TRANSFERÊNCIA DE CALOR
POR CONDUÇÃO
Modelo de Condução Térmica
• O mecanismo de transmissão de calor por
condução térmica consiste de um Processo
de Difusão .
• Uma espécie (massa, concentração,
temperatura, e outra grandeza escalar) é
transportada da região de ‘maior’
concentração para a de ‘baixa’.
• Joseph Fourier modelou a difusão em função
do gradiente da espécie e de uma constante
de proporcionalidade.
Modelo de Condução Térmica
• O taxa de calor por unidade de área, ou fluxo
de calor q”, depende da área onde ele cruza,
portanto possui uma natureza vetorial!
Y
q̇⃗' ' =⃗i q˙ x ' ' +⃗j q˙y ' '
q ′′y
q ′′x
X
Modelo de Condução Térmica
• A taxa de calor por unidade de área que cruza
uma superfície cuja normal é n, é função do
gradiente térmico, dT/dn e da constante de
proporcionalidade, k .
n
r
&
uur Q
∂T
q& ′′ =
= −k
A
∂n
(a)
(a)
uur
r
&q ′′ = − k ( dT dn )
T
dT/dn
n
Perfil de temperatura ao longo da linha
a-a, paralela ao vetor normal n
Condutividade Térmica:
(kcal/s)/ (oCm)
Alumínio
4,9 × 10-2
Cobre
9,2 × 10-2
Aço
1,1 × 10-2
Ar
5,7 × 10-6
Gelo
4 × 10-4
Madeira
2 × 10-5
Vidro
2 × 10-4
Amianto
2 × 10-5
1 kcal = 4184 J
Vácuo →k = 0 (não há difusão térmica no vácuo; para haver
difusão é necessário haver um meio para a temperatura difundir!
Modelo de Condução Térmica
q& ′′x = −k ( dT dx )
• O fluxo de calor na direção x:
q& ′′y = −k ( dT dy )
• O fluxo de calor na direção y:
q̇⃗' ' =⃗i q˙ x ' ' +⃗j q˙y ' '
Y
∂T
q̇⃗' ' = ⃗i k
∂x
∂
T
⃗j k
∂y
q̇⃗' '= k ∇ T
q ′′y
q ′′x
X
8-2 Uma lona de freio é pressionada contra um tambor
rotativo de aço. Calor é gerado na superfície de contato
tambor-lona na taxa de 200 W/m2. 90% do calor gerado
passa para o tambor de aço, o restante passa pela lona.
Determine o gradiente térmico no ponto de contato
tambor-lona
q”=0.1x200=20W/m2
q”=0.9x200=180 W/m2
r
q” = -kdT/dr→ dT/dr = -q”/k
Ex. 8.3 O fluxo de calor na superfície diagonal da
cunha de baquelite é de 680 Btu/h.ft2. Determine o fluxo
de calor e o gradiente de temperatura nas direções x e
y
Fluxo calor x, qx = q.sin30o = 340 Btu/h.ft2
Fluxo calor y, qy = q.cos30o= 589 Btu/h.ft2
Grad T, x, → dT/dx = -qx/k
Y
q ′′
30o
Grad T, y, → dT/dy = -qy/k
q ′′y
q ′′x
X
Temperatura e Linhas de Fluxo de Calor
As dimensões do domínio afetam o campo de temperatura?
Bloco quadrado 1:1
temperatura nas faces
1,0,0,0
Bloco retangular 1:5
temperatura nas faces
1,0,0,0
Temperatura e Linhas de Fluxo de Calor
Uma condição 2D pode ser aproximada por uma solução 1D?
Campo Temp. Unidimensional Campo Temp. Bidimensional
temperatura nas faces: 1,0
temperatura nas faces
demais faces isoladas
1,0,1,1
Temperatura e Linhas de Fluxo de Calor
Bloco quadrado 1:1
temperatura nas faces
1,0,0,1
Coroa circular
temperatura nas faces
1,0,0,0
Temperatura e Linhas de Fluxo de Calor
Viga L
Faces isoladas
Temperatura 1 & 0 nas extremidades
Equação da Condução: Balanço Energia (1a Lei)
Considere um V.C. infinitesimal, ∆X e ∆Y e a 1a Lei:
Q˙gen= ∂ ∫ ρ e d ∀+ fluxo de calor
∂t
q̇ ' ' ' ∆ x ∆ y ∆ z =ρc v
∂T
∆ x ∆ y ∆ z +∇ . q̇⃗' ' ∆ x ∆ y ∆ z
∂t
Balanço infinitesimal de calor:
ρ cv
∂T
=q̇ ' ' '
∂t
∇ . q̇⃗' '
Se regime permanente e sem prod.
