CONECTIVOS LÓGICOS CONDICIONAIS: O USO DO SE...ENTÃO... NA
CONSTRUÇÃO DAS IDÉIAS MATEMÁTICAS
Cicleide Maria da Costa Lira – SEE-PE
[email protected]
Jose Roberto da Silva – UPE; FAINTVISA/PE; FUNESO/PE
[email protected]
Introdução
Pesquisas na área de Psicologia Cognitiva, tais como a de Oliveira (1987) e
Pereira (1998), apontaram que existem alguns tipos de dificuldades na assimilação de
problemas que envolvem as sentenças condicionais1, mas, que se for realizada uma
intervenção adequada no momento oportuno, isso poderá promover nos indivíduos a
aquisição de habilidades que os possibilitem raciocinarem coerentemente de forma
lógica.
A necessidade de concatenar idéias e estabelecer seqüências a serem seguidas
buscando resolver certas atividades, tem sido marcante para os seres humanos se
comparados aos outros animais. Segundo tais necessidades se pode destacar a
importância de estimular os alunos logo a partir das séries iniciais do Ensino
Fundamental a utilizarem o raciocínio lógico em busca de aprimorar a sua forma de
pensar. Para enfocar a importância acerca desse tipo de raciocínio se pode trazer
autonomia (independência na ação diante do novo), ou seja, devido uso adequado desse
tipo de pensamento os indivíduos tornam-se capazes de realizarem atividades sem que
tenham um modelo a seguir no sentido apenas de repetir.
Enquanto a lógica, segundo Copi (1974), está interessada nas proposições e nas
relações entre elas, a Psicologia se preocupa com o sujeito que raciocina e seu processo
interno de inferências, no qual ele deriva conclusões a partir de premissas.
1
As Sentenças Condicionais ou Enunciados Condicionais são compostos por duas proposições, a
primeira delas é o antecedente e a segunda é o conseqüente.
Ex.: Se um triângulo é eqüilátero então é eqüiângulo.
1ª proposição
2ª proposição
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Vários estudos foram realizados nas últimas décadas com o intuito de entender o
desenvolvimento do pensamento lógico. A teoria psicológica de Jean Piaget classificou
o desenvolvimento cognitivo em quatro estágios são eles respectivamente o
sensoriomotor, período pré-operatório, as operações concretas e o período das operações
formais, o que caracteriza cada um deles é que suas realizações são construídas
mediante os seus precedentes. No que diz respeito a esse estudo o que interessa é que no
final do último estágio como aponta Davidoff (1983), as capacidades mentais das
crianças são as mesmas apresentadas pelos adultos. Para Piaget, (apud Oliveira, 1987), a
linguagem é uma condição necessária, porém não suficiente para estruturar o
pensamento lógico, justifica isso destacando que este aspecto se dá principalmente
porque é o pensamento que estrutura a linguagem. Por isso, Piaget admite que a
linguagem é importante na formação das estruturas lógicas, mas, para que esse
desenvolvimento aconteça, é necessária a intervenção de outros fatores, como a
maturação do indivíduo e as influências sócioculturais..
Aceitando-se a proposta Piagetiana, de que a passagem do pensamento concreto
para o pensamento formal ocorre na adolescência, e que é nesta fase que a capacidade
para o raciocínio lógico abstrato se desenvolve, torna-se possível acreditar ser este o
momento oportuno para o aprendizado e treinamento do raciocínio lógico.
Há estudos em psicologia que têm comprovado que existe uma tendência dos
sujeitos terem raciocínios falaciosos, como o desenvolvimento acadêmico do indivíduo
carece desprover-se disso para avançar é necessário que haja uma intervenção externa
para corrigir tais procedimentos. Neste sentido pode-se afirmar que raciocínios
falaciosos podem caracterizar obstáculos epistemológicos como apresentados por
Bachelard (1986) e por outro lado conforme os casos podem ser até mesmo um
obstáculo didático como os tratados na Teoria das situações Didáticas de Brousseau, em
Chevallard (2001).
