o
conhecimento. Conforme Piaget (1995), se o aluno recebe um saber já construído, perde o
direito da descoberta. Quando o estudante descobre, ele aprende devido a importância de ter
sido capaz. A mente humana faz uma seleção natural de informações que são mais
representativas para ele. Isso permite um elo entre o conhecimento científico e o empírico,
que é um desafio para o ensino das ciências no âmbito escolar.
Para Nagem et al (2001, p. 6):
A visão construtivista da aprendizagem admite que muito da aprendizagem
pode ser vista em termos do conhecimento conceitual, mas a diferença
básica entre as visões 'tradicionais' e construtivistas, é que a aprendizagem
frequentemente não é simplesmente uma cadeia em contínua expansão, mas
uma construção totalmente nova do que já é conhecido.
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De acordo com Lefrançois (2008, p. 259), as operações formais constituem-se um
importante avanço das operações concretas. Na fase das operações concretas, as crianças
aplicam a lógica diretamente aos objetos reais ou por aqueles que são fáceis para se imaginar,
por isso chamam-se concretas. Nessa fase, as crianças não utilizam o hipotético, a menos que
ela seja associada diretamente com a realidade concreta. "Os adolescentes, ao contrário, são
potencialmente capazes de lidar com hipotético ou o ideal (com o não concreto)".
Em Demo (2002, p. 77), essa ideia fica clara na proposta do aprender a aprender:
Sendo assim, a Matemática apenas copiada além de revelar um professor-cópia, nega sua
função propedêutica de saber pensar logo é mais importante passar menos conteúdo, e
compreendê-lo em seu raciocínio completo a levar o aluno ao exagero à exaustão.
Nesse sentido, inserem-se algumas ideias de Bachelard, quando se incentiva um
ensino participativo e ativo valorizando mais a pergunta do que a resposta. Segundo ele, “para
ensinar o aluno a inventar, é bom mostrar-lhe que ele pode descobrir” (BACHELARD, 1996,
p. 303).
Para Laudares (1987, p. 3) é possível correlacionar os conceitos matemáticos com a
vida real, com as outras áreas do conhecimento. Para esse autor, possibilitar o exercício do
raciocínio por meio de análise e interpretação dos conceitos, é uma forma a exercitar o
pensamento, chegar aos resultados, incentivar a pesquisa e a buscar outras soluções possíveis.
Segundo o autor:
Os autores das obras didáticas de Matemática procuram se esmerar no rigor,
ao escrever seus textos, desconhecendo as ligações da Matemática com o
mundo real, daí seus trabalhos não diferirem muito entre si. Não faz muito,
houve uma propagação de livros didáticos da Matemática, dita Moderna,
como se houvesse uma antiga e uma nova. (LAUDARES, 1987, 11).
Além disso, eles passam a compreender e a utilizar convenções e regras que serão
empregadas no processo de ensino e aprendizagem. Essa compreensão favorece sua
integração em um mundo social bastante complexo e proporciona as primeiras aproximações
com futuras teorizações.
Quando enfatizamos a faixa etária e o ciclo pedagógico proposto, os PCNs orientam
que a caracterização do aluno de terceiro ciclo não é algo que possa ser feito de maneira
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simplificada. Nessa etapa da escolaridade convivem alunos de 11 e 12 anos, com
características muitas vezes ainda bastante infantis, e alunos mais velhos, que já passaram por
uma ou várias experiências de reprovação ou de interrupção dos estudos, sendo que, dentre
estes, muitos já trabalham e assumem responsabilidades perante a família. (BRASIL, 1997).
Quando se trata dos adolescentes, as significativas mudanças que interferem em seu
desenvolvimento físico, emocional e psicológico repercutem fortemente no comportamento e
trazem preocupações relacionadas ao futuro profissional, à vida afetiva, à sexualidade e à
necessidade de liberdade. (BRASIL, 1998).
Se por um lado, nessa fase do desenvolvimento dos alunos, acentuam-se de modo
geral as atitudes de insegurança, por outro lado, ampliam-se as capacidades para estabelecer
inferências e conexões lógicas, para tomar algumas decisões, para abstrair significados e
ideias de maior complexidade, para argumentar expressando ideias e pontos de vista com
mais clareza. Outro aspecto que se evidencia é a maior possibilidade de compreender e
utilizar recursos tecnológicos.
Em um quadro complexo como esse, é necessário refletir sobre o que é possível fazer
para minimizar os problemas que caracterizam a passagem dos alunos para o terceiro ciclo.
Dentre os aspectos a serem considerado para reverter esse quadro, destaca-se a importância de
levar efetivamente em conta que os alunos chegam ao terceiro ciclo com uma bagagem
razoável de conhecimentos matemáticos e que é fundamental dar continuidade ao processo de
consolidação desses conhecimentos. No entanto, ocorre muitas vezes que esses alunos não
conseguem exprimir suas ideias, usando adequadamente a linguagem matemática; isso não
significa que não tenham construído nenhum tipo de conceito ou desenvolvido alguma
habilidade. Por isso, é fundamental diagnosticar o domínio que cada aluno tem sobre os
diferentes conteúdos que serão explorados e identificar quais são suas possibilidades e
dificuldades diante da aprendizagem desses conteúdos. (BRASIL, 1998).
Outro aspecto importante que o professor precisa levar em conta consiste em canalizar
para a aprendizagem toda a ebulição desse espírito questionador, que estimula os alunos a
buscar explicações e finalidades para as coisas, discutindo questões relativas à utilidade da
Matemática, como ela foi construída, como pode contribuir para a solução tanto de problemas
do cotidiano como de problemas ligados à investigação científica. Desse modo, o aluno pode
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identificar os conhecimentos matemáticos como meios que o auxiliam a compreender e atuar
no mundo. (BRASIL, 1998).
Indicar um conjunto de competências matemáticas a serem construídas é sempre um
terreno difícil. Por isso, adverte-se que a relação de competências de natureza mais geral,
apontada a seguir, não esgota todas as possibilidades. Ao contrário, pode e deve ser adaptada
em função das diversidades de cada contexto educacional. Além disso, é importante não as
encarar como independentes umas das outras. Tendo isso em conta, um conjunto de
competências mais gerais pode ser citado:

Interpretar matematicamente situações do dia-a-dia ou de outras áreas do
conhecimento;

Usar independentemente o raciocínio matemático, para a compreensão do mundo que
nos cerca;

Resolver problemas, criando estratégias próprias para sua resolução, desenvolvendo a
iniciativa, a imaginação e a criatividade;

Utilizar a argumentação matemática apoiada em vários tipos de raciocínio: dedutivo,
indutivo, probabilístico, por analogia, plausível, entre outros.
As competências gerais acima esboçadas desenvolvem-se de forma articulada com
competências específicas associadas aos conteúdos matemáticos visados no ensino
fundamental. (BRASIL, 1998).
D'Ambrosio (1998, p. 87) considera fundamental que o conteúdo esteja relacionado
com a contemporaneidade na preparação para a cidadania. É importante educar para a
cidadania, dentro do conhecimento moderno incorporado pela ciência e tecnologia. Dessa
forma, compete ao professor de Matemática destacar alguns dos princípios éticos importantes
que se associam a esta área do conhecimento.
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2.2 O Ensino da Geometria
A Matemática é uma forma de representar a realidade, utilizando o abstrato para
mostrar o concreto, fazendo também o inverso do concreto para o abstrato na construção de
conhecimento. Esse jogo entre o abstrato e o concreto é uma das principais características do
pensamento geométrico. (CYRINO, 2003, p. 56).
Para Pires & Gomes (2006, p. 84), a Geometria nasceu intuitivamente no Egito, mas
os gregos, entre eles, Euclides, quem deu uma estrutura de ciências e um método próprio a
ela, por essa razão, ela foi denominada geometria euclidiana. De acordo com Nunes (2006, p.
36), a origem da dimensão euclidiana plana foi estudo de muitos matemáticos, tendo as
seguintes definições:

Ponto - não tem partes, ou não possui nenhuma grandeza.

Linha - tem comprimento sem largura. As extremidades da linha são pontos.

Linha reta - posta entre as suas extremidades.

