Topografia I
Profa. Andréa Ritter Jelinek
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Capítulo I
GENERALIDADES
1. Conceitos Fundamentais
Definição: a palavra “Topografia” deriva das palavras gregas “topos” (lugar) e “graphen”
(descrever), que significa a descrição exata e minuciosa de um lugar.
Diferença entre Geodésia e Topografia: A Topografia está inserida na Geodésia, utilizam
métodos e instrumentos semelhantes, porém, a Geodésia se preocupa com a forma e dimensões da
Terra, enquanto a Topografia se limita a descrição de área restritas da superfície terrestre.
Apesar de a superfície terrestre ser bastante irregular, formada de depressões e elevações, é
possível considerá-la regular em face da reduzida dimensão destes acidentes em relação ao raio da
Terra, uma vez que a máxima depressão ou elevação é inferior a 10 km, desprezível ante a extensão
do raio médio da Terra, aproximadamente igual a 6.371 km. Nestas condições, em primeira
aproximação, a superfície terrestre pode ser considerada como a superfície de nível médio dos
mares - supostamente prolongada sob os continentes e normais em todos os seus pontos à direção
da gravidade - superfície esta denominada de GEÓIDE.
Tendo em vista a impossibilidade de ser determinada a equação analítica representativa
desta superfície, adotou-se como forma da Terra a de um elipsóide de revolução girando em torno do
seu eixo menor, dito ELIPSÓIDE TERRESTRE, que é definido por:
SEMI-EIXO MAIOR = a
ACHATAMENTO: A = (a – b) / a
Figura 1.2
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Elipsóide internacional de referência (Hayford, 1924):
a = 6.378.388 m
b = 6.356.912 m
A = 1 / 297
R = (2a + b) / 3 = 6.371.220 m
É sob este conceito de forma da Terra que a GEODÉSIA trabalha nos estudos que exigem
maior rigor matemático.
A TOPOGRAFIA por sua vez, que considera trechos de dimensões limitadas, admite a
superfície terrestre como plana, o que corresponde a desprezar a curvatura da Terra.
Assim sendo, a GEODÉSIA e a TOPOGRAFIA têm os mesmos objetivos, diferindo nos
fundamentos matemáticos em que se baseiam: a geodésia apoiada na trigonometria esférica e a
topografia, na trigonometria plana.
2. Objetivos da Topografia
A Topografia tem por finalidade determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma
porção limitada da superfície terrestre, do fundo dos mares ou do interior de minas, desconsiderando
a curvatura resultante da esfericidade da Terra. Compete ainda à Topografia a locação no terreno de
projetos elaborados de Engenharia.
Divisões da Topografia:
•
PLANIMETRIA: medida de grandezas lineares e angulares em um plano horizontal;
•
ALTIMETRIA: medida de grandezas lineares e angulares em um plano vertical
3. Influência da forma e dimensões da Terra nos levantamentos topográficos
3.1. Introdução
Por levantamento topográfico pode-se entender como sendo o conjunto de operações que
tem por objetivo a determinação da posição relativa de pontos na superfície da Terra ou a pouca
altura da mesma. Essas operações consistem, essencialmente, em medir distâncias verticais e
horizontais entre diversos pontos, determinar ângulos entre alinhamentos e achar a orientação destes
alinhamentos. Complementando essas operações tem-se o cálculo das observações permitindo
determinar distâncias, ângulos, orientações, posições, alturas, áreas e volumes. Com os dados de
campo, depois de calculados, pode-se representar graficamente, na forma de mapas, perfis
longitudinais e transversais, diagramas entre outros. A execução de um levantamento topográfico,
além da necessidade de se conhecer os instrumentos utilizados nas medições requer conhecimentos
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de geometria, trigonometria plana e esférica, física, astronomia e teoria dos erros e sua
compensação.
Nos levantamentos topográficos parte-se do princípio que a Terra é plana e, por isso, os
cálculos são essencialmente fundamentados na geometria Euclidiana e na trigonometria plana. Como
a Terra não é plana, torna-se necessário verificar a sua influência nos levantamentos topográficos.
