A Reta-LevePrfPraCasaProf.EdRBsa-ColCascavelense
1
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2
REALIZAÇÃO
COLÉGIO CASCAVELENSE
SÉRIE : LEVE O PROFESSOR PRÁ CASA
DIREÇÃO
PROF.EDMUNDO REIS BESSA (EDI)
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3
Condição de alinhamento de
três pontos por determinante
Teorema
Três pontos A(xA;yA), B(xB;yB) e C(xC;yC) são
colineares se, e somente se:
xA yA 1
det. =
xB yB 1 = 0
xC yC 1
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4
OBS: Dois pontos estão sempre
alinhados
B
A
Três pontos distintos
podem:

a) Estar alinhados
(det = 0). Nesse
caso dizemos que os
C
pontos estão
B
colineares.

b) Determinar um
triângulo. (det.  0)
A
B
C
A
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5
Ex:01 Verifique se os pontos A,
B e C estão alinhados:
a) A(3, 2), B(4, 1) e
C(1, 4).
Sol: Vamos calcular o
determinante:
D=
3 2 1
4 1 1
1 4 1
= 3 + 2 + 16 - 1
- 12 - 21 = 0
Resp: Como D = 0, os pontos
são colineares.
b) A(2, 3);B(-2,-5) e
C(-1,-3)
c) A(-2, 0), B(1, 3) e C(2, 4)
d) A(1, 2), B(3, 4) e C(3, -1)
e) A(1, 0), B(3, 1) e C(-7, 0)
Resp: a) e b) sim;
c) e d) não
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6
Ex:02 Determinar os valores de a de
modo que os pontos A(a;7),
B(2,-3) e C(a,1) sejam vértices de um
triângulo.

Sol:

Pontos vértices de um triângulo  Det. 0
Det. =
a 7 1
2 -3 1  0  -3 a +7 a +2 + 3 a -a -14  0
a 1 1
 6 a – 12  0  a  2.
Resp: a  2.
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7
Ex:03 Determinar m para que os
pontos A(-1,m); B(2, -3) e C(-4, 5):
A) estejam alinhados
Sol: Pontos alinhados  Det. = 0
(resolva e confira que ) m = 1.
b) Sejam vértices de um triângulo
Sol: Três pontos vértices de um
triângulo  Det.  0 (resolva e
confira que ) m  1.
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8
Ex:04 Os pontos A(-3,a), B(9, b)
e C(1, -2) são colineares.
Determine o valor de 2 a + b.

Sol:
Pontos colineares  Det. = 0.
(Armando e resolvendo o determinante,
encontramos que: 2 a + b = -6).
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9
Ex: 05 O ponto A é a interseção
da reta que contém os pontos
B(1, 3) e C(2, 5) com o eixo das
abscissas. Determinar as
coordenadas
de
A.
 Sol:
Faça uma representação gráfica no PC e veja:
a) Como A  0x  yA = 0  A(xA,0);
b) Pontos A, B e C alinhados  Det = 0 de onde
determinamos que xA = - ½.
Resp: A(-1/2; 0)
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10
Equação Geral da reta
 Consideremos os pontos A(2, 1), B(1, -1) e um
ponto genérico P(x, y).Para que A, B e C sejam
alinhados, devemos ter: (Faça gráfico no PC)
x y 1

Det = 0 
2 1 1 = 0.
1 -1 1
 Desenvolvendo esse det, temos como resultado
final: 2x – y – 3 = 0.
 Essa equação representa todos os pontos P(x,y)
que estão alinhados com A(2,1) e B(1,-1) e, por
isso, é chamada de “Equação Geral da Reta”.
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Equação Geral da reta – (Cont.)


Representação: ax + by + c = 0
Dados: A(xA; yA), B(xB; yB) e P(x; y).
y
x
y
1
xA
yA
1 = 0
xB
yB
1
yB
B
y
P
yA
A
0
xA

x
xB
ax + by + c = 0
x
Não sendo a e b
simultaneamente nulos.
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12
Ex: Determinar os coeficientes
a, b e c de cada equação de reta
abaixo :






A) 3x – 2y – 7 = 0 => (a = ;b = ;c = )
B) 5x + 4y = 0 => (a = ; b = ; c = )
C) 3x – 2 = 0 => (a = ; b= ; c = )
D) 5 – 2y = 0 => (a = ; b= ; c = )
E) x = 0 => (a = ; b= ; c = )
F) y = 0 => (a = ; b= ; c = )
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Ex: 06 Determine a equação geral da
reta que passa pelos pontos:
a)
A(3, 1) e B(6, 3)
Sol: Considere um ponto genérico P(x,y)
pertencente a reta r que passa pelos
pontos A(3,1) e B(6,3). Pelo alinhamento:
x
Det = 0  3
6
y
1
3
1
1 = 0. Desenvolvendo o
1
determinante,
temos:
(r) : 2x – 3y – 3 = 0.
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14
Continuação:
b) A (3, 2 ) e B (2, 1)
c) A(-1, 2) e B(-3, -2)
d) A(0, 2) e B(6, 0)
e) A(-3, 2) e B(1, 4)
Em todos itens aplicar e desenvolver det. = 0 .
Resp: a) (s): x – y – 1 = 0
b) (t): 2x – y + 4 = 0
c) (w): x + 3y – 6 = 0
d) (k): x – 2y + 7 = 0
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15
Ex:07 Determinar a equação
geral da reta r em cada caso:

y
a)
Sol: Em ambos os
itens, determine os
2 pontos de cada
reta e use o det.
conforme ex.
anterior.
3
0
3
x
t
Resp:
y
b)
a) (t): x + y – 3 = 0
2
b) (r): x – y – 2 = 0
0
2
r
4
x
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16
Equação Reduzida da reta

