Estatística
2 – Estatística Descritiva
Prof. Antonio Fernando Branco Costa
Página da FEG: www.feg.unesp.br/~fbranco
• Parâmetros de Posição:
– Média
– Mediana (2 partes)
– Moda
• Parâmetros de Dispersão:
– Variância (1, 2, 3)=1
– Desvio-Padrão
– Amplitude
(1, 23, 390)=47749
Média da População :

Dados em frequências:
k
N

x
i

i 1
x i  fi

i 1
N
xi = valores da variável
N = tamanho da População
N

k

k 1
'
x i  pi
fi = frequência da classe (i)
pi’= frequência relativa
k = número de linhas da tabela
X i  i, i  (1,2,...,6),
N  6,
pi  1/ 6
MÉDIA AMOSTRAL: Exemplo da Fundição
 Variável X: número de defeitos por peça
Tabela de Distribuição de frequência de Valores
Número de Defeitos
frequência f i
Xi
X i  fi
0
8
0
1
2
3
4
5
9
5
2
0
0
9
10
6
0
0
6
1
6
25
31
total
k
X
Xi  fi

i 1
n
31

 1,24
25
MÉDIA AMOSTRAL: Altura dos alunos de Estatística
 Variável Y: Altura(cm)
Tabela de Distribuição de frequência das Classes
Classes
<=160
160-|165
165-|170
170-|175
175-|180
>180
fi Lim. Inf. Lim. Sup.
4
155
160
5
160
165
6
165
170
3
170
175
3
175
180
3
180
185
24
Soma
fi
4
5
6
3
3
3
24
Yi
157,5
162,5
167,5
172,5
177,5
182,5
k
Y 
Yi  f i

i 1
n
4045

 168,5
24
Yi*fi
630
812,5
1005
517,5
532,5
547,5
4045
Mediana (md)
Idéia: dividir o conjunto ordenado de valores em 2 parte
1 - Considerando conjunto com n valores ordenados
35
36
37
38
n (ímpar) 
n=9
40
40
41
43
46
md = valor de ordem (n + 1)/2
md = 40 ( valor de ordem 5 )
n (par )  md = valor médio entre o de ordem n/2 e o de ordem (n/2) + 1
12
n=8
14
14
15
valor de ordem n/2 = 15
md 
16
16
17
valor de ordem(n/2) + 1 = 16
15  16
 15,5
2
20
Mediana (md)
2 - Considerando distribuição em classes de frequências:
n

 Fa 

2
 h
m d  Li  
md
f md
onde:
Li: limite inferior da classe que contém a mediana
n: número de elementos do conjunto de dados;
Fa: frequência acumulada das classes anteriores à classe que contém a mediana;
fmd: frequência da classe que contém a mediana;
hmd: amplitude da classe que contém a mediana.
frequência
Limites Reais
classe
Lim. inf.
absoluta
Lim. sup.
fi
Acumulada
Fi
1
11,705
11,835
5
5
2
11,835
11,965
3
8
3
11,965
12,095
7
15
4
12,095
12,225
6
21
5
12,225
12,355
4
25
Li = 11,965
n = 25
Fa = 8
fmd = 7
hmd = 0,13
 25 
  8
2