3.2. Forma e dimensão da Terra
Geodésia é a ciência que estuda a forma e dimensão da Terra. Em termos de geometria, a
atual superfície do Planeta é complexa. Vastas áreas (71% de sua superfície total) são tomadas
pelos oceanos e depressões marítimas que podem atingir até 11.000 m de profundidade. A Terra
pode caracterizar cordilheiras, montanhas, gargantas sinuosas e profundas, planícies, vales de rios e
desfiladeiros. Algumas montanhas são muito altas, por exemplo, a altitude do Monte Everest é de
8.848 m. A elevação média da Terra sobre o nível do mar é de 875 m.
Uma idéia generalizada da forma da Terra pode ser obtida pelo uso do conceito de uma
“superfície de nível”. O fio de prumo oscilante assumirá a posição da vertical verdadeira devido à
força da gravidade. Pela mesma razão uma superfície de água é horizontal e a linha de prumo
verdadeira será perpendicular a esta superfície. Uma grande quantidade de superfícies de nível pode
ser imaginada. Em topografia, especial importância é atribuída para a superfície de nível que coincide
com o nível médio do mar, o nível de uma superfície de água inanimada dos oceanos do mundo. Esta
superfície fechada e supostamente contínua, inclusive penetrando nos continentes, é perpendicular à
direção da gravidade em qualquer ponto e é chamada de Superfície Datum ou simplesmente Datum.
As direções da gravidade são função da distribuição das densidades das rochas que formam
a crosta terrestre. As rochas estão distribuídas de forma variável na crosta terrestre. Por esta razão, a
superfície Datum (geóide) que é ortogonal em qualquer ponto à linha de prumo verdadeira apresenta
uma forma complexa e irregular.
Quando se determina a forma geométrica de objetos procura-se, usualmente, compará-los
com sólidos geometricamente regulares. A mesma analogia é seguida na geodésia para determinar a
forma e tamanho da Terra. A partir de premissas teóricas e observações atuais, a Terra tem, em
geral, uma forma que pode ser aproximada a um elipsóide de revolução cuja superfície pode ser
calculada usando fórmulas exatas e é matematicamente bem conhecida.
A União Geodésica e Geofísica Internacional já definiu o Sistema de Referência GRS80
(Geodetic Reference System, 1980), o qual adota o elipsóide de parâmetros:
a (semi-eixo maior) = 6.378.137 m
e
α (achatamento) = 1 / 298,257
O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, responsável pela geodésia do Brasil, ao
estabelecer o Sistema Geodésico Brasileiro, adotou a partir de 2005, como sistema de referência
geocêntrico para as Américas, o SIRGAS 2000.
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3.3. Influência das medidas lineares nos levantamentos topográficos
A topografia é o conjunto dos princípios, métodos, aparelhos e convenções utilizados para a
determinação do contorno, das dimensões e da posição relativa de uma porção limitada da superfície
da Terra, do fundo dos mares ou do interior das minas. Compete, ainda, à topografia a locação no
terreno de projetos elaborados. O topógrafo no desempenho de suas funções deve ter presente as
seguintes superfícies:
(a) a superfície da Terra ao longo da qual são realizadas as operações de medição;
(b) o geóide que é simplesmente uma determinada superfície equipotencial do campo da
gravidade; ao qual estão referidas as altitudes ortométricas. Nos continentes e ilhas acha-se no
interior da crosta; e
(c) a superfície do modelo geométrico, às vezes denominado de superfície de referência e
sobre a qual são efetuados os cálculos geodésicos; na esmagadora maioria das vezes é o elipsóide
de revolução. Na topografia, essa superfície é o plano sobre o qual o topógrafo faz os cálculos
usando em essência, a geometria Euclidiana e a trigonometria plana.
Não sendo a Terra plana, torna-se necessário avaliar o erro que se comete quando na
topografia se faz uso do plano para os cálculos geométricos e trigonométricos dos levantamentos
topográficos.
Nas medidas lineares, deve-se considerar o caso de redução dessa distância para a
superfície elipsoidal e, depois, a redução da distância elipsoidal para o plano de projeção topográfica.
A redução da medida da distância para a superfície elipsoidal é dada por:
So = S.R / R + H
onde:
So é a distância reduzida à superfície elipsoidal;
S é a distância horizontal medida entre dois pontos do terreno;
R é o raio da Terra, admitida esférica (na ordem de 6.371 km); e
H é a altitude geométrica média da distância medida.