Para se encontrar a equação reduzida
de uma reta basta se tirar o valor de y na
equação geral ax + by + c = 0 (b  0), ou
seja: by = - ax – c => y = - a/b. x + (-c/a) =>
y = m.x + q
Onde : m = - a/b => (Coeficiente angular da reta)
e q = - c/b => (Coeficiente linear da reta – É
a ordenada do ponto interseção com o eixo y).
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17
Ex:08 Determinar a eq. reduzida e os
coeficientes angular e linear das retas:
 A) 3x + 4y – 12 = 0
 B) 2x – 3y – 7 = 0
 C) ax + by + c = 0
 D) 2x – y + 3 = 0
 E) que passa pelos pontos
A(-1, 2) e B(1, 3).
Resp: a) y = -3/4 x + 3;
m = -3/4 e q = 3
b) y = 2/3 x – 7/3; m = 2/3 e
q = - 7/3
c) y = -a/b.x –c/a; m=-a/b e
q = - c/a
d) y = 2x + 3;
m=2eq=3
e) y = ½ x +5/2; m = ½ e
q = 5/2
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18
O que é inclinação() de uma
reta?

É o menor ângulo entre uma reta e o eixo dos x,
orientado no sentido anti-horário do eixo dos x para a
reta ( 0° < 180°).
a) 0° <
y

< 90°
r
b)
90° <  < 180°
y
r


x
0
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x
19
O que é inclinação() de
uma reta? (cont.)
.
c)
=90°
d)
 = 0°
y
y
r // 0x
r // 0y

0
r
0y
x
r = 0x
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x
x
20
O que é Coeficiente Angular?

Definição:
Chama-se coeficiente Angular (ou
declividade) de uma reta não vertical, à
tangente trigonométrica da sua
inclinação. Representa-se por “m”.Ou
seja:
m = tg 
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21
Determinação do Coeficiente
Angular dados dois pontos.
Seja r uma reta não vertical onde A(xA,yA),
B(xB,yB) são dois de seus pontos.
y
yB
B
No triângulo ABC => tg  = BC/CA

yA
m = tg  = y B – y A
C

0 xA
xB
xB–xA
x
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22
Observações importantes do
Coeficiente Angular.

1º)  = 0°  tg  = tg 0°  m = 0

2°) 0° <  < 90°  tg  > 0  m > 0

3°) 90° <  < 180°  tg  < 0  m < 0

4°)  = 90°  tg  = tg 90° 
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m
23
Ex:09 Determinar a inclinação(),os
coeficientes Angular/Linear das retas:

A)
b)
y
y
150°
)
x
(0, q)
x
Resp:Inclin.= ; m = tg ; q = q
(0, -4)
Resp:Inclin.= .30º ; m = 3/3; q = -4
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24
Continuação do Ex: 09
y
y
d)
 C)
135°
3
x
120°
x
-4/3
y
e)
f)
y
5
x
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5
x
25
Ex:10 Assinale as afirmativas
verdadeiras:





01. Toda reta tem coeficiente angular;
02. Uma reta perpendicular ao eixo dos y tem
coeficiente angular nulo;
04. Se a inclinação de uma reta é um ângulo
obtuso o seu coef.angular é negativo;
08. Se o coef. Angular de uma reta é positivo, a
sua inclinação será um ângulo positivo;
16. Uma reta perpendicular ao eixo das
abscissas não tem coeficiente angular .
Soma: 30
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26
Ex:11 Ache o coef. Angular da reta
que passa pelos pontos e comente a
sua inclinação.
a) A(- 4, - 5) e B(-9, -7)
Sol: m = yB – yA = -7 - (-5) => m=2/5 ( é agudo)
xB – xA -9 – (-4)
b) A(1, -3) e B(-3, 0)
c) A(5, -2) e B(1, -2)
d) A(4, -5) e B(4, -8)
Resp: b) m = -3/4 (obtuso); c) m = 0 (nulo)
d) m  ( = 90°)
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27
Condição de alinhamento de três
pontos por coeficiente angular.

Teorema: Três pontos A(xA,yA),B(xB,yB) e
C(xC,yC) são colineares se, e somente se
m AB = m BC, ou não existem m AB e m BC.
y
yC
yB
C
tg = m AB = m BC
B
A
yC
0

xA x B xC
x
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28
Ex:12 Verificar se os pontos
estão alinhados:
a) A(4, 5), B(6,10) e C(0. -5).
Sol: Vamos usar a condição dos coeficiente
angulares, ou seja: m AB = m BC.
m AB = y B – y A = 10 – 5 = 5 / 2
xB–xA
6–4
m BC = y C – y B = -5 – 10 = -15 = 5 / 2
xC-xB
0- 6
-6
Resp: Como m AB = m BC = 5/2=> (Alinhados)
b)
A(2, 3), B(2 +4t, 3 –5t) e C(2 +4n, 3 – 5n).
Sol: (Pra você RESOLVER)
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Resp: (Alinhados)
29
Ex:13 Determinar eq. geral e reduzida das
retas dados dois pontos
A(-3, -5) e B(-7, -8).
Sol:Considerando um ponto genérico P(x, y) da reta AB,
e a igualdade de coeficientes angulares m PA = m AB,
temos:
a)
y P – y A = y B – y A => y – (-5) = -8 –(-5) =>
xP–xA
xB–xA
x – (-3)
x+ 3
=> 3x - 4y – 1 = 0 (Geral) e y = ¾ x – ¼(reduzida)
b) A(2, -1) e B(-3, 2)
Sol: (Pra você)
Resp: 3x + 5y – 1 =0 e y = -3/5 x + 1/5
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30
Cálculo de equação de reta
dados um Ponto e o Coeficiente
Angular.

Dados: ponto A(x A, y A) e Coef. Ang. (m).

Para cálculo da equação, usa-se um ponto
genérico P(x, y) da reta, e então:

m = tg  = y – y A ou seja: y – y A = m
x–xA
x–xA
ou ainda : y – y A = m(x – x A)
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31
Ex:14 Ache a equação da reta (r)
nos seguintes casos:
a) Passando por A(3, -4) e m = - 5/2.
Sol: Usando P(x, y)  r e tg  = m =>
=> y – (-4) = - 5/2 => (r) 5x + 2y – 7 = 0
x - 3
b) Passa pelo ponto P(-2, 1) e tem m= -3.
Sol: (pra você)
Resp: 3x + y + 5 = 0
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32
Cálculo de equação de reta
dados um ponto e a Inclinação
(  90°).