Superfície - possui comprimento e largura.
As extremidades da superfície são linhas e a superfície plana é onde se assenta toda
linha reta entre quaisquer dois pontos da mesma superfície.
Posteriormente, surgiu a denominação de sólido, generalizando a definição de terceira
dimensão, considerando que o sólido possui comprimento, largura e profundidade.
A dimensão euclidiana pode ser entendida como dimensão que relaciona os objetos ao
espaço onde eles se inserem. Dessa forma, pontos têm dimensão 0; retas e curvas, 1; plano, 2;
sólido, 3. Por indução podem ampliar-se sucessivamente em suas dimensões.
Euclides considerava que as formas da natureza podiam se reduzir a formas
geométricas simples como, por exemplo, o quadrado, circunferências, triângulos entre outros.
Porém a geometria euclidiana não era suficiente para explicar e descrever todos os fenômenos
matemáticos relacionados ao espaço. Nesse aspecto, questiona-se como curvas que pertencem
à dimensão zero, preenchem o espaço de um quadrado que é da dimensão 2. Essa foi uma
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preocupação de muitos matemáticos da época, envolvidos no desenvolvimento da topologia,
entre eles, Poincaré2, Lebesque3, Brower4, Cantor Peano5.
Entre a década de 1960 e 1970, com o surgimento do movimento da Matemática
Moderna, o ponto principal foi o combate à Geometria euclidiana. Nessa época, o professor
era autoritário, detentor do conhecimento marcado pela memorização de fórmulas que eram
reproduzidas pelo aluno, cujo contexto histórico brasileiro era o golpe militar.
No entanto, o ensino da Geometria apareceu pouco por algum tempo nos guias e
orientações curriculares; nos livros didáticos e nas escolas de formação docente. Por isso,
muitos professores de Matemática não consideram necessário trabalhar a Geometria na sala
de aula. A Geometria ficava restrita apenas à área de Educação Artística com conteúdo de
Desenho Geométrico. Esse período marcava o início da Lei de Diretrizes e Bases da Educação
Nacional. (Lei 5692/71) (BRASIL, 1971). Mas isso tem mudado nos últimos anos visto quese
percebe uma revalorização desse conteúdo matemático. Com o surgimento dos Parâmetros
Curriculares Nacionais - PCNs - iniciou-se a valorização da interdisciplinaridade centrada na
formação do cidadão participativo, criativo, crítico, reflexivo, habilitado em realizar conexões
entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. Os PCNs dão ênfase no ensino da
Geometria, presente em todos os lugares. (ITACARAMBI; BERTON, 2008, p.2).
A resolução de problemas é outro ponto a considerar na construção do
conhecimento na sala de aula e a Geometria traz, por meio de suas
representações, uma contribuição significativa. Não poderíamos deixar de
lembrar que a Geometria está presente em múltiplos campos da nossa
sociedade, como na produção industrial, no design, na arquitetura, na
topografia, nas artes plásticas e na natureza. (ITACARAMBI; BERTON,
2008, p.3).
Uma das atividades recomendadas por essas autoras é de percepção do entorno. O
estudante precisa desenvolver essa capacidade para ver que a Geometria circula por todas as
partes. Por todos os lados há locais, fachadas e construções que podem ser observadas. Além
disso, ao desenhar ponto de referência, itinerário, percurso, faz-se necessário utilizar os
2
Jules Henri Pincaré, matemático e físico francês, escreveu sobre topografia. (1854-1912)
Matemático francês Henri Lebesque que iniciou pesquisas sobre superfícies não alinhadas que podem ser
aplicadas sobre o plano. (1875-1941).
4
Litzen Egbertus Jan Brouwer que contribuiu para o desenvolvimento da topologia. (1881-1966).
5
Hilbert Cantor Peano, matemático que acreditava que a forma precede o conteúdo e os objetos matemáticos são
definidos por sua forma.
3
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conhecimentos geométricos para fazer os traçados e seus ângulos. A própria natureza tem
formas geométricas simétricas.
A Geometria está inserida no processo de ensino e de aprendizagem, por isso ela deve
ser incluída na proposta curricular de Matemática, observando o nível para cada ciclo de
formação humana. Essa afirmação é respaldada por Brigo (2010, p. 40), para quem o ensino
da Geometria ocupa um lugar de destaque na educação brasileira. A partir de 1997, os PCNs
valorizam-na, indicando-a como conteúdo da proposta curricular das escolas.
Os PCNs colocam a Geometria em dois blocos, Espaço e Forma e Grandezas e
Medidas. O primeiro destaca a importância da Geometria no currículo de Matemática do EF
porque ela permite que o aluno desenvolva a compreensão do mundo no qual ele vive. Esse
bloco da Geometria estimula no aluno a observação e percepção de semelhanças e diferenças,
identificando as regularidades que associam a Matemática a outras áreas do conhecimento,
permitindo a exploração dos objetos do mundo físico e cultural, tais como pinturas, desenhos,
esculturas, artesanato entre outros. O segundo bloco possibilita interação entre Aritmética e
Geometria. Esse bloco tem uma relevância social, é prático e útil por permitir melhor
compreensão dos conceitos métricos relacionados aos espaços e às formas. (FONSECA et al,
2009, p. 24).
Segundo Pires & Gomes (2006), a Geometria é uma área da Matemática que precisa
ser considerada um corpo de conhecimentos construído social e politicamente no decorrer da
história de transformação da natureza e da sociedade por meio da ação humana. O homem
encontrou na natureza objetos cujas características são cor, tamanho, formas entre outros. Para
English (1997, p. 262), "a relação entre objetos similares e a relação de similaridade não é
simples, a presença de relação similar é um ponto crucial para uma boa analogia, a presença
de objeto similar frequentemente determina se a analogia será mesmo notada e representada."
Nessa perspectiva, entendemos que o sujeito procura adaptar-se à realidade em que
vive, provendo seu desenvolvimento mental e intelectual por meio de seus estágios
evolutivos. Nos primórdios da humanidade surgiu a necessidade de avaliar com precisão o
espaço, surgindo as primeiras ideias de medidas, originando a Geometria. Vários povos
deixaram monumentos e templos, e nestes, suas marcas geométricas.
A Geometria pode ser percebida nas navegações, construções, agricultura e em outros
espaços. Gerdes (1992, p. 18) afirma que ao observar a natureza o homem refletiu sobre a
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superfície de um lago, contorno do Sol e da Lua, raio de luz. Assim ele foi elaborando
conceitos, como o de círculo, retas entre outros. As formas geométricas estão presentes na
cela de uma colmeia ou em uma teia de aranha. Para atender a suas demandas, o homem
produziu objetos de formas mais regulares.
O ensino da Geometria permite, dessa forma, melhorar a formação intelectual e
matemática do sujeito, sendo um componente importante para o desenvolvimento da
Aritmética e da Álgebra, por isso deve ser estudada em igual aos outros conteúdos
matemáticos. Por essa razão, é pertinente citar Pires & Gomes (2006, p. 89), autor para quem
"a criança deve ter acesso a atividades de construção, concepção, comparação, descrição e
transformação de figuras."
No sexto ano, os alunos reorganizam e ampliam os conhecimentos sobre Espaço e
Forma abordados no ciclo anterior, trabalhando com problemas mais complexos de
localização no espaço e com as formas nele presentes. Assim é importante enfatizar as noções
de direção e sentido, de ângulo, de paralelismo e de perpendicularismo, as classificações das
figuras geométricas (quanto à planicidade e quanto à dimensionalidade), as relações entre
figuras espaciais e suas representações planas, a exploração das figuras geométricas planas,
pela sua decomposição e composição, transformação (reflexão, translação e rotação),
ampliação e redução. (BRASIL, 1998).
A partir de contextos que envolvam a leitura de guias, plantas e mapas, pode-se propor
um trabalho para que os alunos localizem pontos, interpretem deslocamentos no plano e
desenvolvam a noção de coordenadas cartesianas, percebendo que elas constituem um modo
organizado e convencionado, ou seja, um sistema de referência para representar objetos
matemáticos como ponto, reta e curvas. Também é interessante que os alunos percebam a
analogia entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas geográficas. (BRASIL, 1998).
Assim, é fundamental que os estudantes ampliem os significados que possuem acerca
dos números e das operações, busquem relações existentes entre eles, aprimorem a capacidade
de análise e de tomada de decisões, que começam a se manifestar. Também é necessário
explorar o potencial crescente de abstração, fazendo com que eles descubram regularidades e
propriedades numéricas, geométricas e métricas. Com isso, criam-se condições para que o
percebam que a atividade matemática estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de
investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas. (BRASIL, 1997).
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Situar-se, reconhecer a posição dos objetos no espaço, saber orientar-se são
competências particularmente importantes, uma vez que a capacidade de visualizar é
fundamental na Geometria, tanto no sentido de captar e interpretar as informações visuais,
como no de expressar as imagens mentais por meio de representações, gráficas ou não.
Atividades de desenho apoiadas em instrumentos ou de construção de objetos geométricos –
planificações, maquetes, recortes dobraduras entre outras. estão muito presentes na maioria
das coleções de livros didáticos. Por meio delas, espera-se que o aluno seja levado a observar
os objetos geométricos no mundo físico e, de forma progressiva e adequada, possa evoluir de
noções mais intuitivas para compreender os modelos matemáticos – as figuras geométricas –
com suas propriedades e classificações. (BRASIL, 1997).
Em muitas obras, no entanto, as validações dessas propriedades, por meio de
visualização, de experimentos com materiais concretos ou de medições em desenhos, não são
bem conduzidas, o que pode dificultar a construção do raciocínio dedutivo. Na maioria das
obras ainda persiste uma atenção exagerada às classificações e à nomenclatura. Essa limitação
se revela, de forma clara, no estudo dos ângulos formados por uma transversal.
Para D’Ambrosio (1996), uma das grandes dificuldades em ensinar a Matemática nas
escolas está relacionada à forma como essa área do conhecimento usualmente é apresentada
aos estudantes como um conhecimento pronto e acabado, que pouco está relacionado com as
situações vivenciadas cotidianamente pelas pessoas e a universalidade com que ela está
presente nos currículos escolares. Segundo o autor, esse processo se caracteriza da seguinte
maneira:
Embora, a nosso ver, a descontextualização da Matemática seja um dos
maiores equívocos da Educação Moderna, o que efetivamente se constata é
que a mesma Matemática é ensinada em todo o mundo, com algumas
variantes que são bem mais estratégias para atingir o conteúdo
universalmente acordado como devendo ser a bagagem de toda a criança que
passa por um sistema Nova Escola. (D’AMBROSIO, 1996, p.7).
Em 1986, esse autor, ao tratar do progresso científico afirmou que há um paradoxo
entre o progresso científico e tecnológico e as desigualdades sociais entre vários países,
embora esse avanço pudesse melhorar a vida do homem. O objetivo da ciência seria aliviar as
dificuldades dos seres humanos. O ensino da Matemática ou de qualquer outra área do
conhecimento pode ser justificado se tratado dentro de um contexto próprio e de objetivos
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nítidos, atendendo às demandas nacionais. O que se tem claro é que essa demanda seja a
melhoria da qualidade de vida da humanidade. Se a Matemática não for tradada dessa forma,
a educação será falha. Não se trata de um tema novo, o escritor Antonio Machado em seus
dizeres já traduzidos "Caminhante não há caminho, o caminho se faz ao andar." Esse
pensamento provoca a inferência de que o saber será autêntico se ele for construído ao longo
das demandas e realidades. Para isso, é preciso de teorias e metodologias adequadas para
diversas situações. (D’AMBROSIO, 1986, p.14). D'Ambrosio (1986, p. 23) vê a
impossibilidade de chegar a essa adequação sem a construção rigorosa da base necessária com
vistas a chegar ao objetivo almejado. Ainda D'Ambrosio (1986, p. 48) afirma que o processo
de aprendizagem cria um contexto de interação genética e ambiental, dando sentido de
desenvolvimento intelectual. "A mente segue caminhos paralelos e interligados de interação
com o ambiente, com uma realidade que vai reconhecendo e analisando, e vai elaborando
movimentos intencionais, conceitos de significado e causalidade, espaço, tempo, imitação e
jogo." Nesse sentido, o conceito de realidade vai mudando gradualmente em uma reação de
reflexos e vai incorporando aos processos de decisão e ação, integrando o comportamento
individual com o social.
Para D'Ambrosio (1998), a Matemática é uma estratégia para o desenvolvimento da
espécie, pois ela pode ser aplicada no contexto natural e cultural da humanidade através da
escola. Por isso, é essencial contextualizar a Matemática para todos, não se pode deixar de
relacionar Elementos de Euclides com o panorama da cultura da Grécia antiga, nem a
aquisição da numeração indo arábica com desenvolvimento do mercantilismo europeu nos
séculos XIV e XV, não se pode entender Newton descontextualizado. Muitas vezes a cultura é
ignorada, eliminando o povo como produtor e como entidade cultural. A Geometria tem
origem grega, ao contrário da Aritmética, porque ao estar presente na cultura do povo, ela é
colorida. Por exemplo, a Geometria dá forma a objetos e espaços multicoloridos, tais como,
arquitetura, natureza, roupas, bandeiras, balões e pipas entre outros.
De acordo com Fonseca et al (2009, p. 54), os professores lançam mão de A&M,
valendo-se de imagens tomadas de empréstimo ao mundo da Geometria. Isso se deve ao fato
de esse conteúdo da Matemática traduzir os conceitos geométricos em representações
gráficas, associando-os aos instrumentos com os quais constroem essas representações. Essa
possibilidade faz com que se construam imagens de significados não matemáticos reveladores
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de conceitos e procedimentos da Matemática, produzidos por ações humanas integradas a
outras ações humanas.
2.3 Analogia
De acordo com Haarapanta (1992), a origem matemática do termo analogia equivale à
proporção, de igualdade de relações, entretanto a analogia não pressupõe a existência de uma
igualdade simétrica, mas antes uma relação que é assimilada a outra relação, com a finalidade
de esclarecer, estruturar e avaliar o desconhecido a partir do que se conhece.
Para Pádua (2011, p. 6), o processo analógico ocorre por meio de proporcionalidade
entre dois campos, a significação e a representação. Esses campos processam o "aparato
mental", correlacionando pontos convergentes de ambos, usando estruturas conhecidas
previamente armazenados na mente, com vistas a tornar familiar algo que parece estranho. A
autora dá o nome de fonte a toda informação já armazenada e o referente, alvo que significa:
O processo analógico consiste em um movimento pelo qual o indivíduo
exerce um contínuo paralelismo entre os campos fonte e alvo, identificando
as diferenças e semelhanças da informação que lhe estejam sendo
apresentadas e aquelas que já possuem, de forma que possa compreender e
apreender o novo significado, a nova representação, e construir assim uma
nova estrutura ou um novo conhecimento. (PÁDUA, 2011, p. 3).
Nesse sentido, Wong (1993, p. 1259) afirma que o raciocínio analógico ocorre por
meio de experiências relacionadas e diferenciadas já conhecidas. As analogias permitem o
entendimento de situações novas que são construídas através da comparação de mais de um
domínio de conhecimento, com a possibilidade de ser um familiar e outro desconhecido. Esse
raciocínio é caracterizado com frequência como um esquema delineado ou como relações
analógicas a uma situação de problemas. Nessas condições, elas podem ser observadas através
do grau de profundidade relacionado a dois domínios, como oposição das similaridades de
superfície que forma uma base de comparação analógica.
Para Gentner (1989), a analogia ocorre na transição de um domínio para outro,
construindo inferências. O autor exemplifica com a analogia entre sol e átomo, levando a
entender a atração gravitacional que há entre um elétron e o núcleo e entre o Planeta e o Sol.
Esses fatores representam novos conhecimentos que podem ser baseados em inferências
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corretas ou incorretas. Para o autor, devido à solidez das analogias, elas podem ser avaliadas
pela análise do grau estrutural das relações estruturais profundas entre dois domínios. Podemse usar duas analogias diferentes que expliquem e resolvam os problemas propostos.
Segundo English (1997, p. 198), constrói-se conhecimento ao se utilizar processos de
correspondência que se associe entre dois sistemas. Essa associação forma a analogia concreta
na qual a imagem é a origem e o conceito, o alvo. A analogia é um espelho da estrutura do
conceito usada pelo estudante para construir o modelo mental do próprio conceito.
Também é pertinente citar Ferraz & Terrazan (2003), autores para quem as analogias
são sistemáticas porque se compara a estrutura de dois domínios, favorecendo a construção do
conhecimento. Acrescentam que a analogia é integrada à cognição, sendo por isso, uma
ferramenta indispensável ao trabalho pedagógico.
De acordo com Junior (2009), as analogias se inserem em várias situações vivenciadas
no dia-a-dia e são utilizadas para tentar esclarecer algo para outra pessoa, ou para ajudar a
entender um conceito ou uma ideia que seja nova, associada ao que já se conhece. Elas são
muito utilizadas nos livros didáticos, para explicar uma infinidade de conceitos. Sem dúvida
as analogias são utilizadas ao longo do desenvolvimento humano para compreensão e
explicação de situações e fenômenos do cotidiano. Geralmente se estruturam em uma
comparação entre dois eventos: um objeto a ser explicado, em outras palavras, um conceito
desconhecido; este associado ao já conhecido para referência.
De acordo com Curtis & Reigeluth (1984), as analogias são pontes que preenchem a
lacuna entre um conceito e uma experiência pessoal direta, se essa ideia não pode ser
associada prontamente. As analogias evocam imagens mentais do conhecimento pessoal dos
estudantes. Elas provocam pensamentos visuais, imagens mentais ou modelos, quando não
algo concreto para explicar. Elas possibilitam perceber o contraste de vários níveis de
abstração. Além disso, as analogias são utilizadas para explicar e esclarecer informações que
são construídas oralmente ao longo da história da trajetória humana. Nesse sentido, Nagem
(1997) pontua que ensinar por analogias envolve construções representacionais intensas e
frequentes por meio de imagens que facilitam o processamento cognitivo.
Para Guyton (1998), é importante a influência modeladora tanto pelas analogias
quanto pelas metáforas. Para o autor os seres humanos nascem em desvantagem com relação
aos conhecimentos inatos com os quais outros animais nascem. Por essa razão, eles precisam
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de se adaptar ao ambiente e de experimentá-lo. No entanto, os humanos têm a capacidade para
armazenar informações e relacioná-las com situações anteriores ou futuras. Parece que têm
um modelo para servir de parâmetro para transformar e adaptar realidades que se interligam
de alguma maneira.
Conforme Fonseca (2011, p. 67), analogia é a apresentação de dois conceitos, sendo
um familiar e o outro novo, que deem a possibilidade de verificação de semelhanças
facilitadoras da compreensão do conceito que se quer ensinar, fazendo uma comparação, que
normalmente pode explicitar e esclarecer.
Nesse sentido, Aragão (2011) afirma que:
O uso consciente de analogias como instrumento facilitador no ensino de
conceitos novos é um importante recurso didático para os educadores. Sua
definição condiz com a ideia de que, para que haja um aprendizado efetivo, é
necessário que o conceito aprendido 'faça sentido'. Fazer essa ponte entre o
abstrato e o concreto possibilita, em nível cerebral, a predisposição ao
interesse, e assim à atenção, em compreender o que se está sendo
apresentado como novo e, - consequentemente, um maior prazer em estudar,
em especial, Matemática. (ARAGÃO, 2011, p. 1).
Segundo essa autora, a Analogia é uma estratégia de ensino que reúne dois domínios
em uma relação de equivalência. Sua composição é feita de um veículo, que é a própria
analogia e um alvo, sendo este um objeto desconhecido e uma relação que compara as
semelhanças entre os dois domínios. A analogia traz para o mundo concreto do estudante, os
conceitos, utilizando-se de algumas comparações entre características que envolvem o
conhecimento a construir. Lakoff & Nuñez (1997) consideram que o conteúdo intelectual da
Matemática está nas ideias e não em sua simbologia. Eles usam a metáforas no lugar de
analogias e investigaram como as pessoas entendem a ideia de infinito, cujo conceito é de
uma coisa sem fim, como o mundo. De acordo Lakoff & Nuñez (1997), não se pode
atualmente encontrar o infinito, pois os sistemas conceituais são finitos, não havendo,
portanto, mecanismos cognitivos de percepção do infinito. Assim, o conceito de infinito
demanda o uso da metáfora. A Matemática faz parte do universo físico de estrutura racional.
O infinito pode ser explicado por meio de elementos da natureza, como as flores, espirais
logarítmicas em caracóis, fractais nas cadeias de montanhas, parábolas no jogo de baseball,
formas esféricas das estrelas, planetas, bolhas entre outros que se possuem um sistema de
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recursividade.6 Esses elementos possuem partes que parecem módulos geométricos que vão se
repetindo infinitamente.
Figura 1- Triângulo recursivo proposto por Sierpinski7
Fonte: Nunes (2006).
O triângulo de Sierpinski é uma metáfora do infinito representado pela recursividade
por ser uma imagem metafórica que se repete a partir de um módulo triangular, dando a
abertura para a sucessão desses módulos em um processo sem fim.
Curtis & Reigeluth (1984), consideram a analogia uma importante estratégia cognitiva
para auxiliar o estudante a entender um conceito difícil ou desconhecido. Mas o veículo deve
ser bem familiar, simples ou concreto para facilitar a compreensão da informação nova,
complexa e de difícil conceituação. Essa estratégia constrói uma relação estrutural para
facilitar desde os tópicos mais concretos aos mais difíceis de entender. Entretanto, seu uso
deve ter dados suficientes para a visualização da relação análoga.
Para Barbosa et al (2012):
6
As redes de comunicação pressupõem a atuações recursivas em dimensões complexas, interligando
saberes e experiências que interagem de uma forma sistêmica na produção de sentido.
(NASCIMENTO; OLIVEIRA, 2004).
7
Waclaw Sierpinski (1882-1969), matemático polaco, criador do triângulo fractal em 1916, ao qual foi
dado seu nome.
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O uso de métodos de ensino alternativos, como as analogias, favorece a
mobilização e reorganização de ideias prévias dos alunos que podem ser
aplicadas aos novos conceitos abordados em sala de aula. Esses métodos têm
facilitado o entendimento de conceitos científicos que, por vezes, se
apresentam de forma complicada e pouco. (BARBOSA et al, 2012, p. 205).
Esses autores constataram que a utilização de analogias, com explicações necessárias,
observando suas limitações no processo comparativo entre os dois domínios (alvo e
analógico), favorecem a aprendizagem. Essa estratégia de ensino deve ter uma função e estar
articulada com as demandas e problemas do cotidiano do estudante.
De acordo com Stavy & Tirosh (1993, p. 1229), a analogia tem um papel significante
no desenvolvimento e na aquisição de conceitos e ideias científicos, sendo aceita como uma
poderosa ferramenta de ensino e de aprendizagem, quando é preciso compreender um
problema não familiar. Além disso, é um mecanismo espontâneo para uma aprendizagem
direta. Entretanto, ao se utilizar a analogia, não se deve perder o ponto de vista científico do
conhecimento em questão. Para as autoras, existem estudos que descrevem casos em que os
estudantes não percebem os problemas tratados analogicamente com cientificidade. Elas
exemplificam com dois casos: (a) problemas de divisão sucessiva e (b) problemas de
comparação. No primeiro caso, são problemas relacionados a objetos geométricos e objetos
físicos. O problema consiste no seguinte:
Considere um objeto. Divida-o em duas partes. Divida cada meia parte por
duas partes iguais. Continue dividindo do mesmo modo. O que ocorre no
final? É lógico que a resposta para este problema, no qual há uma divisão
sucessiva, depende da natureza do objeto. Se for um objeto geométrico (por
exemplo, um segmento de linha, um quadrado ou cubo), a resposta de acordo
com a Geometria Euclidiana, este é um processo sem fim. 8 (STAVY &
TRIOSH, 1993, p. 1230).
As autoras explicam o segundo caso:
Se o objeto é um material (por exemplo, água, fio de cobre) a situação é
diferente: O processo de divisão sucessiva se acaba quando alcança a
molécula ou o nível atômico, além disso, o material deixa de existir como
tal.9 (STAVY & TRIOSH, 1993, p. 1230).
8
9
Tradução nossa.
Idem.
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"Esses dois problemas são diferentes cientificamente e demandam respostas diferentes,
dependendo do quadro teórico: Geometria ou natureza particular do material."10 (STAVY;
TRIOSH, 1993, p. 1230). Estas autoras concluem que é importante que o professor ensine os
dois domínios para problemas de estruturas similares e discuta com eles a validade das
analogias à luz do quadro teórico no qual eles são incorporados.
Os dois casos mostram dois problemas que podem ser tratados analogicamente, mas é
preciso uma interação entre a similaridade e outros aspectos visuais que ajudem o estudante
na percepção do problema analógico. Dessa forma, a percepção do estudante para os
problemas analógicos é determinada pela interação de fatores externos ao objeto de estudo,
tais como estrutura, processo visual e características desse objeto que fazem analogia com o
conhecimento adquirido, atendendo às instruções da proposta dada.
2.4 Metáfora
A palavra metáfora vem do grego e se divide em meta (mudança) + phora (carregar),
conceituada pelo filósofo Aristóteles como 'transferência ou transporte' de significado.
Para Gilbert (1989), a metáfora é uma forma de analogia que sugere ou implica em
uma forma geral. Ela incorpora ideias novas e promove o conhecimento de uma forma sólida,
haja vista que constitui uma derivação da analogia formal, por exemplo, "uma pena é uma
pele".
De acordo com Fonseca (2011, p. 67), a metáfora "consiste em empregar um termo
com significado diferente do habitual, baseado em uma relação de similaridade entre o sentido
próprio e o sentido figurado, em que ocorre uma comparação implícita, em geral
surpreendente e instigadora."
Ruse (1999, p. 119) se embasa no pensamento evolucionista, principalmente o
darwinismo quando afirma que a metáfora tem um nível analógico de compreensão, sendo
fundamental para a ciência. Para o autor, a fala de um contexto é utilizada em outro de forma
contraditória. A metáfora é usada para desenvolver e conservar valores epistemológicos,
enriquecendo-os dentro da atividade científica, aproximando-a do conhecimento de senso-
10
Tradução nossa.
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comum e simples crenças. A metáfora é um fenômeno subjetivo que faz parte da cultura e a
ciência é um fenômeno objetivo que também é parte da cultura.
Segundo Lakoff & Johnson (2002, p. 11), as inferências propiciadas pelo sistema
conceitual metafórico são subjacentes à linguagem e regem o pensamento e as ações das
pessoas. Muitas são as metáforas subjacentes à linguagem cotidiana, inferindo que a
linguagem é literal somente em parte. As pessoas se utilizam de expressões conotativas para
entender o sentido e muitas vezes, elas nem percebem isso. Nesse sentido esses autores
conceituam a metáfora como compreensão de uma coisa por meio de outra, utilizando razão e
emoção, uma mescla de raciocínio imaginativo essencial para a ciência, e lógico, pela
literatura.
A metáfora está incorporada ao cotidiano e não se restringe à linguagem, também se
inclui o pensamento e a ação. As metáforas fazem parte da linguagem, as comunicações são
realizadas conforme as metáforas existentes na cultura, sem escolha, elas são parte da
sociedade que por meio dela, interage, é entendido, compreende o mundo. As metáforas estão
à disposição da sociedade que age metaforicamente por natureza. O ser humano possui um
sistema conceitual estruturado metaforicamente, pois os processos cognitivos são metafóricos.
Trata-se de uma questão cognitiva, embora elas existam por meio da linguagem. Elas
acontecem no cotidiano de uma forma inconsciente. Os autores utilizam a expressão
metafórica: "Discussão é guerra" para mostrar que expressões desse tipo são provenientes do
sistema conceitual, subjacente a diversas expressões cotidianas, utilizadas de modo
inconsciente na comunicação. "Os autores ainda listam outros exemplos de expressão tais
como: Seus argumentos são indefensáveis. Ele atacou os pontos fracos de minha
argumentação. Suas críticas foram direto ao alvo. Destruí sua argumentação." (LAKOFF &
JOHNSON, 2002, p. 44-46).
Com esses exemplos, os autores mostram-nos que uma "discussão" pode se estruturar
com palavras e ideias relacionadas à guerra, tais como, defender, atacar, alvo, contra-ataque,
esmagar, entre outras. Sobre a teoria da metáfora conceitual, os autores afirmam que "a
essência da metáfora é compreender e experienciar uma coisa em termos da outra." Em outros
termos, é o que os autores chamaram de transposição. (LAKOFF & JOHNSON, 2002, p. 4748).
Lakoff & Johnson (2002) classificam a metáfora em tipologias:
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(1) Estrutural: conceitua por meio de uma palavra ou expressão que se associa à outra. O
exemplo "Discussão é guerra" pertence a essa tipologia.
(2) Orientacional: organiza o sistema de conceitos relacionados a outro, partindo de uma
orientação espacial. Este tipo de metáfora é responsável pela estruturação de conceitos
científicos e exemplificam com a expressão: "partículas de alta energia". O termo 'alta'
é uma metáfora orientacional, pois indica elevação.
(3) Ontológica: concretiza o abstrato, sem mapeamentos, dando condições para que algo
abstrato seja contado, dividido, medido. Por exemplo, a palavra "infração" é uma
entidade abstrata, que se aliada às expressões baixa, mais, maior parte, menor parte,
entre outros, torna-se concreta.
(4) Personificação: é uma metáfora ontológica que especifica a entidade como pessoa.
Exemplo dado pelos autores: "uma teoria é uma pessoa", pois se diz: a teoria
diz/revelam; os fatos revelam.
Para Lakoff & Johnson (2002), a metáfora conceitual é uma forma convencional para
conceituar um domínio de experiências em detrimento de outro. Ela ocorre de modo
inconsciente, o que ressalta seu aspecto cognitivo. Existem dois domínios, o primeiro é o
alvo, sendo a metáfora; o segundo é o domínio fonte. O pensamento humano tem um processo
metafórico amplo, possibilitando o entendimento de uma expressão metafórica porque a
metáfora pertence ao sistema conceitual inerente à mente das pessoas.
Segundo Lakoff & Núñez, (1997, p. 3), tradução nossa: Matemática é o estudo das
estruturas que nós usamos para compreender e raciocinar sobre nossa experiência corporal e
que nós abstraímos por meio da metáfora.
Lakoff & Núñez (1997) discutem a teoria da metáfora conceitual nos conhecimentos
matemáticos, expandindo-a a metáfora da essência, isto é, da cognição, pois se trata de um
mecanismo da razão humana, que manipula símbolos utilizados pela lógica do simbolismo
formal, da computação, da linguagem matemática formal, da filosofia mental e da ciência
cognitiva. (LAKOFF & NÚÑEZ, 1997, P. 23).
Leite (2010a, p. 73) acrescenta aos mecanismos da razão humana apontadas por
Lakoff & Núñez (1997) e outros autores, "esquemas de imagens, níveis de conceitos básicos,
modelos cognitivos idealizados, protótipos de vários tipos, categorias radiais, metonímias, e
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principalmente, as metáforas conceituais." Segundo o autor, Lakoff & Núñez veem a
Matemática como ente pertencente a categorias objetivas do mundo, como consequência
natural provenientes do senso comum e de metáforas conceituais. O senso comum,
denominado teoria popular de tipos e metáforas da essência:
Faz parte de um sistema conceitual inconsciente que rege o raciocínio
humano e é parte do que constitui o nosso "senso comum", sendo composta
basicamente das seguintes premissas: cada coisa é um tipo específico de
coisa; classes de categorias, como entidades que existem no mundo; tudo
tem uma essência, o que torna o tipo de coisa que é; essências são
causalidades; essências - e somente essências - determinam o
comportamento natural das coisas; a essência faz parte da coisa. Por sua vez,
para caracterizar o que é uma essência, as três metáforas básicas citadas
pelos autores são: essências são formas; e essências são padrões de mudança.
(LEITE, 2010a, p. 74).
Lakoff & Núñez (1997, p. 24) afirmam que a teoria popular de tipos e metáforas da
essência subjaz ao raciocínio humano, ocorrendo com a compreensão de uma árvore
particular. Conforme os autores o tipo geral é "árvore" e é entendido que tem uma existência
própria. A árvore tem os seguintes aspectos:

Substância: madeira, natural. Se fosse de plástico seria uma árvore artificial.

Forma: tronco, casca no tronco, folhas nos galhos, raízes subterrâneas entre outras.
Sem essa forma não seria uma árvore.

Mudança: padrão de mudança: cresce a partir de uma semente, amadurece e morre.
De acordo com Leite (2010a, p. 74), essa teoria é uma consequência natural porque o
homem possui um sistema neural que transforma percepções e impressões sensoriais em
categorias (cores, formas e movimentos). As cores não existem objetivamente, mas
qualificam, caracterizam vistas pelas retinas por meio dos circuitos neurais cerebrais, são as
experiências cromáticas internalizadas. Essa teoria funciona em muitas situações do cotidiano,
mas inconscientemente.
As teorias populares pertencem ao senso comum, entretanto isso não reduz sua
importância para a aquisição de conhecimentos teóricos ou do universo físico. É impossível
descartá-las, porque segundo Lakoff & Núñez (1997), esses mecanismos são inerentes à
natureza e à forma dos corpos e cérebros humanos, sendo comuns e estáveis ao longo dos
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anos. Essa característica se justifica uma vez que a Matemática é considerada comum e
estável no mundo inteiro, dando-lhe um caráter universal e constante.
Leite (2010b, p.106) considera as metáforas fundamentais para o pensamento
matemático. Trata-se de um mecanismo cognitivo inerente ao domínio do pensamento e não
somente um fenômeno linguístico. Elas permitem a interação entre domínios conceituais
diferentes e contribuem para o avanço da Matemática.
A metáfora não é apenas uma figura de linguagem, como comumente é classificada
pela gramática tradicional ou definida em dicionários porque ela é inerente a várias situações
de construção de conhecimento, quer em textos verbais, quer em não verbais. Além disso, é
também um recurso semiótico que promove uma transferência ou desvio de significados
próprios e costumeiros de termos em proposições, possibilitando a expansão não somente da
língua como também do pensamento. Nesse sentido, é um elemento fundamental para as
abstrações, que são espaços de fuga da realidade concreta, mas este elemento está
intimamente relacionado a esta, em suas origens. Devido a este desvio de significado,
metáforas são também chamadas de tropos, uma palavra de origem grega que significa giro ou
desvio. (LEITE, 2010a, p. 74).
2.5 Analogias e Metáforas no Ensino
Segundo Duit (1991, p. 651), A & M são estratégias utilizadas no ensino e elas são
recursos potenciais da cognição humana que permitem a construção de conhecimentos ou a
modificação dos que já existem. Elas expressam comparações e destacam similaridades, no
entanto, A&M utilizam diferentes formas para comparar. As analogias comparam de forma
explicita características comuns em entre dois domínios; as metáforas de forma implícita
realçam características ou qualidades não coincidentes nos dois domínios. Há dois aspectos
para comparar entre o alvo e a base, os superficiais (aparência geométrica) e os profundos
(estruturais). Nesse sentido, a utilização de A&M na educação seguem os princípios da teoria
construtivista piagetiana e a da aprendizagem significativa de Ausubel et al (1980), autor
para quem a aprendizagem implica em relacionar, sem arbitrariedade e de forma não literal
uma informação nova a outras de conhecimento prévio do estudante e faz com que este crie
estratégias para construir conhecimentos.
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O tema tem sido objeto de interesse e preocupação de pesquisadores em diversas
áreas. A legitimação sobre a utilização de analogias na produção do conhecimento tem
suscitado importantes debates epistemológicos e filosóficos. Rodrigues (2007) destaca que no
desenvolvimento da ciência moderna, as analogias passaram a ser utilizadas de forma
abundante em diferentes disciplinas do conhecimento científico.
Conforme Wong (1993, p. 1266), ao se atribuir uma tarefa aos estudantes, dando-lhes
a responsabilidade para criar e aplicar analogias, elas se tornam mais produtivas por permitir a
interpretação individual do fenômeno estudado. Entretanto, os estudantes iniciantes podem
apresentar dificuldades para estabelecer comparações, não somente por falta de conhecimento
do conteúdo, mas pela pouca habilidade na manipulação e aplicação do conhecimento por
meio de analogias em situações não familiares. Por meio dessas considerações de Wong
(1993) pode-se inferir que as analogias são úteis para os estudantes se motivarem para
aprender, uma vez que as analogias ajudam na construção de imagens mentais que auxiliam
na construção de conceitos, facilitando o entendimento do tema estudado. Por isso, as
analogias são importantes para o ensino, principalmente, da Matemática.
Vários autores defendem a incorporação de analogias nos livros no ensino, utilizandose de uma série de argumentos. Para eles, as A&M podem ser utilizadas nos livros para:

Possibilitar uma codificação da informação e seu movimento com mais agilidade.
(ROYER; CABLE, 1976).

