4o Lista de Exercı́cios de Fı́sica II
Prof. Dr. Fabiano Ribeiro
June 30, 2014
1. Mostre que, se y1 (x, t) e y2 (x, t) satisfazem a equação de ondas unidimensionais, a combinação linear y(x, t) = a1 y1 (x, t) + a2 y2 (x, t) também satisfaz. Aqui a1 e a2 são constantes.
2. Mostre que a equação de ondas harmônicas y(x, t) = A sin(kx − ωt + δ) satisfaz a equação
de ondas.
3. Uma corda, fixa nas duas extremidades, tem o n-ésimo harmônico com o comprimento de
onda 0, 54m e o harmônico seguinte (n + 1) com o comprimento de onda 0, 48m. a) Quais são
esses harmônicos? b) Qual o comprimento dessa corda? Resp. n = 8 e n = 9. L = 2, 16m.
4. Numa demonstração em classe, sobre ondas estacionárias, uma corda presa a um diapasão
vibra com ondas transversais de 60 Hz, provocadas pelo diapasão. A outra extremidade da
corda passa por uma polia e é possı́vel alterar a tensão na corda mediante pesos apropriados
pendurados nesta sua ponta. A corda tem nós aproximadamente localizados no diapasão e
na polia.
(a) Se a corda tiver a densidade mássica linear de 8 g/m e 2,5m de comprimento (entre o
diapasão e a polia), qual deve ser a tensão F para a corda vibrar no modo fundamental
(n = 1)? Resp. F = µf12 λ21 .
(b) Achar as tensões necessárias para a corda vibrar em cada um dos três harmônicos
sucessivos ao fundamental (n = 2, 3, 4)
5. Três ondas de mesma frequência, mesmo comprimento de onda e mesma amplitude estão se
deslocando numa mesma direção. As três ondas são dadas por
y1 (x, t)
y2 (x, t)
y3 (x, t)
=
=
=
0, 05sen(kx − ωt − π/3)
0, 05sen(kx − ωt)
0, 05sen(kx − ωt + π/3)
a) Achar a onda resultante. Resp. yres = [2 cos(−π/2) + 1] sin(kx − ωt).
amplitude dessa onda resultante?
(1)
b) Qual a
6. Dois arames metálicos, soldados topo a topo, tem as densidades lineares de massa relacionadas por µ1 = 3µ2 , e estão sujeitos a uma mesma tensão. Quando os arames vibram
com a frequência de 120 Hz, no primeiro deles, com a densidade linear µ1 , aparecem ondas
de comprimento de onda de 10 cm.
(a) Qual a velocidade de onda no primeiro arame? Resp. v1 = 1200 cm/s.
√
(b) Qual a velocidade de onda no segundo? Resp. v2 = 3v1 .
(c) Qual o comprimento de onda no segundo arame? Resp. λ2 = v2 /f .
7. Uma onda transversal, de frequência 40Hz, propaga-se por uma corda. Dois pontos, distantes
5 cm um do outro, tem a diferença de fase π/6.
1
(a) Qual o comprimento de onda da onda?
(b) Qual a diferença de fase de dois deslocamentos, num mesmo ponto, separados no tempo
por 5 ms?
(c) Qual a velocidade da onda?
8. Estamos interessados em determinar as frequências de vibração dos modos fundamentais
de uma corda presa nas duas extremidades. Considere que o formato da corda pode ser
representado pela função
y(x, t) = A(x) cos(ωt + δ)
(2)
(a) Dado que y(x, t) deve obedecer a equação de ondas, mostre que
d2 A(x)
= −k 2 A
dx2
(3)
onde k = ω/v.
(b) Considere que a solução geral para a amplitude (dado pela e.d.o. acima) é
A(x) = a cos(kx) + b sin(kx),
(4)
onde a e b são constantes. Dado as condições de contorno A(0) = A(L) = 0, onde L é
a distância entre extremidades, verifique que a = 0 e b sin(kL) = 0
(c) Considerando b 6= 0, mostre que as frequências angulares possı́veis para esse sistema
são discretas e dadas por
nπ
v,
L
que nos dão a frequência de vibração dos modos normais.Aqui, n = 1, 2, 3, · · ·.
ωn =
(d) Determine o comprimento de onda associado a cada uma dessas frequências
(e) Desenhe o formato da corda associado aos primeiros 5 modos normais.
2
(5)