Mediante estes estudos concluímos que conhecendo os fatores que levam os
indivíduos a raciocinarem falaciosamente, torna-se possível realizar intervenções que
possa conduzir os alunos a raciocinarem de forma lógica sendo capazes de detectarem
quando estão diante conclusões inválidas.
O Raciocínio Lógico: da Escola de Mileto aos dias atuais
Desde antes da era cristã o homem tem se preocupado com os problemas do
universo e do próprio homem. A História tem mostrado através de seus registros essa
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preocupação e pode-se tomar como exemplo o povo grego; observa-se que um dos
traços mais característicos do espírito grego foi a sua intensa curiosidade intelectual, a
busca por respostas a perguntas do tipo: o que é o homem? O que é a quantidade? O que
é a qualidade? O que é o valor? Fez com que esse povo aprimorasse sua forma de
pensar e desenvolvesse no cerne da sua cultura a filosofia grega.
Em meados do século VII a.C. os gregos restringiam-se a explicar o universo e a
natureza através da sua mitologia2. A partir do final do século VII e início do século VI
antes de Cristo, nas colônias gregas da Ásia Menor (ver mapa a baixo) inicia na Escola
de Mileto o pensamento filosófico grego, onde o primeiro filósofo foi Tales de Mileto.
A Filosofia é a Ciência dos princípios e causas, ela preocupa-se com a
fundamentação teórica e critica dos conhecimentos e das praticas, ocupando-se com as
condições e os princípios de conhecimentos que pretenda ser racional e verdadeiro.
Deve-se ressaltar que esta é apenas uma das várias definições concernentes à filosofia.
No período Socrático, apogeu da filosofia grega, Platão desenvolveu a Dialética.
A Dialética é um diálogo ou uma conversa em que os interlocutores possuem opiniões
opostas sobre algum tema e devem argumentar de tal forma que passem das opiniões
contrarias e contraditórias a uma idéia comum para todos os participantes do diálogo.
Aristóteles segue um caminho diferente do que foi escolhido por Platão. Ele considera
que a dialética é adequada para os assuntos que só necessitam da persuasão, mas não
para a filosofia e a ciência, porque nestas, o que interessa é a demonstração ou a prova
de uma verdade. Aristóteles criou a lógica substituindo a dialética por um conjunto de
procedimentos de demonstração e prova, que ele chamava de analítica (só vem a ser
empregada a palavra lógica séculos mais tarde).
2
Mitologia: s.f. explicação e interpretação dos mitos de uma nação ou de um povo; história fabulosa dos
deuses, semideuses e heróis da Antigüidade; ciência dos mitos; conjuntos das fábulas.
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A lógica estuda os métodos e princípios usados para diferenciar o raciocínio
correto do incorreto. Uma pessoa que estudou lógica e adquiriu os conhecimentos que
ela proporciona, tem mais probabilidades de raciocinar corretamente do que aquela que
não se aprofundou nos princípios gerais implicados nessa atividade. Pois, dada a argúcia
inata do intelecto, o estudo da lógica criará no estudante certas técnicas e certos
métodos de fácil aplicação para gerar a correção ou incorreção de todos os raciocínios,
incluindo os próprios.
A Filosofia sofreu transformações no decorrer da sua história, na sua evolução
ela teve o seu campo de investigação em alguns momentos ampliado e em outros
reduzidos. Na atualidade se têm os seguintes campos em que se desenvolve a reflexão
filosófica3.
Ontologia ou metafísica
Filosofia Política
Lógica
Filosofia da História
Epistemologia
Filosofia da Arte ou Estética
Teoria do conhecimento
Filosofia da Linguagem
Ética
História da Filosofia
Diante a contextualização feita até o presente pode-se trazer o campo de
interesse deste estudo que é a Lógica, porém à parte da Lógica que será tratada nesse
presente trabalho é a Lógica Matemática e dentre os conteúdos que fazem parte dela se
investirá o uso dos conectivos lógicos4, dando-se ênfase a sentença condicional.