Aumentar a imaginação do estudante, para que ele forme imagens mentais que o
ajudem na construção de conceitos novos. (SCHALLERT, 1980).

Ativar estruturas cognitivas (MAYER, 1985).

Mudar a linguagem usual, facilitando a compreensão. (GILBERT, 1989).

Configurar e reconfigurar conceitos em um processo contínuo. (RODRIGUES, 2007).
Lemgruber & Rivelli (2011, p. 11) qualificam as analogias de "ponte", recorrendo a
uma metáfora, resumida na seguinte expressão: "Analogias e metáforas estão para os saberes
do professor e do aluno, assim como uma ponte está para duas margens de um rio". O que
acentua características semelhantes das duas relações. As analogias acessam o familiar, se
significativo para o estudante para que ele possa "ancorar o conhecimento novo". A analogia
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explica ressaltando as similitudes; a metáfora se resume em uma expressão. A metáfora é uma
analogia condensada.
Conforme Lemgruber & Rivelli (2011, p. 13), a analogia não apenas relaciona
problemas, também se estabelece no "domínio conceitual, comportamentos, fenômenos,
métodos e teorias." O raciocínio analógico contribui para a compreensão do conhecimento
científico ao aproximar os conteúdos estudados, que muitas vezes são inacessíveis ao
estudante.
Entretanto, de acordo com Pádua (2011), há diferentes formas de manifestação
analógica, sendo voluntárias ou não. Por exemplo, em um ambiente pedagógico:
O professor pode facilitar o processo organizando e sistematizando a
abordagem, de forma a direcionar a atenção do aprendiz para aspectos mais
relevantes ou para distinção entre similaridades e as diferenças entre os
campos fonte e alvo, levando-os a selecionar, ao mesmo tempo em que
mapeiam o análogo fonte sobre o análogo alvo. (PÁDUA, 2011, p.6).
Mas um processo analógico óbvio e claro pode ser perigoso. O uso de A&M deve
fazer o estudante decifrá-las para compreendê-las. Isso faz com que ele construa
conhecimentos.
2.5.1 Analogias e metáforas no Ensino da Matemática
São grandes as dificuldades que um professor de Matemática encontra ao ensinar o
conteúdo de sua disciplina. Como diz Cachapuz (1989, p. 118): “As Analogias e Metáforas
podem ser uma necessidade epistemológica visto que, em conjunto com a imagética que está
associada a elas, podem constituir poderosos instrumentos de ajuda cognitiva e nesse sentido
importantes mediadores de aprendizagem dos alunos”.
2.5.2 Analogias e Metáforas no Ensino da Geometria
Durante séculos, o Ensino de Geometria se manteve numa abordagem estática (por
influência da obra de Euclides); nos anos de 1960, todavia, começou a sofrer mudanças
significativas a partir do Movimento da Matemática Moderna. Segundo Nasser & Tinoco
(2001), esse movimento impôs à Matemática um caráter puramente estruturalista não
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condizente com a realidade do saber escolar. Nesse contexto, houve um abandono do Ensino
de Geometria ou uma tendência de retorno às suas bases tradicionais. Quando ocorreram os
movimentos de questionamento da Matemática Moderna e com as tentativas de retorno do
ensino da Geometria, a ênfase recaiu nos aspectos empíricos da Geometria.
Nesse movimento, marcado muito mais pela tentativa de buscar motivações para esse
ensino, pode-se propor uma possível explicação para o total abandono do raciocínio dedutivo.
O que constatamos em nosso estudo foi o fato de uma abordagem mais experimental estar
substituindo a ênfase dada a uma concepção axiomática11 do ensino de geometria.
O uso de A&M como mediação do ensino e aprendizagem foi bastante discutido nos
últimos anos. Os professores tinham receio de que esse uso dificultasse o estudante a utilizar o
pensamento mais elaborado. Entretanto, isso está mudando. Existem pesquisas e teorias a
favor da utilização das A&M. Podemos ver o uso delas na construção de conhecimentos.
Conforme Fonseca et al (2009, p. 54), lançamos mão de metáforas por meio de imagens
provenientes do mundo da Matemática, principalmente da Geometria. Isso ocorre porque esse
conteúdo matemático traduz conceitos geométricos em representações gráficas e os associa a
ação geométrica que constrói essas representações.
De acordo com Fonseca et al (2009, p.56), não é somente os professores de
Matemática que se valem das A&M relacionadas à Geometria, a sociedade faz o uso da
Geometria em diversas expressões, tais como "círculo vicioso, triângulo amoroso, pessoa
quadrada, sociedade piramidal, ver sob outro prisma, aparar as arestas, personagem plano, sair
pela tangente". Essas expressões podem remeter a várias conotações, por exemplo, o "círculo
vicioso" pode se tratar de uma sequência de ideias ou fatos que sempre voltam ao início. É
como a lógica do ponto A ao ponto B que em uma forma redonda faz analogia de um
movimento que se associa à roda. Segundo a autora:
O círculo seria uma mesma forma prototípica de curva fechada, que, por não
apresentar 'pontos notáveis' (todos os pontos 'se comportam' do mesmo jeito,
pois estão a igual distância do centro), sugere um retorno sem 'acidentes'
àquele ponto do qual partiu. (FONSECA, et al 2009).
Com relação à expressão "triângulo amoroso", Fonseca et al (2009, p. 58), chamam a
atenção para a assimetria dos triângulos isósceles e escaleno, bem como para a simetria do
11
São verdades inquestionáveis, universalmente válidas.
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equilátero. O triângulo é formado de três lados, assim também é o amoroso, pois envolve três
pessoas. É provável que o "triângulo amoroso" seja mais bem representado pelo escaleno, por
se tratar de três pessoas diferentes, como são os lados deste triângulo.
Essa analogia pode facilitar o entendimento sobre os três tipos de triângulos.
Geralmente, os estudantes têm dificuldade para classificar os triângulos pela forma. Ao tratar
o escaleno como "triângulo amoroso", evita que o aluno confunda com isósceles, pois o
equilátero é fácil devido à formação da palavra que pode ser associada à equivalência
(igualdade).
Figura 2 - Triângulo
Fonte: Fonseca et al, (2009, p.59).
"Pessoa quadrada" na gíria se associa com o quadrado que é uma figura geométrica
com os ângulos internos retos e com todos os lados iguais. Essas características do quadrado
indicam que a expressão se refere a uma pessoa que não aceita inovações e está presa aos
padrões tradicionais. O quadrado e o círculo fazem oposição porque o círculo gira e o
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quadrado é estático, limitado e não vira. Entretanto, essa não é uma metáfora apropriada
pedagogicamente por ser preconceituosa e assinalar visão parcial.
Figura 3 - Quadrado
Fonte: Fonseca et al, (2009, p.59).
Segundo a autora, essa conotação tem a seguinte caracaterística:
Pessoas certamente não podem ser classificadas, como fazemos com as
figuras geométricas. E aqui nos deparamos com as metáforas, incapazes de
transferir todas as características de um elemento ao outro, pois que senão
seriam identidades, e não metáforas. Mas aí reside também sua riqueza, seu
poder poético, que nos permite identificar na sua fragilidade outros pontos
de vista sobre o que se compara é o que é comparado. (FONSECA ET AL,
2009, p. 61).
Pensamos que essa não é uma associação adequada, uma vez que o ser humano pode
mudar, mas a figura geométrica quadrado não. Esse exemplo leva-nos a pensar no cuidado
que o professor deve ter, utilizando A&M pedagogicamente, adequando-as na sala de aula.
No entanto é importante tratar de casos como este, para mostrar que podemos usar A&M com
pertinência para não confundir o estudante.
A expressão "sociedade piramidal" associa diretamente ao Egito, sociedade que
construiu muitas pirâmides que serviram de túmulos para os Faraós. Segundo Garcia (1974, p.
2827) apud Fonseca et al (2009, p. 61), a palavra piramidal tem o sentido de colossal,
importante, notável, extraordinário, monumental, como em "trabalho piramidal" ou "disparate
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piramidal". "Sociedade piramidal" não é usada corriqueiramente como as expressões com
círculo, triângulo e quadrado. Por isso, muitas vezes os professores mostram o sentido de
grandiosidade ou arriscam com a correlação de modos de a sociedade egípcia se organizar ou
com a cultura da morte. No entanto, "sociedade piramidal" remete aos sólidos geométricos
(pirâmides), de base quadrada. Isso pode estabelecer associação entre situação social,
alta/baixa. A pirâmide mostra que a maior parte das pessoas tem uma situação menos
privilegiada, diminuindo o número daquelas à proporção o movimento da base para o topo vai
afunilando, o que significa que uma minoria do povo pertence à classe dos mais favorecidos.
Segundo Fonseca et al (2009, p. 63), é preciso ter cuidado para não trabalhar somente
pirâmide de base quadrada, mas também a figura geométrica formada por um polígono que é
a base da pirâmide e por triângulos com vértices comuns. Por essa razão, essa expressão é
discutível, uma vez que se podem alargar as possibilidades de sentido do termo pirâmide.
Trata-se de um alargamento porque parte de um sentido restrito, que deve ser levado em
contra, pois este possibilita a associação de outras interpretações em contextos distintos,
particularmente em um contexto matemático.
Figura 4 - Pirâmide
Fonte: Fonseca et al, (2009, p.63).
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Para Bachelard (1996, p. 48), as A&M podem diminuir ou paralisar o progresso
científico. Por isso, deve-se lutar contra o uso desse recurso, sem uma conscientização
científica. No entanto, de acordo com Aragão (2011), a maior parte dos estudiosos as percebe
como ferramentas que facilitam entender ideias novas e desenvolver as antigas, armazenadas
na mente.
Conforme Nagem (1997, p. 7), se o objetivo do uso das A&M for compreender e ser
compreendido, essa estratégia pode ser útil, ainda que não se conheça com clareza as
atividades em torno do uso delas. Há pesquisas que as consideram como um caminho para
construir conceitos científicos. No entanto, segundo esse autor:
Elaborar novas e boas imagens, analogias ou metáforas é um ato de criação
e, ao mesmo tempo, instigante e desafiador. Imagens, analogias e metáforas
são constituintes do pensamento humano e não podemos negar que estão
fortemente presentes em quase todas as atividades humanas: na pesquisa
científica, no relato dos trabalhos científicos, nas atividades docentes, na
expressão oral ou escrita, na divulgação e vulgarização de ideias e produtos
(mídia), nos livros didáticos. (NAGEM, 1997, p.7).
A&M estabelecem comparações e mostram similaridades, cada uma a seu modo. A
analogia compara literalmente, a estrutura de dois domínios; a metáfora o faz de forma
implícita, ressaltando características ou qualidades relacionadas, não coincidindo em dois
domínios.12
Figura 5 - O significado da analogia
Fonte: Nagem (1997, p. 15).
12
Atualmente, esse modelo foi modificado pelo autor que inseriu no lugar de fonte, a palavra veículo.
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De acordo com Nagem (1997, p. 15), o esquema dessa figura, infere que a metáfora
possui dissimilaridades que incitam a mente a buscar similaridades. Dessa forma, as A&M
são polos e podem ser transformadas uma na outra, em outras palavras, as analogias podem
ser metáforas, e essas podem ser analogias haja visto que as metáforas permitem construir
relações analógicas que dão significado ao objeto tratado. Por isso, elas são ferramentas
poderosas na aprendizagem de conceitos, uma vez que facilitam a reestruturação ao já
conhecido e familiar.
A familiaridade com o análogo e o acesso às analogias são necessários para
que o raciocínio seja bem sucedido. É bom ressaltar que os estudantes
frequentemente mantêm concepções equivocadas em áreas com as quais os
professores e os autores de livros didáticos pressupõem que os estudantes
estejam familiarizados. Porém, vale lembrar que a familiaridade com o
análogo por si só não é suficiente para a resolução de problemas ou como
meio facilitador, pois é necessário que o estudante tenha condições de fazer
uma conexão entre o análogo e o alvo na resolução de problemas. (NAGEM,
1997, p. 17).
Segundo Nagem (1997), as analogias são utilizadas espontaneamente no cotidiano
para resolver os problemas. Entretanto, o uso de boas analogias no ensino exige um
direcionamento que oriente o estudante. Dessa forma, o raciocínio analógico não funciona
como reparador de tais concepções, pois os estudantes continuam a sustentá-las. Nesse
aspecto, Duit (1991) aponta que os conceitos prévios ou concepções mal aprendidas podem
causar dificuldades, havendo necessidade de o professor mediar no sentido corrigir os
conceitos prévios para inserir os novos.
Duit (1991) lista alguns pontos a serem observados ao se utilizar A&M no ensino. São
eles: o professor precisa mostrar as diferenças entre o análogo e o alvo, ainda que pareça que
há equivalência; certificar de que os estudantes entenderam a analogia e o conhecimento
prévio; não usar conceitos científicos como análogos para não correr o risco de aprendizagem
distorcida porque algumas áreas têm conteúdo similar, podendo causar equívocos; se o
conceito for amplo, pode-se usar analogias múltiplas para resolver dificuldades se o estudante
utilizar somente uma analogia para entender o conceito; é preciso mostrar as similaridades
superficiais e literais; ter uma orientação sistematizada na aplicação da analogia para ensinar.
Também Glynn et al (1989) sugerem passos na aplicação de analogias como estratégia
de ensino: introduzir o conceito alvo; sugerir a informações conceituais análogas; identificar
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características importantes entre o análogo e o alvo; identificar similaridades entre o análogo e
o alvo; mostrar o limite da analogia e concluir. Com relação ao passo introduzir o análogo, é
preciso que o professor leve em consideração as diferenças culturais e socioeconômicos entre
professor e estudantes para que percebam a analogia da melhor forma possível.
Segundo Mozzer (2008), há uma relação analógica dos conhecimentos cotidianos e
escolares com a analogia (alvo) e o analógico (veículo). O aluno estabelece comparações
próprias, de acordo com sua estrutura cognitiva. Essa relação resulta em conhecimentos
científicos.
Figura 6: Esquema da relação analógica estabelecida através da analogia
Fonte: Mozzer (2008, p. 5)
Nagem (1997) aponta que o uso de A&M é necessário, possuindo vantagens,
desvantagens e critérios. Com relação às vantagens, elas são recurso didático; permitem a
verificação da aprendizagem, utiliza termos simples e familiares aos estudantes; estimular o
uso de hipóteses e resolução de problemas; realiza mudanças conceituais dos alunos e
motivam-nos, pois a aula fica interessante. Já a desvantagens são a divergência entre o que se
ensina e o que o aluno absorve; por a analogia não ser originada pelo aluno, ele pode não
aceitá-la e a falta de historicidade pode ser vista como um entrave à cientificidade. As A&M
são veículos didáticos, pois os cientistas consideram-nas instrumentos capazes de provocar
"insights", à proporção que facilitam a relação entre informações de várias áreas do
conhecimento. O autor sugere critérios que podem ser observados no uso de A&M: o ensino
deve se centrar no estudante; clareza de objetivos para o professor; conhecimento da realidade
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sociocultural dos estudantes; o propósito de uso de A&M deve ser apresentado para o
estudante de forma clara.
De acordo com Silva (2007):
As analogias podem ser vistas como uma inovação pedagógica que
representa uma forma dinâmica e adaptativa de se trabalhar a estruturação de
conceitos com o aluno, na medida em que estimulam a interatividade dentro
da sala de aula. O uso de analogias como recurso didático em aulas é
defendido por vários autores devido às vantagens. Porém, é necessário que
ele seja feito de forma consciente, e que os professores estejam também
atentos às suas desvantagens ou dificuldade, para que as analogias não se
tornem verdadeiros obstáculos à apropriação do conhecimento científico.
(SILVA, 2007, p. 16).
Fonseca et al (2009, p. 72), afirmam que a discussão de significados nas expressões
linguísticas não se esgota com suas análises. Elas tocaram nesse tema para refletir a respeito
das formas geométricas na cultura, na vida e como instrumento para diagnosticar os
conhecimentos geométricos que o professor dispõe. Trata-se de uma discussão para exercitar
a produção de conhecimentos a partir de experiências elaboradas e reelaboradas
coletivamente, no tocante à Geometria.
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3. ANALOGIAS E METÁFORAS NOS LIVROS DIDÁTICOS
3.1 O livro didático no Brasil
O ano de 1996 marca uma grande mudança na educação brasileira com a promulgação
da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional - LDBEN - 9394/96. Pela primeira vez na
história da educação brasileira, uma lei da atenção às diferenças que se manifestam em sala de
aula e indica a necessidade de um ensino diferenciado, sem apelo à excessiva memorização.
(BRASIL, 1996).
Essa Lei proporcionou uma ruptura significativa nas concepções de ensino e na
maneira de como o discente constrói seu saber. A partir dela surgiram importantes
documentos como os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) e as diretrizes curriculares de
alguns estados e municípios da federação.
De acordo com os PCNs, é consensual a ideia de que não existe um caminho que
possa ser identificado como único e melhor para o ensino de qualquer disciplina, em
particular, da Matemática. No entanto, conhecer diversas possibilidades de trabalho em sala
de aula é fundamental para que o professor construa sua prática. Dentre elas, destacam-se os
jogos nos quais as crianças não apenas vivenciam situações que se repetem, mas aprendem a
lidar com símbolos e a pensar por analogia (jogos simbólicos): os significados das coisas
passam a ser imaginados por elas. Nesse tocante, as analogias criadas tornam-se produtoras de
linguagens, criadoras de convenções, capacitando os estudantes a se submeterem a regras
possíveis de serem explicadas. (BRASIL, 1997).
Conforme, Pais (2006, p. 48), o livro didático tem uma presença extensiva no
cotidiano escolar por se tratar de um recurso pedagógico consolidado uma vez que resistiu às
várias mudanças da educação, bem como à modernidade tecnológica da comunicação. Esse
material foi favorecido com a evolução técnica da indústria, atrelada aos recursos
informáticos que possibilitou o uso cada vez mais intenso das cores, fotos e desenhos,
ampliando as formas de representação do conhecimento.
O livro didático é um importante instrumento de apoio ao processo de ensino e de
aprendizagem, atuando como um dos principais mediadores na construção do conhecimento,
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possuindo uma função muito relevante na sociedade, principalmente nos aspectos
pedagógicos, econômicos e político-culturais. (OLIVEIRA; GUIMARÃES; BOMÉNY,
1984). Para Buehring & Moretti (2011), o livro didático tem grande utilização na escola, ele
influencia as aulas, organiza os conteúdos no planejamento do professor, oferecendo
atividades, provas e estratégias para auxiliar o docente. No Ensino Fundamental o seu uso é
evidente porque os alunos recebem os livros do Ministério da Educação e do Desporto
(MEC). Os livros didáticos contêm desenhos, imagens, gráficos e fórmulas, completando o
que foi ensinado, facilitando a compreensão do estudante.
Esses materiais apresentam em comum uma tendência a produzir significados para os
conceitos geométricos utilizando-se de: atividades de investigação; tema gerador; ensino
contextualizado; brincadeiras infantis; relação entre o conhecimento informal e o
sistematizado da Geometria; observação de formas geométricas presentes na natureza e
objetos criados pelo homem (principalmente construção civil).
É importante destacar que nos aprimoramos da concepção dessa tendência apontada
por Fiorentini (1995, p.3) como: um saber funcional, isto é, uma modalidade de
conhecimento, socialmente elaborada e partilhada, criada na prática pedagógica cotidiana e
que se alimenta não só das teorias científicas (Psicologia, Antropologia, Sociologia, Filosofia,
Matemática), mas também de grandes eixos culturais, de ideologias formalizadas, de
pesquisas, de experiências de sala de aula e das comunicações cotidianas. Para Pais (2006, p.
52), "a aprendizagem pode se tornar mais significativa, quando diferentes formas de
representação são contempladas no livro didático." Esse recurso didático pode também
valorizar a abordagem interdisciplinar com a utilização de diversos textos que se mesclem
com números, figuras, tabelas, desenhos, fotos entre outras ilustrações de materiais que
circulam na sociedade. Essa estratégia pode articular conteúdos de várias áreas, propiciando
uma aprendizagem mais significativa. Nesse sentido, o autor afirma o seguinte:
O livro pode ainda favorecer o desenvolvimento da capacidade intelectual do
aluno, se propuser atividades que o levem a fazer conjecturas e estimativas,
tal como acontece em diversas situações do cotidiano. De maneira análoga,
relacionar dados, construir funções, resolver problemas, observar
regularidades, redigir e interpretar textos, são ações capazes de contribuir na
formação intelectual do aluno. Nessa linha de atuação, o livro pode ainda
propor ações que estimulem o aluno a observar situações do cotidiano
associáveis a conceitos matemáticos, investigando e pesquisando a expansão
dessas observações. (PAIS, 2006, p. 57).
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Segundo Nagem (1997, p.7), “quando o objetivo é compreender, fazer-se compreender
e comunicar algo, pode-se constatar um sucesso na utilização de imagens, analogias ou
metáforas.” O professor de Matemática utiliza A&M em seu cotidiano, nos diversos níveis de
ensino para melhor visualização e organização do raciocínio daquilo que foi ensinado.
Entendemos que o uso de A&M é necessário na Matemática por ela munir-se da
semiótica13 ao apresentar o conteúdo matemático, comunica o pensamento e a própria
organização interna do raciocínio. A imagem análoga e metafórica possui um caráter
heurístico e permitem que o aluno resolva situações com a utilização de conhecimentos
prévios armazenados em sua mente. De acordo com Cachapuz (1989), a analogia é mais
explorada que a metáfora nos livros didáticos.
Nasser & Tinoco (2001) pontuam que desde a última década do século passado, a
mudança do ensino já está acontecendo, sendo confirmada na avaliação nacional do livro
didático – na qual, atividades envolvendo processos de inferência, análise, argumentação,
tomada de decisões, críticas e validação de resultados vêm sendo valorizadas pelo PNLD14 –,
assim como por meio das produções da comunidade nacional de educadores matemáticos.
O livro didático é bastante utilizado por estudantes e professores na escola em sala de
aula, no planejamento de aulas, na elaboração de atividades e avaliações no ensino em geral.
O Ensino da Matemática do EF se insere nesse contexto. A escola pública recebe do MEC, o
título escolhido pela escola no PNLD. Por isso, é importante que os profissionais da educação
de cada área do conhecimento manuseiem os livros didáticos na época de escolha para que ele
tenha uma conexão com aqueles que se utilizarão deles. O docente que pretende adotar as
A&M em sua prática pedagógica terá mais facilidade se escolher um livro que mostra a
presença delas. Por essa razão, é muito importante o aval do professor no momento da escolha
para que o livro escolhido atenda à sua prática pedagógica.
O PNLD é um guia que auxilia o professor na escolha do livro didático para utilizar
com seus alunos. Nesse guia, o professor encontra a relação de livros de sua área do
conhecimento, com resenhas e os critérios utilizados na avaliação dos livros para que eles
fizessem parte do PNLD. Todos os livros são analisados e recomendados pelo PNLD, mesmo
tendo algumas distinções entre eles, são avaliados seguindo os mesmos critérios.
13
14
Símbolo gráfico; ícone, signo - serve para representar.
Guia de livros didáticos. PNLD/2001
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Dessa forma, os livros didáticos de Matemática que as escolas públicas recebem,
passam por um processo de análise em comissões de avaliadores que utilizam critérios de
eliminação que são comuns a todos os títulos. Esses livros precisam estar de acordo com
alguns critérios, entre eles, ter um conteúdo acessível, conforme a faixa etária a qual está
destinado, deve estimular e valorizar a participação do estudante, estando em consonância
com as propostas curriculares de estados e municípios e dos PCNs. Além disso, o livro
precisa facilitar a integração entre os temas tratados, valorizando os conhecimentos prévios do
aluno, contendo ilustrações atuais e corretas. (ARRUDA; MORETTI, 2002).
Segundo o Guia (PNLD), um livro didático deve oferecer informações e explicações
sobre o conhecimento matemático que interfere e sofre interferências das práticas sociais do
mundo contemporâneo e do passado. Também deve conter uma proposta pedagógica que leve
em conta o conhecimento prévio, o nível de escolaridade do aluno e que ofereça atividades
que o incentivem a participar ativamente de sua aprendizagem e a interagir com seus colegas.
Além disso, o livro precisa assumir a função de texto de referência tanto para o aluno, quanto
para o docente. (BRASIL, 2005).
Embasando-se em Gérard & Roegiers (1998), as funções mais importantes do livro
didático na relação com o aluno são:

