"A group of man together at the same rate can finish a job in 45 hours. However, the
man report to work singly at equal intervals a period of time. Once on the job,
however, each man stays until the job is finished. If the first man works five times as
many hours as the last man, find the number os hours the first man works."
•
Fórmula: (Soma dos n termos de uma Progressão Aritmética):
n
S n = (a0 + an )
2
Inicialmente, o enunciado afirma que os homens, trabalhando simultaneamente, podem
terminar o trabalho em 45 horas. Como temos n homens trabalhando, são necessários 45n
homens-hora para terminar o trabalho.
Agora, esses homens realizarão o mesmo trabalho só que não começarão simultaneamente:
o primeiro começa em determinado instante, d horas após começa o segundo e assim
sucessivamente (sempre, após d horas alguém começa a trabalhar).
Dessa forma, o primeiro homem trabalhará t horas, o segundo t-d horas, o terceiro t-2d, e
assim por diante, até o n-ésimo (último) homem, que trabalhará t-(n-1)d horas. Mas o
enunciado diz que o primeiro homem trabalha cinco vazes mais que o último homem, logo:
t = 5(t − (n − 1)d )
⇔ 5t − t = 5(n − 1)d (1.1)
⇔ (n − 1)d =
4t
5
Usando a fórmula apresentada no início, temos que o número de horas-homem trabalhadas
será:
S = t + (t − d ) + (t − 2d ) + ... + (t − (n − 1)d )
(1.2)
n
n
S = (t + (t − (n − 1)d )) = (2t − (n − 1)d )
2
2
Substituindo o resultado de (1.1) em (1.2), temos:
4
3nt
n
n 6
S = (2t − t ) = ( t ) =
2
5
2 5
5
Mas, conforme mostramos inicialmente, essa relação hora-homem vale 45n, então
3nt
= 45n, ou
5
3t = 225 ou seja,
t = 75 horas
Lucas Gurgel Praxedes