Dados: ponto A(x A, y A) e a Inclinação ().

I) Determinamos o coef.Angular: m = tg .


II) Usa-se agora o processo do cálculo da reta
da qual tem-se um ponto e “m”, ou seja:
y – y A = m ( x – x A)
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33
Ex:14 Obtenha a eq. da reta(r) que
passa pelo ponto A(7, 1) e tem
inclinação 45°.
Sol: Inicialmente precisamos determinar o coef.
Angular: m = t g  = t g 45° = 1.
A reta procurada possui m = 1 e passa pelo ponto A(7, 1).
Assim: y – y A = m (x – x A) => y – 1 = 1.(x – 7) =>
(r) x – y – 6 = 0.
Ex: Idem para; A(0,1) e  = 150°.
Sol: (Pra você)
Resp: (r) 3 x + 3y – 3 = 0
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34
Ex:15 Determine as equações das
retas r e s mostradas na figura.
y
r
s
4
60°
135°
0
x
-2


Sol: (pra você)
Resp: (r):y = 3/3 x – 2
e (s): y =-x + 4
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35
Equação da 1ªBissetriz ou bissetriz dos
quadrantes ímpares(b13)
Determinação da equação:
-
Temos que  = 45° => m= tg  = 1.
O ponto origem O(0,0)  b13.
-
Assim: y – y o = m ( x – x o) => y – 0 = 1(x-0) => y = x
(Todo ponto que pertence a b13 tem coordenadas iguais).
y
a
Ex: A(a,a); B(-b,-b)
b13
45°
-b
(0,0)
a
x
-b
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36
Equação da 2ªBissetriz ou bissetriz dos
quadrantes pares(b24)

-
Determinação da equação:
Temos que  = 135° => m= tg  = - 1.
O ponto origem O(0,0)  b24.
Assim: y – y o = m ( x – x o) => y – 0 = 1(x - 0) => y = - x (Todo
ponto que pertence a b24 tem coordenadas opostas (ou
simétricas) ).
y
b
135°
Ex: A(a,-a); B(-b,b)
-b
(0,0)
-a
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a
x
b24
37
Interseção de duas retas

Todo ponto de interseção de duas (ou mais)
retas tem de satisfazer(pertencer) as equações
das duas (ou mais) retas.Este ponto comum
P(x o,y o) é determinado resolvendo o sistema
formado pelas equações.
P(x o,y o) = r  s = a1 x+b1 y+c 1 = 0
a2 x+b2 y+c 2=0
s
y
r
P(x o, y o)
x
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38
Ex:16 Obter a interseção das retas:
(r) x – y + 1 = 0 e (s) 2x + y – 2 = 0
 Sol: Vamos resolver o sistema pelo método da
adição:
x–y+1=0 (I)
+
2x + y – 2 = 0 ( II )
3x – 1 = 0 => x = 1/3.
 Substituindo em (I), temos: 1/3 – y + 1 = 0

=> y = 4/3.
 Logo, a interseção de r com s é P(1/3; 4/3)
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39
Ex:17 Determinar o ponto I de
interseção entre as retas:





A) r: 2x + 5y – 3 = 0 e s: x – y + 2 = 0.
Sol: Pra você
Resp: I(-1, 1)
B) r: y = 2x – 3 e s: y = 3x – 5.
Sol: Pra você
Resp: I(2, 1)
C)
y
r
s
4
Sol: Pra você
4
x
-2
-4
I
Resp: I (4/3, - 8/3)
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40
ATENÇÃO: Concorrência
de 3 retas em um mesmo
ponto
 Dadas as equações de 3 retas para verificar
se elas concorrem num mesmo ponto, basta
que se determine o ponto de interseção de
duas, em seguida verifique se o ponto
encontrado pertence a terceira reta, caso
pertença, então as retas são concorrentes em
um mesmo ponto.
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41
Ex:18 Provar que as retas 2x + 3y – 1 = 0,
x + y =0 e 3x + 4y – 1 = 0 concorrem no
mesmo ponto.
Sol: 1º) Determinemos P, interseção da 1ª com a 2ªreta ;
2x + 3y – 1 = 0
x+y=0
=> x = -1 e y = 1
=>P(-1,1)
2º) Provemos que P pertence a 3ª reta;
3xp + 4yp – 1 = 3.(-1)+ 4.1-1 =-3 + 4 – 1 = 0.
Fica provado então que as retas
concorrem no mesmo ponto.
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42
Ex:19 Verificar se as retas 2x - 3y - 7= 0;
3x – y - 14 = 0 e x - 3y – 8 = 0 concorrem no
mesmo ponto.
Sol: Pra você
Resp: Não.
Ex:20(UFC) Encontre o número real m de
modo que as retas: x + y = 8; 2x – 3y =
6 e 5x + my = 3 passem por um mesmo
ponto.
Resp: m = -27 / 2.
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43
Equação Segmentária da Reta
Sejam P(p, 0) e Q(0, q) pontos distintos entre si
e localizados sobre os eixos.
 Aplicando o det. nos pontos,encontramos a
equação: x y 1
p 0 1 = 0 => pq = qx + py
y
0 q 1
(dividindo por pq)
=> X/P + Y/q = 1
Q(0,q)

P(p,0)
x
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44
Ex:21 Obter a equação
segmentária da reta nos casos:


A) passa pelos pontos A(2, 0) e B(0, -5).
Sol: Usando x + y = 1 => x + y = 1
a b
2 -5
y
b)
y
c)
6
2
4
x
-3
x
Resp:b) x/4 + y/6 =1
c) x/2 + y/-3 = 1
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45
Ex:22 Obter a equação segmentária da reta
cuja equação geral é 2x – 3y + 4 = 0
 Sol:
 2x – 3y + 4 = 0 => 2x – 3y = - 4
 (dividindo a equação por -4) => 2x + (-3y) = -4 =>
-4
-4
-4

x + y = 1
-2
4/3
Ex: 23 Idem para 4x + 3y – 2 = 0.
Sol: Prá você
Resp: x/(1/2) + y/(2/3) = 1
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46
Equações Paramétricas
São as equações que não relacionam
diretamente as coordenadas x e y. Tais equações
são dadas em função de uma terceira variável, t,
chamada parâmetro:
x = f(t)
y = g(t), f e g são funções afins
OBS: A partir das equações paramétricas, obtémse a equação geral, eliminando-se o parâmetro t.