Favorecer a aquisição de conhecimentos socialmente relevantes;

Propiciar o desenvolvimento de competências cognitivas, que contribuam para
aumentar a autonomia;

Consolidar, ampliar, aprofundar e integrar os conhecimentos adquiridos;

Auxiliar na autoavaliação da aprendizagem;

Contribuir para a formação social e cultural e desenvolver a capacidade de
convivência.
É preciso observar, no entanto, que as possíveis funções que um livro didático pode
exercer não se tornam realidade, caso não se leve em conta o contexto em que ele é utilizado.
Em outras palavras, as funções acima referidas são histórica e socialmente situadas e, assim,
sujeitas a limitações e contradições. Por isso, tanto na escolha quanto no uso do livro, o papel
do professor é indispensável para observar a adequação desse instrumento didático à sua
prática pedagógica e ao seu aluno.
De acordo com Duit (1991), pesquisas em livros didáticos e em sala de aula mostram
limitações concernentes à utilização de A&M. Não há explicação para o estudante de como
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vai utilizá-las; falta a preocupação se o estudante está familiarizado com o domínio análogo
ou se ele está enganado; limitações de repertório dos livros e falta de conhecimento
estratégico para usar A&M tanto pelo professor quanto pelo autor. Aliás, nas resenhas e
comentários dos livros didáticos de Matemática não há referências a respeito da A&M.
Nesse sentido, Vieira (2008) realizou uma pesquisa e percebeu falhas nos livros
didáticos com relação ao uso de analogias:
Os autores, em geral, iniciam o conteúdo com as mesmas analogias e
exemplos e não deixam explícitas as relações estabelecidas com o conteúdo
abordado. O conteúdo torna-se repetitivo e não há muita novidade. Parece
que, para os autores, o importante é fazer relações com o cotidiano e para
isso deve-se recorrer a todas as analogias possíveis, sem dar-se conta das
diferenças entre elas e do potencial ou da deficiência de cada uma. Talvez os
autores não saibam que estão fazendo analogias. (VIEIRA, 2008, p. 52).
Por isso, o professor precisa perceber as falhas no uso A&M nos livros didáticos para
realizar uma intervenção pontual para que o estudante se beneficie com essa estratégia de
ensino.
3.2 A Geometria nos PCNs
Observamos que a partir de 1998 os PCNs já direcionavam os currículos escolares e
disposição dos conteúdos nos livros didáticos de 2002, 2006, 2008 e 2011, fazendo um
paralelo entre a disposição dos conteúdos, associados à indicação dos PCNs. Com os PCNs
houve uma inovação no modo de tratar a Matemática, estabelecendo-se o ensino na forma
atual. Esses PCNs consideram a Geometria um aspecto inovador por ultrapassar a dimensão
de conceitos. Os alunos têm um papel ativo na construção do conhecimento (BRASIL, 1998).
Uma instância importante de mudança de paradigma ocorreu quando se
superou a visão de uma única geometria do real, a geometria euclidiana, para
aceitação de uma pluralidade de modelos geométricos, logicamente
consistentes, que podem modelar a realidade do espaço físico. (BRASIL,
1998, p. 25).
Os autores Andrini & Vasconcellos (2002) seguiram as sugestões dos PCNs, uma vez
que seu livro a partir da criação deste mudou consideravelmente a forma de apresentar os
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conteúdos. Houve uma mudança de paradigma, com a inserção de uma pluralidade de
modelos geométricos, consistentes de forma a modelar a realidade do espaço físico.
O estudo da Geometria é um campo fértil para trabalhar com situaçõesproblema e é um tema pelo qual os alunos costumam se interessar
naturalmente. O trabalho com noções geométricas contribui para a
aprendizagem de números e medidas, pois estimula o aluno a observar,
perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades etc. (BRASIL,
1998, p. 51).
Os PCNs indicam os conteúdos a serem trabalhados na Geometria, à qual denomina de
espaço e forma. No campo de problemas relacionados ao estudo do espaço e das formas esse
documento aponta três objetos de natureza distinta:
 O espaço físico, ele próprio. Ou seja, o domínio das materializações;
 A geometria, concebida como modelização desse espaço físico - domínio
das figuras geométricas;
 O(s) sistema(s) de representação plana das figuras espaciais domínio das
representações gráficas. (BRASIL, 1998, p. 122).
Conforme Brasil (1998, p. 122), esses objetos se relacionam a três questões da
aprendizagem que são ligadas e interagem entre si. Essas questões são o "desenvolvimento
das habilidades de percepção espacial; elaboração de um sistema de propriedades geométricas
e de uma linguagem que permitam agir nesse modelo;" "de codificação e decodificação de
desenhos."
O livro "Praticando Matemática", dos autores Andrini & Vasconcellos (2002, 2006 e
2011) trata a Geometria como um campo fértil, trabalhando com situações-problema como
sugerem os PCNs. O aluno se interessa naturalmente pela Geometria quando ele a percebe em
todos os espaços naturais e sociais. Além disso, aborda os conteúdos indicados neste
documento.
3.3 Os livros didáticos dos autores Álvaro Andriani & Maria José de Vasconcellos
Os motivos que nos levaram a opção pela obra de Andrini & Vasconcellos (19752011) foram:
(1) Ela apresenta uma riqueza de A&M;
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Analogias e metáforas em livros didáticos de matemática: contribuições para o ensino de geometria.
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(2) Ao longo da obra, os autores utilizam de analogias para conceituar e exercitar a
Geometria;
(3) Por fazer parte da práxis da pesquisadora e de outros professores por mais de
uma década;
(4) Foi indicada no PNLD, e finalmente;
(5) Por ser recordista de venda, conforme consta no site da editora que o
publicou15 em 1975.
Conforme a síntese avaliativa do PNLD de 2008, a coleção (Novo) Praticando
Matemática no PNLD de 2008 utiliza os aspectos de estudo por campos matemáticos bem
escolhidos em cada série, incluindo textos históricos no desenvolver dos conteúdos,
destacando-os por situar de forma adequada, os assuntos que aborda na construção de
conhecimento matemático, de forma articulada para atender a competências e capacidades
específicas, pensadas para o 6º ando do EF. Os autores articulam os diferentes significados de
um mesmo conceito, bem como há um equilíbrio entre conceitos, algoritmos e procedimentos.
Além disso, seus textos são bem escritos, apresentando os conceitos de forma sintetizada.
Depois de optar por escolher esse livro didático para realização da pesquisa, houve
uma árdua busca pelas edições e uma leitura minuciosa dos capítulos referentes à Geometria
em busca de A&M. Durante esse processo, foi possível perceber que quanto mais antigo é a
edição do livro, menor é o número de A&M no texto.
A identificação das A&M se embasou em teóricos que pesquisam esse tema. Para
produzir as analogias, o autor utilizou algumas palavras ou expressões que indicam
comparação, tais como "semelhante a", "lembra", "como" e "dá ideia de", estabelecendo um
elo entre o veículo e a fonte.
Na apresentação do livro, o autor diz que oferece as lições em uma linguagem simples,
ilustradas com desenhos sugestivos para ajudar na compreensão. Entretanto, ele não ilustrou
as lições de medidas. Em outros conteúdos há algumas ilustrações, mas eles não são o nosso
foco de estudo.
15
http://www.editoradobrasil.com.br/site/institucional.aspx (ver anexo)
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Figura 8: Força e inteligência
Fonte: Andrini (1975)
A segunda ilustração da capa desse volume (figura 8) faz uma analogia a respeito
do saber matemático: a Matemática é para pessoas inteligentes. Nesta época, 1975, havia
grande preocupação com a memorização dos conteúdos e não com seu significado na vida do
estudante. O aluno inteligente era aquele que decorava todos os cálculos, memorizava os
teoremas, período conteudista.
Em 1975, o autor Álvaro Andrini publicou o livro
"Ensino Objetivo de Matemática", da 5ª série, na
organização do EF atual, corresponde ao 6º ano.
O livro está dividido em 7 capítulos, sendo o de
nº 7, Medidas. Nesse período, a Geometria era
considerada apenas medidas, desconsiderando
espaço e forma. Nessa edição, o autor se
preocupa somente em descrever os conceitos e
propor atividades.
Figura 7: capa do livro/1975
Fonte: Andrini (1975)
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Em 1984, o autor publica "Matemática" para a 5ª série. O livro é
composto de 18 capítulos, sendo 2 destinados à Geometria onde o
capítulo 17 é intitulado "Geometria Intuitiva" e o capítulo 18
refere-se a Medidas, não contemplado na pesquisa. É interessante
ressaltar que na apresentação do livro, o autor propõe
desenvolver os seguintes tópicos:
Figura 9: Capa do livro/84
Fonte: Andrini (1984)





Desenvolvimento da teoria;
Exercícios resolvidos;
Exercícios propostos;
Exercícios complementares;
Testes.
Segundo o Andrini (1984), tanto os exercícios resolvidos quanto os propostos são
apresentados em sequência crescente a partir do grau de dificuldade dos discentes.
Percebemos que o capítulo 17 que contém Geometria não foi contemplado com
exercícios resolvidos e complementares. O autor explica que os assuntos se desenvolvem em
uma em uma linguagem clara, de fácil entendimento, sem, no entanto, deixar de haver rigor
no tratamento dos conteúdos, respeitando-se o nível de dificuldade do estudantes para o qual
é destinado.
A edição de 1989 tem o título "Praticando Matemática". O autor
começa o livro da mesma forma que o de 1984, com a apresentação
dos capítulos, explicando a que nível do EF a obra atende. O livro
contém 20 capítulos, sendo sobre Geometria os seguintes: o capítulo
18 é Geometria intuitiva; o 19, Medidas de comprimento e de
superfície e o 20, Medidas de volume, capacidade e massa.
Em relação à obra anterior, o autor acrescentou o tópico com o título
Figura 10: Capa do livro
Fonte: Andrini (1989)
exercícios complementares em Geometria. Além disso, mostra o
mesmo esquema, com alguns acréscimos:
 Exercícios propostos;
 Desenvolvimento da teoria
 Exercícios resolvidos;
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 Exercícios complementares e testes.
No final do livro do professor, o autor sugere um planejamento de curso, cujos
objetivos são bem definidos:
 Conhecer e utilizar corretamente a linguagem matemática;
 Desenvolver a capacidade de analisar, relacionar, comparar, abstrair, generalizar;
 Desenvolver habilidades específicas de medir e comparar grandezas, calcular,
construir e consultar tabelas e gráficos;

Adquirir conhecimentos básicos a fim de possibilitar sua integração na sociedade em
que vive.
O autor explica no início do livro que a teoria é exposta em uma linguagem clara e
objetiva conforme o nível ao qual se destina, com o rigor pertinente ao tratamento do
conteúdo. Além disso, Andrini (1989) justifica que os exercícios resolvidos são apoio à teoria
apresentada. Tanto os exercícios resolvidos quanto os propostos, apresentam uma sequência
gradual de dificuldades. Já os exercícios complementares servem como reforço e revisão dos
conteúdos.
O autor finaliza a apresentação mostrando as inovações da obra. Nessa edição os
capítulos são mais curtos que os do livro anterior. Os assuntos foram divididos para
proporcionar uma interrelação e revisões mais pontuais. Os exercícios foram refeitos com
tipos de questões variados. A coleção inclui os exercícios resolvidos intercalados nos
propostos para dar suporte aos estudantes nas dificuldades encontradas. A inclusão dos testes
de vestibulares adequados ao conteúdo. O livro tem poucas ilustrações. Referente à Geometria
há somente uma ilustração que está inserida no capítulo de apresentação e análise dos dados.
Nos objetivos gerais não faz nenhuma referências à Geometria. Em seguida, há uma
tabela constando objetivos específicos, conteúdo, estratégia e avaliação. Nesta parte, o autor
coloca os objetivos para a Geometria, à qual intitula "Geometria intuitiva". Esses objetivos
são:

Reconhecer o ponto, a reta e o plano como entes primitivos, não definidos;

Identificar retas paralelas e concorrentes;

Identificar semirreta e segmento da reta;
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
Identificar polígonos convexos;

Classificar polígonos pelo número de lados.
A edição de 2002 inclui a coautora Maria José
Vasconcellos. O livro contém 14 capítulos, sendo de
Geometria os capítulos 8, 9, 10 e 14, cujos conteúdos
estão distribuídos em capítulos, da seguinte forma:
capítulo 8, observando formas; capítulo 9, ângulos;
capítulo 10, polígonos e circunferências e capítulo 14,
Medidas. Andrini & Vasconcellos (2002) acrescentam
sugestões de leitura e de sites para o aluno, moldes para
Figura 11: Capa do livro/2002
Fonte: Andrini; Vasconcellos (2002)
as atividades e respostas dos exercícios no final do
livro.
A obra foi aprovada pelo PNLD/2005, sob o código 00040COL02. Na capa aparece
"coleção atualizada". A apresentação que aparece nessa atualização é uma problematização
dirigida ao aluno: "Para que eu devo estudar Matemática?" A resposta vem logo em seguida, a
Matemática permite conhecer a realidade, ajudar na organização do raciocínio e a fazer
descobertas.
Nessa edição da obra, os autores não apresentaram o esquema das obras anteriores.
Não colocam exercícios complementares, mas acrescentam: Para saber mais; Desafios; e
Autoavaliação, no lugar dos testes da versão anterior.
Os autores terminam afirmando que o livro e as orientações do professor são pontos de
partida, sendo o caminho para a construção do conhecimento que o próprio aluno tem que
fazer. (ANDRINI; VASCONCELLOS, 2002).
Nessa versão, há orientações direcionadas ao professor. Os autores chamam a atenção
dos professores para o objeto da Matemática: reflexão de filósofos, escritores, artistas entre
outros. Atentam que "na Grécia antiga, os filósofos a incluíram no amplo leque de questões de
que tratavam; posteriormente tornou-se conhecida a influência da Geometria nos quadros de
Mondrian e de Escher, na arquitetura de Niemayer." A obra foi aprovada pelo PNLD/2008, sob
o código 00040COL02, como consta nesta capa.
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No encarte dirigido aos professores, os autores apresentam várias frases de
matemáticos de séculos diferentes relacionadas à Matemática, acompanhadas de uma mini
biografia de cada um deles, na seguinte ordem sem a preocupação com a cronologia: René
Descartes, Gustave Le Bon, Friedrich Leopold, George Cantor, Leopold Kronecker, Amoroso
Costa, Frederich Gauss, Keyser, Russel, Pitágoras, Hobbes, Leibniz, Aristóteles, Weierstrass
e Barrow. (ANDRINI; VASCONCELLOS, 2002).
Andrini & Vasconcellos (2002) mostram algumas datas importantes para o uso da
Matemática:

Antes de Cristo: evidências primitivas de contagem; início do sistema de numeração
egípcio; uso de notação posicional pelos babilônicos, Papiro de Rhind, sendo esse o
mais extenso documento existente sobre Matemática do Egito antigo. No ano 600 a.C,
surgiu a Geometria dedutiva de Tales de Mileto; mais à frente o auge da Escola de
Pitagórica, Platão e Aristóteles com a Geometria como ciência lógica abstrata;
Euclides com a escrita dos elementos e Arquimedes com a obtenção do valor do Pi,
3,14286.

Depois de Cristo: Reconhecimento por Ptolomeu da forma esférica da Terra e das
órbitas; Dofante com a Álgebra, o sábio árabe Al-Khowarizmi escreve o Tratado de
Álgebra não Simbólica, o A-Jabr, primeira vez que o zero foi indicado como posição
de número vazio; nascimento de Bhaskara, que escreveu o Lilavati, uma coleção de
problemas de Álgebra não simbólica e de aritmética e Leonardo de Pisa com a escrita
do Liber Abaci com a defesa do sistema de numeração indo arábica; primeira
impressão de um livro de Matemática, o livro Os elementos de Euclides; François
Viète e outros com uma álgebra próxima da atual; Blaise Pascal desenvolve uma
espécie de calculadora somadora que foi aprimorada para máquina registradora em
1662; Isaac Newton com a publicação da Principia que introduz as bases do cálculo
diferencial e integral; Carl Friedrich Gauss escreve sobre a Teoria dos números;
Nicolai Lobachevsky com os fundamentos da Geometria não Euclidiana, a Geometria
de Lobachevisky; George F. B. com a geometria riemanniana que deu base para a
Teoria da Relatividade; Peano com os postulados para números naturais; Albert
Einstein com a Teoria da relatividade; Alan M. Turing com as ideias matemáticas que
levaram à construção do computador; Mar I inicia em Harvard a era dos computadores
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e o surgimento do primeiro computador eletrônico. No século XX, graças ao
conhecimento matemático surgiram os avanços tecnológicos.
Após toda essa breve enumeração histórica, os autores chamam a atenção dos
professores para os diversos objetivos do manual do professor. Essa enumeração revela ideias
presentes na concepção da coleção de Matemática; esclarecer sua proposta pedagógica e
auxiliar o professor no enriquecimento de sua prática. O manual sugere trabalho, além de
comentar as atividades, indica recursos didáticos e bibliografia. A coleção deixa clara que o
professor precisa desenvolver um trabalho sério; sem negligenciar no ensino da Matemática,
deixando fatos simplistas; propiciar a construção de conhecimentos, dando-lhe significados e
valorizando as experiências anteriores. (ANDRINI & VASCONCELLOS, 2002).
Depois de toda essa apresentação, os autores iniciam o Manual do Professor, tecendo
considerações sobre o ensino da Matemática. Para esses autores, a concepção de
conhecimento atual é algo a ser adquirido por meio da construção:
[...] tornando-se importante nas ciências cognitivas a ideia de rede de
significados, que leva em consideração as diferentes concepções de
inteligência e o processo pelo qual o ser humano aprende. [...] O indivíduo
atribui sentido ao que ele realmente se apropria. Nessa perspectiva, a
aprendizagem compreende a constituição de um processo articulado de
construção de significados e reelaboração de esquemas anteriores à
atribuição desses significados ainda segue um esquema mental que difere de
ser humano para ser humano. (ANDRINI & VASCONCELLOS, 2002, p. 8).
Os autores consideram a tendência pedagógica de simplificação do concreto,
reduzindo-o ao palpável, ao manipulável, desconsidera fatos importantes no processo de
ensino e de aprendizagem.
Na construção do conhecimento, as abstrações não constituem o início e o
fim do processo, mas são mediações indispensáveis, responsáveis pela
organização das relações significativas, que acabam por caracterizar a
realidade concreta como uma teia mais complexa, onde as significações são
cada vez mais abrangentes. (ANDRINI; VASCONCELLOS, 2002, p. 8).
Dessa maneira, não basta somente a presença de objetos manipuláveis no ensino da
Matemática para criação de estruturas mentais suficientes capazes de abstrações e
generalizações. Por isso, o livro de Matemática precisa ser atualizado e oferecer curiosidades
e desafios sem se sobrepor à seriedade do conteúdo matemático, deve ser de acordo com as
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necessidades dos alunos para que possa construir conhecimento. Essa obra foi pensada para
desenvolver a reflexão sobre a realidade, para compreender e realizar abstrações. (ANDRINI &
VASCONCELLOS, 2002).
A segunda seção do Manual do Professor apresenta a obra, indicando que é voltada
para o Ensino Fundamental, valoriza aspectos e destaques essenciais para a educação
matemática, utiliza temas atuais, associa conteúdos, propõe atividades para ativar o raciocínio
para que o aluno faça deduções. Portanto, valoriza as tendências atuais do ensino e se
preocupa em fornecer ao professor uma base sólida e segura de transitar com confiança,
inovando, sem correr o risco de aplicar atividades que não sejam pertinentes com o conteúdo
tratado. Os autores explicam que a obra é fruto da experiência deles aliada à prática e à
inovação. Trata-se de um trabalho proveniente do contato direto com o aluno, considerando as
transformações sociais e as tendências do ensino matemático no Brasil, com vistas a conciliar
a prática docente com a situação atual da escola pública e com as exigências da sociedade.
Além disso, a obra está inovada desde a apresentação gráfica à seleção cuidadosa de
atividades, contendo textos que aguçam a curiosidade do aluno para ajudar no
desenvolvimento de suas habilidades matemáticas. Não se pretende tirar a liberdade de
criação do professor. (ANDRINI & VASCONCELLOS, 2002).
Na terceira seção do Manual do professor, os autores apresentam a estrutura, aspectos
metodológicos e temas abordados na obra Ela está dividida nas seguintes seções:

EXERCÍCIOS: contêm atividades com grau crescente de dificuldade para
autocontrole de habilidades e conteúdos procedimentais adquiridos na aprendizagem.

