SEGUNDA LISTA- (L2) DE “MECANA”
2FIS030 - II SEMESTRE DE 2014.
Londrina, 19 de agosto de 2014.
Para o dia 08 de setembro de 2014.
(1) A Lagrangiana de uma corda. Considere uma corda com densidade de massa constante µ0 e tensão constante T0 com as
extremidades localizadas em x = 0 e x = a. A energia cinética
é simplesmente a soma da energia cinética de todos os seguimentos infinitesimais dx cuja integral é a corda de comprimento
a. Assim pode-se escrever que
2
ˆ a
1
∂y
T =
(µ0 dx)
.
∂t
0 2
A energia potencial resulta do trabalho feito sobre cada um
dos segmentos submetidos a uma tensão T0 . Considere então
uma porção infinitesimal de comprimento dx, da corda que se
extende desde (x, 0) até (x + dx, 0) quando a corda está em
equilíbrio, como mostrado na figura (1). Se o elemento da corda
é momentaneamente esticado de (x, y) até (x+dx, y+dy), então
a variação ∆l no comprimento original do elemento da corda é
s

2
p
∂y
∆l =
dx2 + dy 2 − dx = dx  1 +
− 1
∂x
2
1 ∂y
' dx
.
2 ∂x
considerando pequenas oscilações. Dado que o trabalho feito
para esticar cada elemento infinitesimal é T0 ∆l, a energia potencial total é
2
ˆ a
1
∂y
V =
T0
dx
∂x
0 2
1
SEGUNDA LISTA- (L2) DE “MECANA”
2
Figura 0.1. Corda submetida a uma tensão T0
e a Lagrangiana L = T − V, para a corda é então
2
2 #
ˆ b
ˆ a"
∂y
1
∂y
1
Ldx,
(µ0 dx)
− T0
dx ≡
L(t) =
2
∂t
2
∂x
a
0
onde L é denominada de densidade de Lagrangiana, sendo dada
por
2
2
∂y ∂y
1
∂y
1
∂y
L( ,
) = (µ0 dx)
− T0
∂x ∂t
2
∂t
2
∂x
e a ação para a corda é
ˆ tf
L(t)dt
S =
ti
2
2 #
ˆ tf ˆ a "
1
∂y
1
∂y
dt
dx (µ0 dx)
=
− T0
.
2
∂t
2
∂x
ti
0
Encontre as equações de movimento para esta Lagrangiana.
(2) A ação para uma partícula relativística livre é
ˆ
S = −mc ds,
Γ
onde Γ é a trajetória da partícula ou arco e
ds2 = c2 dt2 − dr2 .
encontre a Lagrangiana, e mostre que o limite não relativístico,
v 2
1
c
fornece
1
L = −mc2 + mv 2 .
2
(3) resolva o problema da braquistócrona.