No mundo, dito globalizado, não há lugar de destaque para atitudes mecânicas,
os indivíduos têm de ser dinâmicos e se habilitarem a serem capazes de raciocinar de
forma lógica, pois assim as decisões tomadas (financeiramente, sentimentalmente, etc.),
deve ser coerentemente e não ao acaso. Neste processo decisório o individuo, na
maioria das vezes nem se dar conta que está usando um conectivo lógico condicional,
3
De acordo com Bicudo e Garnica (2001), o pensar filosófico caracteriza-se por ser analítico, reflexivo e
abrangente. A reflexão como aspecto constituinte da Filosofia, é a ação de pensar sobre algo que está
no plano mundano e que esta acarretando perplexidade e estranheza, portanto requer esclarecimento
para que venha a fazer sentido
4
.
São expressões que estabelecem uma ligação entre duas sentenças declarativas afirmativas; cada
conectivo lógico é representado por um símbolo especial, a seguir observasse os conectivos lógicos e os
símbolos correspondentes:
negação ‘não é o caso’ - (~); conjunção ‘e’ - (٨); disjunção ‘ou’- (٧);
condicional ‘Se ... Então...’ - (→ ); bicondicional ‘Se e somente se’- (↔
).
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por isso fica difícil compreende os mecanismos que envolvem suas argumentações, por
isso, o empregam de forma errônea. A seguir será usado um exemplo buscando
demonstrar este fato.
Ex.: 1. Se um quadrilátero tem os quatro ângulos retos então os lados opostos são
paralelos.
a) Os quatro ângulos do quadrilátero são retos.
Logo, os lados opostos são paralelos.
Figura 1: Quadrilátero com os quatro ângulos retos
Ao afirmar: os quatro ângulos são retos se deduz que os lados opostos são
paralelos.
b) Os lados opostos não são paralelos.
Logo, o quadrilátero não tem os quatro ângulos retos.
Figura 2: Quadrilátero que não tem os quatro ângulos retos
Quando se nega que os lados opostos são paralelos, a dedução é óbvia, os quatro
ângulos da figura não são retos.
c) Os lados opostos são paralelos.
Logo, Os quatro ângulos do quadrilátero são retos.
Figura 3: Quadrilátero que
os quatro ângulos retos
tem
Figura 4: Quadrilátero que não tem
os quatro ângulos retos
Ao analisar as figuras 3 e 4 e diante a dedução do item c que se pode concluir?
Diante apenas a afirmação: Os lados opostos são paralelos não se pode deduzir
que os quatro ângulos sejam retos. Pois, podem ocorrer casos em que mesmo os lados
opostos sendo paralelos os quatro ângulos não são necessariamente retos, como se vê na
figura 4. É justamente nesse momento que o indivíduo comete um erro lógico afirmando
que os quatro ângulos são retos.
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d) Os quatro ângulos do quadrilátero não são retos.
Logo, Os lados opostos não são paralelos.
Figura 4: Quadrilátero que não tem
os quatro ângulos retos
Desta negação não se pode deduzir que os lados opostos não são paralelos, pois,
podem ocorrer casos em que mesmo que os quatro ângulos não sejam retos os lados
opostos são paralelos, observa-se isso na figura 4.
Neste caso, como em outros conceitos matemáticos, muitos alunos por não
conhecerem as regras de inferências5 caem em raciocínios inválidos ao afirmarem o
conseqüente ou negarem o antecedente, como veremos na continuidade.
