Representação do E-T : diagramas de Minkowski
eventos ( transitórios )
linhas de mundo ( duradoura no t )
cones de luz ( raios de luz)
um observador recebe sinais de luz
que vêm do passado e transmite sinais
de luz para o futuro
cada observador tem
o seu cone de luz
Informações chegam ao observador com v  c
eventos que foram observados
estão dentro ou no cone de luz do
passado
eventos influenciados pelo observador deverão
ficar dentro ou no cone de luz do futuro
Somente os eventos que estão dentro ou sobre o cones
de luz de um dado observador fazem parte da linha de
t observador
mundo deste
x= ct
x= - ct
cone de luz
A
futuro
B
•AO = time-like
C
x
•OB = light-like
•OC = space-like
O
presente
passado
Tipos de intervalo de E-T:
A. d2 > 0 : time-like → pode situar-se sobre a linha de mundo
de um dado observador
v<c
B. d2 = 0 : light-like → pode situar-se na linha de mundo
de um raio de luz → eventos de separação nula
(geodésica nulas)
v=c
C. d2 < 0 : space-like → não pode situar-se sobre a linha de mundo
de um dado observador
v>c
Definição : DISTÂNCIA PRÓPRIA
Distância medida entre 2 eventos : mede-se o tempo
que um sinal de luz leva de A para B
dD = c dt
Como d = 0 para um sinal luminoso
ds2
d  dt  2  0
c
2
ds= c dt
ds2=dx2+dy2+dz2
(distância própria= euclidiana)
Trajetórias no E-T
Distâncias entre dois pontos no E-T não são medidas como
distâncias entre dois pontos no espaço ordinário
d(E-T)2=c2dt2-ds2
Distância menor entre dois eventos NÃO é uma linha reta no E-T
Para a luz:
tempo = espaço
>

d=1000 anos-luz
t= 1000 anos
(E-T)=0
luz invariante!!!
1. Seja uma linha de mundo reta que conecta dois eventos a e b
2. Seja um caminho alternativo acb
onde a partir de c formam-se os cones de luz
que interceptam a e b
Na folha de papel a distância
acb > distância ab
Mas... no E-T distância acb=0 !!!
distância ab é o maior caminho
Entre os dois eventos!!!
Caminhos alternativos + próximos
a acb são < caminho reto ab
Paradoxo dos gêmeos
Ler na apostilha demonstração usando métrica
de Minkowski
PARADOXO DOS GÊMEOS
O tempo próprio de um corpo mede-se ao longo da sua linha
de mundo  idade = comprimento de linha de mundo
adb leva tempo menor do que ab
O tempo medido é  ao comprimento
da linha de mundo medida no E-T
Gêmeos A e B nasceram juntos  suas linhas de mundo começam
no mesmo evento
O gêmeo B viaja durante 6 anos (ida e volta) com v=0.8c
(tempo marcado por B)
O gêmeo A continua em repouso em relação à Terra
Quantos anos se passaram para A ?
Diagrama de Minkowski para os 2 gêmeos
OP = linha de mundo de A
OPQ= linha de mundo de B
coordenadas dos eventos:
O  (0,0)
Q  (tQ,xQ)
P  (tP,0)
considerando: tQ=tP/2
xQ=vtQ=vtP/2
P
Q
O
Separação entre os dois eventos O e Q:

d ( E T )
c
tQ 
2
 d
 OQ
1  Vc 2
2
2
OQ
xQ2
2
V
 tQ2  2  (1  2 )tQ2
c
c
tP 
2 OQ
1
V2
c2
 10 anos
Paradoxo: se o nosso sistema de coordenadas estivesse em B
A seria o viajante  t seria menor para A ??
situação de A e B NÃO são simétricas
Experimento:
decaimento  (decai em 10-3 s) tempo de vida intrínseco medido
ao longo da sua linha de mundo
 move-se relativisticamente
em relação a nós
t
decaimento
 1/(1-V2/c2)1/2
tempo de vida maior!
(V=0.9998c)
tdecaimento (observado) = 50 tdecaimento
Análise da gravitação...
O princípio da Equivalência
F gravitacional e F inercial produzem efeitos indistinguíveis
conexão entre movimento e gravidade
1o passo p/ TRG
geometria e gravidade tem algo em comum
2o passo p/ TRG
Um cenário mais simples...