REVISANDO: inclui exercícios numerosos e diversificados que oferecem a
oportunidade de retomar e interligar assuntos diferentes, possibilitando que o aluno
mobilize recursos para exercer as competências adquiridas. Pode ser usado para o
professor desenvolver recuperação paralela.

PARA SABER MAIS: atividades lúdicas diversas que contribuem com o processo de
aprendizagem.
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
DESAFIOS: contém desafios explorando as particularidades de cada assunto,
exigindo que o aluno seja criativo para solucioná-los. Isso favorece o desenvolvimento
do raciocínio lógico-dedutivo, de estimativa e percepção.

AUTOAVALIAÇÃO: inclui questões de olimpíadas e de vestibulares, levando em
conta o nível para o qual o livro é destinado. Essas atividades podem ser utilizadas
pelo professor para verificação de aprendizagem com discussão e socialização dos
exercícios resolvidos.
Os autores explicam a metodologia utilizada na obra. A distribuição da teoria é feita
em unidades e seções, de forma equilibrada através de linguagem simples e precisa,
permitindo a progressão do aluno sem dificuldades. Há ilustrações, fotos e esquemas
explicativos. Os assuntos são acompanhados de atividades ao longo da exposição e no
decorrer do texto a calculadora é solicitada para o aluno conhecer melhor os números e as
operações, bem como para acelerar os cálculos quando necessário. São indicados usos de
materiais manipulativos para facilitar o desenvolvimento do raciocínio lógico, a construção e
a generalização de conceitos e o aprendizado significativo. Os textos complementares
enriquecem os temas tratados, tornando a leitura prazerosa. Há a inclusão de resolução
detalhada de exercícios. Além disso, ao longo dos livros a história da Matemática surge em
várias oportunidades em forma de textos, pequenas notas históricas ou no enunciado de
alguns exercícios, mostrando a Matemática como construção humana relacionada às
demandas do cotidiano.
Os conteúdos são distribuídos nos quatro volumes: sistemas de numeração, números,
Álgebra, Geometria, medidas, noções de Matemática financeira, Estatística e funções. Há
procedimentos relacionados a cálculo mental, estimativas, argumentação e introdução à
articulação lógica e dedutiva.
A Geometria é abordada nos quatro volumes da coleção por seu estudo permitir o
desenvolvimento de habilidades importantes para compreensão e representação organizada do
mundo físico. Por isso, a Geometria é tratada como tema relacionado às atividades de
observação e construção em conexão com outras áreas do conhecimento e com a vida prática.
Os textos complementares ressaltam a importância da Geometria.
Andrini &Vasconcellos (2002) afirmam que o aluno já diferencia figuras planas e não
planas e caracteriza o polígono. Dessa forma, esse capítulo é para ampliar e organizar
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progressivamente esse conteúdo. Os autores sugerem a integração com Arte na realização de
um trabalho com mosaicos, possibilitando a identificar os polígonos que compõem estes
mosaicos, a criatividade, a coordenação motora e a classificação dos polígonos e seus lados.
Os trabalhos podem ser expostos em murais. A motivação para essa atividade pode ser fotos
de vitrais, painéis de azulejos, pisos, tapetes, obras de arte que são vistos em igrejas, prédios,
museus e em outros espaços.
A edição de 2006, houve uma pequena mudança na
identificação dos volumes, em 2002, os volumes eram de
5ª a 8ª séries, e em 2006, são unidades de 1 a 4,
referentes às mesmas séries. O livro está dividido como o
anterior em 14 capítulos, sendo que a Geometria se
encontra nos mesmos capítulos: 8, 9, 10 e 14, mantendo
os mesmos conteúdos: Observando formas; ângulos;
polígonos e circunferências e medidas.
Figura 12: Capa do livro
Fonte: Andrini & Vasconcellos
(2006)
A edição do livro "Praticando Matemática" de 2011
é a 2ª e teve poucas modificações no conteúdo, com a
inserção de perspectivas e vistas. Também mudou a forma
de apresentá-la em relação à edição anterior datada de
2006. A edição veio com a nova ortografia e mudou o
design da capa, bem como aumentou o número de
analogias. O manual do professor mostra como estão
divididos os capítulos em termos de seção, valendo para
todos os volumes. O livro do 6º ano se divide em 14
Figura 13: Capa do livro/
Fonte: Andrini &Vasconcellos (2011)
capítulos, sendo os capítulos 8, observando formas;
9: ângulos e 10: polígonos e circunferências e 14: medidas referentes à Geometria.As
sugestões de trabalho em sala de aula recomendada para o professor são as mesmas do manual
da edição anterior, ainda que os autores utilizem outras palavras para dialogar com o docente.
Como na edição anterior, há as seções: Exercícios; Revisando; Desafios e
Autoavaliação às quais os autores inseriram a Seção livre e a Vale a pena ler, retirando a
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seção Para saber mais. As sugestões e esclarecimentos dos autores para o desenvolvimento
do trabalho em sala de aula.
Essa edição segue a Lei nº 11.274 de 2006 que organizou os níveis do EF em nove
anos, com prazo de início para a transição, sendo o início da mudança aprovado pelo parecer
nº 22/2009 de dezembro de 2009. (BRASIL, 2009). Por essa razão, a partir de 2010, o EF
começa aos seis anos de idade e termina aos 13/14 anos. Isso provocou uma mudança e a série
dessa pesquisa que era 5ª passou a ser o 6º ano, como consta na figura 13.
3.4 O Currículo de Geometria do Sexto Ano do Ensino Fundamental nas Obras de
Álvaro Andrini
Nesta tabela, listamos o currículo de geometria do 6º ano em cada edição do livro
pesquisado neste trabalho investigativo em seus respectivos capítulos.
Tabela 1 - Conteúdo de Geometria nas Obras Pesquisadas
ANO DA
EDIÇÃO
CAPÍTULO/
UNIDADE
1975
7
Medidas de comprimento, medidas de superfície, área das
principais figuras planas e medidas de volume
1984
17
Ponto, reta e plano; figura geométrica plana e espacial;
posições relativas de duas retas no plano; semirreta;
segmento de reta;polígono-polígono convexo- lados e
vértices de um polígono;triângulos e quadriláteros
1984
18
Medidas
1989
18
Geometria intuitiva
1989
19
Medidas de comprimento e de superfície
1989
20
Medidas de volume, capacidade e massa
2002/2006
8
Observando formas: As formas da natureza e as formas
criadas pelo homem; Formas planas e não planas;
Investigando os blocos retangulares e Construindo poliedros
CONTEÚDO
74
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2002/2006
9
Ângulos: Ângulos, Medidas de ângulos; Utilizando o
transferidor; Retas perpendiculares e retas paralelas e os
esquadros
2002/2006
10
Polígonos e circunferências: Polígonos; Polígonos regulares;
Triângulos; Quadriláteros; Perímetro; Circunferências e
Sistema nos polígonos
2002/2006
14
Medidas: Comprimentos no sistema métrico decimal,
Medindo superfícies, A área do ângulo reto, Medindo
Volumes e quando usamos casa unidade
2011
8
Observando formas da natureza e as criadas pelo homem;
formas planas e não planas; medidas de ângulos;
investigando blocos retangulares; perspectivas e vistas
2011
9
Ângulos: elementos e representação; medidas; utilizando
transferidor; retas perpendiculares e paralelas; os esquadros
2011
10
Polígonos e circunferências: polígonos regulares; triângulos;
quadriláteros; perímetro, circunferências e simetria de
polígonos
2011
14
Medidas: Medidas: Comprimentos no sistema métrico
decimal, Medindo superfícies, A área retângulo, Volumes e
quando usamos casa unidade, Medidas de massa
Fonte: Dados da pesquisa
3.5 Analogias e Metáforas na Geometria nas Edições de 1975 a 2011
Como as A&M serão apresentadas e analisadas em um capítulo específico para isso,
tal seção se resume em apenas explicar se as edições do livro pesquisado utilizaram A&M e a
quantidade dessa utilização para tratar da Geometria.
1975
O autor não fez uso de analogias no livro da 5ª série porque ele não considerava
espaço e forma como conteúdo da Geometria.
1984
O capítulo se intitula Geometria Intuitiva contém poucas analogias, utilizando apenas
no formato verbal (expressões linguísticas).
75
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1989
O autor utilizou menos A&M em forma de expressões linguísticas e acrescentou uma
pictórico verbal (expressões linguísticas/desenho), transformando seis analogias
utilizadas anteriormente em metáforas.
2002
Nessa edição, há uma quantidade maior de A&M por meio de figuras do cotidiano
dos estudantes, utilizando, portanto, o tipo pictórico verbal16 e não utilizou metáforas.
2006
Esta edição contém as mesmas A&M da edição anterior, não utilizando metáforas.
2011
Na edição deste ano as imagens possuem melhor resolução nas imagens utilizadas,
ampliando a quantidade de A&M, mas ainda sem usar metáforas.
A cada edição, os autores foram variando o uso de A&M em suas obras, entre 1984
diminuiu analogias que foram compensadas com metáforas, sendo que de 2002 a 2011 a
produção delas foi maior. As A&M utilizadas pelos autores são significativas no sentido de
auxiliar o ensino da Geometria, no entanto, esse assunto será discutido nas análises de
resultados.
16
Os tipos de analogias serão explicados no capítulo de metodologia, utilizando um quadro, partindo das
classificações de Curtis & Curtis & Reigeluth (1984).
76
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4 METODOLOGIA
Este capítulo aborda o processo metodológico utilizado na realização dessa pesquisa.
4.1 Diretrizes Metodológicas
A pesquisa teve início por meio da revisão bibliográfica para dar suporte aos
fundamentos e discussões sobre os pressupostos teóricos associados ao ensino da Matemática
e da Geometria no EF, à percepção das A&M no livro didático de Andrini & Vasconcellos
(1975, 1984,1989, 2002, 2006 e 2011), com foco no 6º ano.
Seguindo o âmbito da pesquisa qualitativa e de acordo com André (1995), a pesquisa
qualitativa busca formulação de hipóteses, conceitos, abstrações e teorias. Não busca a sua
testagem. Ela utiliza um plano de trabalho aberto e flexível, em que os focos da investigação
são constantemente revistos, as técnicas de coleta são reavaliadas, os instrumentos são
reformulados e os fundamentos teóricos são repensados. Procura-se com isso a descoberta de
novos conceitos, relações e formas inovadoras de entendimento da realidade.
Nessa mesma linha, Oliveira (2012) afirma que para fazer uma pesquisa dentro de uma
abordagem qualitativa, é preciso delimitar espaço e tempo ou, mais precisamente, faz-se
necessário o corte epistemológico para realização do estudo segundo um corte temporalespacial (período, data e lugar). Por isso, adotar a prática de combinar técnicas de análise
quantitativa com técnicas de análise qualitativa proporciona maior nível de credibilidade e
validade aos resultados da pesquisa evitando-se, assim, o reducionismo por uma só opção de
análise.
É preciso entender que as abordagens quantitativas e qualitativas não são excludentes,
complementam-se visto que existem fatos que são do domínio quantitativo e outros de
domínio qualitativo.
A metodologia interativa é um processo hermenêutico-dialético, solicitada aos
iniciantes em pesquisa, para que percebam que os termos hermenêuticos e dialéticos possuem
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uma dimensão objetiva que possibilitam segurança e confiança na utilização da metodologia
interativista. Em um encontro de duas pessoas, cada uma delas defende sua opinião. Ao
realizar essa defesa ocorre uma oposição que é denominada dialética. (OLIVEIRA, 2012,
p.138).
Para Aristóteles (2001), a dialética é a arte de argumentar, de negar e da construção de
um conhecimento verdadeiro. O homem não pode de uma só vez, compreender porque o
saber é progressivo e dialético.
De acordo com Oliveira (2012, p. 122) a hermenêutica é a arte e técnica de
interpretação textual, sendo de origem pré-socrática, na época em que os gregos buscavam
compreender e preservar o que os sábios e poetas diziam. A hermenêutica necessita de
compreensão e interpretação por ser um dos fenômenos humanos. Razão pela qual, é utilizada
nessa perspectiva com vistas a facilitar as diretrizes metodológicas desse estudo. A
hermenêutica é “a arte de interpretação de toda forma de expressão humana, dos sinais,
símbolos religiosos e mitos”. (LAROUSSE, 1995 apud OLIVEIRA 2012, p. 122).
A metodologia interativa por ser um processo hermenêutico-dialético facilita o
entendimento e interpretação da fala, bem como os depoimentos dos atores sociais em seu
contexto e a análise conceitos retirados em textos, livros e documentos, em uma visão
sistêmica do objeto de estudo.
Essa metodologia se alicerça na ciência contemporânea da visão sistêmica, que
compreende o processo de conhecimento como dinâmico e sistêmico, que interliga tudo, em
outras palavras, as partes só podem ser entendidas partindo do todo.
É uma abordagem que pode ser utilizada em dois níveis: como pesquisa de campo
envolvendo diferentes atores sociais e como análise de conceitos, através de análises em
livros didáticos, textos e documentos.
Para garantir a qualidade e a confiabilidade de uma pesquisa, utilizam-se as
metodologias científicas. Entretanto, não há uma única metodologia de pesquisa correta ou
aplicável para todo e qualquer tipo de análise. O que determina a metodologia de pesquisa a
ser utilizada é o tipo de estudo e o objetivo da investigação.
De acordo com André (1995), a pesquisa documental utiliza documentos para
contextualizar o fenômeno, explicitar as suas vinculações e completar as informações
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coletadas por meio de outras fontes, ao passo que Oliveira (2012, p. 69), afirma que a
pesquisa documental, se assemelha à bibliográfica porque ela busca informações em
documentos tais como relatórios, reportagens de jornais, revistas, livros, cartas, filmes,
gravações, fotografias entre outros documentos. No caso de nossa pesquisa, os documentos
são os conteúdos e atividades das obras de Andrini (1975 a 1989) e de Andrini &
Vasconcellos (2002 a 2011) a , dos quais utilizaremos como dados, conteúdos, atividades e
figuras os quais os autores utilizaram A&M para tratar da Geometria no 6º ano do EF. De
acordo com a autora, esse tipo de pesquisa requer do pesquisador muito cuidado ao realizar as
análises porque se tratar de documentos que ainda não passaram por um tratamento científico.
Essa pesquisa também é descritiva porque narra a ocorrência de A&M e procura
descrevê-lo, classificá-lo e analisá-lo à luz das teorias empregadas para fundamentá-la.
Segundo Oliveira (2012, p. 68), a pesquisa descritiva analisa fenômenos, detalhando a forma
como eles se apresentam. Trata-se de uma análise em profundidade do que ocorre na realidade
com esses fenômenos.
Os livros didáticos dos autores Andrini & Vasconcellos os quais estão cadastrados no
Plano Nacional do livro Didático (PNLD), serão as fontes de informações na coleta de dados
e na identificação das Analogias e Metáforas (A&M) presentes nos respectivos livros.
O período pesquisado está compreendido entre 1975 e 2011. Esse marco temporal se
justifica por acompanhar a cronologia das edições desses autores.
4.2 Tratamento dos dados
Depois do embasamento teórico, chegou o momento de trabalhar com os dados. Eles
foram coletados nas obras dos autores Andrini e Andrini & Vasconcellos, do 6º ano do Ensino
Fundamental, inserido no PNLD.
Segundo o Plano Nacional de Educação BRASIL (2005), a organização do Ensino
Fundamental e da Educação Infantil segue a nomenclatura:
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Tabela 2 - Organização do Ensino Fundamental
ETAPA DE ENSINO
Educação Infantil
Creche
Pré-escola
Ensino Fundamental
Anos iniciais
Anos finais
FAIXA ETÁRIA PREVISTA
até 5 anos de idade
até 3 anos de idade
4 e 5 anos de idade
até 14 anos de idade
de 6 a 10 anos de idade
de 11 a 14 anos de idade
DURAÇÃO
9 anos
5 anos
4 anos
Fonte: Belo Horizonte (2006)
O volume do livro didático analisado nessa pesquisa é destinado aos estudantes que
estão entre 11 e 12 anos, portanto, eles se inserem nos anos finais do Ensino Fundamental.
O desenvolvimento da pesquisa foi norteado por três etapas:
A primeira delas foi uma pesquisa no endereço eletrônico do PNLD coletando os
livros didáticos de Matemática autorizados pelo MEC nos anos de 1975 a 2011.
Após a coleta dos exemplares iniciou-se a segunda etapa com a identificação das
Analogias e Metáforas no conteúdo de Geometria em cada obra dos autores Andrini e Andrini
& Vasconcellos do 6º ano do Ensino Fundamental conforme foi mencionado.
De
acordo
com
Alves-Mazzotti
(1998),
as
pesquisas
qualitativas
são
caracteristicamente multimetodológicas por sua diversidade e flexibilidade, não admitem
regras precisas. Até o grau de estruturação prévia pode ser definido no decorrer do processo
de investigação, sendo assim, fica evidente que no decorrer da pesquisa novos processos
metodológicos podem ser utilizados.
Os dados foram analisados tendo em conta as categorias analógicas e metafóricas,
conforme os quadros 1, 2 e 3 a seguir:
CATEGORIA
DESCRIÇÃO
Estrutural
Quando o objeto analógico pode ser comparado com o objeto real na sua
forma.
Quando o objeto analógico pode ser comparado ao objeto real no seu
funcionamento.
Funcional
Antrópica
Quando a frase transmite uma ideia de racionalidade, egocentrismo,
atribuindo aos objetos ou fenômenos, características de seres humanos.
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Zootrópica
Quando a frase transmite uma ideia de morfologia ou comportamento,
atribuindo animais.
Fitotrópica
Quando a frase transmite uma ideia de morfologia ou comportamento,
atribuindo aos vegetais.
Quando os termos já são utilizados há anos, não trazendo nenhuma surpresa
ao leitor (congelada) ou quando os termos definem o fenômeno, ou seja, é
considerado como sinônimo.
Congelada
Quadro 1 - Categoria das analogias
Fonte: Nagem (2003).
Segundo Nagem (2003), o estudante somente atinge o nível de compreensão
necessário se ele elabora mais de uma analogia para o mesmo conceito.
Não é pretensão dessa pesquisa, explicar os processos de aprendizagem por analogias,
mas diagnosticá-las, classificá-las e ao mesmo tempo deslocar um pouco o foco das atenções
da polêmica dupla ensino e aprendizagem, para a classificação das Analogias e Metáforas em
Geometria nos livros didáticos, cujo ponto de partida se encontra nessa pesquisa.
Percebemos que a classificação das categorias de Nagem (2003) se aplica em sua
maioria ao ensino de Biologia. Por isso, as categorias usadas para analisar as A&M em
Geometria foram a estrutural e a funcional.
De acordo com Curtis & Reigeluth (1984), as analogias possuem um tipo de relação
analógica estrutural e uma funcional, e essa, pode fornecer forte relação analógica, uma vez
que há mais aspectos a comparar e poucas limitações entre fonte e alvo. Se a analogia for
unicamente estrutural, é fraca, pois os aspectos estruturais são os únicos atributos
compartilhados e pode ser que o número de diferenças entre a fonte e o alvo seja grande.
Entretanto, as estruturais são bons modelos de ensino. O tipo de relação vai depender da
natureza do alvo. As funcionais ocorrem se o análogo e alvo são similares. Também, as
analogias podem ter esses dois tipos simultaneamente. De todas as formas, as analogias dão
suporte à aprendizagem porque elas podem fazer com que os estudantes criem imagens
mentais a respeito de conceitos abstratos.
Para esses autores, as analogias têm um formato de apresentação que pode ser verbal,
se explicada somente por palavras, e, pictórico verbal se elas são reforçadas por figuras do
que é análogo (veículo/fonte).
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As analogias podem ser categorizadas por suas condições concretas e abstratas,
podendo ter três possibilidades combinatórias: concreta x concreta; abstrata x abstrata e
concreta x abstrata. Elas estabelecem uma ponte ao se conceituar, associando o familiar ao
não familiar e o simples ao complexo. A relação analógica requer a colocação de um tópico (o
tema tratado) e a base (onde ocorre a compreensão). O domínio é o termo utilizado para
chamar a rede conceitual que abrangem os conceitos alvos, o tópico (tema) e a base
(analógico). O mais básico da analogia é a simples analogia que geralmente se compõe de
tópico, veículo e um conector. Uma relação análoga inclui similaridades pertinentes e
diferentes entre o tópico e o veículo, envolvendo comparações e associações entre o já
conhecido com o desconhecido. (CURTIS; REIGELUTH, 1984).
De acordo com esses autores, o efeito das analogias difere com relação à posição em
que aparecem no processo de construção do conhecimento, se elas se posicionam antes,
durante ou no final esse processo tende a ser mais eficaz. Quando ocorrem antes das
instruções, elas organizam as informações, se aparecem durante, esclarece informações
anteriores, sendo no final, elas sintetizam, concluindo o que foi explicado. Nos dois últimos
casos, elas podem permitir relações analógicas diretas, pois apresenta o domínio alvo e ao
mesmo tempo o estudante faz as relações necessárias para compreender o conceito.
Segundo Curtis & Reigeluth (1984), quanto ao nível de enriquecimento uma analogia
é simples se vem conectada por conectores de comparação, tais como "pode ser comparado
com", "semelhante a", "como" entre outros. Nas analogias simples, os estudantes identificam
os aspectos compartilhados ou não compartilhados. Alguns alunos podem ter dificuldades
para identificar as similaridades e diferenças difíceis para se perceber. As analogias simples
podem ser modelos de ensino mais fraco, no entanto, conforme os objetivos que se quer
alcançar, elas podem ser eficazes, fáceis de compreensão se os atributos do análogo tenham os
aspectos mais importantes do alvo, se esses atributos forma de fácil de mapear. A analogia é
enriquecida quando compartilham alguns de seus atributos de forma explícita, podendo
possuir limitações da relação analógica, se a analogia é utilizada para ensinar mais de um
conceito alvo ou duas ou mais fontes, seu nível possui maior enriquecimento sendo, portanto,
uma analogia ampliada.
No que tange à orientação pré-alvo, as analogias podem ter as seguintes ações:
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
Descrever/explicar ou revisar/retomar, sendo utilizado quando o aluno desconhece o
análogo (fonte) ou se conhece, mas ele é complexo;