As Sentenças Condicionais
O que foi levantado anteriormente tem sido algo preocupante para os
elaboradores de currículos, por exemplo, os Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN’s), considera que o raciocínio lógico deve ser trabalhado na escola com a
finalidade de desenvolver nos alunos habilidades que os possibilitem tanto formular
quanto resolver problemas adequadamente. Mas, pode-se observar que se por um lado o
campo de estudo que favorece tal abordagem (exercitar o raciocínio lógico) é a
matemática, há inúmeros fatores, dos quais se pode citar a falta de preparo do professor
da referida disciplina, para lidarem explorando uma abordagem como a mencionada
anteriormente. O que ainda continua dominando nas aulas de matemáticas, em termos
do fazer educacional, tem sido a aplicação de fórmulas que além de não terem sentido
prático para os alunos, por eles não saberem em que circunstâncias de seu cotidiano
deverão as utilizar, não se busca destacar o raciocínio lógico e com ele trazer a tomada
de decisões tentando de algum modo vencer em parte a lacuna citada inicialmente.
5
Conjunto de deduções a partir de determinadas premissas; Chaui (2001) afirma que inferir é tirar uma
proposição como conclusão de uma outra ou de várias outras proposições que a antecedem e são sua
explicação ou sua causa.
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Por este motivo citado a cima e outros que não nos cabe falar no momento
emerge a necessidade de se mudar a forma de ensinar matemática, ao invés de enfocar
excessivamente o uso da fórmula pela fórmula, se deve valorizar o ensino e o emprego
do raciocínio lógico, dentre outros tópicos que são também de muita importância.
A importância de tal valorização anterior, o uso do raciocínio lógico no ensino
fundamental pode ser trazido, por exemplo, lembrando que dando ênfase aos cálculos e
fórmulas, os alunos chegam ao ensino médio ou até mesmo ao ensino superior com
dificuldades em raciocinar logicamente, conforme pesquisa realizada por Janis & Frick;
Lefford (1981) e Oliveira (1987). Isso pode ser observado ao trabalhar situações
problema que exigem dos alunos um raciocínio mais elaborado ao invés da utilização de
fórmulas ou cálculos matemáticos, nas turmas do ensino médio.
A principal razão de se enfocar nesse estudo as sentenças condicionais é que, a
todo o momento, em diversas situações, escolar ou não, o individuo repito, sem se
aperceber as utilizam e pode-se afirmar que em se tratando dos alunos eles não
compreendem problemas que as envolvem simplesmente porque não compreendem os
processos de inferências necessários para sua conclusão, isto é, eles não entendem a
estrutura de sentenças na forma se p, então q. Mas o que é uma sentença condicional?
As sentenças condicionais ou enunciadas condicionais são discutidas desde
aproximadamente 300 a.C. Segundo Willian e Martha Kneale (1990), os primeiros
lógicos a debaterem a natureza das frases declarativas condicionais foram Dioro Crono
e o seu discípulo Filon, ambos de Mégara. Desde então, muitos lógicos, filósofos e
geômetras têm tratado acerca delas e nas últimas décadas cientistas da educação e
psicólogos, como Wason (1972), Copi (1974) e Piaget (1983), dentre outros.
As chamadas sentenças condicionais são formadas pela combinação de duas
sentenças onde se emprega a palavra “se” antes da primeira sentença e a palavra
“então” é colocada entre as duas sentenças. A sentença que está entre o “se” e o
“então” é chamada de antecedente e a outra (segunda sentença) que está após o
“então” é o conseqüente. Por exemplo, na sentença ‘se os alunos não estudam, então
não aprendem’, ‘Os alunos não estudam’ é o antecedente, e o ‘não aprendem’ é o
conseqüente.
Do ponto de vista lógico, Copi (1974) afirmar que nos enunciados condicionais
o antecedente implica no conseqüente, isso não significa dizer que o antecedente é
verdadeiro, e sim que se o antecedente for verdadeiro, então o conseqüente
correspondente a ele também será verdadeiro. Portanto, com isso não se está afirmando
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que o conseqüente é verdadeiro, mas que será verdadeiro se for verdadeiro o
antecedente. Mas, o que quer dizer implicar?