  0,13  12,05
md  11,965 
7
Moda: mo
Valor de máxima freqüência dentro de um conjunto de dados
 Dados em Tabela de frequência dos valores
Exemplo da Fundição
Variável X: número de defeitos por peça
Ordem
fi
Xi
frequência
(absoluta)
pi'
1
0
8
32%
2
1
9
36%
3
2
5
20%
4
3
2
8%
5
4
0
0%
6
5
0
0%
7
6
1
4%
total
25
(relativa)
100%
mo = 1
moda é apresentar 1 defeito por peça
Moda: mo
 Dados em Tabelas de frequência das classes
Classe Modal: aquela(s) de maior frequência
d1
mo  Li 
h
d1  d 2
Li : limite inferior da classe modal
d1 : diferença entre a freqüência da classe
modal e a imediatamente anterior
d2 : diferença entre a freqüência da classe
modal e a da imediatamente seguinte
h : amplitude das classes
Moda: mo
 Dados em Tabelas de frequência das classes
Exemplo da Fundição
Variável Y: diâmetro do furo (mm)
frequência
Limites Reais
classe
Lim. inf.
absoluta
Lim. sup.
fi
Acumulada
Fi
1
11,705
11,835
5
5
2
11,835
11,965
3
8
3
11,965
12,095
7
15
4
12,095
12,225
6
21
5
12,225
12,355
4
25
d1
mo  Li 
h
d1  d 2
d1  7  3  4
d2  7  6  1
4
mo  11,965 
 0,13  12,07
4 1
Variância
Idéia: Média do quadrado da diferença dos dados em relação ao valor médio.
1 - Considerando dados de toda a População:
N
σ2 

X i  i, i  (1,2,...,6),   3,5
(x i   ) 2
i 1
N
2 - Considerando dados de uma Amostra da População:
n
s 
2

(x i  x) 2
i 1
n 1
Variância
Exemplo:
Seja os valores da amostra:
70
x
 14
5
15
12
10
(xi – x )
1
-2
-4
3
2
0
xi
15
12
10
17
16
70
n
n
s2 

i 1
(x i  x) 2
n 1
17
s 
2

(x i  x) 2
i 1
n -1
16
(xi – x )2
1
4
16
9
4
34
34

 8,5
5 1
Variância Amostral
Considerando distribuição de frequências de valores
n
S2X 

i 1
n
(xi  x) 2  f i
S2X 
n -1
Classes
<=160
160-|165
165-|170
170-|175
175-|180
>180
2
sX
fi
4
5
6
3
3
3
24

155
160
165
170
175
180
160
165
170
175
180
185
Soma

x i2  f i  (
i 1
24  1

x i  fi )2 / n
i 1
n 1
fi
4
5
6
3
3
3
24
(
4045
)
683300
n
Xi
157,5
162,5
167,5
172,5
177,5
182,5
Xi*fi
630
812,5
1005
517,5
532,5
547,5
4045
Xi*Xi*fi
99225
132031,25
168337,5
89268,75
94518,75
99918,75
683300
2
24  67cm2
Desvio-Padrão
População:
Amostra:
x 
sx 
2
x
2
sx
S X  67  8cm
X  3S X  168,5  24cm
Coeficiente de Variação (CV)
Relação entre o desvio-padrão amostral e a média amostral (%)
sx
cv  100
x
Regra empírica:
• CV < 15%
• 15% < CV < 30%
• CV > 30%
baixa dispersão
média dispersão
elevada dispersão
Amplitude: R(X)
R( X )  X máx  X min
Exemplo da Fundição:
X: número de defeitos por peça
Xmáx = 6
R(X) = 6 – 0 = 6
Xmín = 0
Y: diâmetro do furo (mm)
Ymáx = 12,29
Ymín = 11,77
R(Y) = 12,29 - 11,77 = 0,52
Medidas de Assimetria
Assimetria:
Assimetria Positiva
Assimetria negativa
Medidas de Achatamento ou Curtose
Forma da distribuição quanto ao seu achatamento comparado com a distribuição
Normal
Platicúrtica
(coef. curtose < 3)
Mesocúrtica
(Normal)
(coef. curtose = 3 )
Leptocúrtica
(coef. curtose > 3)
Estatística Descritiva - Excel
61
52
53
48
55
65
53
56
54
46
43
62
48
57
57
53
49
50
41
54
55
68
61
54
48
51
51
44
71
63
58
50
64
57
49
55
67
53
53
55
59
62
54
46
52
56
64
55
48
51
Estatística Descritiva - Excel
Estatística Descritiva - Excel
Estatística Descritiva - Excel
Estatística Descritiva - Excel
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