Apresentar/identificar a analogia como estratégia cognitiva, com sugestão
comparativa entre fonte e alvo, esclarecendo como ocorre a analogia;

Descrever/explicar a fonte e a estratégia cognitiva, incluindo ambas as ações
antecedentes a esta.
Essa pesquisa utiliza todas essas categorias traçadas por Curtis & Reigeluth (1984),
para organizar a apresentação de dados para análise. As classificações propostas pelos autores
colocam as analogias em evidência, oferecendo uma visão clara dos dados coletados,
eliminando possíveis equívocos no tratamento dos dados. É relevante explicar que A&M são
confundidas com exemplos, mas de acordo com Duit (1991), A&M são comparações
estruturais e exemplo é aplicação de um conceito a uma situação dada.
As categorias descritas por Curtis & Reigeluth (1984) foram organizadas em um
quadro que serviu como uma espécie de fórmula para enquadramento das analogias e
metáforas encontradas nos livros de Álvaro Andrini e Álvaro Andrini & Maria José
Vasconcellos.
O referido quadro 2 sintetiza a classificação das analogias nessas categorias:
Estruturais
Quando alvo e análogo compartilham a mesma aparência
física geral ou constituição similar
Tipo de Relação
Funcionais
Analógica
Quando o alvo e o análogo compartilham funções
similares
Estruturais/Funcionais
Este tipo de relação analógica é uma combinação de
relação estrutural e funcional
Formato da
Verbal
Quando a analogia é explicada apenas por palavras
Pictórico verbal
Quando a analogia é reforçada por uma ou mais figuras do
Apresentação da
Analógica
análogo
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Condição da
Analogia
Concreta/Concreta
Quando o alvo e o análogo são de natureza concreta
Abstrata/Abstrata
Quando o alvo e o análogo são de natureza abstrata
Concreta/Abstrata
Quando o alvo e o análogo são de natureza concreta e
abstrata
O análogo pode ser apresentado no começo da instrução,
portanto, antes do alvo funcionando como um organizador
avançado
Análogo apresentado
no início da instrução
Análogo apresentado
durante a instrução
Posição do
Análogo na
Explicação
Análogo apresentado
no final da instrução
Simples
Nível de
Enriquecimento
Enriquecida
Também denominadas apresentações analógicas de 2º
nível, apresentam algumas relações entre alvo e análogo
Estendida
Também denominadas apresentações analógicas de 3º
nível, podem ser de duas formas: são utilizados vários
análogos para descrever o alvo ou são estabelecidas várias
relações entre o alvo e o análogo
Descrever/explicar ou
revisar/retomar o
análogo
Orientação préalvo
O análogo pode ser apresentado durante a instrução num
momento onde o conteúdo é mais difícil para o aprendiz.
Nessa posição atua como um ativador encravado/inserido
permitindo clarificar as informações precedentes e/ou
podendo funcionar como um guia para as próximas
informações sobre o alvo
O análogo pode aparecer no final da instrução, atuando
como um pós-sintetizador, ou seja, auxiliando na síntese da
informação precedente e concluindo a explicação sobre o
alvo
Também denominadas apresentações analógicas de 1º
nível, apresentam apenas uma pequena semelhança entre
alvo e análogo
São usualmente compostas de três partes principais - o
alvo, o análogo e um conectivo do tipo "é como" ou "pode
ser comparado a"
Apresentar/identificar
a analogia como
estratégia cognitiva
Descrever/explicar o
análogo e a estratégia
cognitiva
Nos casos em que o análogo é desconhecido para o aluno,
é importante descrever/explicar o análogo antes de usá-lo
Da mesma forma, se o análogo é familiar, mas é
complexo
Sugere comparações entre o análogo e o alvo, explica o
funcionamento da analogia
Quadro 2: Critérios de classificação das analógicas
Fonte: Curtis & Reigeluth) (1984)
Inclui ambas as ações
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As metáforas foram analisadas levando em conta o quadro elaborado por Lakoff &
Johnson (2002). Os autores explicam que as metáforas estão incorporadas à vida cotidiana por
meio da linguagem, pensamento e ação, uma vez que o sistema conceitual humano é
metafórico por natureza. Nesse sentido, os conceitos que pensamentos, estruturam a
percepção de mundo, é uma forma compreender os comportamentos e relações interpessoais
em conformidade com as experiências físicas e culturais. As experiências são muito
importantes no entendimento e elaboração de metáforas, pois sem contextualização, elas não
são compreendidas, porque a essência da metáfora é a compreensão de uma coisa através de
outra, e se o indivíduo não compreende essa outra, não consegue perceber o sentido que se
quer comunicar.
O quadro 3 é uma síntese da classificação das metáforas em categorias:
Estrutural
Conceitua por meio de uma palavra ou expressão que se associa à outra.
Orientacional
O sistema de conceitos relacionados a outro, partindo de uma orientação
espacial.
Ontológica
Concretiza o abstrato, sem mapeamentos, dando condições para que algo
abstrato seja contado, dividido, medido.
Personificação
É uma metáfora ontológica que especifica a entidade como pessoa.
Quadro 3: Critérios de classificação das metáforas
Fonte: Lakoff & Johnson (2002)
Foram encontradas na obra de Andrini (1989) somente metáforas estruturais. Segundo
Lakoff & Johnson (2002), a metáfora não é proveniente da linguagem, embora ela se realize
como expressão linguística, ela existe no sistema conceitual humano que é bastante
metafórico.
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5. APRESENTAÇÃO DOS DADOS
Este capítulo apresenta os dados coletados na obra de Andrini (1975, 1984 e 1989).
Andrini & Vasconcellos (2002, 2006 e 2011). Os dados são apresentados, e em seguida, são
analisados.
5. 1 Ensino Objetivo de Matemática - 1975
Andrini (1975) não utiliza nenhuma A&M porque nessa época, a Geometria era
apenas "medidas", o conteúdo "espaço e forma" não foi incluído no 6º ano, mas somente no
7º. O assunto é tratado de forma expositiva com propostas de atividades, utilizando um
método tradicional de apresentar o conteúdo.
5.2 Matemática - 1984
Andrini (1984) utiliza expressões linguísticas que fazem analogias, introduzindo o
conceito de ponto, reta e plano, totalizando treze analogias:
(1) Um furo de agulha num papel dá ideia de ponto.
Veículo/Fonte: furo da agulha
Alvo: ponto
Tipo: estrutural
Formato: verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: início da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar / identificar a analogia como
estratégia cognitiva
Quadro 4: Analogia do ponto
Fonte: ANDRINI (1984, p. 217).
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(2) Uma corda bem esticada dá ideia de reta.
Veículo/Fonte: corda esticada
Alvo: reta
Tipo: estrutural
Formato: verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: início da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar / identificar a analogia como
estratégia cognitiva
Quadro 5: Analogia da reta
Fonte: ANDRINI (1984, p. 217).
(3) O quadro-negro da sala de aula dá ideia de plano.
Veículo/Fonte: quadro-negro
Alvo: plano
Tipo: estrutural
Formato: verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: início da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar / identificar a analogia como
estratégia cognitiva
Quadro 6: Analogia do plano
Fonte: ANDRINI (1984, p. 217).
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No exercício 2, utiliza a expressão "dá ideia de" para fazer analogias de objetos com
os conceitos primitivos ponto, reta e plano.
(a) A cabeça de um alfinete dá ideia de:
Veículo/Fonte: um alfinete
Alvo: ponto
Tipo: estrutural
Formato: verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: início da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar / identificar a analogia como estratégia cognitiva
Quadro 7: Analogia do ponto
Fonte: ANDRINI (1984, p. 219).
(b) Uma corda de violão bem esticada dá ideia de:
Veículo/Fonte: uma corda
Alvo: reta
Tipo: estrutural
Formato: verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: início da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar / identificar a analogia como estratégia cognitiva
Quadro 8: Analogia da reta
Fonte: ANDRINI (1984, p. 219).
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(c) O piso da sala de aula dá ideia de:
Veículo/Fonte: piso da sala
Alvo: plano
Tipo: estrutural
Formato: verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: início da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar / identificar a analogia como estratégia cognitiva
Quadro 9: Analogia do plano
Fonte: ANDRINI (1984, p. 219).
(d) O encontro de duas paredes dá ideia de:
Veículo/Fonte: encontro de duas paredes
Alvo: reta
Tipo: estrutural
Formato: verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: início da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar / identificar a analogia como estratégia cognitiva
Quadro 10: Analogia da reta
Fonte: ANDRINI (1984, p. 219).
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(e) Um grão de areia dá ideia de:
Veículo/Fonte: grão de areia
Alvo: ponto
Tipo: estrutural
Formato: verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: início da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar / identificar a analogia como estratégia cognitiva
Quadro 11: Analogia do ponto
Fonte: ANDRINI (1984, p. 219).
(a) um campo de futebol dá ideia de:
Veículo/Fonte: um campo de futebol
Alvo: plano
Tipo: estrutural
Formato: verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: início da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar / identificar a analogia como estratégia cognitiva
Quadro 12: Analogia do plano
Fonte: ANDRINI (1984, p. 219).
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No exercício 4, utiliza o verbo "lembrar" para fazer analogias de objetos com as
figuras planas e espaciais:
(a) Um disco lembra uma figura geométrica plana ou espacial?
Veículo/Fonte: um disco
Alvo: figura plana
Tipo: estrutural
Formato: verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: início da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar / identificar a analogia como estratégia cognitiva
Quadro 13: Analogia da figura plana
Fonte: ANDRINI (1984, p. 219).
(b) Uma bola de futebol lembra uma figura geométrica plana ou espacial?
Veículo/Fonte: uma bola de futebol
Alvo: figura espacial
Tipo: estrutural
Formato: verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: início da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar / identificar a analogia como estratégia cognitiva
Quadro 14: Analogia da figura espacial
Fonte: ANDRINI (1984, p. 219).
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(c) Uma folha de caderno lembra uma figura geométrica plana ou espacial?
Veículo/Fonte: folha de caderno
Alvo: figura plana
Tipo: estrutural
Formato: verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: início da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar / identificar a analogia como estratégia cognitiva
Quadro 15: Analogia da figura plana
Fonte: ANDRINI (1984, p. 219).
(d) Uma caixa de sapato lembra uma figura geométrica plana ou espacial?
Veículo/Fonte: caixa de sapato
Alvo: figura espacial
Tipo: estrutural
Formato: verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: início da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar / identificar a analogia como estratégia cognitiva
Quadro 16: Analogias da figura espacial
Fonte: ANDRINI (1984, p. 219).
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5.3 Praticando Matemática - 1989
No livro de 1989, o autor utilizou sete analogias do livro de 1984, acrescentando mais
uma com ilustração e transformou seis analogias em metáforas.
Portanto, houve uma
evolução em termos de quantidade de analogias e de inserção das metáforas.
O exercício 2 utiliza um mapa de localização de ruas, pedindo para identificar retas
paralelas e as concorrentes, sendo a única analogia representada por figuras.
Figura 14: Observação sobre retas
Fonte: Andrini (1989, p. 216).
Veículo/Fonte: mapa das ruas
Alvo: retas paralelas e concorrentes
Tipo: estrutural/funcional
Formato: pictórico verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: final da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar/identificar a analogia como estratégia cognitiva
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As metáforas foram classificadas conforme a categorização realizada pelos autores
Lakoff & Johnson (2002).
No exercício 2, o autor emprega metáforas, pedindo para o aluno inferir conceitos.
(1)
A cabeça de um alfinete.
(2)
O piso da sala de aula.
(3)
Uma corda de violão bem esticada.
Ontológicas: Concretizam o abstrato
sem mapeamentos, dando condições
para que algo abstrato seja contado,
(4)
O encontro de duas paredes.
(5)
Um grão de areia.
(6)
Um campo de futebol
dividido ou medido.
Quadro 17: Metáfora dos elementos fundamentais da Geometria
Fonte: ANDRINI (1984, p. 214).
5.4 Novo Praticando Matemática - 2002
No livro de 2002, Andrini faz coautoria com Vasconcellos. Os autores preservaram
apenas a analogia na qual foi utilizada figura (ver fig. 14) e acrescentaram nove analogias
sendo oito ilustradas e uma textual.
Esse agrupamento de figuras inicia o capítulo e demonstra que as formas geométricas
estão na natureza, tanto no ambiente natural quanto no modificado e criado pelo homem.
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Figura 15: Observação de formas
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2002, p. 115).
Veículo/Fonte: formas da natureza
Alvo: formas geométricas
Tipo: estrutural
Formato: pictórico verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: início da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar/identificar a analogia como estratégia cognitiva
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Os autores pedem para o estudante desenhar um triângulo em uma folha de papel e
observar que o triângulo ficou todo contido no plano da folha. Continuam pedindo para o
aluno apanhar caixas de fósforos e chama a atenção para a posição. Os autores explicam que
em qualquer posição que as caixas sejam colocadas sobre o tampo de uma mesa, partes delas
saem do tampo. Não conseguimos fazer com que a caixa fique totalmente contida no plano,
como aconteceu com o triângulo desenhado na folha de papel, finalizando que o triângulo
representa uma forma plana e a caixa representa uma forma não plana.
Figura 16: Formas planas e não planas
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2002, p. 117).
Veículo/Fonte: desenho do triângulo no papel e caixa de fósforos
Alvo: formas planas e não planas
Tipo: estrutural
Formato: pictórico verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: durante a instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar / identificar a analogia como estratégia cognitiva
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Os autores pedem que os estudantes peguem uma embalagem em forma de bloco
retangular, pedindo para desmontá-la para obter uma figura plana formada por seis retângulos.
Essa figura representa a planificação da embalagem em forma de bloco retangular e observem
e apontem quais são as faces opostas desse bloco.
Figura 17: Planificações de blocos retangulares
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2002, p. 124).
Veículo/Fonte: caixa de chá mate
Alvo: planificações de blocos retangulares
Tipo: estrutural
Formato: pictórico verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: durante a instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar / identificar a analogia como estratégia cognitiva
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Exercício de revisão número: Acompanhe nas figuras, esta montagem.
a) A figura do primeiro desenho é plana?
b) E a do último?
Figura 18: Caixa planificada
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2002, p. 128).
Veículo/Fonte: caixa planificada
Alvo: figuras planas e não planas
Tipo: estrutural
Formato: pictórico/verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: durante a instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar / identificar a analogia como estratégia cognitiva
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Os autores afirmam que encontramos ângulos na natureza, nas construções e nos
objetos criados pelo ser humano, anunciando o tema da unidade que é aprender a representar,
medir e traçar ângulos.
Figura 19: Ângulos
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2002, p. 131).
Veículo/Fonte: Ângulos na natureza/construções/objetos criados pelo ser humano
Alvo: Ângulos
Tipo: estrutural
Formato: pictórico verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: início da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar / identificar a analogia como estratégia cognitiva
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Figura 20: Classificação dos ângulos
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2002, p. 138).
Veículo/Fonte: Movimento dos braços de Pedro
Alvo: Classificação de Ângulos
Tipo: estrutural
Formato: pictórico verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: durante a instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar / identificar a analogia como estratégia cognitiva
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Andrini & Vasconcellos explicam que quando duas retas que estão em um mesmo
plano não têm ponto comum, ou seja, não se interceptam, elas são paralelas.
Figura 21: Retas paralelas
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2002, 139).
Veículo/Fonte: faixas pintadas em trecho reto da estrada
Alvo: Retas paralelas
Tipo: estrutural
Formato: pictórico verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: durante a instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar/ identificar a analogia como estratégia cognitiva
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No exercício 14, os autores pedem para os estudantes observara a planta de um bairro
mostrada pela figura abaixo e respondam quais ruas são paralelas e quais são perpendiculares.
Figura 22: Retas paralelas e concorrentes
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2002, p. 142).
Veículo/Fonte: mapa das ruas
Alvo: retas paralelas e concorrentes
Tipo: estrutural/funcional
Formato: pictórico verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: final da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: descrever / explicar ou revisar/retomar o análogo
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Figura 23: Polígonos
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2002, p. 147).
Veículo/Fonte: Telhado
Alvo: polígonos
Tipo: estrutural/funcional
Formato: pictórico verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: durante da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar/ identificar a analogia como estratégia cognitiva
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No exercício 20, os autores colocam uma situação na aula de Educação Física para os
alunos associarem ao conteúdo geométrico.
Na aula de Educação Física, o professor Veículo/Fonte: Distância entre professor e
pediu aos seus alunos para se colocarem a seus alunos
três metros de distância dele. Como é que Alvo: circunferência
os alunos se dispuseram? Faça um desenho Tipo: estrutural
indicando assim:
Formato: pictórico verbal
Alunos
Condição: abstrata/abstrata
 Professor
Posição: durante a instrução
Nível: simples
Que figura geométrica seu desenho sugere? Orientação Pré-alvo: apresentar/ identificar a
analogia como estratégia cognitiva
Quadro 18 - Circunferência
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2002, p 159).
5.5 Novo Praticando Matemática - 2006
Os conteúdos e os exercícios do livro de 2006 são os mesmos apresentados no livro de
2002; o designer da capa, as figuras e formatação também são os mesmos. Sendo assim, os
dados são os mesmos apresentados no livro de 2002. Houve somente uma mudança nessa
edição. Essa mudança refere-se ao critério de numeração, os volumes de 2002 estão divididos
por série: 5ª, 6ª, 7ª e 8ª e os de 2006 têm a numeração 1, 2, 3 e 4, correspondendo
respectivamente às séries que figuravam na edição de 2002.
5.6 Novo Praticando Matemática - 2011
O livro de 2011 teve poucas mudanças, os autores utilizaram todas as imagens
analógicas apresentadas nos livro de 2002 e 2006, acrescentando algumas analogias, como se
apresentam a seguir.
104
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O bloco possui seis faces, todas retangulares e chamam a atenção para as faces opostas
que são idênticas e pedem para os estudantes identificarem-nas na caixa de fósforos:
O trecho da reta produzido pelo encontro de duas faces chama-se aresta. O
bloco retangular possui doze arestas. Localize-as na caixa de fósforos. O
ponto de encontro das arestas é um vértice. O bloco retangular possui oito
vértices. Confira na caixa de fósforos. Todo poliedro possui faces, arestas e
vértices. (ANDRINI & VASCONCELLOS, 2011, p. 124).
Figura 24: Blocos retangulares
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2011, p. 124).
Veículo/Fonte: caixa de fósforos
Alvo: faces, arestas e vértices
Tipo: estrutural
Formato: pictórico verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: durante a instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar/ identificar a analogia como estratégia cognitiva
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Veja ao lado um exemplo de planta baixa de um apartamento, retirado de um
anúncio de jornal. Essa planta representa uma vista superior do imóvel.
Observe que as paredes, as portas, os móveis estão representados no plano
como se fossem vistos "de cima". Essa representação é útil, pois nos dá uma
boa ideia do espaço e da disposição dos ambientes. (ANDRINI;
VASCONCELLOS, 2011, p. 128).
Figura 25: Perspectivas e vistas
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2011, p. 128 ).