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47
Ex:24 Determinar a equação geral
da reta r dadas as paramétricas:

A) x = 2t + 4
y=t–3
Sol: Vamos isolar t na segunda equação:
y + 3 = t => t = y + 3.
Substituindo t por y + 3 na 1ª equação,temos:
x = 2(y + 3) + 4 => x – 2y – 10 = 0 é a equação
geral de r.
B) x = 3t e y = 3 – t.
Sol: Prá você
Resp: (r) x + 3y – 9 = 0
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48
Ex:25 Determinar as equações paramétricas da reta:
a) ( r ) 3x – 2y – 6 = 0.
Sol: Vamos isolar x na equação.
3x = 2y + 6 => x = 2/3 y + 6/3 =>x = 2(y/3+1)
Fazendo y/2 + 1 = t => y/2 = t – 1 =>y = 2t - 2,
obtemos:
x = 2t
e
y = 2t - 2 que são as
paramétricas
b) ( s ): x + 5y – 3 = 0.
Sol: Prá você
Resp: x = 3 – t e y = - t / 5
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49
Exercícios de Revisão
Ex:26 Determinar: a) a equação geral
b) a equação reduzida; c) a equação
segmentária; d) o coeficiente angular da reta
que passa pelos pontos A(-2; -3) e B(4; 2).
Resp: a)5x - 6y – 8 = 0;
b) y = 5/6 x – 4/3
c) x / (8/5) + y / (-4/3) = 1 d) m = 5/6
Ex:27 Determinar a eq. geral; reduzida e segmentária das
paramétricas:
2x = t + 1
Resp: a) 6x – y – 5 = 0;
e y = 3t – 2.
b) y = 6x – 5;
c) x / (5/6) + y / -5 = 1
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50
RETAS PARALELAS:(//)


Duas RETAS, (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s)a2x +
b2y + c2 = 0,distintas e não verticais, são
paralelas se, e somente se, têm coeficientes
angulares iguais.
Dem: r // s   =   tg  = tg   m r = m s
i)
c1


r // s  a1 = b1  c1
a2
ii) r  s 
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c2
a1 = b1 = c1
a2
c2
b2
b2
c2
51
RETAS CONCORRENTES:(X)

Duas RETAS, (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s)a2x +
b2y + c2 = 0, elas serão concorrentes se tiverem
coeficientes angulares diferentes (r  s = { P }).
r X s => m r  m s => - a1/ b1  -a2 / b2 =>
y
a 1 / a2  b 1 / b 2
P

r
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
x
s
52
RETAS
PERPENDICULARES()
 Duas RETAS, (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s) a2x +
b2y + c2 = 0,distintas e não verticais, são
perpendiculares se, e somente se, o produto de
seus coeficientes angulares é igual a - 1.
 Dem: Se r  s, então:  = 90°+  => tg  = tg (90°+
)
=> tg  = sen (90°+ ) = cos  => tg  = - cotg  =-1 / tg 
cos (90°+ )
-sen 
r
y
=> tg  . tg  = -1 => m s . m r = - 1
Se
r  s => m r.m s = -1
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0


x
s
53
Ex:28Dadas as eq.de retas; (r) y = 3x + 5;
(s) y = 3x- 2; (t) 6x- 2y+10= 0
e (u) y = 5x.









Determinar a posição relativa entre:
A) r e s
b) r e t
c) s e u.
Sol: Temos que:
i) m r = 3 e q r = 5;
ii) m s = 3 e q s = -2;
iii) a eq. reduzida de t é y = 3x + 5 => m t = 3 e q t = 5;
iv) m u = 5 e q u = 0.
Assim, temos:
a) m r = m s e q r  q s =>r e s são paralelas distintas;
b) m r = m t e q r  q t => r e t são paralelas coincidentes;
c) m s  m u => s e u são concorrentes.
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54
Ex:29 Para que valores de a as retas
r:3x + 2y – 1 = 0 e s: ax + 5y + 3 = 0
são paralelas?
 Sol: Escrevendo as eq. em forma reduzida
temos: r: y = -3/2 x+ ½ =>mr=-3/2 e qr=1/2
 s: y = - ax/5 – 3/5=> ms =-a/5 e qs=-3/5.
 Para r // s => m r = m s => - 3/2 = - a/5 =>
a = 15 / 2.
Nota: Observe que as retas são paralelas
distintas, pois q r  q s (1/2 - 3/5).
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55
Ex:30 Para que valores de a as retas
r:(a²-10)x – y – 4 = 0 e s:3ax + y + 1 = 0 são
concorrentes?

