Modelagem Matemática das Vibrações de uma Corda Elástica
Rossato, Jéssica Helisa Hautrive1; Bisognin, Eleni2
Trabalho de Iniciação Científica, Probic - CNPq
Curso de Engenharia de Materiais do Centro Universitário Franciscano (UNIFRA), Santa Maria, RS,
Brasil.
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Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática(UNIFRA), Santa Maria,
RS, Brasil.
E-mail: [email protected]; [email protected];
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RESUMO
A modelagem matemática é capaz de descrever diversos fenômenos físicos, sendo uma
ferramenta essencial quando se quer solucionar e estudar um problema prático. Nesse trabalho,
usou-se a metodolodia da modelagem matemática com o objetivo de desenvolver o modelo
matemático das vibrações em uma corda elástica e mostrar o comportamento quando o modelo é
aplicado. Esse modelo conduziu a um estudo das equações diferenciais parciais onde o
conhecimento das séries de Fourier e o método da separação de variáveis são fundamentais na
solução. Através de simulações no software Maple 14, foi possível a demonstração gráfica de uma
aplicação do modelo matemático.
Palavras-chave: Modelagem matemática; Vibração; Corda elástica; Simulação.
1. INTRODUÇÃO
Os Métodos da Matemática Aplicada têm sido muito utilizados atualmente devido a
sua grande aplicabilidade. Esses métodos são utilizados para construir e estudar modelos
representativos de fenômenos, como os fenômenos físicos. De acordo com Bassanezi e
Ferreira (1988), é freqüente, em se tratando de modelar um fenômeno ou um experimento,
obter-se equações que envolvem variações de quantidades, portanto as leis que regem tais
fenômenos são descritas por equações matemáticas denominadas equações diferenciais
que podem ser ordinárias ou parciais.
Entre esses fenômenos, encontram-se os fenômenos ondulatórios. Segundo Articolo
(1998), esses fenômenos físicos que são descritos por equações diferenciais parciais,
descrevem vários fenômenos ondulatórios dentro da engenharia e da física, incluindo a
acústica, a teoria do magnetismo, a mecânica quântica e o estudo da transmissão de
perturbações longitudinais e transversais em sólidos e líquidos. Para o trabalho, escolheu-se
a modelagem matemática das vibrações de uma corda elástica devido sua maior
simplicidade. Entretanto, possui suma importância, pois a partir deste modelo podem-se
descrever modelos de outros processos ondulatórios.
O modelo matemático das vibrações de uma corda elástica é descrito pelas
equações diferenciais parciais de segunda ordem da propagação das ondas e resolvida
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através do método de separação de variáveis. Para Boyce (2006), o método de separação
de variáveis é o método sistemático mais antigo tendo sido usado por D’Alembert, Daniel
Bernoulli e Euler, em torno de 1750, em suas investigações sobre ondas e vibrações. Esse
método consiste na substituição da equação diferencial parcial por um conjunto de
equações diferenciais ordinárias e a solução é expressa, nesse caso, como uma soma de
uma série infinita de senos e cossenos, denominada Série de Fourier, a qual é constituída
pelas soluções das equações diferenciais ordinárias. Trata-se de uma investigação das
vibrações mecânicas, onde uma corda é submetida a oscilações e o modelo descreve a
movimentação dessa corda. Esse modelo é simples, e a partir dele podem-se modelar os
demais fenômenos conhecendo-se certas condições, as condições de contorno. De acordo
com Oliveira eTygel (2001) estas condições indicam o comportamento na fronteira do
domínio da solução dessa equação.
Este trabalho teve como objetivo descrever e estudar o modelo matmático das
vibrações de uma corda elástica através da modelagem matemática, e também fazer a
demonstração gráfica quando aplicado o modelo.
2. A CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
A equação da onda descreve fenômenos que envolvem a propagação de ondas em
meio contínuo, como por exemplo: estudo das ondas acústicas, ondas de água, ondas
eletromagnéticas e ondas sísmicas. O modelo matemático que descrevemos leva em conta
as vibrações mecânicas, mais precisamente em uma corda elástica de comprimento L que
vibra livremente, como é visto na figura 1. Neste caso, o efeito de amortecimento da corda e
seu peso são desprezíveis.
Figura 1 - Propagação da onda em uma corda elástica.
A equação que descreve o movimento vibratório u de uma corda em relação a uma
posição x e um tempo t é dado por:
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Onde a é a velocidade de propagação das ondas ao longo da corda.
Então é necessário especificar as condições de contorno e condições iniciais do
deslocamento da corda elásrica. Consideramos que as extremidades da corda permanecem
fixas, ou seja, o deslocamento é zero.