Veículo/Fonte: planta de apartamento
Alvo: vistas
Tipo: estrutural
Formato: pictórico verbal
Condição: abstrata/abstrata
Posição: durante a instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar/ identificar a analogia como estratégia cognitiva
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Dentro do conteúdo sobre ângulos, elementos e representação, os autores colocam
uma atividade prática com palitos de sorvete, associando giros e ângulos.
Figura 26: Ângulos
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2011, p. 137).
Veículo/Fonte: palitos de sorvete
Alvo: ângulos
Tipo: funcional
Formato: pictórico verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: durante a instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar/ identificar a analogia como estratégia cognitiva
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Figura 27: Retas perpendiculares e paralelas
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2011, p. 143).
Veículo/Fonte: mapa
Alvo: retas perpendiculares e paralelas
Tipo: estrutural/funcional
Formato: pictórico verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: durante a instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar/ identificar a analogia como estratégia cognitiva
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Figura 28: Medida de ângulos
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2011, p. 150).
Veículo/Fonte: mapa
Alvo: medida de ângulos
Tipo: estrutural
Formato: pictórico verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: final da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: descrever/explicar o análogo e a estratégia cognitiva
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Figura 29: Classificação de ângulos
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2011, p.150).
Veículo/Fonte: sinal de trânsito
Alvo: classificação de ângulos
Tipo: estrutural
Formato: pictórico verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: final da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar/ identificar a analogia como estratégia cognitiva
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Figura 30: Perímetro
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2011, p. 160).
Veículo/Fonte: terreno em forma de trapézio
Alvo: perímetro
Tipo: funcional
Formato: pictórico verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: durante a instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar/ identificar a analogia como estratégia cognitiva
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Figura 31: Circunferência
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2011, p. 164).
Veículo/Fonte: campo de futebol
Alvo: circunferência
Tipo: estrutural
Formato: pictórico verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: final da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar/ identificar a analogia como estratégia cognitiva
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No exercício 23, os autores pedem que os alunos observem as argolas na primeira
ilustração e o CD, na segunda e respondam: Qual objeto nos dá a ideia de circunferência e
qual objeto nos dá a ideia de círculo?
Figura 32: Circunferência e círculo
Fonte: Andrini & Vasconcellos (2011, p. 164).
Veículo/Fonte: argolas e CD
Alvo: circunferência e círculo
Tipo: estrutural
Formato: pictórico verbal
Condição: concreta/abstrata
Posição: final da instrução
Nível: simples
Orientação Pré-alvo: apresentar/ identificar a analogia como estratégia cognitiva
O total de livros usados na pesquisa foi seis, sendo que o critério utilizado para o uso
dessa quantidade está relacionado com a quantidade de publicações realizadas pelo
autor/autores. Somente o livro de 1989 contém metáfora, contendo também analogias. Em
1975 Geometria não contemplava espaço e forma, mas somente medidas, que não faz parte do
nosso objeto de estudo.
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A quantidade de dados encontrados no capítulo de Geometria nos livros pesquisados,
organizados por ano de publicação é a seguinte:
Ano
Analogias
Metáforas
1975
0
0
1984
13
0
1989
8
6
2002
10
0
2006
10
0
2011
19
0
Quadro 19 - Dados coletados
Fonte: Dados da pesquisa
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6. ANÁLISE DOS DADOS
6.1 Analogias
No capítulo anterior, apresentamos dados acompanhados das classificações analógicas
de Curtis & Reigeluth (1984. Essas classificações possibilitaram ver as características
reunidas em cada analogia e perceber se o livro utilizou ou não todas elas. Outro aspecto
importante dessa pesquisa refere-se aos gráficos cujos dados possibilitaram mostrar os
resultados e após eles, procederam suas análises embasadas nas leituras realizadas. O livro de
1975 não aparece no gráfico nesse ano, conforme já explicado, a Geometria era considerada
somente como medidas. Os conceitos geométricos ponto, reta e plano eram vistos pelos
alunos somente na 7ª série.
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16
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10
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8
7
8
6
4
2
2
2
2
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0
0
1
0
0
0
1984
1989
Estruturais
2002
2006
Funcionais
Est.Func.
2011
Gráfico 1 - Tipo de relação analógica
Fonte: Dados da Pesquisa
Os dados do gráfico 1 indicam que houve um aumento na quantidade de analogias
estruturais ao longo das edições e a inserção das funcionais na edição de 2011. De 1984 para
1989 a quantidade de analogia é menor porque seis analogias se transformaram em metáforas
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ao retirar as expressões que fazem comparação. Por exemplo, "uma corda de violão bem
esticada dá ideia de..." é uma analogia porque estabelece uma comparação, já "uma corda de
violão bem esticada", não há comparação explícita, porque a corda esticada não é uma reta,
faz inferir uma reta. Para Curtis & Reigeluth (1984), a relação analógica estrutural é fraca por
compartilhar somente os aspectos estruturais, mas esses autores consideram-na um modelo
para ensinar, tanto é que a obra pesquisada enfatizou seu uso. As totalmente funcionais
ocorreram somente na última edição e são consideradas mais elaboradas. As relações
analógicas estruturais ocorreram nas obras de 1984 a 2011.
Também, ocorreram
simultaneamente, nas edições de 1989, 2002 e 2006, analogias com dois tipos de relação
analógica: Estrutural/Funcional (Est. Func.).
A segunda característica classificada na tabela de Curtis & Reigeluth (1984) é o
formato da analogia verbal e pictórica verbal.
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18
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9
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9
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4
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1
1
1
2002
2006
2011
0
0
1984
1989
Verbal
Pictórico Verbal
Gráfico 2 - Formato da relação analógica
Fonte: Dados da Pesquisa
Conforme os dados do gráfico 2, prevaleceu o formato pictórico verbal a partir do ano
de 2002. Inferimos que os autores valorizaram essa estratégia porque as imagens reforçam a
correlação entre a fonte e o alvo. A frequência de uso desse formato cresceu juntamente com
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o aumento da quantidade de analogias. É importante recordar que em 2002, Andrini fez
parceria com Vasconcellos, o que provavelmente influenciou a troca das analogias de 1984 e
1989 para outras mais elaboradas e contextualizadas com as demandas matemáticas da
contemporaneidade e mais elaboradas de forma a atender aos objetivos dos PCNs e do PNLD
e de outras propostas curriculares.
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18
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9
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8
6
4
2
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0
0
0
1
0
1
0
0
0
1984
1989
Concreta/abstrata
2002
2006
Abstrata/Abstrata
2011
Concreta/Concreta
Gráfico 3 - Condição da analogia
Fonte: Dados da Pesquisa
Em se tratando da condição da analogia, a maioria dos dados encontrados no gráfico 3
se classifica como concreta/abstrata, tendo uma abstrata/abstrata em 2002, 2006 e 2011 e não
houve ocorrência da condição concreta / concreta.
Isso ocorre porque as analogias
apresentadas exigiram abstração para compreender o alvo. Esse resultado corrobora com
Curtis & Reigeluth (1984) que realizaram um estudo cujos dados mostraram que a maior parte
das analogias são uma mescla de concreta/abstrata. Esses autores realizaram uma pesquisa
que envolvia Biologia, Geologia, Química e Física. No total geral, foram encontradas 69%
concreta/abstrata, 28% concreta/concreta e 3% abstrata/abstrata. Nesse sentido, nossos dados
são diferentes por não ter concreta/concreta que apareceu em uma quantidade significante na
pesquisa de Curtis & Reigeluth (1984).
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14
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10
7
8
7
7
5
6
4
2
2
1
2
0
0
2
1
1
0
0
1984
1989
Início
2002
Durante
2006
Final
2011
Gráfico 4 - Posição do análogo na explicação
Fonte: Dados da Pesquisa
De acordo com os dados do gráfico 4, constatou-se que inicialmente a posição das
analogias encontradas era somente no início da instrução, a partir de 1989 começaram a surgir
também no final da instrução e a partir de 2002,o número das analogias que aparecem
durante a instrução aumento consideravelmente.
20
18
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10
8
6
4
2
0
19
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10
8
0
1984
0
0
0
0
0
1989
2002
Simples
Enriquecida
0
0
2006
Extendida
Gráfico 5 - Nível de enriquecimento
Fonte: Dados da Pesquisa
0
2011
0
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O nível de enriquecimento de todos os dados apresentados no gráfico 5 é simples. Isso
indica que os autores preferiram utilizar esse modelo por ser mais fácil de compreensão e de
compartilhamento de atributos de forma explícita. O nível simples é considerado fraco pelos
teóricos, mas ao mesmo tempo os próprios entendem que elas são eficazes dependendo dos
objetivos almejados, pois elas necessitam de poucas interferências do professor.
18
18
16
13
14
12
9
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9
8
8
6
4
2
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1984
1989
Revisar
2002
Apresentar
2006
2011
Explicar
Gráfico 6 - Orientação pré-alvo
Fonte: Dados da Pesquisa
Já os dados do gráfico 4 revelaram que a orientação pré-alvo, entende-se que a maioria
das analogias encontradas apresentam ou identificam a analogia como estratégia cognitiva,
uma quantidade relevante apresenta o análogo e nenhuma explica o análogo e a estratégia
cognitiva.
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Metáforas
16%
Analogias
84%
Gráfico 7- Analogias e Metáforas Encontradas
Fonte: Dados da Pesquisa
O total de analogias é 32, correspondendo a 84% e de 6 metáforas, totalizando 16%,
sendo que as últimas apareceram somente no livro de 1989. O autor transformou 6 analogias
em metáforas ao retirar as expressões que indicam comparação, compartilhamento.
Constata-se, portanto, que a utilização de A&M corrobora com Piaget (1995), autor
para quem operações lógicas facilitam a manipulação de ideias, pois ao usá-la, o indivíduo
associa fonte e alvo para construir conhecimentos, faz hipóteses, inferindo situações reais. A
teoria piagetiana possibilita a elaboração pessoal do conhecimento, o que permite a
organização e o relacionamento com os conhecimentos prévios, para construir conhecimentos
novos e representativos. Essa análise está em conformidade com Nagem (2001) que assume
que o conhecimento novo se constrói, partindo do que se conhece.
O autor utilizou expressões diferentes das utilizadas por outros autores no que se
refere ao formato da apresentação da analógica verbal. As palavras e expressões utilizadas por
ele, muitas vezes, funcionam como marcadores textuais na compreensão do conteúdo
estudado. Elas são "dá ideia" e "lembra"; outros autores indicam as analogias com as
expressões "semelhante a", "similar", "assim como", "isso é comparado a", "parece com",
"imagine que", "aparentado", "como",
"pode ser comparado a", "parece com",
"igualmente","da mesma maneira", "do mesmo modo", entre outras.
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6.2 Metáforas
Os dados da pesquisa mostraram que ocorreram seis metáforas, considerando-se todas
as edições. De acordo com as classificações de Lakof & Johnson (2002), as encontradas na
edição de 1989 são ontológicas, uma vez que uma palavra se associa à outra diretamente, sem
estabelecer comparação. Como por exemplo: cabeça de alfinete, piso de sala de aula, corda de
violão esticada, encontro de duas paredes, grão de areia e campo de futebol, utilizados pelo
autor em uma atividade de Geometria. A metáfora também possui fonte/veículo e alvo como a
analogia. Por exemplo, corda de violão esticada e grão de areia são fontes, cujos alvos são a
reta e o ponto. Segundo esses autores, a amplitude do processo metafórico humano permite o
entendimento de metáforas, pois o sistema conceitual é inerente à mente humana, que para
Leite (2010b), é um mecanismo cognitivo. Dessa forma, o estudante compreende, raciocina e
abstrai através da metáfora.
Pensando no conceito dado por Aristóteles, pode-se dizer que o veículo é o transporte,
pois faz a transferência de significado. Tomando um dos exemplos de metáforas encontradas
na obra de Andrini (1989), "corda de violão esticada", entende-se que essa expressão é o
veículo que traz consigo o conceito de reta. Para Gilbert (1989) a metáfora é uma forma de
analogia que incorpora ideias novas, esse exemplo fornece uma nitidez nessa conceituação
porque ao fazer a associação o estudante estabelece comparação, pois precisa criar
mentalmente uma comparação: a corda esticada é uma reta por se apresentar dessa forma.
A conceituação que Fonseca (2011) atribui à metáfora corrobora com Gilbert (1989)
porque ao afirmar que ela é o emprego de um termo com significado que difere do habitual
em uma relação similar entre o sentido denotativo e o sentido conotativo, estabelecendo uma
comparação implícita que pode surpreender. Os seis usos de metáfora na obra de Andrini
(1989) se enquadram na conceituação dada por esses autores. Para Leite (2010b), a metáfora é
um desvio, pois a palavra muda seu significado.
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6.3 Questionamentos e Objetivos
A pesquisa realizada conseguiu responder as perguntas iniciais.
(1) As A&M aparecem nos capítulos de Geometria da obra pesquisa para conceituar e
exercitar o que foi ensinado. Além disso, as A&M permitem atender aos PCNs
porque elas estimulam a observação e percepção de semelhanças e diferenças, de
forma a apontar regularidades que se associam aos objetos e ambientes vivenciados
pelos sujeitos da aprendizagem. A obra está em conformidade com a sugestão do
PNLD de os livros didáticos contribuírem para desenvolver habilidades e o
desenvolvimento do pensamento. Foi possível perceber com base de pesquisas
realizadas por vários teóricos que o uso de A&M contribui para o ensino em geral,
inclusive o da Geometria.
(2) As A&M surgem nas obras analisadas em situações que relacionam a Geometria à
prática social. A realização dessa correlação, esta de acordo com Duit (1991), que
afirma que as A&M contribuem para o ensino da Geometria, permitindo adquirir
conhecimentos por elas serem recursos potenciais da cognição. Isso ocorre quando
os estudantes fazem as comparações em dois domínios no caso de analogias, e, ao
perceber de forma implícita os traços coincidentes ou não, facilita uma aproximar o
conteúdo ao contexto do estudante. O livro apresenta o conteúdo de geometria em
uma organização lógica que favorece a aprendizagem de forma que o conteúdo
anterior prepara o aluno para receber o posterior.
(3) Os autores do livro pesquisado foram modificando as A&M de forma a
contextualizá-las com as demandas dos PCNs e PNLD, atualizando as fontes
conforme o cotidiano do estudante. Algumas analogias eram apresentadas somente
no final da instrução, com o passar dos anos e exigências dos Parâmetros
Curriculares, essas analogias passaram a ser desenvolvidas durante a instrução.
(4) Os tipos de A&M utilizadas são classificadas pelos teóricos Curtis & Reigeluth
(1984) e Lakof & Johnson (2002), sendo que as utilizadas nessas edições foram as
estruturais, pictóricas verbais, concreta / abstrata, simples, posição durante a
instrução, de orientação pré-alvo que apresenta e identifica o análogo como
estratégia e na última edição houve uma heterogeneidade com relação à posição do
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análogo. É relevante informar que na edição de 1989 ele utilizou as mesmas
analogias do livro de 1984 que foram treze, entretanto seis destas, foram
transformadas em metáforas ao tirar as expressões linguísticas indicadoras de
analogia.
(5) A última pergunta busca saber se os autores relacionam A&M no conteúdo com os
exercícios propostos. Percebemos que nas edições de 1984 e 1989, Álvaro Andrini
apresentou A&M tanto no conteúdo quanto nos exercícios.Nas edições de 2002,
2006 e 2011, os autores Álvaro Andrini e Maria José de Vasconcellos inseriram
também analogias correlacionadas ao conteúdo. Para fixar o conteúdo, os autores
intercalam atividades que fazem uso de A&M e aquelas que não utilizam esse
recurso. Em toda obra, os autores relacionam os conteúdos aos exercícios.
Os objetivos foram alcançados porque foi possível traçar a trajetória do uso de A&M
na obra de Andrini (1975, 1984, 1989) e Andrini & Vasconcellos (2002, 2006, 2011) por os
autores sempre atualizarem as ilustrações, contextualizando-as com a contemporaneidade,
bem como ampliando a quantidade e qualidade das analogias, mas não crescendo com relação
à metáfora no conteúdo de Geometria.
6.4 Algumas Utilidades no Uso das A&M
Conforme alguns autores, a utilização de A&M é um recurso que ajuda a ensinar
conteúdos:
Tabela 3 - Utilidade das A&M
AUTOR
ANO
SÍNTESE DA UTILIDADE DAS A&M
Royer; cable
1976
Codificam a informação de forma ágil.
Ausubel et al
1980
Aprendizagem implica em relacionar.
Schallert
1980
Formam imagens mentais na aquisição de conceitos novos.
Mayer
1985
Ativam estruturas cognitivas.
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Gilbert
1989
Mudam a linguagem usual para facilitar a compreensão.
Stavy & Tirosh
1993
Estratégia forte na aprendizagem de temas não familiares.
Wong
1993
Motivam a aprendizagem, ajudam na construção de imagens
mentais para compreender temas.
English
1997
Instrumento que facilita o raciocínio matemático,
Nagem
1997
Estimula o uso de hipóteses, provocam insights, verificam
aprendizagem, produzem interesse no aluno pela aula.
Lakoff & Johnson
2002
As inferências regem o pensamento e as ações das pessoas.
Pais
2006
Valorizam a abordagem interdisciplinar.
Rodrigues
2007
Configuram e reconfiguram conceitos em um processo
contínuo.
Silva
2007
Inovam a ação pedagógica.
Fonseca
2009
Traduzem representações gráficas associando-as à ação
geométrica de construção dessas representações.
Lemgruber
& 2011
Ponte entre o familiar e o desconhecido.
Pádua
2011
Organizam e sistematizam a abordagem.
Barbosa et al
2012
Articulam problemas do cotidiano com conteúdo.
Rivelli
Fonte: Dados extraídos do referencial da pesquisa, elaborado pela autora
De acordo com Wong (1993), faz-se necessário responsabilizar não somente o
docente, mas também o estudante, a criar e aplicar analogias no conteúdo estudado, ainda que
os iniciantes tenham dificuldades em fazê-lo. Esse autor considera as A&M de muita utilidade
na construção de conceitos.
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6.5 Ensino da Matemática
Em 1975 pela capa do livro observamos que a inteligência era associada à resolução
de exercícios de Matemática. Neste livro, Andrini utiliza uma figura na capa que se dirige ao
aluno comparando a força com a inteligência, fazendo-nos inferir que aquele que sabe
Matemática é mais inteligente, utilizando uma roldana como alavanca para diminuir o
esforço. A figura a seguir é um recorte retirado da capa mencionada.
Figura 33: Concepção da Matemática em 1975
Fonte: Andrini (2011, p. 164).
No início do livro de 2011, os autores mostram que o conhecimento matemático não é
mais visto como um saber somente para os inteligentes como mostrado no livro de 1975
Andrini & Vasconcellos listam para qualquer aluno, os motivos de se estudar Matemática:
conhecer a realidade, organizar o raciocínio e realizar descobertas. A seguir há uma figura
recortada deste livro com esta enumeração.
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Figura 34: Finalidade da Matemática em 2011
Fonte: Andrini (2011, p. 164).
O desenho da capa de 1975 é uma metáfora, pois se pode inferir que o autor associou
exercícios físicos com força e inteligência na resolução de exercícios de Matemática
diminuindo o esforço físico com o uso da roldana.
A introdução dos autores ao livro de 2011 explica que a Matemática é significativa
porque se associa à realidade, organiza o raciocínio e permite fazer descobertas.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta pesquisa é o resultado das ideias de diferentes teóricos que tratam das A&M e da
Geometria nas obras dos autores Andrini e Andrini & Vasconcellos para saber como eles
trabalharam esse recurso didático a cada edição de suas obras.
O percurso da pesquisa se iniciou com alguns questionamentos que ajudaram a
encontrar qual era o objeto da pesquisa. Em seguida, buscamos respostas para as indagações
por meio da interação entre a leitura das teorias estudadas e os dados coletados nas edições da
obra pesquisada. Essa interação foi fundamental para encontrar as respostas que estão na
análise dos dados.
