DERIVAÇÃO DE UM
SISTEMA BÔNUS-MALUS
UMA ABORDAGEM USANDO A
TEORIA DA DECISÃO
• X é uma var. aleat. Relacionada com um
parâmetro w (w e X S)
• D é o conjunto de decisões possíveis
• A distrib. de X quando W=w, é especificada
para cada valor de w
• L é a função perda (determina um nº real
para perda incorrida quando W=w e
tomamos uma decisão (x)
OBJETIVO
• ESCOLHER UMA FUNÇÃO DECISÃO 
QUE ESPECIFIQUE PARA CADA
VALOR DE xS UMA DECISÃO  (x)D
• : classe de todas as funções decisão 
• :função distribuição de probabilidade de W
• A função de risco da decisão  quando W=w fica
sendo dada por:
 ( w;  )   L( w,  ( x)) f ( x | w)d ( x)
S
•A função de risco de  fica sendo
 ( ; )    (w,  ) (w)d (w)

 ( ;  )    Lw;  ( x)f ( x | w) ( w)d ( x)d ( w)
S
• Definindo-se * como sendo a função
decisão tal que:
 ( ;  * )  inf  ( ;  )   * ( )
 
•NESTE CASO * É DEFINIDA COMO
FUNÇÃO DECISÃO DE BAYES EM
RELAÇÃO A 
FUNÇÃO DE DECISÃO DE BAYES


 ( ;  )    L[w;  ( x)] f ( x | w) (w)d (w)d ( x)
S 

• UMA FUNÇÃO  QUE MINIMIZA O RISCO
PODE SER OBTIDA MINIMIZANDO A
INTEGRAL INTERNA PARA CADA x  S
• Uma função de decisão de Bayes * em
relação à  pode ser construída como:
• Para cada valor de x  S, seja *(x)=d* onde
d* é qualquer função de decisão em D que
minimiza a integral
 L[w; (x)] f (x | w) (w)d (w)

• MINIMIZAR A INTEGRAL ACIMA É
EQUIVALENTE A MINIMIZAR
f ( x | w) (w)
 L(w; d ) h( x) d (w)
ONDE h( x)   f ( x | w) (w)d (w)

PELO TEOREMA DE BAYES
f ( x | w) (w)
 ( w | x) 
h( x )
• LOGO A FUNÇÃO DE DECISÃO DE BAYES É
AQUELA QUE MINIMIZA A PERDA ESPERADA EM
RELAÇÃO À DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE A
POSTERIORI DE W, OU SEJA, MINIMIZA
EW [ L(w; ( x)) | X  x]
k j nº de sinistrospor seg. no ano j
- (k1;...;kt )
 nº esperadode sinistrospor segurado por ano
OBJETIVO
• NO TEMPO t+1 ENCONTRAR O MELHOR ESTIMADOR PARA

• CONSIDERANDO (k1;...;kt )
NOT AÇÃO: t 1 (k1 ,...,kt )
O JOGO
t 1  ; Dt 1; Rt 1 
  0;  - Espaçode estratégias da natureza
Dt 1  Espaçode estratégias do decisor em t  1
É uma classe de funçõest 1 (k1;...;kt ) que associa cada vetor(k1;...;kt )
com um ponto t 1  
Rt 1  Rt 1 (t 1;  )
(funçãode risco no tempot  1)
(esperançamatemáticada perda Ft 1 (t 1;  ) )
Rt 1 (t 1;  )  EFt 1 (t 1;  ) 

F
t 1
k1 ,...,kt
(t 1,  )P(k1,...,kt |  )
• A seqüência t (t=1,2,...,) forma o jogo
estatístico
(, D, R)
• Onde:
D  D1xD2 x...xDt x...