Sol: Retas concorrentes:

r X s => m r  m s => -a r / b r = -a s / b s

NOTA: Sendo


r:a x + b y + c = 0 (b  0)
=>
m r = - a/b e q r = -c/b (Coeficientes
angular e linear respectivamente).
Então: a ² - 10  -3 a 
a² + 3 a - 10  0
=> a  - 5 e
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a  2.
56
Ex:31 Obter uma equação da reta r que
passa por P(5,2) e é paralela a reta s do
gráfico.
s
y
Gráfico
2
P
135º
0
x
5
Sol:Como r // s => m r = m s = tg = tg 135°=>
m r = -1.
Temos que P(5, 2)  r.
Usando a equação fundamental da reta, assim:
y – y p = m r( x – x p) =>y – 2 = -1(x – 5)
=> r: x + y – 7 = 0
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57
Ex: 32 Determinar a eq. geral e reduzida da
reta r que passa pelo ponto P(-1, 6) e é
paralela à reta s: 4x +2y – 1 = 0





Sol: Como r // s => m r = m s =-a/b
= -4/2 => m r = -2.
Temos que P(-1, 6)  r.
Pela equação fundamental da reta, temos:
y – y p = m r( x – x p) =>y – 6 = - 2 (x+1)
=> r: 2x+ y– 4 = 0(ger.) e y = -2x + 4 (red)
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58
Ex:33 Obter a eq. reduzida da reta r que passa por
P(4, 6) e é perpendicular à reta do gráfico.
y

.
s
P
6
120º
0
x
4

Sol: Se r  s => m r.m s = -1.

Temos que: m s = tg 120°= tg (180°- 60°) =
- tg 60°= - 3  m r = - 1/ m s = -1/-3 = 3/3.
Pela equação fundamental da reta, temos:


y – y p = m r ( x – x p) => y – 6 = 3/3 (x- 4)
=> y = 3/3 x – 4. 3 / 3 +
6
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59
Ex:34 Obter a eq.geral da reta s que passa
por P(2, -3) e é perpendicular à reta
r: x + 2y + 5 = 0
 Sol: Cálculo de m r: m r = -a / b = -1/2.
 Como r  s => m r. m s = -1  m s = 2.
 Temos que P(2, -3)  r.
 Pela equação fundamental da reta, temos:
 y – y p = m s. ( x – x p) => y – (-3) = 2 (x- 2)
=> (s): 2x – y – 7 = 0
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60
35: Ache a eq. da mediatriz do segmento
AB, dados A(3,9) e B(1, 5)

Sol:
Esquema:
Mediatriz
(r)
A(3,2)
A mediatriz(r) do segmento
AB é a reta que passa pelo
ponto médio de AB e é
perpendicular a AB.
M
B(-2, -4)
iii)
O ponto médio de AB é M((3+1)/2 ;(9+5)/2)=> M(2,7)
O coeficiente angular da reta AB: m AB=(9-5)/(3-1)= 2
A mediatriz r  reta AB => m r. m AB = - 1  m r=-1/2

Pela equação fundamental da reta, temos:

y – y M = m s. ( x – x M) => y – 7 = -1/2 (x- 2)
i)
ii)
=> a eq. da mediatriz (r): x +2 y -16 = 0
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61
Ex:36 Resolver o problema
anterior usando “Lugar
Geométrico”.
 Sol:
 Lugar Geométrico: O L.G. dos pontos que têm uma
determinada propriedade é o conjunto de pontos que
contém todos esses pontos exclusivamente.

A MEDIATRIZ de AB é o L.G. dos pontos P(x,y) tal que (distância)
d(P, A) = d(P, B), isto é, dos pontos eqüidistantes de A e B.
 Vamos resolver o problema anterior.
 Dados os pontos A(3, 2), B(-2, -4) e o genérico P(x, y), temos:
(quadrando a equação) d (P,A) = d (P,B) => (x – 3)²+(y +2)² = (x +
2)² + (y + 4)² => Operando os quadrados e os termos semelhantes,
temos:
x + 2y – 16 = 0
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62
37: Determine as coordenadas da projeção
ortogonal do ponto A(3, -2) sobre a reta (r)
2x – 3y + 14 = 0

Sol: Esquema
A(3,2)
r
A’(x,y)
s







Denominando a projeção de A’(x,y) = r  s
i)Cálculo de: m r = -a / b = -2 / -3= 2 / 3
ii)Cálculo de m s: Como r  s => m s = - 3 / 2
iii)Cálculo de s: Usando y – y A=m s(x – x A) =>
s: 3x + 2y – 5 = 0.
iv) Cálculo de A’:A’(x,y) = r  s (armando sistema com as
equações das retas r e s, temos como solução): x = -1 e y = 4
=> A’ (-1, 4)
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63
38: Determine as coordenadas do ponto P’,
simétrico de P(-1,6) em relação à reta
(r) 3x-4y +2 =0
s
Sol: Esquema
P(-1,6)
M(x m;y m) (Médio de PP’).
r
P’(x,y)
P’(x,y) é simétrico de P em relação à reta r; a reta s é
perpendicular a reta r, logo:
Coef. angular de r: m r = -a / b = 3 / 4 => m s = - 4/3.
Equação da reta s: y – y p = m s(x – x p) =>
y – 6 = -4/3 (x + 1) => (s): 4x + 3y – 14 = 0.
Coordenadas de M: M = r  s (sistema) => M(2,2)
Coord. P’: x m = (x p+x p’)/2=> 2=(-1+x p’)/2=> x p’= 5 ;y m
= (y p+y p’) / 2=>2 = (6+y p’) / 2=>y p’= -2.
Logo P’(5, -2)
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64
39: Considere o triângulo ABC, em que a
reta AB tem por equação x – 12y +6 = 0, e o
vértice C(1, 1).