Interna de calor:
∇ . q̇' '=0
Equação da Condução: Balanço Energia (1a Lei)
Substituindo a definição da Lei de Fourier para a equação do calor,
sem prod. Interna de calor:
∂T
ρ cv
= ∇ . q̇⃗' ' = ∇ . ( k ∇ T )
∂t
para k constante:
ρ cv
∂T
=k ∇ 2 T
∂t
Se regime permanente
2
∇ T =0
Analogia: Regime Permanente
• Campo elétrico E → fluxo de calor q”
• Potencial elétrico V → Temperatura T
r
∇⋅E = 0
r
E = ε∇V
∇ ⋅ ∇V = ∇ V = 0
2
ε – dielétrico do meio
→
uur
∇ ⋅ q& ′′ = 0
uur
q& ′′ = −k∇T
→
∇ ⋅ ( −k∇T ) = ∇ T = 0
→
2
Formas da Eq. Condução
Propriedades Constantes
• Cartesiano:
∂ T ∂ T ∂ T
∂T
ρC
=k 2 + 2 + 2
∂t
∂y
∂z 
 ∂x
2
2
2
• Cilíndrico
∂T
 1 ∂  ∂T 
∂ T
∂ T
ρC
=k
r
+ 2 2 + 2
∂t
∂z 
 r ∂r  ∂r  r ∂θ
2
2
Regime Permanente: Lapl.T=0
• O laplaciano da temperatura é uma E.D.P
Elípitca. Para resolvê-la é necessário
informação em todo o contorno!
T na fronteira
(Dirichlet)
dT/dn na fronteira
(Neumann)
n
Temperatura especificada
Condução 1D, Regime Permanente
2
• Equação Geral
• Solução Geral
dT
=0
2
dx
T ( x) = A ⋅ x + B
PERFIL LINEAR DE TEMPERATURA
x=0
x=L
x
T(L) = 100
T(0) = 0
Solução: Temperatura Especificada
2
dT
=
0
2
dx
100
T ( x) =
⋅x+0
L
GRADIENTE TEMPERATURA = 100/L
q”=-k(100/L)
T(0) = 10
Solução: Fluxo Calor Especificado
x=0
x=L
q”= - 5 W/m2
d2 T
=0
2
dx
x
dT
dT q& ′′
q& ′′ = −k
→
=
dx
dx
k
 q& ′′ 
T ( x ) =   ⋅ x + 10
 k 
GRADIENTE TEMPERATURA = q”/k
q” =k(q” /k) = q”
Obs.: q” < 0 pq. está no sentido contrário ao eixo x
T(0) = T0
Solução: Coef. Transf Calor Especificado
x=0
x=L
h= W/m2oC
Tamb
x
h ( TL − Tamb )
dT
= −k
dx
T ( 0 ) =T0 =B
→
→
d2 T
=0
2
dx
h ( TL − Tamb )
dT
=A=−
dx
k
T ( L ) =TL =A ⋅ L+T0
A definição q”=h(TL-Tamb) está de acordo com o sentido do eixo x.
Note que se TL > Tamb q”>0 e TL < Tamb, q”<0.
x=L/2
x=0
k1
x
x=L
k2
T(L) = 100
T(0) = 0
Solução: Temperatura Especificada
& Dois Materiais, k1> k2
d 2 T dx 2 = 0
Condições Contorno
x=0 → T=0
x=L → T=100
x=L/2 → k1dT1/dx = k2dT2/dx
Equações
x=0 → T0=B1
x=L → TL=B2.L+A2
x=L/2 → k1.A1= k2A2
x=L/2 → A1(L/2)+B1= A2 (L/2)+ B1
TL − T0
q& ′′ =
( L 2k 1 + L 2k 2 )
∆T
&
Q = kA
L
∆T
&
Q=
R
i = ∆e/R
onde
ou
& = hA∆T
Q
L
Rk =
kA
1
ou R h =
kA
i
Rk=
∆
T
kA
& =
Q
=
( T2 − T1 )
R
L
i
Rc=
( T∞ − T2 )
∆T
&
Q=
=
∑ R  1 + L 
 hA kA 
( T∞ − T1 )
1
hA
=
( T1 − T2 )
L
kA
&
=Q
Rk=
Relação entre as Resistências R = Rk/(Rc+Rk)
Rk
hL
Biot, Bi =
=
Rc
k
Rc >>Rk → R= 0 & Bi <<1
Rc << Rk → R = 1 & Bi >>1
Rc=
Rk=
Rk
R=
R c+ Rk
Materiais Compostos