Alguns autores nacionais apresentam a redução de distância ao geóide. Não é a forma mais
correta, visto que, o geóide não é uma superfície de cálculo, mas sim, o elipsóide. Por outro lado,
talvez se deva ao fato da dificuldade em obter-se as altitudes geométricas, pois, o Instituto Brasileiro
de Geografia e Estatística fornece as altitudes ortométricas. Entretanto, existe uma carta geoidal do
Brasil, da qual se poderia obter a ondulação geoidal por interpolação gráfica e calcular a altitude
geométrica.
3.3.1. Planimetria
Pretende-se avaliar agora a diferença que existe quando se faz a redução da distância
elipsoidal (para o plano de projeção topográfico).
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Figura 1.2
Da Fig. 1.2 do triângulo retângulo A1OB1, tira-se:
tg α = do / R
(1.1)
onde:
do é a distância no plano de projeção topográfico; e
α é um ângulo central.
Como α é muito pequeno, podemos desenvolver em série de potência tg α e desprezando as
parcelas superiores às de 3ª ordem, tem-se:
tg α ≈ α + α3 / 3 + ...
que substituindo na equação (1.1), obtém-se:
α + α3 / 3 = do / R
(1.2)
mas α = So / R quando α for expresso em radianos, portanto, substituindo na equação (1.2), obtémse:
So / R + So3 / 3.R3 = do / R
ou
do - So = So3 / 3.R2
(1.3)
em que do - So representa exatamente a diferença que existe quando se faz a redução da distância
elipsoidal para o plano de projeção topográfico.
Torna-se necessário avaliar até onde se pode realizar um levantamento planimétrico de
maneira que a influência da curvatura terrestre possa ser desconsiderada.
Reescrevendo a equação (1.3), tem-se:
do - So = ∆S = So3 / 3.R2
(1.4)
ou, ainda,
∆S / So = So2 / 3.R2
(1.5)
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Considerando R ≈ 6.371 km e alguns valores para So, então, com as expressões (1.4) e (1.5)
pode-se calcular os valores da diferença ∆S e do erro relativo ∆S / So conforme se pode ver na Tab.
1.1:
Tabela 1.1:
∆S (m)
0,01
1,03
8,21
So (km)
10
50
100
∆S / So
1:1.000.000
1:48.500
1:12.000
Com a expressão (1.5) pode-se determinar o erro relativo da influência da curvatura terrestre
nas distâncias medidas na superfície terrestre e depois reduzidas ao elipsóide. Assim, conhecendose a exatidão que se deseja no levantamento topográfico, pode-se estabelecer como sendo 10 km,
50 km, 100 km ou outro valor qualquer a extensão máxima do levantamento planimétrico sem levar
em consideração a curvatura terrestre.
3.3.2. Altimetria
Considerando-se, ainda, a Fig. 1.2 pode-se dizer:
___
∆h = BoB - B1B
(1.6)
Por outro lado, considerando o triângulo retângulo A1OB1 da Fig. 1.2 e aplicando a este o
teorema de Pitágoras, obtém-se:
(R + ∆h)2 = R2 + do2
(1.7)
que desenvolvendo chega-se a:
R2 + 2.∆h.R + ∆h2 = R2 + do2
ou,
∆h2 + 2.∆h.R = do2
∆h.(∆h + 2.R) = do2
∆h = do2 / ∆h + 2.R
∆h ≈ do2 / 2.R
(1.8)
À semelhança do que foi feito no item 3.3.1 pode-se considerar R ≈ 6.371 km e para alguns
valores de do calcular o valor de ∆h obtendo-se:
Tabela 1.2:
do (m)
0,1
0,3
0,5
0,7
1
2
∆h (m)
0,0008
0,0071
0,0196
0,038
0,078
0,314
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Pela análise da Tab. 1.2 e comparando com os resultados obtidos na planimetria e
anteriormente inseridos na Tab. 1.1, pode-se constatar que o efeito da curvatura da Terra na
altimetria é muito mais acentuado do que na planimetria. Desta forma, dependendo da precisão
interna que se deseja no levantamento topográfico altimétrico pode não ser aconselhável deixar-se
de considerar o efeito da curvatura da Terra.