Ache a equação da altura relativa lado AB.
Sol:
C(1,1)
h
B
A
D



Cálculo de m AB: m AB = -a / b = -1 / -12 = 1/12.
Cálculo de m DC: Como AB  DC => m DC = -12
Cálculo da equação da altura DC : Usando a Eq.Fundamental:
y – y C = m DC(x = x C )
=> y – 1 = -12(x – 1) => 12x + y – 13 = 0
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65
ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
Sejam as retas r e s, e  o ângulo agudo
entre elas

a)Retas não verticais
y
r
s

b) Uma reta não
possui coef.angular
y
r



0

x
0
tg
=
s
mr–ms

tg  =
1 + mr.ms
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x
1__
ms
66
NOTAS:
 1) Se no cálculo da
tg  obtivermos
tg  = 0, isso significa
que as retas r e s são
paralelas.
 2) Se o denominador
da expressão
mr – ms
1 + m r .m s
for igual a zero,
então o ângulo
formado por r e s é
90°.
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67
Ex:40 Determinar os ângulos formados
pelas retas.
a) r: 2x + y -5 = 0 e s: 3x – y – 5 = 0

Sol:
i) Cálculo dos coef. Angulares das retas:
m r = -a / b = -2 / -1= 2 => m r = 2
m s = -a / b = -3 /-1 = 3 => m s = 3
ii) Aplicando a fórmula do ângulo agudo:
tg  = m r – m s
= -2– 3
= -5
1 + mr.ms
1 +(-2).3
-5
= 1
=>  = arc tg 1 =>  = 45° (Ângulo agudo).
seja:
O âng. obtuso entre r e s é o suplemento de ,
’ = 180° - 45°= 135°
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ou
68
Ex:41 Dados os pontos A(3, -1), B(1, 3) e
C(4, 5), determinar ângulo agudo formada
pelas retas AB e BC.
 Sol: i) Cal. dos coeficientes angulares:
m AB = y B – y A = 3 –(-1) = 4 = - 2
xB- xA 1–3
-2
m BC = y c – y B = 5 – 3 = 2
xc - xB 4–1
3
ii) Cal. do ângulo agudo:
tg  = mAB – mBC = - 2 – 2/3
= - 8/3 = 8
1 + mAB. mBC
1 + (-2).2/3
-1/3
Resp:  = arc. tg 8 (Consultando uma tabela:  83°)
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69
Ex:42 Determine o ângulo agudo formado
pelas retas r: x = 3 e
s: 3 x + y + 5 = 0.
Sol: i) Cal. dos coef. Angulares:
m r = -a / b = -1 / 0  => r é vertical.
m s = -a / b = - 3 / 1 = - 3 .
ii) Cál de :
tg  = 1 / l m s l = 1 / l - 3 l = 1 / 3 = 3
/3

  = arc. tg 3 / 3
=>
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 = 30°
70
Ex: 43 Determine a eq da reta r que passa
por P(-1, 4) e forma ângulo de 45° com a
reta s:4x +y +2 =0.
Sol: i) Cal do m s: m s = - a/b = - 4/1= - 4.
ii) Cal do m r: tg  = m r – m s => tg 45° = mr –(-4) =>
1+ mr.ms
1- 4mr
mr + 4
1 – 4mr
= 1 =>
a) m r + 4 = -1 => m r = 5 / 3
1 – 4mr
b) m r + 4 = 1 => m r = - 5 / 3
1 – 4mr
iii) Cál da eq da reta r que passa por P(-1,4) e:
a) mr = 5/3 => y – yp = mr(x – xp) =>y – 4 = 5/3 (x + 1) =>
5x- 3y+17=0
b) mr = -5/3 =>y – yp = mr(x– xp) =>y – 4 = -5/3 (x + 1) =>
3x+5y+17=0
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71
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E
RETA
Dado um ponto P(xp; yp) e uma reta r de
equação (r): ax + by + c = 0, a distância
entre P e r é dada por:
d(P,r) = l a.x p + b.y p + c l
a² + b²
P
NOTA: Distância Reta/Origem
d(O,r) =
l c_l__
r
d
a² + b²
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72
Ex:44 Calcular a distância do ponto
P(2,1) à reta r: 3x – 4y + 8 = 0.
Sol: A d(P,r) = l a.x p + b.y p + c l
a² + b²
onde: a = 3; b = -4; c = 8; x p = 2 e y p = 1.
Logo: d(P,r) = l 3.2 + (-4).1 + 8 l = 10 = 2.
3² + (-4)²
5

Resp: d(P,r) = 2
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73
Ex:45 Calcular a distância entre as retas
r: 12x + 5y + 38 = 0 e s: 12x + 5y + 25 = 0.
 Sol: i) r // s pois m r = m s = -12 / 5.
 ii) A distância entre duas retas paralelas é a distância de
um ponto P, pertencente a uma delas, até a outra.Para
obter P(x,y)r, atribuindo
x p = 1 => 12.1+5y+25=0=>y p =-10  P(1; -10).
 iii) Calculando d(P,s) = l 12.1 + 5.(-10)+25l = 1
12² + 5²
 NOTA: Distância entre retas //. Logo a d (r,s) = d(P,s) = 1
Resp: d(r,s) = 1
d= lcr–csl
a² + b²
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74
Ex:46 Calcular a medida da altura
relativa ao vértice A do triângulo ABC,
onde A(-3;0), B(0; 0) e C(6; 8).
Sol: A medida h da altura relativa do ponto A à reta BC:
é h = d(A,BC). Uma equação da reta BC:
A
 x
y 1
6 8 1
= 0 => 8x – 6y = 0
h
0 0 1
4x – 3y = 0
C
B
 Cál. de h:
h = d(A,BC) = l 4.(-3) + (-3).0 l = l -12 l = 12 / 5
4² + (-3)²
5
Resp: h = 12 / 5

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75
Ex:47 Determinar o(s) ponto(s) do eixo y
que dista(m) 2 unidades da reta
r: 15x + 8y + 2 = 0.
 Sol:
 i) P  0y => P(0, a).
 ii) Temos que: d(P,r) = 2, assim:
l 15.0 + 8 a + 2 l = 2  l 8 a + 2 l = 34
15² + 8
 a) 8 a + 2 = 34 => a = 4
 b) 8 a + 2 = -34 => a = -9/2

Resp: P(0; 4) e P(0; -9/2)
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76
Ex:48 Calcule k para que a reta 3x + 4y + k = 0
estejam localizada a três unidades de P(5,2).
Sol: Usando a fórmula distância
ponto/reta: d(P,r) = l a.x p + b.y p + c l
a² + b²

3 = l3.5 + 4.2 + k

3² + 4²
=> l k + 23 l =
15


Logo: i) k + 23 = 15 => k = - 8
ii) k + 23 = - 23 => k = -38
Resp:
k = -8 ou k = - 38.
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77
ÁREA DE UM TRIÃNGULO
Dados três pontos não colineares
A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC), a área S do
triângulo formada por esses pontos é
dada por: S = ½. l D l onde:
D = x A yA 1
y
B
yB
xB yB 1
C
yC
xC yC 1
A
yA
0
A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsaColCascavelense
xA
xB
xC
78
Ex:49 Determinar a área do triângulo de
vértices A(2,5(, B(0,1) e C(3,6).