R  R(1 ,...,t ,..., )   Rt (t ,  ) 
t 1

  EFt (t ,  )
t 1
( Rt é a perda totalesperada)
• Admitindo uma distribuição para 
• f.d.p u() e com f.d. U()
• OBJETIVO: minimizar o risco esperado do
processo

R(1 ,...,t ,...)   R(1 ,...,t ,..., )dU ( ) 

 
0

0
 EF ( ,  )dU ( ) 
t 1
t
 
0
 F
t 1 k1 ,...,kt
t 1
t
(t 1 ,  ) P(k1 ,...,kt |  )dU ( )
P elo T eoremade Bayes t emos
P(k1 ,...,kt |  )dU ( )
dU ( | k1 ,...,kt ) 
P(k1 ,...,kt )
• Logo
R(1 ,...,t ,...)  
 
0




0
t 1 k1 ,...,kt
 F
t 1 k1 ,...,kt
t 1
(t 1 ,  )dU (k1 ,...,kt ) P(k1 ,...,kt ) 
Ft 1 (t 1 ,  )dU ( | k1 ,...,kt ) P(k1 ,...,kt ) (*)
Minimizar(*)é equivalente a minimizarpara cada t e cada (k1,...,kt )


0
Ft 1 (t 1 ,  )dU ( | k1 ,...,kt )
• Adotando a perda quadrática:
Ft 1 (t 1, )  (t 1  )
2
•Temos que t 1 será aquele que
minimizar:


0

(t 1   ) dU ( | k1 ,...,kt )  E (t 1   ) | k1 ,...,kt
2
2

O estimador que minimiza o risco do processo é
dado por:

t 1 (k1 ,...,kt )   dU( |k1 ,...,kt )  E( | k1 ,...,kt )
0
• Considerando
ki |  ~ Poisson( )
 ~ Gama( ,  )
•Temos que a distribuição a posteriori
para  será
dU( | k1 ,...,kt )  e
ondek 
t
k
i 1
i
 (t   )

k  1
• Logo
 | k1 ,...,kt ~ Gama(k   , t   )
• Com:
k 
E ( | k1 ,...,kt )  t 1 (k1 ,...,kt ) 
t
• Seja pk a probabilidade de k sinistros. Logo


0
0
pk  P( K  k )   p( K  k ,  )d  p( K  k |  )dU ( ) 




(k   )   
  (  1) k  1



e

d 

0
( )k!
(k  1)( )  1   
E[ K ]  E[ E[ K |  ]]  E[ ] 
 1 


1  


V [ K ]  E[V [ K |  ]]  V [ E[ K |  ]]  E[ ]  V [ ] 
   1
  2  1  
 
 
k
ESTIMADORES PARA  E 
• PELO MÉTODO DOS MOMENTOS:
x2
ˆ  2
s x
ˆ 
x
s2  x
PROPRIEDADES DE t 1 (k1,...,kt )
• A longo prazo é perfeitamente discriminante
t
   ki
lim V [t 1 (k1 ,...,kt )]  lim
t 
i 1
  t 
2
t 
0
•Atende os pressupostos da Teoria da Credibilidade
t
t 1 (k1 ,...,kt )  z
t
z
t
k
i 1
t
i

 (1  z )

APLICAÇÃO
• O FATOR f DETERMINARÁ O AGRAVO/DESAGRAVO NA
TAXA DE ACORDO COM O HISTÓRICO DO SEGURADO
t
   ki
i 1
f 
 t


Nº DE SINISTROS
k
OBS.
EST. POISSON EST. POISSON-GAMA
0
156.695
155.756,26
156.685,71
1
37.320
38.942,96
37.340,26
2
5.332
4.868,36
5.323,90
3
594
405,74
589,18
4
56
25,36
55,80
5
3
1,27
4,75
6
-
0,05
0,37
200.000
200.000
200.000
TOTAL
estimativas
p - value
ˆ  0,2500
<0,0001
ˆ  5,0875 ˆ  20,3479
0,9398
NÚMERO DE SINISTROS
t
0
1
2
3
4
5
0
1
1
2
3
4
5
0,9532 1,1405 1,3279 1,5152 1,7026 1,8899
0,9105 1,0895 1,2684 1,4474 1,6264 1,8054
0,8715 1,0428 1,2141 1,3854 1,5567 1,7280
0,8357 1,0000 1,1643 1,3285 1,4928 1,6571
0,8027 0,9605 1,1183 1,2761 1,4339 1,5917