APLICAÇÃO DA TÉCNICA DE MULTIPLICADORES PARA DEMONSTRAR O
DECAIMENTO DA ENERGIA ASSOCIADA A UM PROBLEMA PARCIALMENTE
VISCOELÁSTICO
Angelo Miguel Malaquias (UNICENTRO)
[email protected]
Universidade Estadual do Centro-Oeste/Departamento de Matemática
Palavras-chave:
multiplicativas.
Decaimento
exponencial,
Decaimento
polinomial, Técnicas
Resumo:
Nesta comunicação, pretende-se apresentar resultados de um estudo realizado por
Malaquias (2005) para demonstrar o decaimento da energia associada a um
problema parcialmente viscoelástico. Usando técnicas multiplicativas de forma
apropriada foi possível encontrar estimativas que podem ser usadas para
estabelecer o decaimento da energia por núcleos exponenciais ou polinomiais. A
abordagem do tema proposto nesta apresentação foi motivada pela pretensão de
revisar a técnica de multiplicadores com vistas a futuramente aplicá-la na análise de
estabilidade de problemas de Biomatemática.
Introdução
Considere uma corda oscilante fixa em seus extremos, com uma dissipação
localmente distribuída, mais precisamente, um corpo unidimensional composto por
uma parte elástica e uma viscoelástica. A dissipação é dada por um efeito de
memória, que trabalha sobre uma parte do material. A modelagem do problema
consiste no seguinte sistema:
O parâmetro é uma constante positiva associada à densidade e a elasticidade do
material; , chamada de núcleo ou função de relaxação da memória, é uma função
suave, positiva e decrescente que se comporta como as funções
ou
)− , >2. O efeito dissipativo é dado pelo termo de convolução
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2 a 6 de setembro de 2013 - ISSN – 2177-658X
que pode ser interpretado como um fator que descreve o envelhecimento da corda,
provocando a perda de suas propriedades elásticas. Assume-se que o material é
formado por duas partes: uma elástica, não influenciada pela memória; e uma
viscoelástica, na qual o termo de memória atua produzindo um efeito dissipativo. Isto
é representado no modelo por uma função,
, estritamente positiva em uma
vizinhança de e zero fora dela. Além disso, também é assumida a condição
válida para sólidos viscoelásticos. As condições
e
representam que os extremos da corda estão fixos e
,
1( ), correspondem, respectivamente, à configuração e à velocidade inicial da
corda.
A técnica de multiplicadores é utilizada para obter duas desigualdades
das quais decorrem o decaimento da energia associada ao sistema apresentado.
Resultados e Discussão
Para aplicar a técnica de multiplicadores precisamos do
Teorema 1 (Soluções fortes). Sejam
Então o problema proposto possui uma única solução
e
satisfazendo
.
;
;
Além da existência e unicidade de solução, o teorema anterior garante que a
solução e suas derivadas pertencem a espaços de funções adequados para as
operações a serem realizadas. Para maiores explanações com relação aos espaços
de funções
consultar livros de análise funcional. Por exemplo, Brézis
(1993), Kreyzig (1978) e Medeiros (2000).
Para simplificar a escrita e o desenvolvimento do trabalho, são consideradas as
notações:
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A energia associada ao sistema proposto é definida pela expressão:
O objetivo final é demonstrar decaimento exponencial e polinomial da energia.
Matematicamente, isto se traduz em provar os seguintes teoremas.
Teorema 2. Se o núcleo resolvente
uma constante
, tal que
positivas e tais que
é uma função não-negativa e existe
, então existem constantes
Teorema 3. Se o núcleo resolvente
é uma função não-negativa e existe
uma constante
, tal que
então existe uma constante positiva
, para algum
,
tal que
As demonstrações destes teoremas requerem vários resultados (Malaquias, 2005).
No entanto, o passo principal da prova é obter duas desigualdades que serão
apresentadas no final da seção.
Técnica de multiplicadores: Consiste basicamente em multiplicar a equação do
problema, neste caso:
por uma função adequada, de maneira que por meio de algumas manipulações seja
possível obter uma igualdade em que de um lado temos a derivada de um termo e
do outro a expressão que corresponde a esta derivada. Tais termos encontrados são
utilizados para construir um funcional
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em que
é escolhido a posteriori e
deve satisfazer
Uma vez construído um funcional com estas características é possível obter
as desigualdades
Das quais decorrem os resultados apresentados nos Teoremas 2 e 3.
Neste resumo, foram apresentados, basicamente, o estabelecimento do
problema e a idéia para resolvê-lo. A construção do funcional comentado e a
aplicação da técnica propriamente dita requer várias páginas de desenvolvimentos
(Malaquias,2005), por isso foram omitidas.
Conclusões
Usando técnicas multiplicativas de forma apropriada é possível encontrar estimativas
que podem ser usadas para estabelecer o decaimento da energia associada ao
problema de uma corda vibrante. No entanto, para aplicar esta técnica a outros
problemas ainda é necessário um estudo mais aprofundado, devido ao grau de
complexidade e trabalhoso desenvolvimento que deve ser realizado.
Agradecimentos
À UNICENTRO.
Referências
BRÉZIS, H. Análise funcional: Teoria e aplicações. Paris: Masson, 1998.
KREYSZIG, E. Intruductory Functional Analysis with Applications. New York:
John Wiley &Sons, 1978.
MALAQUIAS, A. M. Estabilidade assintótica de uma corda com memória
parcial.
2005. 69 p. Dissertação (Mestrado em Matemática Aplicada),
Universidade Federal do Paraná, Curitiba.
MEDEIROS, L. A.; MILLA, M. M. Espaços de Sobolev e Iniciação aos Problemas
Elíticos não Homogêneos. IM-UFRJ, 2000.
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