Sol:
2 5 1
i) Cal. de D: D = 0 1 1 = 2
3 6 1
Cal. da área:
A = ½ lDl = ½ .l2l = 1
Resp: A = 1 u.a.
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79
Ex:50 Calcule a área do quadrilátero de
vértices A(1,0) B(5,0), C(4,2) e D(0,3).

Sol: Representa-se os pontos no plano.
D
C
A


Sentido das linhas
do determinante
B
ii) Forma-se um det. com as coordenadas
1 0
D = 5 0 = 19  Área = ½.lDl = ½.l19l
4 2
0 3
Área = 19 / 2 u.a.
1 0
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80
Ex:51 Determinar a área do triângulo limitado
pelas retas r: y = 2x; s: y = 4x-8 e
t: y = -2x+ 4.
 Sol: Os vértices do triângulo são os pontos: {E}
= r  s; {F} = r  t e {G} = s  t .Todos os
vértices são determinados formando sistemas
com os pares de retas:onde:
 E = (4, 8); F = (1, 2) e G(2, 0).
 Daí então a Área = ½. lDl = ½ l12l = 6
Resp: Área = 6 u.a.
Nota: D é o determinante dos vértices E, F e G
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81
Retas Bissetrizes (b1 e b2) dos ângulos entre
duas Retas Concorrentes (r e s)
Sejam as retas concorrentes:
y
r
P(x p,y p)
r:
a1x + b1y + c1= 0
s:
a2x + b2y + c2 = 0
Seja P(x p,y p) um ponto genérico de
uma das bissetrizes (b2).
s
Se P(x,y)  b2, então
b2
0
d (Pr) = d (Ps), isto é:
x
l a1xp+b1yp+c1 l =l a2xp+b2yp+c2 l
b1
a1² + b1²
a2² + b2²
As equações de b1 e b2 são:
a1xp+b1yp+c1
a1² + b1²
 a2xp+b2yp+c2
a2² + b2²
=0
ou
a1xp+b1yp+c1 =  a2xp+b2yp+c2
a1² + b1²
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a2² + b2²
82
Ex:52 Obter as equações das bissetrizes
dos ângulos formados pelas retas
(r) 3x + 4y -1= 0 e (s) 12x – 5y = 0.
 Sol: Pela teoria, temos:
 3x + 4y -1  12x – 5y = 0 => 3x + 4y -1  12x – 5y
3² + 4²
12²+5²
5
13
= 0
 => 13 ( 3x + 4y -1 )  5 (12x – 5y ) = 0, de onde
 Obtemos: 99x + 27y – 13 = 0 ou -21x + 77y – 13 = 0
 NOTA: Observe que as bissetrizes são perpendiculares,pois;
m1 = - 99 / 27 = - 11 / 3 e m2 = -21 / 77 = 3 / 11 =>
=> m1 . m2 = -1 => b1  b2 .
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83
Ex:53 Qual é a bissetriz do ângulo agudo formado
pelas retas r: 2x + 3y -1 =0 e
s: 3x +2y + 1 = 0?







Sol: i) Obtemos as duas bissetrizes:
2x + 3y - 1  3x +2y + 1 = 0
2² + 3²
3² + 2²
=> (2x + 3y - 1 )  (3x +2y + 1) = 0
de onde temos:
(b1) 2x + 3y - 1 + 3x +2y + 1 = 0 => x + y = 0
(b2) 2x + 3y - 1 - 3x -2y - 1 = 0 => x – y + 2 = 0
ii) Qual delas é a bissetriz do ângulo agudo?
Tomamos um ponto qualquer P  r e calculamos dPb1 e
dPb2. A menor distância corresponde a bissetriz do ângulo
agudo.
Na equação r, se x p = 2 => y p = -1, logo: P(2; -1).
Daí então: d Pb1 = 1 / 2 e d Pb2 = 5/ 2
=> d Pb1 < d Pb2
=> Resp: (b1) x + y = 0
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84
EQUAÇÃO DO FEIXE DE
RETAS PARALELAS
Definição: Dada uma reta
(r) a x + b y + c = 0,
uma equação do feixe de retas paralelas a
r
é (r’): a x + b y + k = 0,
r’
y
onde k varia em .
r
k/a
Retas Paralelas possuem o mesmo
coeficiente angular ou não possuem.
c/a
x
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85
Ex:54 Dada a reta r: 3x + 4y + 1 = 0,
determinar:

a) uma equação do feixe de retas paralelas a r
b) Obter uma equação do feixe,que dista 6 unidades do ponto P(-2;7).
Sol: a) Uma reta do feixe de paralelas a r é: ( r’): 3x +4y +k = 0.
b) Para obter k de modo que o ponto P diste 6 unidades de uma reta do
feixe, resolve-se a equação:
d (Pr’) = 6
=>
l 3(-2) +4.7 +k l = 6  l22 + k l = 6
3² + 4²
5
 l 22 + k l = 30. Logo obtemos:
i) 22 + k = 30 => k = 8
ou ii) 22 + k = - 30 => k = - 52.
Resp: Temos então duas retas do feixe distante 6 u de r:
(r’): 3x + 4y + 8 = 0 e (r”): 3x + 4y – 52 = 0
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86
FEIXE DE RETAS CONCORRENTES
NUM PONTO

