ISSN 1984-8218
Uma Abordagem Fuzzy para uma Corda Vibrante
Douglas Silva Oliveira
Rosana Sueli da Motta Jafelice
Faculdade de Matemática, UFU,
38408-100, Uberlândia, MG
E-mail: [email protected] [email protected]
RESUMO
As cordas vibrantes apresentam suas duas extremidades fixas. A vibração da corda ocorre
quando os seus pontos afastam-se da posição de equilı́brio estável. Como exemplo de instrumentos musicais que utilizam as cordas vibrantes temos: a guitarra, o piano, a harpa, o violino,
o contrabaixo e outros. O estudo do movimento das cordas vibrantes permite a compreensão do
funcionamento de tais instrumentos [3].
O objetivo deste trabalho é o de modelar a equação da corda vibrante considerando a velocidade de propagação da onda como sendo um parâmetro incerto e encontrar a solução aproximada
para tal equação para alguns parâmetros em estudo.
Vamos considerar uma vibração transversal de uma corda flexı́vel, em que as extremidades
estão fixas nos pontos x = 0 e x = L. Suponhamos que não haja forças externas que possam
atuar na corda e que esta vibra unicamente em função da elasticidade.
A elongação da corda, num dado instante, isto é, o deslocamento u(x, t) de um ponto ar∂2u
∂2u
bitrário x da corda no instante t é dado pela solução da equação diferencial 2 = a2 2 , onde
∂t
∂x
q
a = Tρ (cm/s) é a velocidade de propagação da onda, T (Newton) é a tensão aplicada sobre a
corda e ρ (g/cm) é a densidade linear da corda em questão [4].
Utilizamos a seguinte equação com as seguintes condições de fronteira:
∂2u
∂2u
2
=
a
(T,
com 0 < x < 2,
ρ)
(1)
∂t2
∂x2
em que a posição da corda no instante inicial é dado por u(x, 0) = 3sen(πx); a velocidade da
corda no instante inicial satisfazendo as condições de fronteira é dado por ut (x, 0) = 0; e a
posição das extremidades da corda em qualquer instante é dado por u(0, t) = u(2, t) = 0.
Em algumas circunstâncias, como nas cordas de instrumentos musicais, a velocidade de
propagação da onda pode ser um parâmetro incerto. Assim, utilizando a teoria dos conjuntos
fuzzy para modelar este parâmetro considerando-o dependente da tensão e da densidade linear
do material.
No Sistema Baseado em Regras Fuzzy (SBRF) consideramos como variáveis linguı́sticas de
entrada a tensão (com domı́nio no intervalo [0, 1]) e a densidade linear (com domı́nio no intervalo
[0, 10]). A variável linguı́stica de saı́da é dada pela velocidade de propagação ao quadrado da
onda (com domı́nio no intervalo [0, 40]). As funções de pertinência das variáveis de entrada e
de saı́da são trapezoidais. O método de inferência utilizada é o Método de Mamdani e o de
defuzzificação é o Centro de Gravidade [2].
Um exemplo de regra fuzzy que utilizamos neste problema é:
• Se a tensão é média e a densidade linear é grande então a velocidade de propagação ao
quadrado é baixa.
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Para determinar a aproximação numérica da solução de equação (1) utilizamos o método de
diferenças finitas e na discretização do tempo o Método Explı́cito [1] com o software Matlab.
Consideramos os seguintes casos:
1o : Na Figura 1, utilizamos T = 0.1 e ρ = 10 e obtemos a velocidade de propagação ao
quadrado a2 = 3.4926.
2o : Na Figura 2, utilizamos T = 1 e ρ = 1 e obtemos a2 = 36.5461.
3
3
2
2
1
1
u(x,t)
u(x,t)
A distância vertical do valor de máximo da curva até o valor de mı́nimo é de 6 cm. Assim,
no primeiro caso a distância vertical percorrida é de 5.95 cm e no segundo caso a distância
percorrida é de 18.07 cm.
0
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
0
0.5
1
x
1.5
2
0
Figura 1: Solução da equação (1) para
velocidade baixa.
0.5
1
x
1.5
2
Figura 2: Solução da equação (1) para
velocidade alta.
A vantagem de se trabalhar com o parâmetro fuzzy é que a solução numérica para a equação
(1) considerando a2 como uma constante, resulta em um único comportamento para a corda,
enquanto considerando a2 como um parâmetro fuzzy, podemos obter vários comportamentos
para o fenômeno. No primeiro caso a corda não percorre a distância vertical máxima que é de
6 cm. No segundo caso, a corda percorre três vezes a distância vertical máxima.
Através da Teoria dos Conjuntos Fuzzy e dos métodos numéricos é possı́vel visualizar graficamente como a tensão e a densidade influenciam o fenômeno da vibração das cordas com
extremidades fixas.
Palavras-chave: Corda Vibrante, Teoria dos Conjuntos Fuzzy, Velocidade de Propagação.
Agradecimentos
Os autores agradecem à FAPEMIG pelo auxı́lio financeiro na participação do evento e a
segunda autora agradece ao CNPq (Processo 477918/2010-7) pelo auxı́lio financeiro.
Referências
[1] N.B. Franco, “Cálculo Numérico”, Pearson Prentice Hall, 2006.
[2] R.S.M. Jafelice, L.C. Barros e R.C. Bassanezi, Usando a Teoria Fuzzy na Modelagem de
Fenômenos Biológicos, em Simpósio de Aplicações em Lógica Fuzzy, Sorocaba, SP, 2008.
[3] http://nfist.pt/sf/sf3/musica/cordas.htm - Acessado em 01/12/2011.
[4] http://www.estv.ipv.pt/paginasPessoais/isabelduarte/cam05 06/CAM cap 3.pdf - Acessado em 13/10/2011.
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