Há vários significados para o termo ‘implicar’, dos quais se recorrerá a dois por
estarem próximos do que se quer afirmar, os termos são “Dar a entender” e “produzir
como conseqüência” ambos extraídos do Dicionário Moderno da Língua Portuguesa,
1978, p.1307. Por sua vez, Copi (1974), aponta os quatro tipos de implicações: Conexão
lógica entre o seu antecedente, e o seu conseqüente. Se A é B ; B é C, então A é C;
Conexão de caráter definidor; Conexão causal e Conexão de decisão. Mas, o que
interessa à lógica é nomear uma sentença por implicação material ou condicional
material.
A implicação material não deve ser confundida com outros tipos mais usuais de
implicação por se tratar de uma implicação particular. Diante o que foi trazido sobre a
importância dos aspectos implicativos nas sentenças condicionais, isso, possibilita
caracterizar a partir deles algumas especificidades que se deseja explorar concatenando
idéias, seja na matemática ou mesmo em outros campos do conhecimento, neste estudo
se explorará apenas os aspectos matemáticos.
A lógica do cálculo sentencial6 e a validade de argumentos
Para uma melhor compreensão acerca da nomeação de uma sentença por
implicação material visando avaliar a lógica do cálculo sentencial existe um método
eficiente, isso é feito tratando-se o argumento de forma simbolizada para extrair sua
estrutura lógica e aplicar regras de dedução pertinente.
Para se fazer o argumento de forma simbolizada se necessita de um vocabulário
apropriado para o cálculo sentencial, o qual é constituído de letras minúsculas do
alfabeto para simbolizar as sentenças, operadores lógicos e parênteses. Por exemplo,
seja a seguinte sentença condicional: Se Fábio apresentar uma queixa a confederação,
então, João será desclassificado. Simbolizando por f a sentença 'Fábio apresentar uma
queixa a confederação'; por ~ j a sentença 'João será desclassificado; e o operador lógico
por “⊃”7, a representação simbólica para a sentença condicional será f ⊃~ j.
O tipo de representação apresentado anteriormente chama-se silogismos
condicionais (hipotéticos), neles há dois modos de inferências dedutivas válidas, (o
6
Sistema utilizado para executar cálculos com proposições, formado por uma linguagem própria e as
regras de inferências a serem empregadas.
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A ferradura ou juntor filônico é uma variação do símbolo utilizado na representação do conectivo lógico
condicional, recebeu essa nomeação em homenagem a Filon de Mégara.
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Modus Ponens e o Modus Tollens), e dois modos inválidos, (a afirmação do
conseqüente e a negação do antecedente).
Modus Ponens (MP).
p ⊃ q ( se p então q )
p ( afirmo p)
∴q ( afirmo q).
Modus Tollens (MT).
p ⊃ q ( se p então q )
~q ( nego q)
∴~p ( nego p)
Afirmando o conseqüente ou negando o antecedente, comete-se falácia, pois a
conclusão é indeterminada, sendo o argumento inválido.
Falácia da afirmação do conseqüente.
p ⊃ q ( se p então q )
q ( afirmo q)
∴p ( afirmo p)
Falácia da Negação do antecedente.
p ⊃ q ( se p então q )
~p ( nego p)
∴~q ( nego q)
Metodologia
O processo metodológico das atividades a serem aplicadas no decorrer do
desenvolvimento do curso está dividido em três etapas conforme estão descritas abaixo:
1ª Etapa: No primeiro momento, será feito a principio uma discussão sobre a
importância do exercitar do raciocínio lógico e em seguida cada participante receberá
um questionário diagnóstico que busca levantar quais as suas concepções acerca da
lógica matemática e suas implicações na elaboração do conhecimento matemático.