Def. Feixe de retas concorrentes num ponto é
um conjunto de infinitas retas concorrentes
num mesmo ponto C(x o,y o).
y
C
yo
Xo
x
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Dizemos que o feixe está
definido, quando são
conhecidas duas de suas
retas ou então o centro do
feixe.
87
Equação Cartesiana de um Feixe
de Retas de Centro C(xo,yo).
 Seja C(xo,yo) o ponto comum (centro) a todas a
retas do feixe e P(x,y) um ponto genérico de
uma das retas do feixe (não perpendicular a 0x).
Sendo m o coeficiente angular da reta tomada,
teremos: m = (y – yo) / (x – xo) =>
y – y o = m (x – x o),
que a medida que se atribua valores m  ,
obtém-se a eq. de todas as retas que passam
por C, com exceção da reta vertical do feixe,
que tem como equação x = x o.
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88
FEIXE DE RETAS CONHECIDAS
DUAS RETAS



Sejam as retas (r) a1x + b1y + c1 = 0 e
(s) a2x + b2y + c2 = 0, concorrentes, que
definem o feixe de retas de centro
C(x o,y o). Afirmamos que:
A equação do feixe de retas concorrentes em
C(x o,y o) é:
 (a1x + b1y + c1)+  (a2x + b2y + c2)= 0
(   e    ).
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89
Ex:55 Determinar uma equação do feixe
de retas concorrentes de centro C(4,6).
 Sol: i) Iniciamos obtendo as eq de duas
retas distintas deste feixe. As mais simples
são a vertical x = 4  x – 4 = 0(I) e a
horizontal y = 6  y – 6 = 0 (II).
 Multiplicando ambos os membros de (I)
por um parâmetro real  , as de (II) por  e
adicionando membro a membro estas
duas equações, obtemos uma equação do
feixe: (x – 4) + (y – 6) = 0.
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90
Ex:56 Obter uma equação do feixe de retas
concorrentes que contém as retas
r: 2x – y + 3 = 0 e s: x + 4y = 0.





Sol:
Sendo 2x – y + 3 = 0 (i) e x + 4y =
0 (ii) ;
Multiplicando ambos membros de (i) por 
e por  ambos membros de (ii), onde  e
 são reais e não simultaneamente nulos,
obtém-se:
(2x – y + 3 ) = 0 e (x + 4y ) = 0.
Adicionando membro a membro essas
equações, obtemos uma equação do feixe:
(2x – y + 3 ) + (x + 4y ) = 0.
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91
Ex:57 Obter o centro do feixe de retas
concorrentes (2x + y – 3) +(x – y + 6)=0, em
que  e  são reais não simultaneamente nulos.
Sol: Para obter as equações de duas retas
distintas desse feixe, basta atribuir valores a 
e  não simultaneamente nulos.
Por exemplo:
 = 1 e  = 0 => 2x + y – 3 = 0 ( i )
 = 0 e  = 1 => x – y + 6 =0 ( ii ).
As equações (i) e (ii) representam duas eq do
feixe. Resolvendo o sistema formado com as
duas equações encontramos o centro do feixe,
ou seja: x = -1 e y = 5. Logo C(-1, 5)
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92
Inequações do 1º grau com
duas variáveis


Uma inequação do 1º grau com duas
variáveis admite infinitas soluções, que
podem ser representadas apenas
graficamente.
Ex: 2x – y  0; x - 2y > 0;8y – 1/3 x
yy
 0.
y
yy
y
xx
x
xx
xx
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93
Ex:58 Representar no plano cartesiano o
semiplano determinado pelas inequações:

a) x < 4
b) x = 4
Sol: a)abscissas menores que 4;

a) x < 4

c) x > 4
b) abscissas= 4;
b) x = 4
c) x > 4
y
y
4
x
c) abscissas>4
y
4
x
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4
x
94
Ex:59 Representar no plano cartesiano o
semiplano determinado pelas inequações:
• a) y < 3
• Sol:
•
b) y  2
a) Ordenadas menores que 3
b) Ordenadas menores ou iguais a 2
y
y
3
x
2
x
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95
Ex:60 Representar no plano cartesiano o
semiplano determinado pelas inequações:

a) y < 2x + 4

Sol:
b) y  2x + 4
y
4
a) Semiplano dos pontos “abaixo” (< )
da reta origem (y = 2x + 4).
x
-2



b) Semiplano da união dos pontos dar
reta origem com o conjunto dos pontos
“acima” () dessa reta.
y
4
-2
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x
96
Ex:61 Representar no plano
cartesiano o semiplano determinado
pela inequação y  -3x + 6.
Sol: Iniciamos representando a reta origem do
semiplano y = -3x + 6 (atribuímos dois valores a x)
no PC. O semiplano determinado pela inequação
y  -3x + 6 é a união da reta origem (=) com o
conjunto dos pontos acima (>) dessa reta. Veja o
gráfico abaixo.
y
6
0 2
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x
97
Ex:62 Representar no plano cartesiano o
semiplano determinado pela inequação:
2x – y – 5 > 0.
Sol: Isolamos a variável y na inequação:
 2x – y – 5 > 0
=>
– y > -2x + 5
=>
y < 2x – 5. Procedemos a seguir, da
mesma forma do ex. 61,
considerando os pontos
y
abaixo (<) da equação
0 5/2
origem (y = 2x – 5).
-5
Veja gráfico:
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x
98
Ex:63 Representar no plano cartesiano os pontos
(x, y) que satisfaçam o seguinte sistema de
inequações:
x–y+1>0
y–20
Sol:
Isolando a variável y nas inequações, temos: y < x + 1
(i); e y  2 (ii). Representamos as inequações no mesmo
PC e verificamos os pontos da interseção dos semiplanos.
Veja figura.
y
y
Resp:
(ii)
=>
1
-1
(i)
(ii)
1
x
-1
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(i)
x
99
Conteúdo
Prof.Edmundo Reis Bessa (Edi)
Produção e Diagramação
Prof.Edmundo Reis Bessa (Edi)
Revisão Final
Prof.Edmundo Reis Bessa (Edi)
Realização
Colégio Cascavelense
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100