(2)
Sendo que a equação diferencia parcial da onda é de segunda ordem, temos duas
condições iniciais, uma em relação a posição inicial que é dada por uma função f(x) e outra
em relação a velocidade inicial da corda dado por uma função g(x).
(3)
É necessário tambpem supor que ambas funções f(x) e g(x) são nulas nas
extremidades da corda.
(4)
Utilizamos o Método de Separação de Variáveis a fim de transformar a equação
diferencial parcial de segunda ordem em duas equações diferenciais ordinais com o intuito
de chegar ao modelo matemático. Então temos:
(5)
Fazendo a substituições, obtemos:
(6)
Onde λ é uma constate de separação.
Separando em duas equações chegamos a uma equação em função de x e outra em
função de t.
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(7)
Resolvendo as equações diferenciais determinamos o autovalor e uma autofunção
para X.
(8)
Substituindo o autovalor na equação para obtermos uma autofunção de T, chegamos
que:
(9)
Onde k1 e k2 são constantes arbitrárias.
Como a condição inicial implica que T’(t)=0, então
k 2=0. Obtemos assim a
autofunção para T.
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Para cada n temos uma solução para o movimento da corda. Então superpondo as
soluções, chegamos ao modelo matemático que descreve o movimento da corda elástica,
onde a solução é dado pelas séries de Fourier.
(11)
E o coeficiente Cn é dado pela série de Fourier em senos:
(12)
3. METODOLOGIA
O modelo matemático das vibrações de uma corda elástica foi obtido seguindo as
descrições de Boyce (2006), usando o método da separação de variáveis e as séries de
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Fourier como solução final para o modelo. Para a construção do gráfico da aplicação do
modelo matemático foi usado o software Maple 14.
4. RESULTADOS
Aplicamos o modelo matemático construído para as vibrações de uma corda elástica
através do software Maple 14 a fim de demonstrar graficamente o movimento vibratório da
corda.
Buscamos o modelo e a resolução para o movimento de ondas que se propagam
transversalmente em um intervalo finito I = {x | 0 < x < 1}.
Suas extremidades foram
consideradas fixas e a corda vibrando em meio viscoso com pequenos amortecimentos e
sem forças externas agindo. O deslocamento inicial da corda elástica foi dado pela função
f(x) = x(1-x) e a velocidade inicial que a onda se propaga foi dada pela função g(x) = x(1-x).
A velocidade da onda foi considerada c = ¼ e o fator de amortecimento γ = 1/5.
A equação da onda é dada por:
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Tendo o intervalo finito, podemos escrever as condições de contorno do nosso
problema.
(14)
Conhecemos também as condições iniciais que são dadas por f(x) que relaciona a
posição inicial e g(x) que representa a velocidade inicial.
(15)
Então, resolvemos a solução do nosso problema através do método de separação de
variáveis e posteriores resoluções das equações diferenciais, seguindo as etapas da
construção do modelo matemático para as oscilações da corda elástica.
Obtemos o nosso modelo matemático para o movimento da corda elástica, sendo
dada a solução pelas séries de Fourier.
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(16)
Simulando no software Maple 14 o exemplo, temos o gráfico do comportamento do
movimento da corda elástica.
Figura 2- Gráfico do movimento da corda elástica.
A figura 2 mostra o gráfico da aplicação do modelo matemático para as virbrações de
uma corda elástica onde é possível ver o comportamento das oscilações da corda para
diferentes valores de tempo. Notamos que a vibração da onda chega ao seu ápice quando
x=0,5.
5. CONCLUSÃO
Utilizamos a Modelagem Matemática para estudar as vibrações de uma corda
elástica que é representada pela equação da onda que é dada pelas equações diferenciais
parciais de segunda ordem. Esse modelo pode ser descrito graças ao estudo do Método de
Separação de Variáveis que é indispensável para a obtenção do modelo e também as
Séries de Fourier que dão a solução para o mesmo. Foi simulada uma aplicação com o
intuito de demonstrar e verificar as vibrações da corda elástica com o passar do tempo. A
análise dos resultados e a validação deram-se de modo teórico de acordo com os resultados
que constam na literatura e através da simulação no Maple 14 pode-se visualizar melhor o
fenômeno físico ondulatório.
6. REFERÊNCIAS
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ARTICOLO, G.A. Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V. San Diego:
Academic Press, 1998.
BASSANEZI,R.C; FERREIRA Jr.W.C. Equações Diferenciais com Aplicações.São Paulo: Ed.Harbra,
1988.
BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de valores de
Concorto. 8ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
OLIVEIRA,E.C.;TYGEL,M. Métodos Matemáticos para Engenharia.Textos em Matemática Aplicada e
Computação Científica, SBMAC, 2001.
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