Neste segundo momento será realizada com intuito de facilitar a compreensão do
tema trabalhado, uma explanação acerca das sentenças condicionais, buscando ressaltar
a importância de se trabalhar o Raciocínio Lógico a partir das séries iniciais. Nesta
explanação mostrasse-a desde a evolução histórica da sentença condicional à sua
utilização no cotidiano dos participantes; cada participante receberá um texto de apoio.
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A turma será dividida em grupos de no máximo (05) cinco componentes no
terceiro momento e cada grupo receberá uma lista com (05) cinco atividades que têm na
sua estrutura a sentença condicional, os grupos devem resolver as situações propostas
usando o raciocínio lógico, conforme apresentado no momento inicial.
No quarto momento, e último dessa etapa haverá a socialização das respostas das
atividades. As cinco atividades serão distribuídas com os grupos formados no terceiro
momento e cada grupo apresentará para o grande grupo os caminhos traçados para
chegar a resposta da sua atividade. Nesse momento realizasse-a uma análise critica dos
resultados com a participação de todos os grupos tendo por objetivos ressaltar a
necessidade de se ter um raciocínio organizado e de forma lógica para que haja uma
aprendizagem significativa.
2ª Etapa: No quinto momento a partir da sentença “Se tem os quatro ângulos retos
então os lados opostos são paralelos”, haverá a apresentação da sentença condicional
como silogismo condicional (hipotético); com a utilização de transparência para analisar
a sentença citada será demonstrado os modos Válidos, (Modus Ponens e Modus
Tollens) e Inválidos de inferências e também será mostrado a implicação Material e o
Cálculo Proporcional.
Os grupos serão neste sexto momento novamente formados para analisar e
resolver algumas situações cotidianas envolvendo as inferências possíveis; e verificar os
prováveis erros lógicos cometidos por alunos do Ensino Fundamental e do Ensino
Médio.
No sétimo momento os grupos irão elaborar situações problemas que facilitam a
compreensão das sentenças condicionais, de acordo com o desenvolvimento cognitivo
dos alunos a que se destinam as questões a serem elaboradas.
3ª Etapa: Os grupos deverão elaborar no oitavo momento uma síntese do tópico
estudado destacando os pontos principais. Esta síntese será construída em forma de
mapa conceitual onde será exploradas a diferenciação progressiva e a reconciliação
integradora que como caracterizou Moreira (1987) são conceitos chaves da teoria de
Ausubel.
Palavras Chaves: Lógica Matemática; Conectivos Lógicos, Raciocínios Falaciosos.
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Referências Bibliográficas
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CHEVALLARD, Y., BOSCH, M e GASCÓN, J. Estudar Matemáticas, O elo perdido
entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artmed, 2001;
COPI, I. M. Introdução à Lógica. São Paulo: Editora Mestre Jou,1974.
DAVIDOFF. L. L. Introdução à Psicologia. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, l983;
INHELDER, B. e PIAGET, J. Da Lógica da Criança à Lógica do Adolescente (De la
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1976;
MOREIRA, M. e BUCWEITZ, B.. Mapas Conceituais: Instrumentos Didáticos, de
Avaliação e de Currículo. São Paulo: Editora Moraes, 1987.
OLIVEIRA, Zélia Mª Dantas. A sentença Condicional na Linguagem Ordinária: Um
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Universidade Federal de Pernambuco;
PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS. 2: Matemática. Secretaria de
Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.
PEREIRA, Paulo Cavalcante. Relevância de Situações de Ensino-aprendizagem de
Filosofia para Crianças sobre a Competência na Resolução de Problemas Lógicos em
Contexto. Recife, 1998. 127 p. Dissertação (Mestrado em Psicologia) – Universidade
Federal de Pernambuco;
STAUNDENMAYER, H. Understanding Conditional Reasoning With Meaningful
Propositions. In Falmagne (Ed.) Reasoning: Representation and Process. N. J.
Hillsdale, Erlbaum Associates, 1975;
WASON, P. C. A Teoria das Operações Formais in Geber (Ed.). Psicologia do
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