Modelos Estocásticos
Ambientais
• Por que estocástico ?
– Porque você não controla os fatores que
provocam as variações nas taxas vitais
• Não é possível saber com certeza como esses
fatores irão se comportar
• Por que Ambiental ?
– Porque esses fatores são extrínsecos à
dinâmica populacional, isto é, originam-se no
meio ambiente em que a população está
inserida.
São duas as formas de modelar a
variabilidade ambiental:
1. Via sorteio de valores aleatórios para as taxas
vitais a partir de distribuições beta, respeitando a
estrutura de correlação entre as taxas vitais
(Morris & Doak, 2001).
– É necessário atrelar essa estrutura de
correlação a pelo menos uma variável
ambiental relevante para que o modelo
consiga representar a variabilidade ambiental
adequadamente.
– Aparentemente é possível também gerar
variabilidade ambiental, via distribuições beta,
sem considerar a estrutura de correlação entre
as taxas: dispensa a estimativa da estrutura de
correlações:
• permitiria a simulação de estocasticidade
ambiental com dados de 1 único período.
Entretanto,não se garante a correlação entre
as taxas vitais e a variabilidade ambiental.
2. Via a manipulação dos estados ambientais
x(t). Assume basicamente 3 modos:
a) Seqüências independente e identicamente
distribuídas (IID)
–
x(t), o estado do ambiente no tempo “t”, é sorteado
aleatoriamente de uma distribuição uniforme.
b) Cadeia de Markov
•
x(t+1) depende de x(t) → Assume-se que há
correlação entre os estados ambientais
•
Permite atribuir freqüências de ocorrência
distintas aos diferentes estádios ambientais
•
Também pode trabalhar como IID (sem
correlação entre os estádios ambientais, com
freqüências de ocorrências dos estádios
ambientais distintas os idênticas)
•
Também pode trabalhar como modelo
determinístico periódico.
x(t+1) = Pt x(t)
Onde Pt é uma matriz de transição coluna-estocástica, ou
seja pij ≥ 0, ∑ i pij = 1 para todo j).
Pt controla a estrutura de correlações e as freqüências de
ocorrência dos diferentes estádios ambientais.
ρ=0
U
f(B) = 0,1
B
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
B
f(B) = 0,5
IID
f(B) = 0,9
U
U
B
f(B) = 0,5
B
ρ = 0,9
U
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
B
ρ=0
IID
ρ = - 0,9
U
B
U
0
c) Seqüências auto-regressivas de médias
móveis (ARMA em inglês)
•
Usados em caso de estruturas mais complexas
de correlação entre os estádios ambientais
•
Trabalha bem com correlações de ordens
superiores.
Incluindo a variabilidade ambiental no
modelo matricial via a manipulação dos
estádios ambientais:
– Assume-se que a variabilidade ambiental está
expressa na variação que as taxas de
transição aij mostram a cada período. Em
outras palavras, cada matriz At representa um
estádio ambiental, ou seja, At = x(t).
• Inclui estocasticidade demográfica
• Como fazer:
– Gerar a seqüência de estádios ambientais;
– Projetar a população, selecionando as
matrizes At de acordo com a seqüência
ambiental obtida.
n(t+1) = At At-1 ... A0 n(0)
n(t+1) = At n(t)
onde At (t = 1,...,n) é o estádo ambiental no tempo t.
No modo IID:
At é sorteada do conjunto de estados ambientais
A1 ... An através de uma distribuição uniforme.
No modo Markoviano:
At = Pt-1 At-1
Autovetores para ambientes markovianos:
Para t → ∞, tanto a estrutura populacional (ep) como
o valor reprodutivo (vr) tendem a convergir para
proporções fixas entre as classes, sem depender
da estrutura inicial da população.
ep(t+1) = At ep(t) / ║At ep(t)║
ep = vetor estrutura populacional
║ At ep(t)║ = ∑i epi(t)
║ep(0)║ = 1
vr*(t) = vr*(t+1) At / ║vr*(t+1) At║
vr* = vetor valor reprodutivo transposto;
║ vr*(t+1) At║ = ∑i vr*i(t)
Crescimento populacional
Destacam-se dois tipos de taxa de crescimento
populacional sob modelos estocásticos ambientais:
– Crescimento da média: é utilizada
eventualmente, mas é mais comum em
trabalhos antigos.
– Média temporal da taxa de crescimento: É tida
como a medida mais adequada do crescimento
populacional em modelos estocásticos
ambientais.
Crescimento populacional
• Em modelos matriciais estocásticos ambientais
a taxa média temporal é conhecida como logλs
(stochastic growth rate), comumente abreviada
simplesmente para λs
• Para convertê-la em unidades equivalentes ao λ
determinístico use: e logλs
Modelos Estocásticos
Demográficos
• A estocasticidade demográfica diz respeito a
fatores intrínsecos à população (genética,
fisiologia)
• É responsável pelas respostas diferenciadas
que plantas de uma mesma classe possam dar
em função da variabilidade ambiental
• São os fatores ditos demográficos estocásticos
que geram a variabilidade nas taxas vitais
quando os fatores ambientais mantêm-se
constantes
• Para n → ∞, estocasticidade demográfica → 0
• Modelagem matricial
– Estudado via simulações
– Histórias de vida são sorteadas:
Transições → distribuição multinomial
Fecundidade → distribuição de Poisson (comum
para plantas), entre outras possibilidades
– Entradas aij de A + P(mortalidade)j são
assumidas como as probabilidades da
distribuição multinomial
– Oferece um risco de extinção (er) específico
para a população projetada nas simulações,
ou seja, er depende de n(0)
Tabela de vida
Matriz de probabilidades *
50
0
0
0
0
0.50
0
0
30
80
3
0
0
0.30 0.88 0.13
0
5
11
1
0
0
0
0
6
6
2
0
0
0
0
0
2
8
0
0
20
6
3
1
2
100 91
23
10
11
0
4
0
0
0.05 0.48 0.10
0
0.26 0.60 0.18
0
0.20 0.73
0.20 0.07 0.13 0.10 0.09
* Matriz de probabilidades = matriz de transição A + linha i =
k+1 com as taxas de mortalidade pata cada j
Vetor estrutura populacional
matriz de probabilidades
n1
0.50
n2
0.30 0.88 0.13
0
n3
0
n4
0
0
n5
0
0
0
0
4
0
0
0.05 0.48 0.10
0
0.26 0.60 0.18
0
0.20 0.73
0.20 0.07 0.13 0.10 0.09
A coluna j da matriz de probabilidades corresponde às
probabilidades de transição e morte dos indivíduos da
classe i do vetor estrutura populacional, sendo i = j
Processo de ramificação (Branching process)
Reprodução:
N = 0,
N = 1 ou
N=2
P(N = 0) = p0
P(N = 1) = p1
P(N = 2) = p2
N = 0 é definitivo
(Caswell 2001)
• Modelagem por ramificação (Branching Process)
– Apoiado nas propriedades assintóticas da matriz A,
oferece estimativas assintóticas de risco de extinção
associado à matriz (q∞) e independente de n(0)
• q converge para valores constantes q∞ quando t → ∞
– Risco de extinção associado à população:
Q = ∏i qi(ni)
Q = P(extinção) da população
qi = P(extinção) da classe i
ni = número de indivíduos na classe i
• Classificado em 3 tipos:
λ < 1 processo subcrítico
P(extinção) = 1
Dispensa análise
λ = 1 processo crítico
P(extinção) = 1
Dispensa análise
λ > 1 processo supercrítico
P(extinção) < 1
Análise determina P(extinção)