Seja um laboratório sem janelas no espaço
1a situação: lab está longe da estrela + próxima
g~0
move-se livremente: F inercial = 0
F=ma
experimentos feitos dentro do lab
Lab em estado inercial
2a situação: lab passa perto da estrela + próxima
experimentos feitos dentro do lab
lab continua em estado inercial
lab segue uma órbita em queda-livre
Ftotal=Finercial-Fgravitacional=0
Conclusão:
neste caso não dá para distinguir força inercial da gravitacional
TRE → as leis e suas equações físicas são as mesmas em todos
os sistemas inerciais (não acelerados)
Mas se os experimentos não conseguem distinguir entre
Finercial e Fgravitacional
pode-se usar a TRE em sistemas em queda-livre
TRE → as leis e suas equações físicas são as mesmas em todos
os sistemas inerciais + sistemas em queda-livre
“Newtonianamente” falando...
Na queda-livre: massa inercial = massa gravitacional
mi a  
GM m g
r
2
 mg g
mi e mg : massas inercial
e gravitacional do lab
Princípio da equivalência newtoniano
“Einstenianamente” falando...
Aceleração do lab em queda livre cancela completamente
o efeito da gravidade NÃO SÓ DINAMICAMENTE!!
Mecânica newtoniana
MAS EM QUAISQUER EXPERIMENTOS FÍSICOS
TRE usada em sistemas inerciais e em queda-livre
Geometria e gravidade
Superfícies curvas são análogas à gravidade
Outros termos...
Corpos com V constante  descrevem linhas retas no E-T plano
de Minkowski da TRE
Corpos em queda livre no mesmo E-T de Minkowski
possuem linhas de mundo curvas
Mas e a equivalência entre sistemas inerciais e em queda-livre???
Não teriam ambos linhas de mundo retas???
Abandono do E-T plano para encontrar uma teoria na
qual gravidade altera a geometria do E-T tal que todos
os corpos em queda-livre descrevam linhas de mundo retas
Mundo Newtoniano de linhas de mundo curvas
Linhas de mundo retas (geodésicas) num E-T curvo
Uma pequena complicadinha...
Forças de maré
Cenários descritos anteriormente para demonstrar o princípio
da equivalência são idealizações...
1. Somente pontos no espaço vão ser inerciais
(movimento inercial raramente existe!!!)
2. Princípio da equivalência só é verdadeiro num campo
gravitacional UNIFORME
Gravidade não é nunca uniforme
Seja um corpo sólido que se move sob a ação da gravidade
Força de maré : resultante da força gravitacional não uniforme
Centro de massa é o único realmente em queda-livre
Princípio da equivalência aplicável só a regiões de volume
extremamente pequenos...
Leis da física são expressas em termos de equações diferenciais
Lab extremamente pequeno...
Forças de maré e variações na curvatura
Retângulo = variação de K com a posição
e com o tempo = simula lab em
queda- livre com um campo gravitacional
não uniforme e que varia com t
Princípio da equivalência aplica-se somente a regiões infinitesimais
Geometria euclidiana pode ser usada somente em regiões pequenas
de uma superfície curva
TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL
Universo newtoniano : geometria euclidiana + forças gravitacionais
substituído por:
Universo relativístico do E-T de curvatura variável
Órbitas curvas de corpos em queda-livre no universo newtoniano
Órbitas retas no E-T curvo no universo de Einstein
Órbita em linha reta = geodésica = distância + curta entre dois
pontos
Na TRG: corpos em queda-livre seguem caminho geodésicos
TRG
curvatura do E-T é influenciada pela distribuição de matéria-energia
E=mc2
Outra forma: a deformação do E-T está relacionada com a tensão
induzida pela matéria-energia
curvatura do E-T=constante  (matéria-energia)
Ligação entre geometria
e matéria-energia
constante  G
•qdo K é negligível: equação TRG→equação TRE
Gij=cteTij
•qdo v << c: equação TR→equação de movimento
e gravidade de Newton
Usar curvatura ao invés de gravidade !!!
Curvatura produz curvatura
Cada curvatura tem influência ou
é influenciada por outras curvaturas
no espaço
Universo Newtoniano: gravidade de
um corpo não modifica a gravidade
de um outro
“Gravidade” é transmitida a velocidade da luz
Universo de Newton: gravidade é propagada instantaneamente...
Campo gravitacional produzido
por um corpo existe instantaneamente
Universo de Einstein: gravidade ou K do E-T se propaga a
velocidade da luz!
Equação da TRG = equação de onda
que gera e propaga as deformações
curvas do E-T
2 estrelas orbitando ao redor delas mesmas
produzem g que varia periodicamente
com o tempo
Então K do E-T varia periodicamente
Energia é redistribuída na região
Ondas de “deformação” do E-T
fluem em todas as direções com
velocidade = c
Energia e momentum angular são perdidos pelas
sob forma de ONDAS GRAVITACIONAIS
s
A cada 109 ou 1012 anos
Prova da existência de radiação
gravitacional : sistemas binários
com um pulsar