Compreendemos, dessa forma, que a Matemática possui uma linguagem e simbolismo
específicos que a tornam abstrata, e muitas vezes, de difícil compreensão dos estudantes. Por
essa razão, o uso de recursos como as A&M podem facilitar entender conteúdos de
Geometria. As A&M estão nos livros de Matemática, principalmente na Geometria como
estratégia para ensinar. Seria difícil ensinar alguns conceitos sem fazer uso de um recurso
pedagógico como esse, pois por meio dele é possível correlacionar uma ideia explícita e uma
implícita para compreender um conceito, estabelecendo relações e comparando a um objeto
ou situação familiar. O uso das A&M facilita a compreensão de conteúdos na construção do
conhecimento. A&M são úteis e indispensáveis para esclarecer as ideias com agilidade. Tratase de um recurso que facilita a resolução de problemas relacionados com o espaço.
. Além disso, possibilitar conforto e segurança para estudantes e professores no
tratamento de conceitos complexos. Elas facilitam o raciocínio matemático na construção de
conhecimentos, principalmente os relacionados à Geometria.
A obra de Andrini (1975, 1984 e 1989) e Andrini & Vasconcellos (2002, 2006 e 2011)
possui um diferencial ao apresentar o conteúdo de Geometria por fazer uso de metáforas,
ainda que poucas, e, várias analogias conforme os dados apresentados. Além disso, dentro do
capítulo de Geometria, os conteúdos são abordados de forma integrada, o conteúdo
antecedente, oferecendo os pré-requisitos que o estudante precisa saber para compreender o
conteúdo seguinte. A obra pesquisada privilegia o uso de instrumentos de desenho como fonte
para alcançar o análogo, sendo uma estratégia para ensinar Geometria, contribuindo para a
apropriação do saber.
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Como já mencionado nessa pesquisa, Andrini transformou seis analogias do livro de
1984 em metáforas ao editar o livro de 1989. Pensamos que ele fez isso por entender que o
veículo utilizado nelas é do dia-a-dia dos estudantes.
Observamos que as analogias de 2002 foram aprimoradas com a parceria que Andrini
fez com a Vasconcellos somada com o direcionamento dos PCNs para que o ensino da
Geometria desenvolva as formas e as relações entre elas, possibilitando a ocupação do espaço,
a localização e o deslocamento dos objetos dentro dele, sendo vistos de ângulos diferentes,
direcionamentos estes que são necessários atualmente como foram no passado. A Geometria
pode se atrelar às situações cotidianas e ao exercício de várias profissões, tais como
engenharia, bioquímica, coreografia, arquitetura, mecânica, entre outras. O estudo do espaço e
das formas possui três objetos: o espaço físico (domínio das materializações); a geometria
como modelizadora desse espaço, no domínio das figuras geométricas e o sistema de
representação plana das figuras espaciais (representações gráficas).
Nessa perspectiva, na edição de 2002, os autores aproveitaram os contornos das
figuras planas para introduzir a noção de perímetro. Observamos que nos primeiros livros
1975-1984 e 1989 o conteúdo de Geometria era apresentado no final dos livros, figurando nos
últimos capítulos. Isso ocorria porque nessa época a Geometria não era tão valorizada nos
livros de Matemática quanto eram os outros conteúdos. Já em 2002 - 2006 e 2011,
os capítulos de Geometria são intercalados no livro buscando dessa forma atender às
sugestões dos PCNs, no sentido de valorizar a Geometria no ensino de Matemática.
No ano de 2002, os autores acrescentam as novas analogias de acordo com as
orientações dos PCNs, no sentido de se trabalhar a Geometria a partir de contextos que
envolvam a leitura de guias, plantas e mapas para que o estudante localize pontos,
interpretando deslocamentos no plano, configurando organizadamente e convencionalmente
em um sistema referencial de objetos matemáticos como ponto, reta e plano.. Dentro desse
contexto, na edição de 1989, há um exercício com mapa em forma de esquema, o mesmo
exercício aparece na edição de 2002 e nas de 2006 e 2011 como a planta de um bairro em uma
forma mais elaborada conforme mostra a tabela de classificação que utilizamos na análise dos
dados. Foi em 2002 que Andrini fez parceria com Vasconcellos e justamente nessa edição o
livro foi todo reformulado para atender as orientações dos PCNs de 1998.
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Os conhecimentos geométricos são essenciais no currículo de Matemática do EF, pois
através deles, o estudante pode desenvolver habilidades e competências que facilitam que ele
compreenda, descreva e represente, organizadamente, o mundo onde está inserido. O
conteúdo de Geometria possibilita o trabalho com problemas matemáticos do cotidiano,
aproximando-se ao contexto do aluno. Além disso, a Geometria contribui para a compreensão
de outros conteúdos matemáticos, tais como números e medidas, facilitando a observação e
percepção da regularidade do espaço por meio de comparações de semelhanças e diferenças.
Ao correlacionar as formas ao espaço físico, o sujeito aprendiz faz uso das A&M. Dessa
forma, ao estudar Geometria, ele estabelece conexões aos objetos sociais e culturais do seu
mundo: obras de arte em geral, pinturas, desenhos, esculturas, artesanato, arquitetura, entre
outros.
Devido a esse caráter social e cultural, a Geometria não pode se isolar da realidade do
cotidiano da comunidade onde o estudante se insere. Ela está presente no dia-a-dia da escola e
da sociedade em geral. As A&M são recursos para associar alguma coisa que pertence ao
mundo social e cultural ao conceito a ser dado, em outras palavras, a fonte e o alvo.
Ao realizar essa pesquisa percebemos a importância de documentos como os PCNs e o
PNLD que direcionam a escolha do livro didático a ser utilizado na sala de aula. Percebemos
também que o uso das A&M precisa da mediação do professor, pois os autores expressam
analogicamente conteúdos e atividades, mas nem sempre o estudante consegue perceber
sozinho.
Como há poucas pesquisas tratando das A&M no ensino de Geometria, esse
trabalho poderá contribuir para outras pesquisas. Além disso, podemos continuar
pesquisando, pois ainda há o que desvendar sobre o assunto.
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RUSE, Michael. Methafor and evolutionary biology. In: Episteme, Porto Alegre, n. 8, p. 107127, 1999.
SCHALLERT, D. The role of illustrations in reading comprehension. Em Spiro, R., Bruca,
B. & Brewer, W. (Eds). Theoretical issues in reading comprehension. Hillsdale, N. Y.:
Erlbaum, 1980. p. 503-524.
SILVA, Adriana de Morais. O uso de analogias no ensino de Ciências. Belo Horizonte:
CECIMIG/FAE/UFMG, 2007. Monografia
SILVA, Adriana de Morais & MARTINS, Maria Inês. Analogias e metáforas nos livros
didáticos de física. In: Cad. Bras. Ens. Fís., v. 27, n. 2: p. 255-287, ago. 2010.
STAVY, Ruth & TIROSH, Dina. When analogy is perceived as such. In: Journal of
research in science teaching. v. 30, n. 10, 1993. p. 1229-1239.
VIEIRA, Rosângela da Silva. O uso de analogias, alegorias e metáforas no ensino dos
números inteiros. Porto Alegre: UFRGS, 2008. Dissertação de mestrado. Disponível em:
http://www6.ufrgs.br/espmat/disciplinas/tcc/exemplotexto prontonormas.pdf Acesso em 01 de
maio de 2012.
WONG, David E. Understanding the generative capacity of analogies as a tool for
explanation. In: Journal of Research in Science Teaching, 30 (10), 1993. P. 1259‐1272.
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ÉRIKA SCHMIDT NAVES
Analogias e metáforas em livros didáticos de matemática: contribuições para o ensino de geometria.
E-mail: [email protected]
ANEXOS
ANEXO I - PRIMEIRA TENTATIVA DE CONTATO COM O AUTOR DO LIVRO
"PRATICANDO MATEMÁTICA" ÁLVARO ANDRINI - VIA EDITORA DO BRASIL
---------- Mensagem encaminhada ---------De: Felipe (Editorial) <[email protected]>
Data: 3 de outubro de 2012 16:58
Assunto: ENC: Contato de autor
Para: [email protected]
Prezada Erika
Infelizmente não podemos disponibilizar dados dos autores. Mas podemos
encaminhar as suas questões a ele, se ajudar na sua pesquisa.
Atenciosamente,
Felipe Poletti
Supervisão editorial
fone: (11) 3226-0215
Rua Conselheiro Nébias, 887 ramal: 187
São Paulo - SP 01203-001 [email protected]
Tel.: 0XX (11) 3226-0211
www.editoradobrasil.com.br
De: Gladst
one [mailto:
[email protected]]
Enviada em: quinta-feira, 13 de setembro de 2012 14:03
Para: [email protected]
Cc: [email protected]
Assunto: Contato de autor
Marjorie boa tarde!
Como falamos por telefone a mestrando em matemática pelo Cefet/MG prof. Erika Schmidt,
esta fazendo uma pesquisa com o tema Analogias e Metáforas nos livros de matemática.
Sua pesquisa tem muitos pontos em torno do livro Praticando a Matemática
de Álvaro Andrini e por este motivo ela busca contato com o mesmo; afim de complementar
suas informações sobre os conteúdos de seus livros. Por este e-mail peço em nome dela que
nos assiste, algum contato do autor em questão, ou de Maria José Vasconcellos.
Sem mais para o momento, aguardo informações.
136
ÉRIKA SCHMIDT NAVES
Analogias e metáforas em livros didáticos de matemática: contribuições para o ensino de geometria.
E-mail: [email protected]
Gladstone Cardoso Lopes
Comercial
Av. do Contorno, 2312
fone: (31) 3273 – 7862
Belo Horizonte - MG 30110-012 cel:. (31)8447 - 4708
Tel.: 0XX (31) 3273-7862
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ANEXO II - E-MAIL ENVIADO PARA O AUTOR DO LIVRO "PRATICANDO
MATEMÁTICA" ÁLVARO ANDRINI - VIA EDITORA DO BRASIL
Felipe
Poletti
Supervisão editorial
Rua Conselheiro Nébias, 887
São Paulo - SP 01203-001
Tel.: 0XX (11) 3226-0211
www.editoradobrasil.com.br
fone:
(11)
ramal:
[email protected]
3226-0215
187
De: erika naves [mailto:[email protected]]
Enviada em: segunda-feira, 29 de outubro de 2012 21:36
Para: [email protected]; erika naves
Assunto: contato com autor Álvaro Andrini
Boa noite Felipe,
Meu nome é Érika Naves e estou terminando a dissertação de Mestrado pelo CEFET/MG.
O projeto de pesquisa em questão foca as Analogias e Metáforas no ensino de geometria do
6ºano nos livros do autor Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos.
Sou professora de Matemática e atuo no ensino fundamental e médio, o que me levou a
adotar o autor Álvaro Andrini foi o fato de sempre( 1990 até atual) usar os livros dele em
minha prática escolar e comungar da forma com que ele apresenta os conteúdos e os
exercícios de fixação...
Estou direcionando o projeto de pesquisa em Analogias e Metáforas e percebo que o autor
também faz uso frequente das Analogias em seus livros.
O contato com o autor tem por objetivo complementar de forma significativa meu projeto de
pesquisa, pois, à partir de um diálogo( por escrito, por email...) com o mesmo, eu teria
propriedade em afirmar o uso consciente ou não, da parte do autor, sobre o tema Analogias
e Metáforas, recorrente nos livros dele.
O livros que consegui do autor datam de 1975 a 2011, outro ponto que gostaria de
esclarecer com o autor seria se há algum outro livro antes de 1975.
O meu maior interesse é saber sobre a familiaridade do autor com Analogias e Metáforas.
A grosso olhar, esse é o projeto que estou desenvolvendo e ratifico a relevância de contato
com o autor.
Aguardo retorno e desde já agradeço o contato.
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ANEXO III - ANEXO QUE CONSTA NO E-MAIL ENVIADO
Prezado professor Álvaro Andrini.docx
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Prezado professor Álvaro Andrini,
Como é do seu conhecimento, sou aluna do Mestrado em Educação Tecnológica, e desenvolvo
minha pesquisa em Analogias e Metáforas especificamente no conteúdo de geometria e nos livros
didáticos de sua autoria.
Esta pesquisa é relevante porque ela mostra como as A&M contribuem para o ensino em geral e
principalmente para o da Geometria elas dão suporte para o entendimento de conceitos abstratos.
Para realizar esta análise, foram utilizadas edições do livro didático de Matemática "Praticando
Matemática" - de 1975 a 2011.
1.1 Objetivos
1.1.1 Objetivo Geral
Realizar um estudo capaz de verificar a tendência e trajetória do uso de A&M
nas edições do livro didático "Praticando Matemática", no conteúdo de Geometria.
1.1.2 Objetivo Específico
Fornecer subsídios para diagnosticar a propensão do uso de Analogias e Metáforas
no conteúdo de Geometria nas edições do livro didático "Praticando Matemática" do 6° ano do
Ensino Fundamental, no período entre 1975 até 2011.
2.5.1 Analogias e metáforas no Ensino da Matemática
São grandes as dificuldades que um professor de Matemática encontra ao ensinar o
conteúdo de sua disciplina. Como diz Cachapuz (1989, p. 118), “As Analogias e Metáforas podem
ser uma necessidade epistemológica já que, em conjunto com a imagética que lhes está associada,
podem constituir poderosos instrumentos de ajuda cognitiva e nesse sentido importantes mediadores
de aprendizagem dos alunos”.
As questões que norteiam a pesquisa são as seguintes:
(1) Como as A&M podem apoiar o ensino da Geometria no 6º ano do EF?
(2) Como o autor trata A&M na Geometria do livro "Praticando Matemática" do 6° ano do
Ensino Fundamental no período entre 1975 e 2011?
(3) Como as edições do livro didático "Praticando Matemática" trabalham a cientificidade no
uso das Analogias e Metáforas no conteúdo de Geometria?
(4) Que tipos de exemplos foram mais utilizados nestas edições no conteúdo de Geometria?
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(5) Qual a relação entre a exposição do conteúdo e os exercícios propostos pelos
autores?
A justificativa da escolha dos seus livros como foco da minha pesquisa, vem da minha
experiência profissional, na qual faço uso do seu livro e da observação da prática dos demais
professores de matemática que fazem uso também dos seus livros.
Nesta minha trajetória com os livros da sua autoria fui observando as mudanças na
apresentação dos conteúdos e dos exercícios de fixação e de revisão do conteúdo e percebi o
aumento gradativo das Analogias e Metáforas, questão foco da minha pesquisa.
Para validar minha pesquisa, será de grande relevância sua participação em alguns pontos:
Nome do autor:
Formação acadêmica, instituição e ano de conclusão:
Atuação profissional nos últimos 10 anos:
Participação em grupos de pesquisa:
Ano em que escreveu ( publicou) o primeiro livro didático de matemática:
Como surgiu a parceria entre Alvaro Andrini e Maria José Vasconcellos?
Faz uso espontâneo ou sistemático das Analogias e Metáforas?
Como percebe a potencialidade das A&M?
Qual a relação entre o PCNs e A&M?
Já realizou algum estudo para classificar as A&M?
Quais A&M identifica em seus livros didáticos, no conteúdo de Geometria?
Desde já agradeço pelo contato e espero que possamos seguir juntos, esse caminho rumo à
conclusão da pesquisa.
Independente das minhas expectativas preciso que responda com o máximo de sinceridade
para atingir o objetivo da pesquisa em questão.
Atenciosamente,
Érika Schmidt
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ANEXO IV - SISTEMA COMUT
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ANEXO V - EXCELÊNCIA EM MATERIAL DIDÁTICO
Desde 1961, quando se iniciaram as compras e a distribuição de
livros pelo governo e foi publicada a primeira LDB – lei que
estabelece as Diretrizes e Bases da Educação e está vinculada às
práticas e ao mundo do trabalho educacional –, a editora tornouse referência em livros didáticos no país.
Em 1971, houve a primeira modificação na LDB, segundo a qual
foram ampliadas as responsabilidades do governo federal para
com a educação. Começaram a surgir ações de investimento no
Ensino Público e na compra de livros, sucedidas pelos programas
realizados pela Fundação de Assistência ao Estudante (FAE). Com
isso, aumentaram as compras governamentais e a Editora do
Brasil passou a ocupar os primeiros lugares em venda de títulos e
exemplares, liderando novamente a produção editorial nacional.
http://www.editoradobrasil.com.br/site/institucional.aspx
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ANEXO VI - ARTIGOS, DISSERTAÇÕES E TESES UTILIZADOS NA PESQUISA
Ano
Fonte
Artigos
1
1989 Univ. do
Minho
CACHAPUZ, Antônio. Linguagem Metafórica e o Ensino das
Ciências. Revista portuguesa de educação, Universidade do
Minho, v.2, n.3, 1989.
2
2001 MG
NAGEM, Ronaldo Luiz. et al. Analogias e metáforas no
cotidiano do professor. Belo Horizonte: CEFET-MG, 2001.
3
2001 UFRJ
NASSER, Lílian; TINOCO, Lucia. Argumentações e provas no
ensino de matemática. In: Projeto fundão. Rio de Janeiro:
IM/UFRJ, 2001.
4
2003 SCIELO
FERRAZ, Daniela Frigo. TERRAZAN, Eduardo Adolfo. Uso
espontâneo de analogias por professores de biologia e o uso
sistematizado de analogias: que relação? In.: Revista ciência e
educação, v.9, n.2, p.213-227, 2003.
5
2003 ANPED
NAGEM, Ronaldo Luiz. Analogias e metáforas no cotidiano do
professor. Texto complementar. In: 26ª Reunião anual da
ANPED, 2003, Poços de Caldas. Novo governo, novas políticas.
Rio de Janeiro, 2003. P. 1-13.
6
2006 Univ. do
Minho
DUARTE, Maria da Conceição. Analogias na educação em
ciências contributos e desafios. In: Investigações em ensino de
ciências, v.10, n. 1, p. 7-29, 2005.
7
2006 SCIELO
DUARTE, Aparecida Rodrigues Silva; SILVA, Maria Célia
Leme da. Abaixo Euclides e acima quem? Uma análise do
ensino de geometria nas teses e dissertações sobre o movimento
da matemática moderna no Brasil. In: Práxis Educativa. Ponta
Grossa, PR, v. 1, n. 1, jan.-jun, p. 87-93, 2006.
8
2008 UFMG
MOZZER, Nilmara Braga. O ato criativo de comparar: um
estudo das analogias elaboradas por alunos e professores de
ciências.
Belo Horizonte: UFMG, 2008. Dissertação de
mestrado.
CEFET/
143
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Analogias e metáforas em livros didáticos de matemática: contribuições para o ensino de geometria.
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JUNIOR, Wilmo Ernesto Francisco. Analogias em livros
didáticos de química: um estudo das obras aprovadas pelo plano
Cien. &
nacional do livro didático para o ensino médio. In.: Rev.
Cognição Ciência & cognição, v. 14, p. 121-143, mar. 2009.
9
2009 Rev.
10
2010 UNIBAN LEITE, Kécio Gonçalves; OTTE, Michael Friedrich. Metáfora
e matemática. São Paulo: UNIBAN, 2010b. Disponível em:
http://periodicos.uniban.br/index.php/JIEEM/article/view
Article/ Acesso em 28 de abril de 2012.
11
2010 Rev.
Cad.
Bras.
Ens.
SILVA, Adriana de Morais; MARTINS, Maria Inês. Analogias e
metáforas nos livros didáticos de física. In: Cad. Bras. Ens.
Fís., v. 27, n. 2: p. 255-287, ago. 2010.
12
2011 ANPAE/
AL
ARAGÃO, Fernanda Perla Rodrigues Antunes. Analogias: seu
uso, na matemática, como recurso didático para o Entendimento
de conceitos abstratos a partir do nosso conhecimento de mundo.
Alagoas: ANPAE/AL, 2011. ISSN: 1981-3031
13
2011 CIAEMIACM
BUEHRING, Roberta Schnorr; MORETTI, Méricles Thadeu.
Analogias, metáforas e representações no ensino da
matemática. Recife: XIII CIAEM-IACME, 2011. Disponível
em www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/files/conferences/.../1484-3850-1RV.doc Acesso em 26 de abril de 2012.
14
2011 UFJF
LEMGRUBER, Márcio Silveira. RIVELLI, Helena.Nova
retórica e ensino de ciências: uma interseção nas analogias.
Juiz de Fora: Faculdade de Educação/UFJF, 2011.
15
2011 PUC/
MINAS
PÁDUA, Isabel Campos Araújo. Analogias, metáforas e a
construção
do
conhecimento:
por
um
processo
ensinoaprendizagem mais significativo. GT: Didática /n.04, Belo
Horizonte:
PUCMINAS,
2011.
Disponível
em:
www.anped.org.br/reunioes /26/.../isabelcamposaraujopadua.rtf
Acesso em: 27 de abril de 2012.
16
2012 UFMG
BARBOSA, Jéssica Ulisses. et al. Analogias para o ensino de
bioquímica no nível médio. In.: Rev. Ensaio, v. 14, n. 01, janabr, p. 195-208, Belo Horizonte: UFMG, 2012.
144
ÉRIKA SCHMIDT NAVES
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E-mail: [email protected]
17
2012 CEFET/
MG
Ano
Fonte
NAGEM, Ronaldo Luiz; NAVES, Érika Schmidt. Analogias e
metáforas em livros didáticos de matemática para alunos de
11 a 14 anos de idade: aplicações no ensino de geometria. Belo
Horizonte: CEFET/MG, 2012.
Monografia
1
1997 CEFET/
MG
NAGEM, Ronaldo Luiz. Expressão e recepção do
pensamento humano e sua relação com o processo de
ensino e de aprendizagem no campo da Ciência, e da
tecnologia- Imagens, metáforas e analogias. Seminário de
Metodologias de ensino na área da educação em Ciência.
Concurso Público para o Magistério Superior do Centro Federal
de Educação tecnológico de Minas Gerais. Belo Horizonte,
1997. 55p. Monografia
2
2007 UFMG
SILVA, Adriana de Morais. O uso de analogias no ensino de
Ciências. Belo Horizonte: CECIMIG/FAE/UFMG, 2007.
Monografia
Ano
Fonte
Dissertações
1
2006 Santa
Maria
RS
RAMOS, Fernando Carvalho. O livro e os recursos didáticos no
ensino de matemática. Santa Maria: 2006. Dissertação de
mestrado.
2
2007 USP
JAMELLI, Sueli Maffei. Abordagens no ensino da prova e
argumentação na matemática escolar: análise de uma coleção
de livros didáticos do ensino fundamental. São Paulo: USP, 2007.
Dissertação de mestrado.
3
2008 UFRGS
VIEIRA, Rosângela da Silva. O uso de analogias, alegorias e
metáforas no ensino dos números inteiros. Porto Alegre:
UFRGS, 2008. Dissertação de mestrado. Disponível em:
http://www6.ufrgs.br/espmat/disciplinas/tcc/exemplotexto
prontonormas.pdf Acesso em 01 de maio de 2012.
4
2009 UFMGS
OLIVEIRA, Susilene Garcia da Silva. Um estudo de
argumentações produzidas poralunos do 8º ano em atividades
de construções geométricas envolvendo pontos notáveis de
triângulo. Campo Grande: UFMGS, 2009. Dissertação de
mestrado.
145
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2011 CEFET/
MG
FONSECA, Eliane Geralda da Silva. Implicações da teoria de
vygotsky em processos de Construção de aprendizagem
significativa: a utilização de Modelos, analogias e metáforas a
partir da mediação Simbólica. Belo Horizonte: CEFET/MG,
2011.